2025屆天津市十二區(qū)重點(diǎn)學(xué)校高三下學(xué)期聯(lián)考（一）數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試題PAGEPAGE1天津市十二區(qū)重點(diǎn)學(xué)校2025屆高三下學(xué)期聯(lián)考（一）數(shù)學(xué)試題一、選擇題（本題共9小題，每小題5分，共45分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)將正確答案的序號(hào)填涂到答題卡上．）1.已知集合，，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，故，故選：B2.已知，則“”是“”的（）A.充分非必要條件 B.必要非充分條件C.充分必要條件 D.既非充分又非必要條件【答案】C【解析】當(dāng)時(shí)，即，所以充分性成立；當(dāng)時(shí)，即可得到，所以必要性成立.故選：C3.若，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，，，所以.故選：A4.已知，是兩條不同的直線，，，是三個(gè)不同的平面，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，，則 B.若，，，則C.若，，則 D.若，，，則【答案】B【解析】A.若，，則或，故A錯(cuò)誤；B.若，，，則，故B正確；C.若，，則或與相交，故C錯(cuò)誤；D.若，，，則或異面，故D錯(cuò)誤.故選：B5.下列說法錯(cuò)誤的是（）A.若隨機(jī)變量，則當(dāng)較小時(shí)，對(duì)應(yīng)的正態(tài)曲線“瘦高”，隨機(jī)變量的分布比較集中B.在做回歸分析時(shí)，可以用決定系數(shù)刻畫模型的回歸效果，若越大，則說明模型擬合的效果越好C.若樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為3，則的平均數(shù)為10D.一組數(shù)據(jù)6，7，7，8，10，12，14，16，19，21的第30百分位數(shù)為7【答案】D【解析】對(duì)于A，由為標(biāo)準(zhǔn)差，該值越小，數(shù)據(jù)越集中，則曲線越高瘦，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)決定系數(shù)越大時(shí)，殘差平方和越小，即模型擬合的效果越好，故B正確；對(duì)于C，由，則，故C正確；對(duì)于D，由，由，則第百分位數(shù)為，故D錯(cuò)誤.故選：D.6.若將確定的兩個(gè)變量y與x之間的關(guān)系看成，則函數(shù)的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由得，顯然，所以，由，得，所以，排除AB，由，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，可排除D．故選：C．7.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，，雙曲線上一點(diǎn)滿足，且，則的離心率為（）A. B. C.2 D.【答案】D【解析】①當(dāng)時(shí)，由，則，由，則，所以，即，由，，則，化簡可得，由，則；②當(dāng)時(shí)，由，則，由，則，所以，即，由，，則，由，則方程不成立.故選：D.8.風(fēng)箏又稱為“紙鳶”，由中國古代勞動(dòng)人民發(fā)明于距今2000多年的東周春秋時(shí)期，是人類最早的風(fēng)箏起源．如圖，是某中學(xué)學(xué)生制作的一個(gè)風(fēng)箏模型的多面體，為邊的中點(diǎn)，四邊形為矩形，且，，，當(dāng)時(shí)，多面體的體積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】在矩形中，有，，因?yàn)椋?，平面，所以平面則平面，因?yàn)槠矫?，所以，，在中，由，，則，又因?yàn)榈闹悬c(diǎn)，則，易知，，易知，則，因，則，在中，，則矩形的面積，因，，，平面，所以平面，多面體的體積.故選：A.9.設(shè)符號(hào)函數(shù)，已知函數(shù)，則（）A.為的最小正周期B.圖象的對(duì)稱軸方程為C.在上單調(diào)遞增D.函數(shù)在上有4個(gè)零點(diǎn)【答案】D【解析】由題意，畫出函數(shù)的部分圖象，如圖所示：

根據(jù)圖象可知為最小正周期，故A錯(cuò)誤；由圖象知圖象的對(duì)稱軸方程為，故B錯(cuò)誤；在上先單調(diào)遞增，再單調(diào)遞減，故C錯(cuò)誤；函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，轉(zhuǎn)化為方程在上的解的個(gè)數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，由圖知，函數(shù)與有6個(gè)交點(diǎn)，所以，函數(shù)在上有4個(gè)零點(diǎn)，故D正確；故選：D二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分．請(qǐng)將正確的答案填寫到答題紙上．題中包含2個(gè)空的，答對(duì)1個(gè)空的得3分，全部答對(duì)的得5分．）10.是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，則________．【答案】【解析】設(shè)，則共軛復(fù)數(shù)，由，則，解得，所以.故答案為：.11.二項(xiàng)式的展開式中，項(xiàng)的系數(shù)是________．（用數(shù)字填寫答案）【答案】【解析】二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式為，令，得，所以項(xiàng)的系數(shù)是.故答案為：12.已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，P在C上，若以為直徑的圓與x軸相切于點(diǎn)，則________.【答案】2【解析】由題意得，設(shè)，的中點(diǎn)為，則.因?yàn)橐詾橹睆降膱A與軸相切于點(diǎn)，則，即，解得，則，所以故答案為：213.某大學(xué)開設(shè)了“九章算術(shù)”，“數(shù)學(xué)原理”，“算術(shù)研究”三門選修課程．甲、乙、丙、丁四位同學(xué)進(jìn)行選課，每人只能等可能地選擇一門課程，每門課程至少一個(gè)人選擇，甲和乙選擇的課程不同，則四人選課的不同方案共有________種；若定義事件為甲和乙選擇的課程不同，事件為丙和丁恰好有一人選擇的是“九章算術(shù)”，則________．【答案】①.30②.【解析】四個(gè)人參加三門選修課程共有種方案，其中甲和乙選擇的課程相同共有種方案，所以甲和乙選擇的課程不同共有種方案；事件共有種方案，以下考慮事件，即“甲和乙選擇的課程不同，丙和丁恰好有一人選擇的是九章算術(shù)”先從丙、丁兩個(gè)人中選一個(gè)人選擇“九章算術(shù)”，則有種方案，若四個(gè)人中只有一個(gè)人選擇“九章算術(shù)”，則甲、乙分別選擇另外兩門課程，有種方案，丙、丁中沒選擇“九章算術(shù)”的也從另外兩門中選擇一門，有種方案，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有種方案；若四個(gè)人中有兩人選擇“九章算術(shù)”，則除了包含丙、丁中的一個(gè)人外，還包含甲、乙中的一個(gè)人，有種方案，其余兩人分別選擇另外兩門課程，有種方案，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有種方案；根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理和分類加法計(jì)數(shù)原理，事件中共有種方案，根據(jù)條件概率公式，；故答案為：30；.14.平面四邊形中，，，，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)．（I）若，則________；（II）的取值范圍是________．【答案】①.②.【解析】（I）如圖，連接，因，，為線段的中點(diǎn)，則，，故四邊形為菱形，則，（II）如圖，以為原點(diǎn)，以所在直線為軸和軸，在中可知，，則，設(shè)，則，，因，則點(diǎn)的軌跡為以為直徑的圓，方程為圓，欲使其構(gòu)成平面四邊形，則其軌跡為半圓，因，則該式子的幾何意義為：點(diǎn)到半圓上的點(diǎn)的距離，因，則點(diǎn)在圓上，則距離的最短值為，最長為，但此時(shí)無法構(gòu)成四邊形，故.故答案為：；15.函數(shù)，若恰有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________．【答案】【解析】的圖象如圖，由圖知，當(dāng)時(shí)，在上有2個(gè)零點(diǎn)，則在有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，對(duì)稱軸，又，，則滿足題意；當(dāng)時(shí)，在上有1個(gè)零點(diǎn)，則在有2個(gè)零點(diǎn)，易知，所以只需即可，此時(shí)或；當(dāng)時(shí)，要使有三個(gè)零點(diǎn)，則，且在有2個(gè)零點(diǎn)，此時(shí)對(duì)稱，又，則，即，令，對(duì)稱軸，在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，所以，綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：三、解答題（本大題5小題，共75分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟）16.如圖，在三棱柱中，平面，，，，點(diǎn)，分別在棱和棱上，且，，為棱的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）求平面與平面夾角的余弦值．（1）證明：由題意，以為原點(diǎn)，以，，所在的直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，因?yàn)?，，，，為棱的中點(diǎn)，可得、、、、、、、、，則，設(shè)平面的法向量為，因?yàn)椋?，且，可得，取，則，，所以，則，故，因?yàn)槠矫?，所以平面．?）解：由（1）可得為平面的一個(gè)法向量，又，所以所以直線與平面所成角的正弦值為．（3）解：易知是平面的一個(gè)法向量，則所以平面與平面夾角的余弦值為.17.在中，角所對(duì)的邊分別為已知．（1）求角的大??；（2）若，，求的值；（3）若，當(dāng)?shù)闹荛L取最大值時(shí)，求的面積．解：（1）因?yàn)?，由正弦定理得，因?yàn)椋?，又因?yàn)椋?，所以，又因?yàn)?，，所以，?（2）因?yàn)樵谥?，，所以，又因?yàn)?，，由正弦定理，可?（3）在中，由余弦定理，得，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以周長的最大值為，此時(shí)面積.18.橢圓左焦點(diǎn)為，離心率為．（1）求橢圓的方程；（2）若橢圓的右頂點(diǎn)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，過點(diǎn)的直線與橢圓交第一象限于點(diǎn)，與線段交于點(diǎn)．若三角形的面積是三角形面積的5倍（為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線的方程．解：（1）由題意得：，所以所以橢圓方程為.（2）由題意可知，直線的斜率存在且為正，直線方程為，因?yàn)槿切蔚拿娣e是三角形面積的5倍∴∵∴又由題意可知、均在軸右側(cè)，∴【算法一】設(shè)直線方程為，由，解得，思路一：所以因?yàn)辄c(diǎn)點(diǎn)在橢圓上，故將點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程整理得：∴所以直線方程為，即．思路二：由得，顯然成立∵∴∴整理得：∴所以直線方程為，即．【算法二】設(shè)直線方程為，由，解得，思路一：．所以由得因?yàn)辄c(diǎn)點(diǎn)在橢圓上，故將點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程整理得：∴所以直線方程為，即．15分思路二：得，顯然成立∵∴∴整理得：∴所以直線方程為，即19.數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，．已知為等比數(shù)列，且，，．（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列中的項(xiàng)落在區(qū)間中的項(xiàng)數(shù)為．（i）求數(shù)列前項(xiàng)和；（ii）設(shè)數(shù)列滿足，若存在正整數(shù)滿足當(dāng)時(shí)，，且，求．解：（1）設(shè)數(shù)列的公差為，因?yàn)闉榈缺葦?shù)列，且，，，所以，所以，解得或(不合題意，舍去)，又因，所以，設(shè)數(shù)列的公比為，因?yàn)?，所以，所以，又因，所以，所以．?）（i），，數(shù)列中的項(xiàng)落在區(qū)間中的項(xiàng)數(shù)滿足，即，因?yàn)椋?，?shù)列中的項(xiàng)落在區(qū)間中的項(xiàng)數(shù)為，所以，所以，方法一：，，所以．方法二：，（ii）當(dāng)時(shí)，，則，所以又因?yàn)?，所以，解得，所以?dāng)時(shí)，所以，所以，所以，綜上．20.已知函數(shù)，．（1）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）設(shè)，，若存在，使得．證明：．（1）解：當(dāng)時(shí)，，∴又∴∴切線方程為；（2）解：方法一：設(shè)只需在時(shí)恒成立即可又，且所以要使當(dāng)時(shí)，，必須滿足，即．下面證明時(shí)滿足題意：①當(dāng)時(shí)，由，，令，由（1）知，在上單調(diào)遞增，所以，所以當(dāng)時(shí)，，即；②當(dāng)時(shí)，，令，，則，所以在上單調(diào)遞增，又，當(dāng)時(shí)，，所以存在，使得，當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，不恒成立．綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是．方法二：設(shè)，則，令，則，當(dāng)時(shí)，，，在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增，所以所以在上單調(diào)遞增，所以，所以符合題意；當(dāng)時(shí)，令得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；所以，即在上恒成立，所以，所以符合題意；當(dāng)時(shí)，在上恒成立，在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增，又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以存在，使得，當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是．方法三：參變分離得：令，，∵，∴∴在區(qū)間上單調(diào)遞減∴∴∴在區(qū)間上單調(diào)遞減∴∴∴在區(qū)間上單調(diào)遞減∴由洛必達(dá)法則可得：綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是．（3）證明：由函數(shù)，可得，設(shè)，由，可得，則，又由，可得，∴函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，∴，即，∴，由（2）知，當(dāng)時(shí)，，，∴，即，∴，代入可得：，則，∴，又因?yàn)闀r(shí)，，所以，所以.天津市十二區(qū)重點(diǎn)學(xué)校2025屆高三下學(xué)期聯(lián)考（一）數(shù)學(xué)試題一、選擇題（本題共9小題，每小題5分，共45分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)將正確答案的序號(hào)填涂到答題卡上．）1.已知集合，，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，故，故選：B2.已知，則“”是“”的（）A.充分非必要條件 B.必要非充分條件C.充分必要條件 D.既非充分又非必要條件【答案】C【解析】當(dāng)時(shí)，即，所以充分性成立；當(dāng)時(shí)，即可得到，所以必要性成立.故選：C3.若，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，，，所以.故選：A4.已知，是兩條不同的直線，，，是三個(gè)不同的平面，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，，則 B.若，，，則C.若，，則 D.若，，，則【答案】B【解析】A.若，，則或，故A錯(cuò)誤；B.若，，，則，故B正確；C.若，，則或與相交，故C錯(cuò)誤；D.若，，，則或異面，故D錯(cuò)誤.故選：B5.下列說法錯(cuò)誤的是（）A.若隨機(jī)變量，則當(dāng)較小時(shí)，對(duì)應(yīng)的正態(tài)曲線“瘦高”，隨機(jī)變量的分布比較集中B.在做回歸分析時(shí)，可以用決定系數(shù)刻畫模型的回歸效果，若越大，則說明模型擬合的效果越好C.若樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為3，則的平均數(shù)為10D.一組數(shù)據(jù)6，7，7，8，10，12，14，16，19，21的第30百分位數(shù)為7【答案】D【解析】對(duì)于A，由為標(biāo)準(zhǔn)差，該值越小，數(shù)據(jù)越集中，則曲線越高瘦，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)決定系數(shù)越大時(shí)，殘差平方和越小，即模型擬合的效果越好，故B正確；對(duì)于C，由，則，故C正確；對(duì)于D，由，由，則第百分位數(shù)為，故D錯(cuò)誤.故選：D.6.若將確定的兩個(gè)變量y與x之間的關(guān)系看成，則函數(shù)的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由得，顯然，所以，由，得，所以，排除AB，由，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，可排除D．故選：C．7.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，，雙曲線上一點(diǎn)滿足，且，則的離心率為（）A. B. C.2 D.【答案】D【解析】①當(dāng)時(shí)，由，則，由，則，所以，即，由，，則，化簡可得，由，則；②當(dāng)時(shí)，由，則，由，則，所以，即，由，，則，由，則方程不成立.故選：D.8.風(fēng)箏又稱為“紙鳶”，由中國古代勞動(dòng)人民發(fā)明于距今2000多年的東周春秋時(shí)期，是人類最早的風(fēng)箏起源．如圖，是某中學(xué)學(xué)生制作的一個(gè)風(fēng)箏模型的多面體，為邊的中點(diǎn)，四邊形為矩形，且，，，當(dāng)時(shí)，多面體的體積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】在矩形中，有，，因?yàn)椋?，平面，所以平面則平面，因?yàn)槠矫?，所以，，在中，由，，則，又因?yàn)榈闹悬c(diǎn)，則，易知，，易知，則，因，則，在中，，則矩形的面積，因，，，平面，所以平面，多面體的體積.故選：A.9.設(shè)符號(hào)函數(shù)，已知函數(shù)，則（）A.為的最小正周期B.圖象的對(duì)稱軸方程為C.在上單調(diào)遞增D.函數(shù)在上有4個(gè)零點(diǎn)【答案】D【解析】由題意，畫出函數(shù)的部分圖象，如圖所示：

根據(jù)圖象可知為最小正周期，故A錯(cuò)誤；由圖象知圖象的對(duì)稱軸方程為，故B錯(cuò)誤；在上先單調(diào)遞增，再單調(diào)遞減，故C錯(cuò)誤；函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，轉(zhuǎn)化為方程在上的解的個(gè)數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，由圖知，函數(shù)與有6個(gè)交點(diǎn)，所以，函數(shù)在上有4個(gè)零點(diǎn)，故D正確；故選：D二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分．請(qǐng)將正確的答案填寫到答題紙上．題中包含2個(gè)空的，答對(duì)1個(gè)空的得3分，全部答對(duì)的得5分．）10.是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，則________．【答案】【解析】設(shè)，則共軛復(fù)數(shù)，由，則，解得，所以.故答案為：.11.二項(xiàng)式的展開式中，項(xiàng)的系數(shù)是________．（用數(shù)字填寫答案）【答案】【解析】二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式為，令，得，所以項(xiàng)的系數(shù)是.故答案為：12.已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，P在C上，若以為直徑的圓與x軸相切于點(diǎn)，則________.【答案】2【解析】由題意得，設(shè)，的中點(diǎn)為，則.因?yàn)橐詾橹睆降膱A與軸相切于點(diǎn)，則，即，解得，則，所以故答案為：213.某大學(xué)開設(shè)了“九章算術(shù)”，“數(shù)學(xué)原理”，“算術(shù)研究”三門選修課程．甲、乙、丙、丁四位同學(xué)進(jìn)行選課，每人只能等可能地選擇一門課程，每門課程至少一個(gè)人選擇，甲和乙選擇的課程不同，則四人選課的不同方案共有________種；若定義事件為甲和乙選擇的課程不同，事件為丙和丁恰好有一人選擇的是“九章算術(shù)”，則________．【答案】①.30②.【解析】四個(gè)人參加三門選修課程共有種方案，其中甲和乙選擇的課程相同共有種方案，所以甲和乙選擇的課程不同共有種方案；事件共有種方案，以下考慮事件，即“甲和乙選擇的課程不同，丙和丁恰好有一人選擇的是九章算術(shù)”先從丙、丁兩個(gè)人中選一個(gè)人選擇“九章算術(shù)”，則有種方案，若四個(gè)人中只有一個(gè)人選擇“九章算術(shù)”，則甲、乙分別選擇另外兩門課程，有種方案，丙、丁中沒選擇“九章算術(shù)”的也從另外兩門中選擇一門，有種方案，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有種方案；若四個(gè)人中有兩人選擇“九章算術(shù)”，則除了包含丙、丁中的一個(gè)人外，還包含甲、乙中的一個(gè)人，有種方案，其余兩人分別選擇另外兩門課程，有種方案，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有種方案；根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理和分類加法計(jì)數(shù)原理，事件中共有種方案，根據(jù)條件概率公式，；故答案為：30；.14.平面四邊形中，，，，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)．（I）若，則________；（II）的取值范圍是________．【答案】①.②.【解析】（I）如圖，連接，因，，為線段的中點(diǎn)，則，，故四邊形為菱形，則，（II）如圖，以為原點(diǎn)，以所在直線為軸和軸，在中可知，，則，設(shè)，則，，因，則點(diǎn)的軌跡為以為直徑的圓，方程為圓，欲使其構(gòu)成平面四邊形，則其軌跡為半圓，因，則該式子的幾何意義為：點(diǎn)到半圓上的點(diǎn)的距離，因，則點(diǎn)在圓上，則距離的最短值為，最長為，但此時(shí)無法構(gòu)成四邊形，故.故答案為：；15.函數(shù)，若恰有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________．【答案】【解析】的圖象如圖，由圖知，當(dāng)時(shí)，在上有2個(gè)零點(diǎn)，則在有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，對(duì)稱軸，又，，則滿足題意；當(dāng)時(shí)，在上有1個(gè)零點(diǎn)，則在有2個(gè)零點(diǎn)，易知，所以只需即可，此時(shí)或；當(dāng)時(shí)，要使有三個(gè)零點(diǎn)，則，且在有2個(gè)零點(diǎn)，此時(shí)對(duì)稱，又，則，即，令，對(duì)稱軸，在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，所以，綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：三、解答題（本大題5小題，共75分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟）16.如圖，在三棱柱中，平面，，，，點(diǎn)，分別在棱和棱上，且，，為棱的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）求平面與平面夾角的余弦值．（1）證明：由題意，以為原點(diǎn)，以，，所在的直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，因?yàn)?，，，，為棱的中點(diǎn)，可得、、、、、、、、，則，設(shè)平面的法向量為，因?yàn)椋?，且，可得，取，則，，所以，則，故，因?yàn)槠矫?，所以平面．?）解：由（1）可得為平面的一個(gè)法向量，又，所以所以直線與平面所成角的正弦值為．（3）解：易知是平面的一個(gè)法向量，則所以平面與平面夾角的余弦值為.17.在中，角所對(duì)的邊分別為已知．（1）求角的大小；（2）若，，求的值；（3）若，當(dāng)?shù)闹荛L取最大值時(shí)，求的面積．解：（1）因?yàn)?，由正弦定理得，因?yàn)?，所以，又因?yàn)椋?，所以，又因?yàn)?，，所以，?（2）因?yàn)樵谥?，，所以，又因?yàn)?，，由正弦定理，可?（3）在中，由余弦定理，得，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以周長的最大值為，此時(shí)面積.18.橢圓左焦點(diǎn)為，離心率為．（1）求橢圓的方程；（2）若橢圓的右頂點(diǎn)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，過點(diǎn)的直線與橢圓交第一象限于點(diǎn)，與線段交于點(diǎn)．若三角形的面積是三角形面積的5倍（為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線的方程．解：（1）由題意得：，所以所以橢圓方程為.（2）由題意可知，直線的斜率存在且為正，直線方程為，因?yàn)槿切蔚拿娣e是三角形面積的5倍∴∵∴又由題意可知、均在軸右側(cè)，∴【算法一】設(shè)直線方程為，由，解得，思路一：所以因?yàn)辄c(diǎn)點(diǎn)在橢圓上，故將點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程整理得：∴所以直線方程為，即．思路二：由得，顯然成立∵∴∴整理得：∴所以直線方程為，即．【算法二】設(shè)直線方程為，由，解得，思路一：．所以由得因?yàn)辄c(diǎn)點(diǎn)在橢圓上，故將點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程整理得：∴所