專題03 幾何中的特殊三角形壓軸題綜合全攻略（原卷版）

專題03幾何中的特殊三角形壓軸題綜合全攻略類型一、等腰三角形壓軸題綜合例1．（等腰三角形）（2022下·四川成都·八年級四川省成都市石室聯(lián)合中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知：如圖，在中，，為邊的垂直平分線，以為邊作等邊三角形，與在直線的異側(cè)，直線交的延長線于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)．(1)求證：．(2)求的度數(shù)．(3)猜想線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．例2．（等邊三角形）（2023下·四川成都·八年級?？计谥校┮阎堑冗吶切危?/p>

(1)如圖1，也是等邊三角形．點(diǎn)A、B、E三點(diǎn)不共線，求證：；(2)如圖2，點(diǎn)D是外一點(diǎn)，且，請證明結(jié)論；(3)如圖3，點(diǎn)D是等邊三角形外一點(diǎn)，若．試求的度數(shù)．【變式訓(xùn)練1】．（2021下·四川成都·八年級統(tǒng)考期末）如圖1，在等邊三角形中，于于與相交于點(diǎn)O．(1)求證：；(2)如圖2，若點(diǎn)G是線段上一點(diǎn)，平分，，交所在直線于點(diǎn)F．求證：．(3)如圖3，若點(diǎn)G是線段上一點(diǎn)（不與點(diǎn)O重合），連接，在下方作，邊交所在直線于點(diǎn)F．猜想：三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【變式訓(xùn)練2】．（1）【感悟】如圖1，是的高線，，若，，求的長．小明同學(xué)的解法是：將沿折疊，則點(diǎn)C剛好落在邊上的點(diǎn)E處．請你畫出圖形并寫出完整的解題過程；（2）【探究】如圖2，，為的外角的平分線，交的延長線于點(diǎn)D，則線段、、又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想并證明；（3）【拓展】如圖3，在四邊形中，平分，，，，則的長為__________．類型二、直角三角形壓軸題綜合例1．（直角三角形）（2021下·四川成都·八年級石室中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝60°，點(diǎn)O為斜邊AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E、點(diǎn)F為直角邊上的動點(diǎn)（點(diǎn)E在點(diǎn)F的右側(cè)），且∠EOF＝60°(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)E、點(diǎn)F分別在邊BC和AB上，且BE＝AF時，求∠OEC的度數(shù)．(2)如圖2，若點(diǎn)E、點(diǎn)F都在邊BC上，當(dāng)∠OFC＝75°時，說說BF與CE有什么數(shù)量關(guān)系？并加以證明．(3)如圖3，當(dāng)E、F均在邊BC上運(yùn)動時，做E點(diǎn)關(guān)于直線OF的對稱點(diǎn)P，若AB＝4，為AB中點(diǎn)，求當(dāng)PQ最短時，線段PE的長度．例2．（等腰直角三角形）（2022下·四川成都·八年級?？茧A段練習(xí)）為等腰直角三角形，，點(diǎn)在邊上（不與點(diǎn)、重合），以為腰作等腰直角，．(1)如圖，作于，求證：≌；(2)在圖中，連接交于，如圖，求的值；(3)如圖，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，連接，當(dāng)點(diǎn)在邊上運(yùn)動時，探究線段，與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【變式訓(xùn)練1】．（2023下·四川成都·八年級統(tǒng)考期末）如圖，中，，，點(diǎn)是邊上一動點(diǎn)，將繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)得到，交邊于點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作平分交邊于點(diǎn)，連接．

(1)求證：；(2)判斷與的數(shù)量關(guān)系并證明；(3)當(dāng)時，若，求的面積．【變式訓(xùn)練2】．在中，，．(1)如圖1，點(diǎn)E為外一點(diǎn)，，過B作，垂足分別為E、F．求證：；(2)如圖2，點(diǎn)D是上一點(diǎn)，，于E，求證：．(3)如圖3，點(diǎn)D為上一點(diǎn)，，過點(diǎn)A作，且，連接．若，求的長度．【課后訓(xùn)練】1．（2023下·四川成都·八年級統(tǒng)考期末）已知，與均為等腰直角三角形，且，，其中，繞著A點(diǎn)逆時針進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，連接，．

(1)若旋轉(zhuǎn)至圖1位置時，求證：；(2)若旋轉(zhuǎn)至圖2位置時，發(fā)現(xiàn)B，D，E三點(diǎn)恰好共線，證明：；(3)若旋轉(zhuǎn)至圖3位置時，線段恰好垂直于，此時的延長線與交于點(diǎn)F，點(diǎn)F恰好為中點(diǎn)，若，求線段的長．2．（2022下·四川成都·八年級校考階段練習(xí)）△ABC為等腰直角三角形，∠ABC＝90°，點(diǎn)D在AB邊上（不與點(diǎn)A、B重合），以CD為腰作等腰直角△CDE，∠DCE＝90°．(1)如圖1，作EF⊥BC于F，求證：△DBC≌△CFE；(2)在圖1中，連接AE交BC于M，如圖2，求的值；(3)如圖，3，過點(diǎn)E作EH⊥CE交CB的延長線于點(diǎn)H，過點(diǎn)D作DG⊥DC，交AC于點(diǎn)G，連接GH，當(dāng)點(diǎn)D在邊AB上運(yùn)動時，探究線段HE，HG與DG之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．3．【問題背景】如圖①，在正方形的內(nèi)部，作，根據(jù)三角形全等的條件，易得，從而得到四邊形是正方形．【類比探究】如圖②，在正三角形的內(nèi)部，作兩兩相交于三點(diǎn)．(1)是否全等？如果是，請選擇其中一對進(jìn)行證明；(2)是否為正三角形？請說明理由；(3)進(jìn)一步探究發(fā)現(xiàn)：的三邊存在一定的數(shù)量關(guān)系，設(shè)，請?zhí)剿髦g滿足的數(shù)量關(guān)系．4．在等腰中，，點(diǎn)和點(diǎn)分別為和邊上的點(diǎn)，，與相交于點(diǎn)．(1)當(dāng)時，①如圖1，直接寫出的度數(shù)；________．②如圖2，若，作，垂足為點(diǎn)，連接，求證：．(2)當(dāng)時，如圖3，若取得最小值，求出的值．5