2025屆遼寧省名校聯(lián)盟高三高考模擬（調(diào)研卷）（四）數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試題PAGEPAGE1遼寧省名校聯(lián)盟2025年高考模擬卷（調(diào)研卷）（四）數(shù)學(xué)試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知全集集合..則（）A B.C.或 D.或【答案】B【解析】由題意得，則，故.故選：B.2.知，若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】依題意得，故.故選：A.3.已知在正六邊形中，是線段上靠近的三等分點，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】依題意得，因為，所以.故選：C.4.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，其中，若將的圖象向右平移個單位長度后關(guān)于軸對稱，則（）A. B.3 C.4 D.2【答案】D【解析】設(shè)的最小正周期為，依題意得，則，所以，因為將的圖象向右平移個單位長度后關(guān)于軸對稱，則，可得，則，當(dāng)時，，故，將代入可得.故選：D.5.為了加快生產(chǎn)進(jìn)度，公司決定使用某種檢測機器對加工零件的等級（分為一等品和二等品）進(jìn)行初篩和復(fù)查，已知該機器初篩的過程中零件被標(biāo)記為一等品的概率為，被標(biāo)記為二等品的概率為，被標(biāo)記為一等品的零件有的概率為二等品，被標(biāo)記為二等品的零件中也有的概率為一等品.在初篩的過程中，已知一個零件是二等品，則它被正確標(biāo)記的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)事件表示“零件為一等品”，事件表示“零件為二等品”，事件表示“零件被標(biāo)記為一等品”，事件表示“零件被標(biāo)記為二等品”，則，故，故選:B.6.已知，則的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】，，故，故選：D.7.已知橢圓的左、右焦點分別為，以為圓心的圓經(jīng)過點，且與軸正半軸交于點，若線段的中點在上，則的離心率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設(shè)，由題知圓的半徑為，且，得為等邊三角形，則，設(shè)線段的中點為，則，且，因為點在上，所以得，即，即的離心率為.故選：A.8.已知長方體外接球的表面積為，其中為線段的中點，過點的平面與直線垂直，點在平面與底面形成的交線段上，且，則四面體外接球的體積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】依題意得，解得，如圖，取線段的中點，連接，平面，平面，所以，因為，所以又平面，所以平面，因平面過點，所以平面即為平面，所以點在線段上，因為，所以為線段的中點，且邊上的高為，故為等腰直角三角形，且其外接圓半徑.設(shè)四面體外接球的半徑為，則，故所求外接球的體積為.故選:C.二?多選題，本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知實數(shù)滿足，則（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】由，得，則，對于A，，A正確；對于B，令，，則，B錯誤；對于C，，則，C正確；對于D，若，則，D錯誤.故選：AC10.震級是以地震儀測定的每次地震活動釋放的能量多少來確定的，我國目前使用的震級標(biāo)準(zhǔn)，是國際上通用的里氏分級表，共分9個等級，其中能量（單位：焦耳）與里氏震級的對應(yīng)關(guān)系為，則（）A.若某次地震的震級不超過2級，則產(chǎn)生的能量低于焦耳B.若某次地震的震級超過4級，則產(chǎn)生的能量高于焦耳C.5級地震的能量是4級地震的能量的100倍D.3級地震的能量是7級地震的能量的【答案】ABD【解析】記表示震級為級地震的能量，對于項，若，則，所以，故A項正確；對于B項，若，則，所以，故B項正確；對于C項，，則，故C項錯誤；對于C項，，則，故D項正確.故選：ABD.11.已知拋物線的焦點為，過點的直線與交于兩點，是的準(zhǔn)線與軸的交點，則下列說法正確的是（）A.若，則直線的斜率為B.C.（為坐標(biāo)原點）D.當(dāng)取最小值時，【答案】ABD【解析】依題意得，設(shè)直線：，聯(lián)立得，則，則，解得或，則，或，則直線的斜率，故A項正確.，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故B項正確.因為，所以，故C項錯誤.，則，由拋物線的定義可得，因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，此時，故D項正確.故選：ABD三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.展開式中含項的系數(shù)為__________.【答案】175【解析】依題意得含項的系數(shù)為.故答案為：175.13.已知數(shù)列解前項和為，若，則__________，__________.【答案】①.78②.【解析】當(dāng)時，，解得，當(dāng)時，，解得，則.當(dāng)時，由得，兩式相減整理得，即，因為，所以數(shù)列是首項為9，公比為9的等比數(shù)列，則，即.故答案為：78；14.已知正方體的表面積為6，三棱柱為正三棱柱，若，，且在正方體的表面上，則當(dāng)三棱柱的體積取得最大值時，__________.【答案】【解析】設(shè)，則，解得.連接，則，因為平面，所以，因為平面，所以平面，所以.因為，所以，所以，同理可得，因為平面，所以平面，連接，過點作的平行線與交于點，因為，所以，在中，，所以，易得為正三角形，所以，則三棱柱的體積，則，令，解得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以，故當(dāng)三棱柱的體積取得最大值時，.故答案為：.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.已知的內(nèi)角所對應(yīng)的邊分別為，若.（1）求；（2）求面積的最大值.解：（1），得到，由余弦定理知，，因為，所以．（2），得到，當(dāng)且僅當(dāng)取等，所以，（當(dāng)且僅當(dāng)取等．）故面積的最大值為．16.如圖，在直四棱柱中，，點的線段上.（1）是否存在點，使得平面？若存在求；若不存在，請說明理由；（2）若平面里平面夾角的正切值為，求的值.解：（1）依題意得平面平面，所以.取的中點，連接，因為，所以四邊形是平行四邊形，所以，所以.又平面，所以平面，因為平面，所以，故要使得平面，假設(shè)存在點，只需，此時，顯然則，易得，所以，所以存在點，且.（2）以為坐標(biāo)原點，的方向分別為軸，軸，軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因為，所以，，則，設(shè)，則.因為平面平面，所以，又由（1）知，，所以平面，所以平面的一個法向量為.設(shè)平面的法向量為，則取，則，則.設(shè)平面與平面的夾角為，因為，所以，所以，解得或（舍去），所以.17.將某新開業(yè)的創(chuàng)意甜品店的開業(yè)天數(shù)與利潤（單位：千元）之間的相關(guān)數(shù)據(jù)統(tǒng)計如表1所示.表1102030405050657095120（1）已知與呈線性相關(guān)關(guān)系，求關(guān)于的經(jīng)驗回歸方程；（2）為了慶祝甜品店開業(yè)兩個月，店家在開業(yè)剛好兩個月這天組織消費者參加消費返利抽獎游戲，游戲規(guī)則如下：在抽獎盒中放有5張卡片，其中2張寫有“幸運顧客”，3張寫有“不要泄氣”，一輪次機會中參加游戲的消費者有放回地抽取3次，每次抽取1張卡片，每一輪次抽獎之后根據(jù)表3計算獎金，消費金額（單位：元）在的消費者分別有輪次的抽獎機會.已知這天顧客的消費情況以及每一輪次抽獎后具體的獎勵情況如下，求這天返利總金額的數(shù)學(xué)期望.表2消費金額人數(shù)622253584表3“幸運顧客”卡片數(shù)32其他情況獎勵金額（單位：元）30200參考公式：對于一組數(shù)據(jù)，其經(jīng)驗回歸直線的斜率和截距最小二乘估計分別為.解：（1）依題意得，則1700，，則，，故關(guān)于的經(jīng)驗回歸方程為.（2）設(shè)表示參加一輪次抽獎所獲得的獎勵金額，則的可能取值為，因為抽取一張卡片，抽到“幸運顧客”卡片的概率，所以，，，所以元，所以元.18.已知雙曲線的右焦點為，直線與的右支交于兩點.（1）若線段的中點坐標(biāo)為，求直線的方程；（2）當(dāng)過點時，過點分別作直線的垂線，垂足分別為，且直線，交于點，求面積的最小值.解：（1）設(shè)，則，直線的斜率，因為在橢圓上，則，兩式相減得，整理可得，即，可得直線的方程為，即，經(jīng)檢驗符合題意，所以直線的方程為.（2）由題意可得：，顯然直線的斜率不為0，設(shè)直線：，聯(lián)立方程，消去x整理得，則，且，因為，可得，因為直線的方程為，令，得，因為，可得，所以直線過定點，由對稱性可知直線過定點，即直線與的交點為，則，令，則，則，因為函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，的面積取得最小值，最小值為.19.給定兩個正整數(shù)，函數(shù)在處的階帕德逼近定義為，且滿足（注：為的導(dǎo)函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)，以此類推）.已知函數(shù).（1）記為在處的階帕德逼近，判斷函數(shù)的單調(diào)性；（2），求的取值范圍；（3）求證：（為自然對數(shù)的底數(shù)）.解：（1）由題意得，，由，得，所以，則，由，得，所以，由，得，則，故，則，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增.（2）依題意得在區(qū)間內(nèi)恒成立.令，注意到，則，因為在區(qū)間內(nèi)恒成立，所以，使在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，即當(dāng)時，，故，則當(dāng)時，.令0），則，因為，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，則，故在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，則，所以，符合題意.所以的取值范圍是.（3）證明：由（1）可知當(dāng)時，，即，整理得，由（2）可知當(dāng)時，，則.綜上，當(dāng)時，.令，得，即.令，則，故要證，即證.因為，所以，由，可知，又，所以，故，得證.遼寧省名校聯(lián)盟2025年高考模擬卷（調(diào)研卷）（四）數(shù)學(xué)試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知全集集合..則（）A B.C.或 D.或【答案】B【解析】由題意得，則，故.故選：B.2.知，若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】依題意得，故.故選：A.3.已知在正六邊形中，是線段上靠近的三等分點，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】依題意得，因為，所以.故選：C.4.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，其中，若將的圖象向右平移個單位長度后關(guān)于軸對稱，則（）A. B.3 C.4 D.2【答案】D【解析】設(shè)的最小正周期為，依題意得，則，所以，因為將的圖象向右平移個單位長度后關(guān)于軸對稱，則，可得，則，當(dāng)時，，故，將代入可得.故選：D.5.為了加快生產(chǎn)進(jìn)度，公司決定使用某種檢測機器對加工零件的等級（分為一等品和二等品）進(jìn)行初篩和復(fù)查，已知該機器初篩的過程中零件被標(biāo)記為一等品的概率為，被標(biāo)記為二等品的概率為，被標(biāo)記為一等品的零件有的概率為二等品，被標(biāo)記為二等品的零件中也有的概率為一等品.在初篩的過程中，已知一個零件是二等品，則它被正確標(biāo)記的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)事件表示“零件為一等品”，事件表示“零件為二等品”，事件表示“零件被標(biāo)記為一等品”，事件表示“零件被標(biāo)記為二等品”，則，故，故選:B.6.已知，則的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】，，故，故選：D.7.已知橢圓的左、右焦點分別為，以為圓心的圓經(jīng)過點，且與軸正半軸交于點，若線段的中點在上，則的離心率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設(shè)，由題知圓的半徑為，且，得為等邊三角形，則，設(shè)線段的中點為，則，且，因為點在上，所以得，即，即的離心率為.故選：A.8.已知長方體外接球的表面積為，其中為線段的中點，過點的平面與直線垂直，點在平面與底面形成的交線段上，且，則四面體外接球的體積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】依題意得，解得，如圖，取線段的中點，連接，平面，平面，所以，因為，所以又平面，所以平面，因平面過點，所以平面即為平面，所以點在線段上，因為，所以為線段的中點，且邊上的高為，故為等腰直角三角形，且其外接圓半徑.設(shè)四面體外接球的半徑為，則，故所求外接球的體積為.故選:C.二?多選題，本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知實數(shù)滿足，則（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】由，得，則，對于A，，A正確；對于B，令，，則，B錯誤；對于C，，則，C正確；對于D，若，則，D錯誤.故選：AC10.震級是以地震儀測定的每次地震活動釋放的能量多少來確定的，我國目前使用的震級標(biāo)準(zhǔn)，是國際上通用的里氏分級表，共分9個等級，其中能量（單位：焦耳）與里氏震級的對應(yīng)關(guān)系為，則（）A.若某次地震的震級不超過2級，則產(chǎn)生的能量低于焦耳B.若某次地震的震級超過4級，則產(chǎn)生的能量高于焦耳C.5級地震的能量是4級地震的能量的100倍D.3級地震的能量是7級地震的能量的【答案】ABD【解析】記表示震級為級地震的能量，對于項，若，則，所以，故A項正確；對于B項，若，則，所以，故B項正確；對于C項，，則，故C項錯誤；對于C項，，則，故D項正確.故選：ABD.11.已知拋物線的焦點為，過點的直線與交于兩點，是的準(zhǔn)線與軸的交點，則下列說法正確的是（）A.若，則直線的斜率為B.C.（為坐標(biāo)原點）D.當(dāng)取最小值時，【答案】ABD【解析】依題意得，設(shè)直線：，聯(lián)立得，則，則，解得或，則，或，則直線的斜率，故A項正確.，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故B項正確.因為，所以，故C項錯誤.，則，由拋物線的定義可得，因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，此時，故D項正確.故選：ABD三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.展開式中含項的系數(shù)為__________.【答案】175【解析】依題意得含項的系數(shù)為.故答案為：175.13.已知數(shù)列解前項和為，若，則__________，__________.【答案】①.78②.【解析】當(dāng)時，，解得，當(dāng)時，，解得，則.當(dāng)時，由得，兩式相減整理得，即，因為，所以數(shù)列是首項為9，公比為9的等比數(shù)列，則，即.故答案為：78；14.已知正方體的表面積為6，三棱柱為正三棱柱，若，，且在正方體的表面上，則當(dāng)三棱柱的體積取得最大值時，__________.【答案】【解析】設(shè)，則，解得.連接，則，因為平面，所以，因為平面，所以平面，所以.因為，所以，所以，同理可得，因為平面，所以平面，連接，過點作的平行線與交于點，因為，所以，在中，，所以，易得為正三角形，所以，則三棱柱的體積，則，令，解得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以，故當(dāng)三棱柱的體積取得最大值時，.故答案為：.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.已知的內(nèi)角所對應(yīng)的邊分別為，若.（1）求；（2）求面積的最大值.解：（1），得到，由余弦定理知，，因為，所以．（2），得到，當(dāng)且僅當(dāng)取等，所以，（當(dāng)且僅當(dāng)取等．）故面積的最大值為．16.如圖，在直四棱柱中，，點的線段上.（1）是否存在點，使得平面？若存在求；若不存在，請說明理由；（2）若平面里平面夾角的正切值為，求的值.解：（1）依題意得平面平面，所以.取的中點，連接，因為，所以四邊形是平行四邊形，所以，所以.又平面，所以平面，因為平面，所以，故要使得平面，假設(shè)存在點，只需，此時，顯然則，易得，所以，所以存在點，且.（2）以為坐標(biāo)原點，的方向分別為軸，軸，軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因為，所以，，則，設(shè)，則.因為平面平面，所以，又由（1）知，，所以平面，所以平面的一個法向量為.設(shè)平面的法向量為，則取，則，則.設(shè)平面與平面的夾角為，因為，所以，所以，解得或（舍去），所以.17.將某新開業(yè)的創(chuàng)意甜品店的開業(yè)天數(shù)與利潤（單位：千元）之間的相關(guān)數(shù)據(jù)統(tǒng)計如表1所示.表1102030405050657095120（1）已知與呈線性相關(guān)關(guān)系，求關(guān)于的經(jīng)驗回歸方程；（2）為了慶祝甜品店開業(yè)兩個月，店家在開業(yè)剛好兩個月這天組織消費者參加消費返利抽獎游戲，游戲規(guī)則如下：在抽獎盒中放有5張卡片，其中2張寫有“幸運顧客”，3張寫有“不要泄氣”，一輪次機會中參加游戲的消費者有放回地抽取3次，每次抽取1張卡片，每一輪次抽獎之后根據(jù)表3計算獎金，消費金額（單位：元）在的消費者分別有輪次的抽獎機會.已知這天顧客的消費情況以及每一輪次抽獎后具體的獎勵情況如下，求這天返利總金額的數(shù)學(xué)期望.表2消費金額人數(shù)622253584表3“幸運顧客”卡片數(shù)32其他情況獎勵金額（單位：元）30200參考公式：對于一組數(shù)據(jù)，其經(jīng)驗回歸直線的斜率和截距