數(shù)學－第四章《三角形》全章知識點復習題-2024-2025學年北師大版數(shù)學七年級下冊

第四章《三角形》全章知識點復習題【題型1三角形的三邊關系的應用】1.一款可折疊晾衣架的示意圖如圖所示，支架OP=OQ=30cm（連接處的長度忽略計），則點P，QA．50cm B．65cm C．70cm2.若a，b，c是△ABC的三邊，試化簡：a-3.長為9、6、4、3的四根木條，選其中三根組成三角形，共有（）種選法．A．1種 B．2種 C．3種 D．4種4.如圖，用AB、BC、CD、AD四條鋼條固定成一個鐵框，相鄰兩鋼條的夾角均可調(diào)整，不計螺絲大小，重疊部分．若AB=5、BC=9、CD=7、ADA．14 B．16 C．13 D．11【題型2與等腰三角形的邊長的有關的問題】1.用12根等長的火柴棒拼成一個等腰三角形，火柴棒不允許剩余、重疊、折斷，則能擺出不同的等腰三角形的個數(shù)為個．2.等腰三角形周長為17，其中兩條邊長分別為x和2x+1，則這個等腰三角形的腰長為（A．4或7 B．4 C．6 D．73.周長為12，各邊長均為整數(shù)的等腰三角形的三邊長分別為．4.在等腰△ABC中，AB=AC，AC腰上的中線BD將三角形周長分為15和21兩部分，則這個三角形的底邊長為．【題型3三角形的高的有關的問題】1.如圖，△ABC中，AB=18,BC=16，CE⊥AB于E，CE=12，點D在2.如圖，在△ABC中，AB=5，BC=4，AD⊥CD，CE⊥AE3.如圖，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分別為D，E，AD與CE相交于點O，連接BO并延長交AC于點F.若AB=5，BC=4，AC=6?4.如圖，在△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm，點E是BC的中點，動點P從A點出發(fā)，先以每秒2cm的速度沿A→C運動，然后以1cm/s的速度沿【題型4利用中線解決三角形的面積問題】1.如圖，已知△ABC的面積為12，D、E、F分別是△ABC的邊AB、BC、CA的中點，AE、BF、CD交于點G，AG:A．3 B．4 C．6 D．82.如圖，AD是△ABC的中線，AE=13AD,F是3.如圖，已知A1，A2，A3?分別是AC，A1C，A2C?的中點，B1，B2，B3?分別是BC4.如圖，在△ABC中，D是AC的中點，E是AB上的一點，且AE=4BE，BD與CE相交于點F，若△CDF的面積為4，則【題型5利用三角形的三邊關系解決線段的和差比較問題】1.已知：如圖，點D是△ABC內(nèi)一點．求證：

(1)BD＋CD＜AB＋AC；(2)AD＋BD＋CD＜AB＋BC＋AC．2.如圖，已知點D是△ABC內(nèi)一點，連接BD并延長交AC于點E，求證：AB

3.如圖，設P為△ABC內(nèi)一點，且PC=BC

4.如圖，AC，BD是四邊形ABCD的對角線，且AC，BD相交于點O．求證：(1)AB+(2)AC+【題型6利用三角形的內(nèi)角和定理解決折疊中的角度計算】1.如圖，將△ABC紙片沿DE折疊，使點A落在點A'處，且A'B平分∠ABC，A'C平分∠2.如圖，在折紙活動中，小明制作了一張△ABC紙片，點D、E分別在邊AB、AC上，將△ABC沿著DE折疊壓平使A與A'重合，若∠A=35A．70° B．105° C．140°3.如圖，點M，N分別在AB，AC上，MN∥BC，將△ABC沿MN折疊后，使點A落在點A'處．若∠A'=30

4.如圖，把△ABC沿EF折疊，使點A落在點D(1)若DE∥AC，試判斷∠1(2)若∠B+∠【題型7直角三角形的性質(zhì)的應用】1.如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，點D為AC上一點，過點A作(1)當BD平分∠ABC，且∠ABC=60(2)當點D是AC中點，DB=3，且△BCD的面積為942.如圖，直線a∥b，CD⊥AB于點D，若∠1=130A．60° B．50° C．40°3.圖1的指甲剪利用杠桿原理操作，圖2是使用指甲剪的側面示意圖，∠CEO=90°，杠桿BC與上臂OC重合；使用時，B剛好至B'點，當A'B'∥OE時，恰好CB4.綜合與實踐課上，老師讓同學們以“三角形的角與三角形的特殊線段”為主題開展數(shù)學活動．(1)【初步探究】在△ABC中，∠B=42°,∠C=70°，作∠BAC的平分線AD交BC于點(2)【遷移探究】在△ABC中，∠B=42°,∠C=70°，作∠BAC的平分線AD交BC于點D．如圖2，在(3)【拓展應用】如圖③，在△ABC中，∠C>∠B,AD平分∠BAC，點F在DA的延長線上，【題型8三角形的穩(wěn)定性】1.如圖，一扇窗戶打開后，用窗鉤AB可將其固定，運用的知識是．2.下列圖形中具有穩(wěn)定性的是（

）A．正方形 B．等腰直角三角形 C．長方形 D．平行四邊形3.2024年10月30日4時27分，搭載神舟十九號載人飛船的長征二號F遙十九運載火箭在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心點火發(fā)射，約10分鐘后，神舟十九號載人飛船與火箭成功分離，進入預定軌道，發(fā)射圓滿成功，在火箭發(fā)射塔上有許多三角形的結構，這主要是利用了三角形的．4.要使五邊形木架（用5根木條釘成）不變形，至少要再釘根木條．【題型9利用全等三角形的性質(zhì)求角】1.如圖所示，銳角△ABC中，D，E分別是AB，AC邊上的點，△ADC≌△ADC'，△AEB≌△AEB'，且C'D//EB'//BC，BE

A．105° B．100° C．110° D．115°2.在兩個全等的三角形中，已知一個三角形的三個內(nèi)角為30°，α，βα>β，另一個三角形有一個角為3.如圖，在由6個相同的小正方形拼成的網(wǎng)格中，∠1+∠2=4.如圖所示，D，E分別是△ABC的邊AC、BC上的點，若△ADB≌△

A．15° B．20° C．25°【題型10利用全等三角形的性質(zhì)求兩線段的位置關系】1.如圖，CA⊥BE，且△ABC≌△ADE，則BC與DE的關系是．2.如圖，△ABC≌△EFD，則BC與DF的關系是（

）A．平行但不相等B．相等但不平行 C．不平行也不相等 D．平行且相等3.如圖，已知△ADE≌△CFE，點D是AB上一點，DF交AC（1）AD與CF的位置關系是；（2）若AB=7，CF=4，則BD的長為4.如圖所示，已知AD⊥BC于點D，

(1)若BC=10，AD=7，求(2)試判斷AB和CF的關系，并說明理由【題型11利用全等三角形的性質(zhì)求線段的長】1.邊長都為整數(shù)的△ABC和△DEF全等,AB與DE是對應邊,AB=2,BC=4,若△DEF的周長為奇數(shù),則DF的值為.2.如圖，已知△ABC≌△A'B'C'，點A．2 B．3 C．4 D．53.如圖，△ABC≌△DEB，點D在AB上，BC與DE交于點F

（1）若AD=5，則DE的長為（2）連接CD，若S△ACD=2，則S4.在學習完“探索三角形全等的條件”一節(jié)后，小麗總結出很多全等三角形的模型，她設計了以下問題給同桌解決：做一個“U”字形框架PABQ，其中AB＝20cm，AP，BQ足夠長，PA⊥AB于點A，QB⊥AB于點B，點M從B出發(fā)向A運動，點N從B出發(fā)向Q運動，速度之比為2：3，運動到某一瞬間兩點同時停止，在AP上取點C，使△ACM與△BMN全等，則AC的長度為cm．【題型12利用全等三角形的性質(zhì)解決圖形變換中的問題】1.如圖，將△ABC紙片沿DE折疊，使點A落在點A'處，且A'B平分∠ABC，A'C平分∠A．116° B．100° C．128°2.一個圖形經(jīng)過平移、翻折、旋轉前后的圖形全等．根據(jù)下列全等三角形寫出對應的邊和角．(1)△ABC≌△CDA，對應邊是(2)△AOB≌△DOC，對應邊是(3)△AOC≌△BOD，對應邊是(4)△ACE≌△BDF，對應邊是，3.如圖，△ABC中，∠ACB=90°，將△ABC沿AC方向平移AD的長度得到△DEF，且AD

4.如圖，△ABE和△ADC是△ABC分別沿著AB，AC邊翻折180°形成的．若∠1:A．60° B．70° C．80°【題型13添加條件判斷三角形全等】1.如圖，已知∠1=∠2，AC=ADA．AB=AE B．BC=ED C．2.如圖，已知△ABC的六個元素，則根據(jù)甲、乙、丙3個三角形中的條件能和△ABC全等的圖形是（A．甲和乙 B．甲和丙 C．只有乙 D．只有丙3.給出下列四組條件：①AB=DE，BC=EF，AC=DF；②AB=DE，∠B=∠E，BC=EF；③∠BA．1組 B．2組 C．3組 D．4組4.如圖，B是AD中點，∠C=∠E，請?zhí)砑右粋€條件，使得【題型14全等三角形的判定與性質(zhì)的綜合應用】1.（1）已知AB∥CD，AD∥BC，O為AC中點，過O點的直線分別與AD、BC相交于點M，N，如圖（2）若將過O點的直線旋轉至圖2、3的情況時，其它條件不變，那么圖1中的AM與CN的關系還成立嗎？請說明理由．2.如圖，AD是△ABC的中線，E，F(xiàn)分別是AD和AD延長線上的點，且CE

(1)△ECD與△(2)若AD=6，DF=2，△BDF的面積為33.如圖，在△ABC中，∠BAC的平分線交BC于點(1)尺規(guī)作圖：在AC上求作一點E，使∠ADE=∠ADB，交AC于點E（不要求寫作法，保留作圖痕跡），作圖依據(jù)是；（提示：SSS，SAS，(2)求證：△ABD(3)已知AB=9，△CDE的周長為15，求4.在復習課上，老師布置了一道思考題：如圖所示，點M，N分別在等邊△ABC的BC,CA邊上，且BM=CN，AM，BN(1)若將題中“BM=CN”與“(2)若將題中的點M，N分別移動到BC,CA的延長線上，是否仍能得到【題型15“倍長中線法”構造全等三角形】1.我們規(guī)定：有兩組邊相等，且它們所夾的角互補的兩個三角形叫兄弟三角形．如圖，OA=OB，OC=OD(1)求證：△OAC和△(2)取BD的中點P，連接OP，試說明AC=2①請在圖中通過作輔助線構造△BPE，并證明BE②求證：AC=22.在△ABC中，AB=3，AC=4，延長BC至D，使CD=BC，連接AD，則AD的長的取值范圍為（）A．1＜AD＜7 B．2＜AD＜14 C．2.5＜AD＜5.5 D．5＜AD＜113.如圖，△ABC中，D為BC的中點，E是AD上一點，連接BE并延長交AC于F．若BE=AC，AF=2，CF=84.（1）【教材呈現(xiàn)】以下是某數(shù)學教材某頁的部分內(nèi)容（請?zhí)顚憴M線中的依據(jù)）：例4、如圖，在△ABC中，D是邊BC的中點，過點C畫直線CE，使CE∥AB，交AD的延長線于點E

證明：∵CE∥∴∠ABD=∠∵D為BC邊中點，∴BD=在△ABD與△∵∠ABD∴△ABD≌△ECD（∴AD=ED（（2）【方法應用】如圖①，在△ABC中，AB=6，AC=4，則BC邊上的中線AD長度的取值范圍是（3）【猜想證明】如圖②，在四邊形ABCD中，AB∥CD，點E是BC的中點，若AE是∠BAD的平分線，試猜想線段AB、AD

【題型16“截長補短法”證明線段和差問題】1.如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分別是邊BC、CD上的點，且∠EAF=12∠BAD．求證：EF=BE+FD．2.如圖，已知在ΔABC中，CD平分∠ACB，∠A=2∠B,BC=3.【基本模型】（1）如圖1，ABCD是正方形，∠EAF=45°，當E在BC邊上，F(xiàn)在CD邊上時，請你探究BE、DF【模型運用】（2）如圖2，ABCD是正方形，∠EAF=45°，當E在BC的延長線上，F(xiàn)在CD的延長線上時，請你探究BE、DF4.在△ABC的高AD、BE交于點F，DF(1)如圖1，求證：∠DAC(2)如圖1，求∠ABC(3)如圖2，延長BA到點G，過點G作BE的垂線交BE的延長線于點H，當GH=BE時，探究線段CE、CG、【題型17應用全等三角形的性質(zhì)解決實際問題】1.小麗與爸媽在公園里蕩秋千．如圖，小麗坐在秋千的起始位置A處，OA與地面垂直，兩腳在地面上用力一蹬，媽媽在距地面0.9m高的B處接住她后用力一推，爸爸在C處接住她．若小麗媽媽和爸爸到OA的水平距離BD、CE分別為1.3m和1.5m，∠BOC=90°，2.如圖1是小寧制作的燕子風箏，燕子風箏的骨架圖如圖2所示，AB=AE，AC=AD，∠BAD3.如圖1，課間，小明與小亮在操場上突然爭論起來，他們都說自己比對方長得高，這時數(shù)學老師走過來，笑著對他們說：“你們不要爭論，其實你們一樣高，瞧瞧地上，你倆的影子一樣長!”因為太陽光線是平行的，于是，小聰根據(jù)數(shù)學老師的解釋，畫出如圖2所示的圖形，線段AB表示小明的身高，線段BC表示小明的影子，線段DE表示小亮的身高，線段EF表示小亮的影子，BC=EF，太陽光線

4.如圖所示的A、B是兩根呈南北方向排列的電線桿，A、B之間有一條小河，小剛想估測這兩根電線桿之間的距離，于是小剛從A點開始向正西方向走了20步到達一棵大樹C處，接著又向前走了20步到達D處，然后他左轉90°直行，當他看到電線桿B、大樹C和他自己現(xiàn)在所處的位置E恰在同一條直線上時，他從D位置走到E處恰好走了100步，利用上述數(shù)據(jù)，小剛測出了A、B(1)請你根據(jù)上述的測量方法在原圖上畫出示意圖；(2)如果小剛一步大約60厘米，請你求A、B兩根電線桿之間的距離并簡述理由．參考答案【題型1三角形的三邊關系的應用】1.A【分析】本題主要考查了三角形的三邊關系，掌握三角形任意一邊小于其它兩邊之和是解題的關鍵．先根據(jù)三角形的三邊關系確定線段PQ的取值范圍，進而完成解答．【詳解】解：∵OP=∴30-30<PQ∴A選項符合題意．故選：A．2.2【分析】本題考查三角形三邊關系定理，絕對值的代數(shù)意義，不等式的性質(zhì)．根據(jù)三角形三邊關系得到a<b+【詳解】解：∵a，b，c是△ABC∴a<b+∴a-b-∴a===2b故答案為：2b3.B【分析】根據(jù)任意兩邊之和大于第三邊判斷能否構成三角形．【詳解】選其中3根組成一個三角形，不同的選法有9、6、4；9、6、3；9、4、3；6、4、3；能夠組成三角形的只有：9、6、4；6、4、3；共2種．故選：B．4.C【分析】本題實際考查的是三角形的三邊關系定理，能夠正確的判斷出調(diào)整角度后三角形鐵框的組合方法是解答的關鍵．若兩個頂點的距離最大，則此時這個鐵框的形狀變化為三角形，可根據(jù)三條鋼條的長來判斷有幾種三角形的組合，然后分別找出這些三角形的最長邊即可．【詳解】解：已知AB=5、BC=9、CD=7選AB+BC、CD、AD作為三角形，則三邊長為14、7、6，選AB+AD、BC、CD作為三角形，則三邊長為11、9、7，9-選AB、BC+CD、AD作為三角形，則三邊長為5、16、6，選AB、BC、CD+AD作為三角形，則三邊長為5、9、13，9-故選：C．【題型2與等腰三角形的邊長的有關的問題】1.2【分析】本題根據(jù)三角形的三邊關系定理，得到不等式組，從而求出三邊滿足的條件，再根據(jù)三邊長是整數(shù)，進而求解．【詳解】設擺出的三角形中相等的兩邊是x根，則第三邊是（12-根據(jù)三角形的三邊關系定理得到：x+則x>3，x又因為x是整數(shù)，∴x可以取4或5，因而三邊的值可能是：4，4，4或5，5，2；共二種情況，則能擺出不同的等腰三角形的個數(shù)為2．故答案為：2．2.D【分析】本題考查了三角形的三條邊的關系和一元一次方程的應用的問題．根據(jù)三角形的兩邊之和大于第三邊，可得判斷出底邊是x，腰長是2x【詳解】解：若x是腰，則底邊長是2x+1，應該滿足兩腰之和大于底，但是所以只能x是底邊，則腰長是2x由題意得x+2解得x=3∴2故答案為：D．3.2、5、5或4、4、4.【分析】已知等腰三角形的周長，求三邊，則需要列出所有的組合形式，然后根據(jù)三角形的構造條件判斷哪些符合．【詳解】等腰三角形的三邊均為整數(shù)且它的周長為12cm，那三邊的組合方式有以下幾種：①1，1，10；②2，2，8；③3，3，6；④4，4，4；⑤5，5，2；又因為三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，則④⑤符合．它的三邊長為或4，4，4，或2，5，5．故答案為2，5，5或4，4，4．4.16或8【分析】本題由題意可知有兩種情況，AB+AD=15或AB+AD=21．從而根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及三角形三邊關系可求出底邊為8或16．【詳解】解：∵BD是等腰△ABC的中線，可設AD=CD=x，則AB=AC=2x又知BD將三角形周長分為15和21兩部分∴可知分為兩種情況①AB+AD=15，即3x=15，解得x=5，此時BC=21﹣x=21﹣5=16②AB+AD=21，即3x=21，解得x=7；此時等腰△ABC的三邊分別為14，14，8經(jīng)驗證，這兩種情況都是成立的∴這個三角形的底邊長為8或16故答案為：16或8【題型3三角形的高的有關的問題】1.27【分析】本題考查了與三角形高有關的計算，垂線段最短，根據(jù)題意，當AD⊥BC時，AD有最小值，利用【詳解】解：根據(jù)題意得：當AD⊥BC時，∵△ABC中，AB=18,BC=16，CE⊥∴12∴1∴AD故答案為：2722.16【分析】本題考查了三角形的面積，直接根據(jù)等面積法求解即可．【詳解】解：∵AD⊥∴AD、CE都是∴S△∴CE=故答案為：163.12:15:10【分析】本題主要考查三角形的高，由題意得：BF⊥AC，再根據(jù)三角形的面積公式，可得【詳解】解：∵在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分別為點D和點E，AD∴BF∵AB=5，BC=4∴S△∴S△∴CE：AD：BF=故答案是：12:15:10．4.解：如圖1，當點P在AC上，∵△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，∴CE=4，∵△APE的面積等于10∴S∴AP即AP=2∴t如圖2，當點P在BC上，∵E是BC∴BE∵S∴EP當點Ｐ在點Ｅ的左邊時，t=3+4當點Ｐ在點Ｅ的右邊時，t=3+4+綜上所述，當t=52或113或313故答案為52或113或【題型4利用中線解決三角形的面積問題】1.B【分析】此題考查三角形的面積，涉及中線平分三角形的面積，得S△ABE=12S△【詳解】解：∵E是BC的中點，∴S△又∵AG:∴S△又∵點D是AB的中點，∴S△同理S△∴圖中陰影部分的面積為S△故選B．2.30【分析】此題考查三角形中線的性質(zhì)和三角形面積，先求出S△BEC=2S△BEF=20，再求出S△BDE【詳解】解：∵F是EC的中點．S△∴S△∵AD是△ABC∴D是BC的中點，∴S∵AE∴AE∴S△∴S△∵AD是△ABC∴S故答案為：303.1【分析】本題考查三角形的中線性質(zhì)、數(shù)字類規(guī)律探究，先根據(jù)三角形的中線性質(zhì)和三角形的面積公式求得前幾個三角形的面積，然后找到變化規(guī)律，進而可求解．【詳解】解：由題意，S△S△S△……，依次類推，S△∴S△∴△A2024B故答案為：124.12【分析】本題考查了根據(jù)三角形中線求面積，根據(jù)三角形面積等高模型得到S△ACF:S△AEF=4:1是解題的關鍵．連接AF，根據(jù)中點可得S△ADF=S△CDF【詳解】解：連接AF，如圖所示：∵D是AC的中點，S∴S△ADF又∵AE∴S設S△BEF=∵S∴S∴S∴CF∴S∴S解得：x=∴S故答案為：12．【題型5利用三角形的三邊關系解決線段的和差比較問題】1.（1）證明：延長BD交AC于E，

在△ABE中，有AB+AE＞BE，∴AB＋AC=AB+AE+CE＞BE+CE，在△EDC中，有DE+CE＞CD，∴BE+CE=BD+DE+CE＞BD+CD，∴AB＋AC＞BE+CE＞BD+CD，∴BD＋CD＜AB＋AC；（2）解：由（1）同理可得：BD＋CD＜AB＋AC①，AD＋CD＜AB＋BC②，BD＋AD＜BC＋AC③，①+②+③得：2（AD+BD+CD）<2（AB+BC+AC），∴AD+BD+CD<AB+BC+AC．2.證明：∵在△ABE中，可得AB+AE∴①+②可得：∵在△DCE中，可得DEBE=∴BE+∴AB+3.證明：延長CP交AB于點D，如圖所示：

∵BC+BD>∴BC+∴BC+即BC+∵PC=∴AB>4.（1）證明：∵在△ABO和△COD中，AO+∴AO+CO+（2）由（1）得，AB+同理可得，AD+∴AB+即AC+【題型6利用三角形的內(nèi)角和定理解決折疊中的角度計算】1.112【分析】本題考查三角形的內(nèi)角和定理、角平分線的定義、三角形的外角的性質(zhì)等知識，靈活運用所學知識，學會添加常用輔助線是解答本題的關鍵，屬于中考?？碱}型．連接AA'，根據(jù)折疊的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)求出【詳解】解：如圖，連接AA∵沿DE折疊，∴∠DAA'∵∠1=∠DA∴∠1+∴∠BAC∴∠ABC∵A'B平分∠ABC，A∴∠A'BC∴∠A∴∠B故答案為：112°2.A【分析】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，折疊的性質(zhì)，先由三角形內(nèi)角和定理得到∠ADE+∠AED=180【詳解】解：∵∠A∴∠ADE由折疊的性質(zhì)可得∠A∴∠A∵∠A∴∠1+故選：A．3.120【分析】本題考查三角形內(nèi)角和定理，平行線的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)，由折疊性質(zhì)可得∠A=∠A'=28°，∠【詳解】解：根據(jù)折疊的性質(zhì)可得∠A∵∠A∴∠C∵MN∴∠ANM∴∠CNM∵∠A∴∠A∴∠A故答案為：120．4.（1）解：∠1=∵∠D是由∠∴∠D∵DE∥∴∠1=∴∠1=（2）解：∵∠A+∠∴∠A∵DE∥∴∠1=∴∠1+【題型7直角三角形的性質(zhì)的應用】1.（1）解：∵BD平分∠ABC，∠∴∠ABE∵AE⊥∴∠AEB∴∠BAE（2）解：∵點D是AC中點，∴AD=∵S△ADB=∴S△∵S△∴32∴AE=2.C【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，垂直的定義，直角三角形的兩銳角互余，先根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠ABC+∠1=180°，則有，∠ABC=50【詳解】解：∵a∥∴∠ABC∵∠1=130∴∠ABC∵CD⊥∴∠BDC∴∠ABC∴∠2=40故選：C．3.12【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，直角三角形兩銳角互余等知識．延長CB′交OE于點H，先根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠OHC=∠CB'A'=129【詳解】解：延長CB'交OE于點∵A'∴∠OHC∴∠CHE∵∠CEO∴∠ECH∵CB''平分∴∠ECO∴∠COE故答案為：124.（1）解：在△ABC中，∠∴∠BAC∵AD平分∠∴∠CAD∵AE∴∠AEC∵∠C∴∠CAE∴∠DAE（2）解：在△ABC中，∠∴∠BAC∵AD平分∠BAC∴∠CAD在△ADC中，∠∴∠ADC∵FE∴∠FED∴∠DFE（3）解：在△ABC中，∠∵AD平分∠∴∠CAD在△ADC中=180=90∵FE∴∠FED=90∴∠DFE【題型8三角形的穩(wěn)定性】1.三角形的穩(wěn)定性【分析】本題考查了三角形的穩(wěn)定性，充分理解三角形的穩(wěn)定性是解題關鍵．根據(jù)三角形的穩(wěn)定性作答即可．【詳解】解：一扇窗戶打開后，用窗鉤AB可將其固定，運用了三角形的穩(wěn)定性．故答案為：三角形的穩(wěn)定性．2.B【分析】本題主要考查了三角形的穩(wěn)定性、四邊形的不穩(wěn)定性，熟記三角形具有穩(wěn)定性是解題的關鍵．根據(jù)三角形具有穩(wěn)定性判斷即可．【詳解】解：A、正方形，不具有穩(wěn)定性，不符合題意；B、等腰直角三角形，具有穩(wěn)定性，符合題意；C、長方形，不具有穩(wěn)定性，不符合題意；D、平行四邊形，不具有穩(wěn)定性，不符合題意；故選：B．3.穩(wěn)定性【分析】本題考查三角形的穩(wěn)定性，根據(jù)三角形的穩(wěn)定性進行作答即可．【詳解】解：在火箭發(fā)射塔上有許多三角形的結構，這主要是利用了三角形的穩(wěn)定性；故答案為：穩(wěn)定性．4.2．【分析】三角形具有穩(wěn)定性，其它多邊形不具有穩(wěn)定性，把多邊形分割成三角形則多邊形的形狀就不會改變．【詳解】如圖，再釘上兩根木條，就可以使五邊形分成三個三角形．故至少要再釘兩根木條，故答案為：2．【題型9利用全等三角形的性質(zhì)求角】1.B【分析】延長C′D交AB′于H．利用全等三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)證明∠BFC=∠C′+∠AHC′+∠CAD，再求出∠C′+∠AHC′即可解決問題．【詳解】解：延長C′D交AB′于H．

∵△AEB≌△AEB′，∴∠ABE=∠B′，∠EAB=∠EAB′=40°，∵C′H∥EB′，∴∠AHC′=∠B′，∵△ADC≌△ADC′，∴∠C′=∠ACD，∠DAC=∠DAC′=40°，∵∠BFC=∠DBF+∠BDF，∠BDF=∠CAD+∠ACD，∴∠BFC=∠AHC′+∠C′+∠CAD，∵∠DAC=∠DAC′=∠CAB′=40°，∴∠C′AH=120°，∴∠C′+∠AHC′=60°，∴∠BFC=60°+40°=100°，故選：B．2.10【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識點，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)是解題的關鍵．根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理即可得到結論．【詳解】解：∵在兩個全等的三角形中，已知一個三角形的三個內(nèi)角為30°，α，β∴α=70°當α=70∵α>∴這種情況不存在，當β=70∴α-故答案為：10．故選B．3.45【分析】連接AC，利用全等三角形的性質(zhì)解答即可．【詳解】解：如圖所示：由圖可知ΔACE與ΔABD與ΔACF全等，∴AB=AC∵∠CAE∴∠1+∴ΔABC∴∠2+∴∠1+故答案為：45．4.D【分析】此題考查了全等三角形對應角相等的性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)，解題的關鍵是求出∠A根據(jù)全等三角形對應角相等，得到∠A=∠BED=【詳解】解：∵△ADB∴∠A∵∠BED∴∠A在△ABC中，∠∴∠C故選D．【題型10利用全等三角形的性質(zhì)求兩線段的位置關系】1.相等且垂直【分析】根據(jù)全等三角形對應邊相等可得BC=DE，全等三角形對應角相等可得∠C=∠E，根據(jù)垂直的定義求出∠BAC=90°，然后求出∠B+∠E=90°，從而得到∠BFE=90°，即BC⊥DE．【詳解】延長ED交BC于F,∵△ABC≌△ADE，∴BC=DE，∠C=∠E，∵CA⊥BE，∴∠BAC=90°，∵∠B+∠C=180°-∠BAC=180°-90°=90°，∴∠B+∠E=90°，∴∠BFE=180°-（∠B+∠E）=180°-90°=90°，∴BC⊥DE，故BC與DE的關系是相等且垂直．故答案為相等且垂直2.D【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得BC＝FD，∠BCA＝∠FDE，再由平行線的判定可推出BC∥FD，即可得出結論．【詳解】解：∵△ABC≌△EFD，∴BC＝FD，∠BCA＝∠FDE，∴BC∥FD，即BC與DF的關系是：平行且相等；故選：D．3.AD∥CF【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，平行線的判定，掌握全等三角形的性質(zhì)是解題的關鍵．（1）由△ADE≌△CFE，得到∠（2）由△ADE≌△CFE【詳解】解：（1）∵△ADE∴∠DAE∴AD∥故答案為：AD∥（2）∵△ADE∴AD=∵AB=7，CF∴BD=故答案為：3．4.（1）解：∵△ABD∴BD=DF，∵BC=10，AD∴CD=7∴BD=（2）∵△∴AB=CF，∵∠AFE∴∠∴AB∴AB=CF，且【題型11利用全等三角形的性質(zhì)求線段的長】1.3或4或5【分析】根據(jù)三角形的三邊關系求得AC的范圍，然后根據(jù)全等三角形的對應邊相等即可求解.【詳解】AC的取值范圍是2＜AC＜6，則AC的奇數(shù)值是3或5，△ABC和△DEF全等，AB與DE是對應邊,AB=2,BC=4,當DF=AC時，DF=3或5當DF=BC時，DF=4故答案為3或4或52.B【分析】根據(jù)△ABC≌△A'B本題考查了全等三角形的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)是解題的關鍵．【詳解】解：∵△ABC∴BC=∴BC-∴BB故選B．3.104【分析】（1）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)分析求解；（2）結合三角形中線的性質(zhì)求得△ABC【詳解】解：（1）∵△ABC∴AC=BD∵AD=∴AD=AC=∴DE=（2）又（1）可得AD=∴S△∵△ABC∴S

故答案為：10；4．4.8或15【分析】設BM=2t，則BN=3t，使△ACM與△BMN全等，由∠A=∠B=90°可知，分兩種情況討論：當BM=AC，BN=AM時，列方程解得t的值即可得到AC的長；當BM=【詳解】解：設BM=2tcm，則BN∵∠A=∠B=90當BM=AC，BN=AM時，∵∴解得t∴AC=當BM=AM，BN=AC時，∵∴解得t∴AC故答案為：8或15．【題型12利用全等三角形的性質(zhì)解決圖形變換中的問題】1.C【分析】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，角平分線定義，三角形外角的性質(zhì)，折疊變換等知識，關鍵在于能夠正確添加輔助線，靈活運用所學知識．根據(jù)折疊可知，∠ADE=∠EDA'，∠AED=∠【詳解】解：∵△ABC紙片沿DE∴△AED∴∠ADE=∠∴∠=180=2∠∵A'B平分∠ABC，A'∴∠A'BC∴∠A∴∠ABC∴∠A∴∠1+故選：C2.(1)AB=CD(2)AO=DO(3)AO=BO(4)AC=BD【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)是解題的關鍵．根據(jù)全是三角形的性質(zhì)即可得到結論．【詳解】（1）解：△ABC≌△對應角是∠B（2）△AOB≌△對應角是∠A（3）△AOC≌△對應角是∠A（4）△ACE≌△對應角是∠A3.15【分析】本題主要考查了平移的性質(zhì)，把一個圖形整體沿某一直線方向移動，會得到一個新的圖形，新圖形與原圖形的形狀和大小完全相同；新圖形中的每一點，都是由原圖形中的某一點移動后得到的，這兩個點是對應點．連接各組對應點的線段平行（或共線）且相等．先根據(jù)平移的性質(zhì)得到△DEF≌△ABC即BC=EF【詳解】解：∵將△ABC沿AC方向平移AD的長度得到△∴△DEF∴BC=EF=6∵BG=2∴CG=∴S陰影故答案為：15．4.C【分析】首先根據(jù)三角形內(nèi)角之比得出三個內(nèi)角的度數(shù)，然后根據(jù)翻折的兩個三角形是全等三角形，由對應角相等得出∠EBC，∠【詳解】解：根據(jù)題意設∠1=28x，則∠2=5則28x解得x=5則∠1=140°，∠2=25由折疊的性質(zhì)可知：△ABE∴∠2=∠EBA∴∠EBC=50°∴∠EFC故選：C．【題型13添加條件判斷三角形全等】1.B【分析】本題考查了全等三角形的判定，正確理解全等三角形的判定方法是解題的關鍵．根據(jù)全等三角形的判定方法，即可判斷答案．【詳解】∵∠1=∴∠CABA、添加條件AB=AE，根據(jù)“邊角邊”即可判斷B、添加條件BC=ED，無法判斷C、添加條件∠C=∠D、添加條件∠B=∠故選B．2.B【分析】本題主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解題的關鍵．分別利用全等三角形的判定方法逐個判斷即可．【詳解】解：因為49°所對的邊是b不是a，故圖乙中的三角形和△如圖甲、丙根據(jù)全等三角形的判定定理SAS和AAS可以證得它們?nèi)?、丙中的三角形和△ABC故選：B．3.C【分析】本題考查三角形全等的判定方法，根據(jù)全等三角形的判定方法結合選項進行判定即可．【詳解】解：①AB=DE，BC=EF，AC=②AB=DE，∠B=∠E，③∠B=∠E，AC=DF，④AB=DE，AC=DF，故選：C．4.∠A【分析】本題考查了全等三角形的判定．根據(jù)題意可知已有一組對應角和一組對應邊相等，再確定一組對應角相等即可判定△ABC【詳解】解：∵B是AD中點，∴AB=∵∠C=∴當∠A=∠D時，依據(jù)故答案為：∠A【題型14全等三角形的判定與性質(zhì)的綜合應用】1.（1）AM=CN理由如下：∵AD∥∴∠1=又O是AC中點，∴OA=在△AOM和△∠1=∴△AOM∴AM=∴AM=CN，（2）成立，圖2中：∵AD∥∴∠1=又O是AC中點，∴OA=在△AOM和△∠1=∴△AOM∴AM=∴AM=CN，圖3中：∵AD∥∴∠1=又O是AC中點，∴OA=在△AOM和△∠1=∴△AOM∴AM=∴AM=CN，2.（1）解：△ECD理由如下：∵AD是△ABC的中線，∴BD∵CE∥BF，∴在△ECD和△∠ECD∴△ECD（2）解：過點C作CG⊥AF交AF于點

∵△ECD≌△FBD，△∴DE=DF=2，△∴CG=則△AEC的面積為13.（1）解：如圖，點E為所求作，作圖依據(jù)是SSS；（2）證明：∵AD平分∠∴∠DAB在△ABD和△∠DAB∴△ABD（3）解：由（2）可知△ABD∴BD=DE∵△CDE的周長為15∴CD∴CD∴△ABC的周長=4.（1）∵∠∴∠∵∠∴∠在△ABM和△{∴△ABM∴BM故結論仍為真命題．（2）∵BM=CN∴CM=AN∵AB=AC，∠ACM在△BAN和△{∴△BAN∴∠∴∠故仍能得到∠BQM【題型15“倍長中線法”構造全等三角形】1.（1）證明：∵∠AOB∴∠AOC又∵AO=OB∴△OAC和△（2）證明：①延長OP至E，使PE=∵P為BD的中點，∴BP在△BPE和△PE=∴△BPE∴BE②∵△BPE∴∠E∴BE∥∴∠EBO又∵∠BOD∴∠EBO∵BE=OD∴BE在△EBO和△EB=∴△EBO∴OE又∵OE∴AC2.D【分析】利用倍長中線法構造全等三角形后，再利用三角形的三邊關系確定范圍即可．【詳解】如圖，延長AC到E使CE=AC，連接ED.∵BC=CD，AC=CE，∠ACB=∠ECD，∴△ACB≌△ECD，∴DE=AB=3，AC=CE=4，∴AE=2AC=8，在△AED中，根據(jù)在三角形中任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊，由AE+DE=11，AE?DE=5.∴5<AD<11.故選：D.3.12【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，延長AD到G使DG=AD，