2023-2025北京高二（上）期末數(shù)學(xué)匯編：集合與常用邏輯用語章節(jié)綜合（人教B版）

第1頁/共1頁2023-2025北京高二（上）期末數(shù)學(xué)匯編集合與常用邏輯用語章節(jié)綜合（人教B版）一、單選題1．（2024北京海淀高二上期末）設(shè)集合，，則等于（

）A． B． C． D．2．（2024北京石景山高二上期末）已知命題p：“”，則為（

）A． B．C． D．3．（2024北京二中高二上期末）設(shè)集合，集合，，則（

）A． B．C． D．4．（2023北京海淀高二上期末）已知集合，，則（

）A． B． C． D．5．（2023北京人大附中高二上期末）若集合，或，則（

）A． B． C． D．6．（2023北京西城高二上期末）設(shè)，則“”是“直線與直線平行”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件7．（2023北京人大附中高二上期末）“成等差數(shù)列”是“”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件8．（2023北京人大附中高二上期末）已知集合，，則A． B．C． D．9．（2023北京人大附中高二上期末）已知集合，則A． B． C． D．10．（2023北京人大附中高二上期末）若集合，，則A． B．C． D．11．（2023北京人大附中高二上期末）設(shè)，則“”是“”的A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件12．（2023北京人大附中高二上期末）已知集合，，則A． B． C． D．二、填空題13．（2023北京人大附中高二上期末）能說明“若f（x）>f（0）對任意的x∈（0，2］都成立，則f（x）在［0，2］上是增函數(shù)”為假命題的一個函數(shù)是．三、解答題14．（2025北京延慶高二上期末）設(shè)正整數(shù)，若由實數(shù)組成的集合滿足如下性質(zhì)，則稱為集合：對中任意四個不同的元素，均有.例如，判斷是否為集合：當(dāng)時，此時；當(dāng)時，此時；當(dāng)時，此時.所以是集合.(1)判斷集合和是否為集合；（直接寫出答案，結(jié)論不需要證明）(2)若集合為集合，求出所有集合，并說明理由；(3)若集合為集合，求證：中元素不能全為正實數(shù)．15．（2025北京東城高二上期末）設(shè)n為正整數(shù)，集合，對于集合中的任意元素和，記．設(shè)是的子集，且滿足：對于中的任意兩個不同的元素，，都有，則稱集合具有性質(zhì)．(1)當(dāng)時，若，，求，的值；(2)已知正整數(shù)，集合為的子集．求證：“集合具有性質(zhì)”的充要條件為“對中任意兩個不同的元素，都有，且”；(3)給定不小于2的偶數(shù)n，設(shè)具有性質(zhì)，求集合中元素個數(shù)的最大值．16．（2025北京八中高二上期末）已知集合．對集合A中的任意元素，定義，當(dāng)正整數(shù)時，定義（約定）．(1)若，求和；(2)若滿足且，求的所有可能結(jié)果；(3)是否存在正整數(shù)n使得對任意都有？若存在，求出n的所有取值；若不存在，說明理由．17．（2024北京延慶高二上期末）給定正整數(shù)，設(shè)集合．對于集合中的任意元素和，記．設(shè)，且集合，對于中任意元素，若則稱具有性質(zhì)．(1)判斷集合是否具有性質(zhì)？說明理由；(2)判斷是否存在具有性質(zhì)的集合，并加以證明．18．（2024北京朝陽高二上期末）設(shè)正整數(shù)，若由實數(shù)組成的集合滿足如下性質(zhì)，則稱為集合：對中任意四個不同的元素，均有.(1)判斷集合和是否為集合，說明理由；(2)若集合為集合，求中大于1的元素的可能個數(shù)；(3)若集合為集合，求證：中元素不能全為正實數(shù).19．（2023北京順義高二上期末）對于正整數(shù)集合（，），如果去掉其中任意一個元素（，2，…，n）之后，剩余的所有元素組成的集合都能分為兩個交集為空集的集合，且這兩個集合的所有元素之和相等，就稱集合A為平衡集．(1)判斷集合是否為平衡集，并說明理由；(2)若集合A是平衡集，并且為奇數(shù)，求證：集合A中元素個數(shù)n為奇數(shù)；(3)若集合A是平衡集，并且為奇數(shù)，求證：集合A中元素個數(shù)．

參考答案1．B【分析】根據(jù)集合和集合交集的概念求解即可.【詳解】由題意可得集合，，所以，故選：B2．C【分析】根據(jù)命題的否定的定義判斷．【詳解】特稱命題的否定是全稱命題．命題p：“”，的否定為：．故選：C．3．A【分析】由題意逐一考查所給的選項運算結(jié)果是否為即可.【詳解】由題意可得，則，選項A正確；，則，選項B錯誤；，則或，選項C錯誤；或，則或，選項D錯誤；故選：A.4．A【分析】根據(jù)交集的定義直接求解即可.【詳解】因為，，所以，故選：A.5．A【分析】根據(jù)集合的交集運算，即可求得答案.【詳解】由題意集合，或，則,故選：A6．A【解析】計算直線平行等價于或，根據(jù)范圍大小關(guān)系得到答案.【詳解】直線與直線平行，則，或，驗證均不重合，滿足.故“”是“直線與直線平行”的充分不必要條件.故選：A.【點睛】本題考查了充分不必要條件，意在考查學(xué)生的計算能力和推斷能力.7．A【詳解】，，，成等差數(shù)列,而,但1,3,3,5不成等差數(shù)列,所以“，，，成等差數(shù)列”是“”的充分不必要條件,選A.點睛：充分、必要條件的三種判斷方法．1．定義法：直接判斷“若則”、“若則”的真假．并注意和圖示相結(jié)合，例如“?”為真，則是的充分條件．2．等價法：利用?與非?非，?與非?非，?與非?非的等價關(guān)系，對于條件或結(jié)論是否定式的命題，一般運用等價法．3．集合法：若?，則是的充分條件或是的必要條件；若＝，則是的充要條件．8．C【詳解】試題分析：由，得，選C.【考點】集合的交集運算.【名師點睛】1.首先要弄清構(gòu)成集合的元素是什么(即元素的意義)，是數(shù)集還是點集，如集合，，三者是不同的．2.集合中的元素具有三性——確定性、互異性、無序性，特別是互異性，在判斷集合中元素的個數(shù)時，以及在含參的集合運算中，常因忽略互異性而出錯．3.數(shù)形結(jié)合常使集合間的運算更簡捷、直觀．對離散的數(shù)集間的運算或抽象集合間的運算，可借助Venn圖；對連續(xù)的數(shù)集間的運算，常利用數(shù)軸；對點集間的運算，則通過坐標(biāo)平面內(nèi)的圖形求解，這在本質(zhì)上是數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn)和運用．4.空集是不含任何元素的集合，在未明確說明一個集合非空的情況下，要考慮集合為空集的可能．另外，不可忽略空集是任何集合的子集．9．C【詳解】試題分析：由題意得，，故選C.【考點】集合的交集運算【名師點睛】1.首先要弄清構(gòu)成集合的元素是什么（即元素的意義），是數(shù)集還是點集，如集合，，三者是不同的．2.集合中的元素具有三性——確定性、互異性、無序性，特別是互異性，在判斷集合中元素的個數(shù)時，以及在含參的集合運算中，常因忽略互異性而出錯．3.數(shù)形結(jié)合常使集合間的運算更簡捷、直觀．對離散的數(shù)集間的運算或抽象集合間的運算，可借助Venn圖；對連續(xù)的數(shù)集間的運算，常利用數(shù)軸；對點集間的運算，則通過坐標(biāo)平面內(nèi)的圖形求解，這在本質(zhì)上是數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn)和運用．4.空集是不含任何元素的集合，在未明確說明一個集合非空的情況下，要考慮集合為空集的可能．另外，不可忽略空集是任何集合的子集．10．A【詳解】在數(shù)軸上將集合A，B表示出來，如圖所示，

由交集的定義可得，為圖中陰影部分，即，故選A.考點：集合的交集運算.11．D【詳解】若，則，故不充分；若，則，而，故不必要，故選D.考點：本小題主要考查不等式的性質(zhì)，熟練不等式的性質(zhì)是解答好本類題目的關(guān)鍵.12．C【詳解】試題分析：集合，所以，故選C.考點：交集的運算，容易題.13．y=sinx（答案不唯一）【詳解】分析：舉的反例要否定增函數(shù)，可以取一個分段函數(shù)，使得f（x）>f（0）且（0，2］上是減函數(shù).詳解：令，則f（x）>f（0）對任意的x∈（0，2］都成立，但f（x）在［0，2］上不是增函數(shù).又如，令f（x）=sinx，則f（0）=0，f（x）>f（0）對任意的x∈（0，2］都成立，但f（x）在［0，2］上不是增函數(shù).點睛：要判定一個全稱命題是假命題，只要舉出集合中的一個特殊值，使不成立即可.通常舉分段函數(shù).14．(1)集合是集合，集合不是集合(2)或，理由見解析(3)證明見解析【分析】（1）由集合的定義即可得出答案；（2）由題意可得，不妨設(shè)，分類討論結(jié)合集合的性質(zhì)即可得出答案；（3）根據(jù)已知新定義，分類討論、反證法得矛盾求解證明.【詳解】（1）對于，由于當(dāng)時，此時；當(dāng)時，此時；當(dāng)時，此時.所以集合是集合，對于，由于當(dāng)時，此時；故不是集合，綜上可知集合是集合，不是集合，（2）當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，不妨設(shè)，由集合互異性可知：則且互為相反數(shù)，若，可得，不符合題意，則，可得，當(dāng)時，，不符合題意，當(dāng)時，解得，或，，不符合題意，當(dāng)時，解得，或，，不符合題意，當(dāng)時，解得，或，，符合題意，所以集合或，（3）假設(shè)中元素全為正實數(shù)，不妨設(shè)，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，由于，，所以，①當(dāng)中元素至少個大于時，此時，，②所以中元素至多個大于，此時，，，所以，可得，可得，即不成立，③所以中元素小于等于，即，，此時，包含以下幾種情況：第一種：，可得，可得，即不成立，第二種：當(dāng)時，可得，可得，即不成立，第三種：當(dāng)或時，可得，可得，即，即不成立，由①②③都錯，可知假設(shè)集合中全為正實數(shù)為錯誤命題，所以集合中不全為正實數(shù).【點睛】方法點睛：新定義問題的求解過程可以模型化，一般解題步驟如下：第一步：提取信息

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對新定義進(jìn)行信息提取，明確新定義的名稱和符號，第二步：加工信息

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細(xì)細(xì)品味新定義的概念、法則，對所提取的信息進(jìn)行加工，探求解決方法，有時可以用學(xué)過的或熟悉的相近知識進(jìn)行類比，明確它們的共同點和不同點第三步：遷移轉(zhuǎn)化

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如果是新定義的運算法則，直接按照運算法則計算即可，如果是新定義的性質(zhì)，一般需要理解和轉(zhuǎn)化性質(zhì)的含義，得到性質(zhì)的等價條件（如等量關(guān)系、圖形的位置關(guān)系等）第四步：計算，得結(jié)論

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結(jié)合題意進(jìn)行嚴(yán)密的邏輯推理、計算，得結(jié)論15．(1)，(2)證明見解析(3)【分析】(1)利用的運算規(guī)則進(jìn)行運算即可；(2)利用已知條件中的的運算規(guī)則從充分性與必要性兩個方面進(jìn)行證明；(3)設(shè)具有性質(zhì)的集合的元素個數(shù)最大值為，先求當(dāng)時元素個數(shù)的最大值，再從兩方面去求解得到及，從而得到，進(jìn)而求得.【詳解】（1）因為，，由定義可知：，．（2）①若集合具有性質(zhì)，任取中不同元素，，令，，有．由的定義可知，對任意正整數(shù)n，都有，所以有，．②若對中任意兩個不同的元素，，都有，，那么．綜上，結(jié)論成立．（3）設(shè)具有性質(zhì)的集合的元素個數(shù)最大值為，下證：，，其中n為偶數(shù)．當(dāng)時，則，由于，，，則，，中至多有一個屬于，當(dāng)時，元素個數(shù)取到最大值為2．即．一方面，若集合，分別具有性質(zhì)，，令集合，其中，對中任意兩個不同的元素，，都有，由于，因此．另一方面，設(shè)具有性質(zhì)的集合元素個數(shù)取到最大值為，設(shè)和為的兩個不同元素，則有．因此，，由于，因此．綜上，，n為偶數(shù)．所以．【點睛】關(guān)鍵點睛：本題的關(guān)鍵是對題目中的運算以及性質(zhì)進(jìn)行理解.16．(1)；(2)、、、；(3)存在，n的所有取值為，理由見解析.【分析】（1）根據(jù)定義依次寫出、即可得結(jié)果.（2）由題設(shè)有或，再依據(jù)定義確定的所有可能結(jié)果；（3）由定義得，依次寫出直到即可判斷存在性，并確定n的所有取值.【詳解】（1）由題意，，，，，，，.（2）由且，①，當(dāng)或1時，，同理，或1時，，或1時，，或1時，，所以①等價于，則，，當(dāng)，，則為滿足；當(dāng)，，則為滿足，當(dāng)，，則為滿足，當(dāng)，，則為滿足，綜上，的所有可能結(jié)果、、、.（3）存在正整數(shù)n使且，理由如下：由，則，所以，若，，所以，若，則，，，所以，對都有，當(dāng)時，恒成立，綜上，n所有取值為使成立.【點睛】關(guān)鍵點點睛：第二、三問，根據(jù)已知條件及的定義依次寫出結(jié)果，判斷存在性并列舉出結(jié)果.17．(1)具有性質(zhì)，理由見解析；(2)不存在，證明見解析.【分析】（1）根據(jù)定義計算即可判定；（2）根據(jù)定義對進(jìn)行討論，一一計算即可證明.【詳解】（1）對于集合，根據(jù)定義可知，且符合定義，所以具有性質(zhì)；（2）假設(shè)存在具有性質(zhì)，根據(jù)定義易知中有4個元素且，①若，則，沒有4個元素，不符題意舍去；②若，則，而，不符題意舍去；③若，則，而，故中至多包含3個元素，不符題意舍去；④若，則，而，不符題意舍去；⑤若，則，沒有4個元素，不符題意舍去；綜上可知：不存在具有性質(zhì)的集合.【點睛】思路點睛：第二問需要根據(jù)定義得出，從而分五種情況進(jìn)行討論，討論時依次得出集合的可能情況結(jié)合定義驗證判定即可.18．(1)是集合，不是集合；(2)中大于1的元素的可能個數(shù)為.(3)見解析【分析】（1）由集合的定義即可得出答案；（2）由題意可得，不妨設(shè)，分類討論，，和結(jié)合集合的性質(zhì)即可得出答案；（3）根據(jù)已知新定義，分類討論、反證法進(jìn)行求解、證明.【詳解】（1）集合是集合，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；集合不是集合，取，則，不滿足題中性質(zhì).（2）當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以.不妨設(shè)，①若，因為，從而，與矛盾；②若，因為，故，所以.經(jīng)驗證，此時是集合，元素大于1的個數(shù)為；③若，因為，所以與矛盾；④若，因為，故，所以.經(jīng)驗證，此時是集合，元素大于1的個數(shù)為；綜上：中大于1的元素的可能個數(shù)為.（3）假設(shè)集合中全為正實數(shù).若中至少兩個正實數(shù)大于，設(shè)，則，取，則，而，從而，矛盾；因此中至多有1個正實數(shù)大于.當(dāng)時，設(shè)，若，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，