湖北省云學名校聯盟2024−2025學年高二下學期4月期中聯考 數學試題（含解析）

湖北省云學名校聯盟2024?2025學年高二下學期4月期中聯考數學試題一、單選題（本大題共8小題）1．記等差數列的前項和為.若，，則（

）A． B． C． D．2．下列有關排列數?組合數的計算，正確的是（

）A． B．C． D．3．某學校為弘揚中華民族傳統(tǒng)文化，舉行了全校學生全員參加的“詩詞比賽”.滿分分，得分分及其以上為“優(yōu)秀”.比賽的結果是：高一年級優(yōu)秀率約是，高二年級優(yōu)秀率約是，高三年級優(yōu)秀率約是.其中高一高二高三年級人數比為，那么全?！皟?yōu)秀率”約是（

）A． B． C． D．4．若的展開式中的系數為，則（

）A． B． C． D．5．“靈秀湖北夢，大道武當山”，年“五一”長假來臨之際，甲?乙?丙?丁、戊五位同學決定一起游覽“祈福圣地”——武當山.到武當山的顧客，一般都會選擇金頂、太子坡、南巖宮這三個地方游覽，如果在5月1日上午8：00~9：00之間，他們每人只能去一個地方，金頂一定有人去，則不同游覽方案的種數為（

）A． B． C． D．6．已知拋物線的準線為，直線，動點在上運動，記點到直線與的距離分別為，則的最小值為（

）A． B． C． D．7．已知函數的定義域為，，其導函數滿足，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．8．定義：在數列的每相鄰兩項之間插入此兩項的積，形成新數列，這樣的操作叫作該數列的一次“美好成長”.將數列進行“美好成長”，第一次得到數列；第二次得到數列；，設第次“美好成長”后得到的數列為，記，則下列說法錯誤的是（

）A． B．C． D．數列的通項公式為二、多選題（本大題共3小題）9．近些年在全世界范圍內，氣溫升高是十分顯著的，世界氣象組織預測2025年到2029年間，有93%的概率平均氣溫會超過2020年，達到歷史上最高氣溫紀錄.某校環(huán)保興趣小組準備開展一次關于全球變暖的研討會，現有10名學生，其中6名男生4名女生，若從中選取4名學生參加研討會，則下列說法正確的是（

）A．選取的4名學生都是男生的不同選法共有15種B．選取的4名學生中恰有2名女生的不同選法共有360種C．選取的4名學生中至少有1名女生的不同選法共有195種D．選取的4名學生中至多有2名男生的不同選法共有155種10．設正項等比數列的公比為，前項和為，前項的積為，并且滿足，，，則下列結論正確的是（

）A． B．C．的最大值為 D．沒有最大值11．已知函數，對于不相等的實數設，，現有如下四個結論，其中正確的選項是（

）A．對于任意不相等的實數都有B．當時，函數恰有3個零點C．對于任意的實數，存在不相等的實數，使得D．對于任意不相等的正實數，都有三、填空題（本大題共3小題）12．函數f(x)＝x＋xlnx在(1，1)處的切線方程為.13．化簡.14．已知雙曲線的左右頂點分別為，點是雙曲線上第一象限內的動點，設，當時，；當時，則.四、解答題（本大題共5小題）15．已知函數.(1)當時，數列滿足，記數列前項和為，則當取得最小值時，求的值；(2)當時，數列滿足，，若數列是公差的等差數列，求的值.16．已知函數.(1)當時，求函數的極值；(2)若函數在上的最小值為，求實數的值.17．已知數列滿足，數列滿足.(1)求數列的前項和；(2)若對任意的恒成立，求實數的取值范圍.18．已知，兩點在橢圓上，直線交橢圓于兩點（均不與點重合），過作直線的垂線，垂足為.

(1)求橢圓的標準方程；(2)設直線，的斜率分別為，當時，①求證：直線恒過定點，并求出定點坐標；②求的最小值.19．已知函數.(1)若恒成立，求實數的值；(2)當時，方程有兩個不同的根，分別為.①求實數的取值范圍；②求證：.

參考答案1．【答案】A【詳解】由題知．故選A．2．【答案】D【詳解】對于A，∵，∴A不正確；對于B，，，故B不正確；對于C，由組合數性質可得，故C不正確；對于D，由組合數性質可知，故D正確．故選D．3．【答案】C【詳解】根據全概率公式可得:.故選C．4．【答案】B【詳解】因為展開式的通項公式為，令，得；令，得．所以的展開式中的系數為，解得．故選B．5．【答案】B【詳解】根據題意，甲、乙、丙、丁、戊五位同學決定在8:00~9:00去金頂、太子坡、南巖宮游玩，且每人只能去一個地方，則每人有3種選擇，則5人一共有種情況，若金頂沒人去，即五位同學選擇了太子坡、南巖宮，每人有2種選擇方法，則5人一共有種情況，故金頂一定要有人去有種情況．故選B．6．【答案】D【詳解】設拋物線的焦點為，由拋物線的定義可知．如圖，設于點，則，由圖可知，當三點共線，且在中間時，取得最小值．由拋物線，得，所以的最小值即點到直線的距離，為．故選D．

7．【答案】B【詳解】根據題意可令，所以在上單調遞增，則原不等式等價于，由，解之得．故選B．8．【答案】C【詳解】對A選項，根據題意可得：，A選項正確；對B選項，設每次插入項的個數構成數列，則，數列是以首項為1，公比為2的等比數列，數列的前項和即為，，B選項正確；對C選項，，C選項錯誤；對D選項，由B選項分析可得，又，，又，是以首項為，公比為3的等比數列，，D選項正確．故選C．9．【答案】AC【詳解】選取的4名學生都是男生的不同選法共有種，故A正確；恰有2名女生的不同選法共有種，故B錯誤；至少有1名女生的不同選法共有種，故C正確；選取的4名學生中至多有2名男生的不同選法共有種，故D錯誤.故選AC．10．【答案】ABD【詳解】因為，所以或，即或若，又，，又,，所以，符合題意，若，又，則，又，則，與矛盾，不符合題意，所以沒有最大值，所以A、D正確，因為前項均小于1，從項起均大于1，所以無最大值，故C錯誤；又由，所以B正確．故選ABD．11．【答案】BCD【詳解】對于A，因為在上是先減后增的函數，在對稱軸左邊的兩點連線斜率為負數，所以對于不相等的實數不恒成立，故A錯誤；對于B，當時，令，則，令，又為增函數，所以當時，，當時，，所以即在上單調遞減，在上單調遞增，又，所以存在；兩個零點，所以當時，，當時，，所以函數在和上單調遞增，在上單調遞減，又，所以當時，函數恰好有3個零點，故B正確；對于C，由，得，即，令，則，在上單調遞增，當時，，當時，，即必唯一有零點，即存在滿足使得當時，；當時，；所以先減后增，即存在不相等的實數使即，故C正確．對于D，又：，當且僅當時等號成立，所以對于任意不相等的正實數都有，故D正確．故選BCD．12．【答案】【詳解】，則，則函數在點處的切線方程為：.13．【答案】【詳解】.14．【答案】/【詳解】（1）當時，雙曲線方程為：由于點在雙曲線上，設點，，．．（2）在中，由正弦定理：，，，，由（1）可得：，.15．【答案】(1)(2)【詳解】（1）當時，，令．故：，當時，；當時，．故：當時，數列前項和取得最小值．（2）解法一：當時，，．因為數列是公差為等差數列，所以：不為常數，故：的值為．解法二：由解法一知：，，可得：，．因為數列是公差為等差數列解得：或．檢驗：當時，，故：滿足條件；當時，，，此時：，故：為常數數列，不滿足條件．綜上：的值為．16．【答案】(1)極大值，極小值(2)【詳解】（1）當時，，．令，同理：或所以：在單調遞增，在單調遞減，在單調遞增．當時，取得極大值；當時，取得極小值．（2）解法一：由題：，．①當時，，在單調遞增，．②當時，，在單調遞減，．③當時，在單調遞增，在單調遞減．此時：不合題意．④當時，，在單調遞增，．綜上：的值為．解法二：由題：，．①當時，，在單調遞增，．②當時，由于，在上的最小值小于，與題目矛盾，故不成立；綜上：的值為．解法三：由題：，．由題：的最小值為，則必有：．當時，，在單調遞增，．故：的值為．17．【答案】(1)；(2).【詳解】（1）依題意，，則，令，于是，兩式相減得：，則，所以.（2）由（1）得，整理得，令，顯然，，當時，，當時，，于是，因此，，則，所以的取值范圍是.18．【答案】(1)(2)①證明見解析，；②1【詳解】（1）由題意可得，所以橢圓的標準方程為：．（2）解法一：①由條件，可知直線的斜率存在，設直線，，，聯立方程組：，其中（▲），所以，，由條件，即，由于直線不過點，故，化簡可得，所以，代入（▲）式，，此時直線恒過定點．②因為，所以點在以為直徑的圓上，圓心為，半徑為，

所以，此時的坐標為，的斜率，滿足條件．故的最小值為．解法二：①設，，由條件，即（★），由點在橢圓上，則有，即①，同理可得②，①②可得：代入（★）式可得：，即，變形可得．所以直線恒過定點．②解法同一.19．【答案】(1)(2)①；②證明見解析【詳解】（1），．由于不是定義域區(qū)間的端點，且在定義域上連續(xù)，故：不僅是函數的最小值，同時也是