2023-2025北京高二（上）期末數(shù)學(xué)匯編：導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用

第1頁/共1頁2023-2025北京高二（上）期末數(shù)學(xué)匯編導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用一、單選題1．（2025北京密云高二上期末）函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，下列選項正確的是（

）A．在區(qū)間上單調(diào)遞減B．是的極小值點C．是的極大值點D．曲線在處切線的斜率小于零2．（2024北京海淀高二上期末）已知函數(shù)若不等式對任意實數(shù)x恒成立，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．（2023北京朝陽高二上期末）已知函數(shù)有兩個極值點，則（

）A．或 B．是的極小值點 C． D．4．（2023北京人大附中高二上期末）設(shè)，則（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則5．（2023北京十一學(xué)校高二上期末）已知函數(shù)，，若成立，則n－m的最小值為（

）A． B．C． D．6．（2023北京十一學(xué)校高二上期末）已知函數(shù)，則（

）A．是偶函數(shù)B．曲線在點處切線的斜率為C．在上單調(diào)遞增D．有一個零點7．（2023北京十一學(xué)校高二上期末）已知函數(shù)，則“有極值”是（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件8．（2023北京十一學(xué)校高二上期末）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．曲線在點處的切線斜率小于零B．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增C．函數(shù)在處取得極大值D．函數(shù)在區(qū)間內(nèi)至多有兩個零點二、填空題9．（2023北京十一學(xué)校高二上期末）已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，且當(dāng)時，，則不等式的解集為．10．（2023北京十一學(xué)校高二上期末）已知函數(shù)的值域為R，則實數(shù)a的取值范圍是．三、解答題11．（2025北京密云高二上期末）已知函數(shù)，.(1)判斷函數(shù)的單調(diào)性；(2)證明：．12．（2025北京密云高二上期末）已知函數(shù).(1)求曲線在處的切線方程；(2)求的單調(diào)區(qū)間；(3)求的極值．13．（2025北京朝陽高二上期末）已知函數(shù).(1)求曲線在點處的切線方程；(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.14．（2025北京五中高二上期末）已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求的零點個數(shù)；(2)設(shè)，函數(shù).（i）判斷的單調(diào)性；（ii）若，求的最小值.15．（2024北京海淀高二上期末）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，求證：在上是增函數(shù)；(2)若在區(qū)間上存在最小值，求的取值范圍；(3)若僅在兩點處的切線的斜率為1，請直接寫出的取值范圍．（結(jié)論不要求證明）16．（2024北京朝陽高二上期末）已知函數(shù).(1)求曲線在點處的切線方程；(2)求的單調(diào)區(qū)間.17．（2023北京十一學(xué)校高二上期末）已知函數(shù)．(1)若a＜1且僅存在兩個的整數(shù)，使得，求的取值范圍；(2)討論零點的個數(shù)；(3)證明，，有．18．（2023北京十一學(xué)校高二上期末）已知函數(shù)，．(1)若函數(shù)在x＝1處取得極值，求a的值．(2)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．19．（2023北京朝陽高二上期末）設(shè)函數(shù)．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)時，求的最大值與最小值．20．（2023北京清華附中高二上期末）已知函數(shù)(1)求曲線在點處的切線方程；(2)求曲線與直線的公共點個數(shù)，并說明理由；(3)若對于任意，不等式恒成立，直接寫出實數(shù)的取值范圍．

參考答案1．C【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義與極值極值點的定義分別判斷各選項.【詳解】對于A，由圖象可知，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，故A錯誤；對于B，由圖象可知，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，故不是的極小值點，故B錯誤；對于C，由圖象可知，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，故是的極大值點，故C正確；對于D，由圖象可知，則曲線在處切線的斜率大于零，故D錯誤.故選：C.2．C【分析】分，，三種情況討論，將恒成立問題分參轉(zhuǎn)化為最值問題，借助導(dǎo)數(shù)及函數(shù)的性質(zhì)計算即可.【詳解】當(dāng)時，不等式恒成立；當(dāng)時，此時，即，即對任意恒成立，令在上單調(diào)遞減，則，故.當(dāng)時，此時，即，即，對任意恒成立，令，其中，則，令，則，所以在上單調(diào)遞減，又，要使在恒成立，則在恒成立，即在恒成立，令，則在上單調(diào)遞減，，所以.綜上所述：的取值范圍為.故選：C.【點睛】關(guān)鍵點點睛：利用參變分離，再運用函數(shù)的思想研究不等式，并結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值.3．A【分析】根據(jù)函數(shù)有兩個極值點，則導(dǎo)數(shù)為有兩個根,由單調(diào)性及根與系數(shù)的關(guān)系等逐個判斷即可.【詳解】因為函數(shù)有兩個極值點，所以有兩個根,所以,,故選項錯誤;因為有兩個根,所以,即得,解得或,故選項正確;因為有兩個根,在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,所以是的極大值點,故選項錯誤;故選:A.4．A【分析】構(gòu)造函數(shù)和并結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性判斷的大小.【詳解】令，因為，所以在上單調(diào)遞增.又由，，故，A正確，B錯誤；令，因為，所以函數(shù)在上先減再增，不單調(diào)，又，則然而在上不單調(diào)，故大小不能確定，都有可能，故C、D錯誤；故選：A5．A【分析】令，得到關(guān)于t的函數(shù)式，進(jìn)而可得關(guān)于t的函數(shù)式，構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性并確定最值，即可求的最小值.【詳解】令，則，，∴，，即，若，則，∴，有，當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增；∴，即的最小值為.故選：A.【點睛】關(guān)鍵點睛：令確定關(guān)于t的函數(shù)式，構(gòu)造函數(shù)并利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最小值.6．D【分析】選項A由定義域就可以判斷，B，C，D選項通過對函數(shù)求導(dǎo)逐一分析即可.【詳解】由函數(shù)的定義域為，不關(guān)于原點對稱，故非奇非偶函數(shù)，故A錯誤，因為，所以，即在點處切線的斜率為，故B錯誤，當(dāng)時，，所以，當(dāng)時，，所以，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增所以函數(shù)在有增有減，故選項C錯誤，由C選項知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增且，所以當(dāng)，，當(dāng)，，故函數(shù)只有唯一一個零點，故選項D正確，故選：D.7．B【分析】根據(jù)極值點的定義求出的范圍，驗證充分性和必要性即可.【詳解】定義域為,由得，令，則，當(dāng)時，恒成立，所以在上單調(diào)遞增，又因為，所以當(dāng)時，有極值；當(dāng)時，令解得，所以在上小于0，在上大于0，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又因為當(dāng)時，，有極值則，令，則，，再令，則，解得，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，又，所以當(dāng)時，，即，解得，綜上有極值，則或或，所以有極值是的必要不充分條件，故選：B.8．D【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的圖象,可判斷原函數(shù)的單調(diào)性,進(jìn)而可逐一求解.【詳解】根據(jù)圖像可知，故在點處的切線斜率等于零，A錯誤；在，故在區(qū)間上單調(diào)遞減，故B錯誤，在的左右兩側(cè)，故不是極值點，故C錯誤，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，故在區(qū)間內(nèi)至多有兩個零點，D正確；故選：D9．或【分析】構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)題意可判斷，是偶函數(shù)，在上是增函數(shù)，在減函數(shù)，把原不等式轉(zhuǎn)化為解不等式，進(jìn)而，解之即得答案.【詳解】令，則，由當(dāng)時，，所以當(dāng)時，即在上是增函數(shù)，由題意是定義在上的偶函數(shù)，所以，所以，所以是偶函數(shù)，在遞減，所以，，即不等式等價為，所以，所以或.故答案為：或.10．【分析】先求出時，，再求解當(dāng)時，分類討論，分，，，利用導(dǎo)函數(shù)求解函數(shù)單調(diào)性，從而求出實數(shù)a的取值范圍.【詳解】，所以，所以，當(dāng)時，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，，此時值域為R，符合題意；當(dāng)時，當(dāng)時，，所以單調(diào)遞增，當(dāng)時，值域為R，所以滿足題意；當(dāng)時，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，，要想值域為R，則要滿足，解得：，綜上：實數(shù)a的取值范圍是故答案為：.11．(1)在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增(2)證明見解析【分析】（1）先求導(dǎo)，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系判斷即可.（2）由（1）得，==，判斷可知要證，即證，．令，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的最小值，證得，即可求證.【詳解】（1）由，，得．

因為，令，所以．

當(dāng)時，，在區(qū)間單調(diào)遞減；

當(dāng)時，，在區(qū)間單調(diào)遞增．

所以，在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增．（2）由（1）得，==．所以，要證，只需證，即證，．令，則．0↘極小值↗所以．

因此，對于任意正數(shù)，恒成立．所以當(dāng)時，恒成立．12．(1)(2)單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是(3)極大值為，極小值為【分析】（1）求出、的值，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得出所求切線的方程；（2）利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系可求出函數(shù)的增區(qū)間和減區(qū)間；（3）利用（2）中的結(jié)論可得出函數(shù)的極大值和極小值.【詳解】（1）由函數(shù)，得，所以，．所以函數(shù)在點處的切線方程為.（2）函數(shù)的定義域為，由（1）得，令，得或，列表如下：單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是.（3）由（2）可知，函數(shù)的極大值為，極小值為.13．(1)．(2)單調(diào)減區(qū)間是，單調(diào)增區(qū)間是．【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，計算導(dǎo)數(shù)得切線斜率，再求得后由點斜式得切線方程并整理成一般式；（2）由得增區(qū)間，由得減區(qū)間．【詳解】（1），，又，所以切線方程為，即．（2），定義域是，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以的單調(diào)減區(qū)間是，單調(diào)增區(qū)間是．14．(1)2個(2)（i）在上單調(diào)遞增，在和上單調(diào)遞減；（ii）【分析】（1）求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合零點存在定理即可得結(jié)論；（2）（i）求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)即可判斷函數(shù)單調(diào)性；（ii）利用得到是關(guān)于的方程的兩個不同的實根，從而得到，，即，從而表示出，構(gòu)造函數(shù)求解，即可得答案.【詳解】（1）由題可知，則，令，可得，當(dāng)時，在單調(diào)遞減，當(dāng)時，在單調(diào)遞增，，又，，即在和內(nèi)各有一個零點，有2個不同的零點.（2）（i）由題可知，則，令，可得或，當(dāng)時，，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，在和上單調(diào)遞減.（ii）由，可得，是關(guān)于的方程的兩個不同的實根，故，，即.故，設(shè)，當(dāng)時，，為上的增函數(shù)，的最小值為，故的最小值為.【點睛】關(guān)鍵點睛：解答本題的關(guān)鍵是求最小值時，要利用得到，是關(guān)于的方程的兩個不同的實根，從而得到，，即，從而表示出，構(gòu)造函數(shù)求解.15．(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）求導(dǎo)，討論導(dǎo)函數(shù)的符號證明增減性即可；（2）對分類討論，判斷函數(shù)在上的單調(diào)性即可求解的取值范圍；（3）僅在兩點處的切線的斜率為1，即有兩個不同解，轉(zhuǎn)化為與或與的圖象有兩個交點求解即可.【詳解】（1）當(dāng)，即時，，令解得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，又連續(xù)，所以在上是增函數(shù).（2），當(dāng)時，，①當(dāng)時，在上恒成立，所以，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以在區(qū)間上不存在最小值：②當(dāng)時，令解得，此時，0極小值所以存在最小值，且，綜上a的取值范圍是．（3）僅在兩點處的切線的斜率為1，即有兩個不同解，解法一：方程有兩個不同的解，即與的圖象有兩個交點，令，則，所以圖象大致如下，由圖象可知與的圖象有兩個交點，則的取值范圍為.解法二：方程有兩個不同的解，即與的圖象有兩個交點，在同一坐標(biāo)系上畫和的圖象如圖，由圖象可得當(dāng)時與的圖象有兩個交點，即的取值范圍為.16．(1)(2)單調(diào)遞增區(qū)間為；單調(diào)遞減區(qū)間為【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義利用導(dǎo)數(shù)求切線的斜率，再由點斜式求切線方程；（2）按步驟利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【詳解】（1）由，的定義域為.則，所以，又，所以在點處的切線方程為.（2），由，得，或，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增；所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；單調(diào)遞減區(qū)間為.17．(1)(2)答案見解析(3)證明見解析【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，分析可知滿足不等式的整數(shù)只有兩個，數(shù)形結(jié)合可得出關(guān)于實數(shù)的不等式，解之即可；（2）考查直線與函數(shù)圖象相切時實數(shù)的值，數(shù)形結(jié)合可得出實數(shù)在不同取值下函數(shù)的零點個數(shù)；（3）構(gòu)造函數(shù)，其中，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在上的單調(diào)性，由以及函數(shù)的單調(diào)性可證得所證不等式成立.【詳解】（1）解：令，其中，則，當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，所以，，且當(dāng)時，；當(dāng)時，.由可得，作出函數(shù)、的圖象如下圖所示：因為有且只有兩個整數(shù)，使得，則滿足不等式的整數(shù)只有兩個，所以，解得.（2）解：考查當(dāng)直線與函數(shù)相切時，實數(shù)的值，設(shè)切點坐標(biāo)為，則切線斜率為，所求切線方程為，即，所以，，解得或，當(dāng)時，；當(dāng)時，.如下圖所示：當(dāng)時，直線與函數(shù)的圖象只有一個公共點；當(dāng)或時，直線與函數(shù)的圖象有個公共點；當(dāng)或時，直線與函數(shù)的圖象只有個公共點；當(dāng)時，直線與函數(shù)的圖象無公共點.綜上所述，當(dāng)時，函數(shù)無零點；當(dāng)或或時，函數(shù)只有個零點；當(dāng)或時，函數(shù)只有個零點.（3）證明：不妨設(shè)，構(gòu)造函數(shù)，其中，因為，，令，其中，則且不恒為零，故函數(shù)在上為增函數(shù)，因為，故，所以，，故，所以，函數(shù)在上為減函數(shù)，故當(dāng)時，，因為，則，因此，、且，有.【點睛】方法點睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題，方法如下：（1）直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式（或）轉(zhuǎn)化為證明（或），進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)；（2）適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見放縮結(jié)論；（3）構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).18．(1)(2)答案見解析【分析】（1）求定義域，求導(dǎo)，根據(jù)求出，驗證后得到答案；（2）求定義域，求導(dǎo)并對導(dǎo)函數(shù)進(jìn)行因式分解，分，，與分類討論，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【詳解】（1）定義域為，，因為在x＝1處取得極值，所以，解得：，經(jīng)驗證，此時x＝1為極大值點，滿足要求，故；（2），當(dāng)時，恒成立，令得：，令得：，故的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時，，故令得：或，令得：，故的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時，恒成立，故的單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時，，令得：或，令得：，故的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為；綜上：當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為；19．(1)單調(diào)遞增區(qū)間是,，單調(diào)遞減區(qū)間是(2)最大值,最小值【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）利用函數(shù)的單調(diào)性，列表求函數(shù)的最值.【詳解】（1），當(dāng)，解得：或，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是,，當(dāng)，解得：，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是,，單調(diào)遞減