2023年陜西省中考數(shù)學(xué)試卷（a卷）

2023年陜西省中考數(shù)學(xué)試卷（A卷）一、選擇題（共8小題，每小題3分，計(jì)24分.每小題只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題意的）1．計(jì)算：3﹣5＝（）A．2 B．﹣2 C．8 D．﹣82．下列圖形中，既是軸對(duì)稱(chēng)圖形，又是中心對(duì)稱(chēng)圖形的是（）A．B． C．D．3．如圖，l∥AB，∠A＝2∠B．若∠1＝108°，則∠2的度數(shù)為（）A．36° B．46° C．72° D．82°4．計(jì)算：＝（）A．3x4y5 B．﹣3x4y5 C．3x3y6 D．﹣3x3y65．在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y＝ax和y＝x+a（a為常數(shù)，a＜0）的圖象可能是（）A．B．C．D．6．如圖，DE是△ABC的中位線，點(diǎn)F在DB上，DF＝2BF．連接EF并延長(zhǎng)，與CB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)M．若BC＝6，則線段CM的長(zhǎng)為（）A． B．7 C． D．87．陜西飲食文化源遠(yuǎn)流長(zhǎng)，“老碗面”是陜西地方特色美食之一．圖②是從正面看到的一個(gè)“老碗”（圖①）的形狀示意圖．是⊙O的一部分，D是的中點(diǎn)，連接OD，與弦AB交于點(diǎn)C，連接OA，OB．已知AB＝24cm，碗深CD＝8cm，則⊙O的半徑OA為（）A．13cm B．16cm C．17cm D．26cm8．在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝x2+mx+m2﹣m（m為常數(shù)）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，6），其對(duì)稱(chēng)軸在y軸左側(cè)，則該二次函數(shù)有（）A．最大值5 B．最大值 C．最小值5 D．最小值二、填空題（共5小題，每小題3分，計(jì)15分）9．如圖，在數(shù)軸上，點(diǎn)A表示，點(diǎn)B與點(diǎn)A位于原點(diǎn)的兩側(cè)，且與原點(diǎn)的距離相等．則點(diǎn)B表示的數(shù)是．10．如圖，正八邊形的邊長(zhǎng)為2，對(duì)角線AB、CD相交于點(diǎn)E．則線段BE的長(zhǎng)為．11．點(diǎn)E是菱形ABCD的對(duì)稱(chēng)中心，∠B＝56°，連接AE，則∠BAE的度數(shù)為．12．如圖，在矩形OABC和正方形CDEF中，點(diǎn)A在y軸正半軸上，點(diǎn)C，F(xiàn)均在x軸正半軸上，點(diǎn)D在邊BC上，BC＝2CD，AB＝3．若點(diǎn)B，E在同一個(gè)反比例函數(shù)的圖象上，則這個(gè)反比例函數(shù)的表達(dá)式是．13．如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4．點(diǎn)E在邊AD上，且ED＝3，M、N分別是邊AB、BC上的動(dòng)點(diǎn)，且BM＝BN，P是線段CE上的動(dòng)點(diǎn)，連接PM，PN．若PM+PN＝4．則線段PC的長(zhǎng)為．三、解答題（共13小題，計(jì)81分.解答應(yīng)寫(xiě)出過(guò)程）14．（5分）解不等式：x．15．（5分）計(jì)算：．16．（5分）化簡(jiǎn)：（）．17．（5分）如圖．已知銳角△ABC，∠B＝48°，請(qǐng)用尺規(guī)作圖法，在△ABC內(nèi)部求作一點(diǎn)P．使PB＝PC．且∠PBC＝24°．（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）18．（5分）如圖，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝20°．過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC，垂足為E，延長(zhǎng)EA至點(diǎn)D．使AD＝AC．在邊AC上截取AF＝AB，連接DF．求證：DF＝CB．19．（5分）一個(gè)不透明的袋子中裝有四個(gè)小球，這四個(gè)小球上各標(biāo)有一個(gè)數(shù)字，分別是1，1，2，3．這些小球除標(biāo)有的數(shù)字外都相同．（1）從袋中隨機(jī)摸出一個(gè)小球，則摸出的這個(gè)小球上標(biāo)有的數(shù)字是1的概率為；（2）先從袋中隨機(jī)摸出一個(gè)小球，記下小球上標(biāo)有的數(shù)字后，放回，搖勻，再?gòu)拇须S機(jī)摸出一個(gè)小球，記下小球上標(biāo)有的數(shù)字，請(qǐng)利用畫(huà)樹(shù)狀圖或列表的方法、求摸出的這兩個(gè)小球上標(biāo)有的數(shù)字之積是偶數(shù)的概率．20．（5分）小紅在一家文具店買(mǎi)了一種大筆記本4個(gè)和一種小筆記本6個(gè)，共用了62元．已知她買(mǎi)的這種大筆記本的單價(jià)比這種小筆記本的單價(jià)多3元，求該文具店中這種大筆記本的單價(jià)．21．（6分）一天晚上，小明和爸爸帶著測(cè)角儀和皮尺去公園測(cè)量一景觀燈（燈桿底部不可到達(dá)）的高AB．如圖所示，當(dāng)小明爸爸站在點(diǎn)D處時(shí)，他在該景觀燈照射下的影子長(zhǎng)為DF，測(cè)得DF＝2.4m；當(dāng)小明站在爸爸影子的頂端F處時(shí)，測(cè)得點(diǎn)A的仰角α為26.6°．已知爸爸的身高CD＝1.8m，小明眼睛到地面的距離EF＝1.6m，點(diǎn)F、D、B在同一條直線上，EF⊥FB，CD⊥FB，AB⊥FB．求該景觀燈的高AB．（參考數(shù)據(jù)：sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50）22．（7分）經(jīng)驗(yàn)表明，樹(shù)在一定的成長(zhǎng)階段，其胸徑（樹(shù)的主干在地面以上1.3m處的直徑）越大，樹(shù)就越高．通過(guò)對(duì)某種樹(shù)進(jìn)行測(cè)量研究，發(fā)現(xiàn)這種樹(shù)的樹(shù)高y（m）是其胸徑x（m）的一次函數(shù)．已知這種樹(shù)的胸徑為0.2m時(shí)，樹(shù)高為20m；這種樹(shù)的胸徑為0.28m時(shí)，樹(shù)高為22m．（1）求y與x之間的函數(shù)表達(dá)式；（2）當(dāng)這種樹(shù)的胸徑為0.3m時(shí)，其樹(shù)高是多少？23．（7分）某校數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)們從“校園農(nóng)場(chǎng)”中隨機(jī)抽取了20棵西紅柿植株，并統(tǒng)計(jì)了每棵植株上小西紅柿的個(gè)數(shù)．其數(shù)據(jù)如下：28，36，37，39，42，45，46，47，48，50，54，54，54，54，55，60，62，62，63，64．通過(guò)對(duì)以上數(shù)據(jù)的分析整理，繪制了統(tǒng)計(jì)圖表：分組頻數(shù)組內(nèi)小西紅柿的總個(gè)數(shù)25≤x＜3512835≤x＜45n15445≤x＜55945255≤x＜656366根據(jù)以上信息，解答下列問(wèn)題：（1）補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖：這20個(gè)數(shù)據(jù)的眾數(shù)是；（2）求這20個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)；（3）“校園農(nóng)場(chǎng)”中共有300棵這種西紅柿植株，請(qǐng)估計(jì)這300棵西紅柿植株上小西紅柿的總個(gè)數(shù)．24．（8分）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠BAC＝45°，過(guò)點(diǎn)B作BC的垂線，交⊙O于點(diǎn)D，并與CA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，作BF⊥AC，垂足為M，交⊙O于點(diǎn)F．（1）求證：BD＝BC；（2）若⊙O的半徑r＝3，BE＝6，求線段BF的長(zhǎng)．25．（8分）某校想將新建圖書(shū)樓的正門(mén)設(shè)計(jì)為一個(gè)拋物線型拱門(mén)，并要求所設(shè)計(jì)的拱門(mén)的跨度與拱高之積為48m2，還要兼顧美觀、大方，和諧、通暢等因素，設(shè)計(jì)部門(mén)按要求給出了兩個(gè)設(shè)計(jì)方案．現(xiàn)把這兩個(gè)方案中的拱門(mén)圖形放入平面直角坐標(biāo)系中，如圖所示：方案一，拋物線型拱門(mén)的跨度ON＝12m，拱高PE＝4m．其中，點(diǎn)N在x軸上，PE⊥ON，OE＝EN．方案二，拋物線型拱門(mén)的跨度ON′＝8m，拱高P'E'＝6m．其中，點(diǎn)N′在x軸上，P′E′⊥O′N(xiāo)′，OE′＝E′N(xiāo)′．要在拱門(mén)中設(shè)置高為3m的矩形框架，其面積越大越好（框架的粗細(xì)忽略不計(jì)）．方案一中，矩形框架ABCD的面積記為S1，點(diǎn)A、D在拋物線上，邊BC在ON上；方案二中，矩形框架A'B'C′D'的面積記為S2，點(diǎn)A'，D'在拋物線上，邊B'C'在ON'上．現(xiàn)知，小華已正確求出方案二中，當(dāng)A'B'＝3m時(shí)，，請(qǐng)你根據(jù)以上提供的相關(guān)信息，解答下列問(wèn)題：（1）求方案一中拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）在方案一中，當(dāng)AB＝3m時(shí)，求矩形框架ABCD的面積S1并比較S1，S2的大?。?6．（10分）（1）如圖①，在△OAB中，OA＝OB，∠AOB＝120°，AB＝24．若⊙O的半徑為4，點(diǎn)P在⊙O上，點(diǎn)M在AB上，連接PM，求線段PM的最小值；（2）如圖②所示，五邊形ABCDE是某市工業(yè)新區(qū)的外環(huán)路，新區(qū)管委會(huì)在點(diǎn)B處，點(diǎn)E處是該市的一個(gè)交通樞紐．已知：∠A＝∠ABC＝∠AED＝90°，AB＝AE＝10000m，BC＝DE＝6000m．根據(jù)新區(qū)的自然環(huán)境及實(shí)際需求，現(xiàn)要在矩形AFDE區(qū)域內(nèi)（含邊界）修一個(gè)半徑為30m的圓型環(huán)道⊙O；過(guò)圓心O，作OM⊥AB，垂足為M，與⊙O交于點(diǎn)N．連接BN，點(diǎn)P在⊙O上，連接EP．其中，線段BN、EP及MN是要修的三條道路，要在所修道路BN、EP之和最短的情況下，使所修道路MN最短，試求此時(shí)環(huán)道⊙O的圓心O到AB的距離OM的長(zhǎng)．

2023年陜西省中考數(shù)學(xué)試卷（A卷）參考答案與試題解析一、選擇題（共8小題，每小題3分，計(jì)24分.每小題只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題意的）1．計(jì)算：3﹣5＝（）A．2 B．﹣2 C．8 D．﹣8【分析】先根據(jù)有理數(shù)的減法法則計(jì)算即可．【解答】解：3﹣5＝﹣2．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了有理數(shù)的減法法則，熟知：減去一個(gè)數(shù)，等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)．2．下列圖形中，既是軸對(duì)稱(chēng)圖形，又是中心對(duì)稱(chēng)圖形的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)圖形和中心對(duì)稱(chēng)圖形的定義，逐項(xiàng)判斷即可求解．【解答】解：A、是軸對(duì)稱(chēng)圖形，不是中心對(duì)稱(chēng)圖形，不符合題意；B、不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，是中心對(duì)稱(chēng)圖形，不符合題意；C、是軸對(duì)稱(chēng)圖形，也是中心對(duì)稱(chēng)圖形，符合題意；D、不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，也不是中心對(duì)稱(chēng)圖形，不符合題意．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軸對(duì)稱(chēng)圖形和中心對(duì)稱(chēng)圖形的識(shí)別，掌握好中心對(duì)稱(chēng)圖形與軸對(duì)稱(chēng)圖形的概念．軸對(duì)稱(chēng)圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱(chēng)軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對(duì)稱(chēng)圖形是要尋找對(duì)稱(chēng)中心，旋轉(zhuǎn)180度后兩部分重合．3．如圖，l∥AB，∠A＝2∠B．若∠1＝108°，則∠2的度數(shù)為（）A．36° B．46° C．72° D．82°【分析】由對(duì)頂角相等可得∠3＝∠1＝108°，再由平行線的性質(zhì)可求得∠A＝72°，∠B＝∠2，結(jié)合已知條件可求得∠B，即可求解．【解答】解：如圖，∵∠1＝108°，∴∠3＝∠1＝108°，∵l∥AB，∴∠3+∠A＝180°，∠2＝∠B，∴∠A＝180°﹣∠3＝72°，∵∠A＝2∠B，∴∠B＝36°，∴∠2＝36°．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平行線的性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是熟記平行線的性質(zhì)：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；兩直線平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)．4．計(jì)算：＝（）A．3x4y5 B．﹣3x4y5 C．3x3y6 D．﹣3x3y6【分析】利用單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式的法則進(jìn)行運(yùn)算即可．【解答】解：＝6×（﹣）x1+3y2+3＝﹣3x4y5．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式，解答的關(guān)鍵是對(duì)相應(yīng)的運(yùn)算法則的掌握．5．在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y＝ax和y＝x+a（a為常數(shù)，a＜0）的圖象可能是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)正比例函數(shù)和一次函數(shù)的性質(zhì)，可以得到函數(shù)y＝ax和y＝x+a的圖象經(jīng)過(guò)哪幾個(gè)象限，本題得以解決．【解答】解：∵a＜0，∴函數(shù)y＝ax是經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線，經(jīng)過(guò)第二、四象限，函數(shù)y＝x+a是經(jīng)過(guò)第一、三、四象限的直線，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查正比例函數(shù)的圖象、一次函數(shù)的圖象，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用正比例函數(shù)和一次函數(shù)的性質(zhì)解答．6．如圖，DE是△ABC的中位線，點(diǎn)F在DB上，DF＝2BF．連接EF并延長(zhǎng)，與CB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)M．若BC＝6，則線段CM的長(zhǎng)為（）A． B．7 C． D．8【分析】根據(jù)三角形中中位線定理證得DE∥BC，求出DE，進(jìn)而證得△DEF∽BMF，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出BM，即可求出結(jié)論．【解答】解：∵DE是△ABC的中位線，∴DE∥BC，DE＝BC＝×6＝3，∴△DEF∽BMF，∴＝＝＝2，∴BM＝，CM＝BC+BM＝．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角形中位線定理，相似三角形的性質(zhì)和判定，熟練掌握三角形中位線定理和相似三角形的判定方法是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．7．陜西飲食文化源遠(yuǎn)流長(zhǎng)，“老碗面”是陜西地方特色美食之一．圖②是從正面看到的一個(gè)“老碗”（圖①）的形狀示意圖．是⊙O的一部分，D是的中點(diǎn)，連接OD，與弦AB交于點(diǎn)C，連接OA，OB．已知AB＝24cm，碗深CD＝8cm，則⊙O的半徑OA為（）A．13cm B．16cm C．17cm D．26cm【分析】首先利用垂徑定理的推論得出OD⊥AB，AC＝BC＝AB＝12cm，再設(shè)⊙O的半徑OA為Rcm，則OC＝（R﹣8）cm．在Rt△OAC中根據(jù)勾股定理列出方程R2＝122+（R﹣8）2，求出R即可．【解答】解：∵是⊙O的一部分，D是的中點(diǎn)，AB＝24cm，∴OD⊥AB，AC＝BC＝AB＝12cm．設(shè)⊙O的半徑OA為Rcm，則OC＝OD﹣CD＝（R﹣8）cm．在Rt△OAC中，∵∠OCA＝90°，∴OA2＝AC2+OC2，∴R2＝122+（R﹣8）2，∴R＝13，即⊙O的半徑OA為13cm．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂徑定理、勾股定理的應(yīng)用，設(shè)⊙O的半徑OA為Rcm，列出關(guān)于R的方程是解題的關(guān)鍵．8．在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝x2+mx+m2﹣m（m為常數(shù)）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，6），其對(duì)稱(chēng)軸在y軸左側(cè)，則該二次函數(shù)有（）A．最大值5 B．最大值 C．最小值5 D．最小值【分析】將（0，6）代入二次函數(shù)解析式，進(jìn)而得出m的值，再利用對(duì)稱(chēng)軸在y軸左側(cè)，得出m＝3，再利用公式法求出二次函數(shù)最值．【解答】解：由題意可得：6＝m2﹣m，解得：m1＝3，m2＝﹣2，∵二次函數(shù)y＝x2+mx+m2﹣m，對(duì)稱(chēng)軸在y軸左側(cè)，∴m＞0，∴m＝3，∴y＝x2+3x+6，∴二次函數(shù)有最小值為：＝＝．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)以及二次函數(shù)的最值，正確得出m的值是解題關(guān)鍵．二、填空題（共5小題，每小題3分，計(jì)15分）9．如圖，在數(shù)軸上，點(diǎn)A表示，點(diǎn)B與點(diǎn)A位于原點(diǎn)的兩側(cè)，且與原點(diǎn)的距離相等．則點(diǎn)B表示的數(shù)是﹣．【分析】根據(jù)原點(diǎn)左邊的數(shù)是負(fù)數(shù)，由絕對(duì)值的定義可得答案．【解答】解：由題意得：點(diǎn)B表示的數(shù)是﹣．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了數(shù)軸，絕對(duì)值，掌握絕對(duì)值的意義是解本題的關(guān)鍵．10．如圖，正八邊形的邊長(zhǎng)為2，對(duì)角線AB、CD相交于點(diǎn)E．則線段BE的長(zhǎng)為2+．【分析】根據(jù)正八邊形的性質(zhì)得出四邊形CEGF是矩形，△ACE、△BFG是等腰直角三角形，AC＝CF＝FB＝EG＝2，再根據(jù)矩形的性質(zhì)以及直角三角形的邊角關(guān)系求出AE，GE，BG即可．【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)F作FG⊥AB于G，由題意可知，四邊形CEGF是矩形，△ACE、△BFG是等腰直角三角形，AC＝CF＝FB＝EG＝2，在Rt△ACE中，AC＝2，AE＝CE，∴AE＝CE＝AC＝，同理BG＝，∴BE＝EG+BG＝2+，故答案為：2+．【點(diǎn)評(píng)】本題考查正多邊形和圓，掌握正八邊形的性質(zhì)以及直角三角形的邊角關(guān)系是正確解答的前提．11．點(diǎn)E是菱形ABCD的對(duì)稱(chēng)中心，∠B＝56°，連接AE，則∠BAE的度數(shù)為62°．【分析】連接BE，根據(jù)中心對(duì)稱(chēng)圖形的定義得出點(diǎn)E是菱形ABCD的兩對(duì)角線的交點(diǎn)，根據(jù)菱形的性質(zhì)得出AE⊥BE，∠ABE＝∠ABC＝28°，那么∠BAE＝90°﹣∠ABE＝62°．【解答】解：如圖，連接BE，∵點(diǎn)E是菱形ABCD的對(duì)稱(chēng)中心，∠ABC＝56°，∴點(diǎn)E是菱形ABCD的兩對(duì)角線的交點(diǎn)，∴AE⊥BE，∠ABE＝∠ABC＝28°，∴∠BAE＝90°﹣∠ABE＝62°．故答案為：62°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了菱形的性質(zhì)，菱形是中心對(duì)稱(chēng)圖形，兩對(duì)角線的交點(diǎn)是對(duì)稱(chēng)中心，掌握菱形的兩條對(duì)角線互相垂直平分，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角是解題的關(guān)鍵．12．如圖，在矩形OABC和正方形CDEF中，點(diǎn)A在y軸正半軸上，點(diǎn)C，F(xiàn)均在x軸正半軸上，點(diǎn)D在邊BC上，BC＝2CD，AB＝3．若點(diǎn)B，E在同一個(gè)反比例函數(shù)的圖象上，則這個(gè)反比例函數(shù)的表達(dá)式是y＝．【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)得到OC＝AB＝3，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到CD＝CF＝EF，設(shè)CD＝m，BC＝2m，得到B（3，2m），E（3+m，m），設(shè)反比例函數(shù)的表達(dá)式為y＝，列方程即可得到結(jié)論．【解答】解：∵四邊形OABC是矩形，∴OC＝AB＝3，∵四邊形CDEF是正方形，∴CD＝CF＝EF，∵BC＝2CD，∴設(shè)CD＝m，BC＝2m，∴B（3，2m），E（3+m，m），設(shè)反比例函數(shù)的表達(dá)式為y＝，∴3×2m＝（3+m）?m，解得m＝3或m＝0（不合題意舍去），∴B（3，6），∴k＝3×6＝18，∴這個(gè)反比例函數(shù)的表達(dá)式是y＝，故答案為：y＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征：反比例函數(shù)y＝（k為常數(shù)，k≠0）的圖象是雙曲線，圖象上的點(diǎn)（x，y）的橫縱坐標(biāo)的積是定值k，即xy＝k．13．如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4．點(diǎn)E在邊AD上，且ED＝3，M、N分別是邊AB、BC上的動(dòng)點(diǎn)，且BM＝BN，P是線段CE上的動(dòng)點(diǎn)，連接PM，PN．若PM+PN＝4．則線段PC的長(zhǎng)為2．【分析】過(guò)點(diǎn)P分別作PF⊥DC，PG⊥BC，PH⊥AB，由題意知PG＝PF，再說(shuō)明PM與PH重合，PN與PG重合，得出四邊形MPNB為正方形，即可求出PC＝2．【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)P分別作PF⊥DC，PG⊥BC，PH⊥AB，∵DE＝CD＝3，∠D＝90°，∴∠ECD＝45°，∴∠ECB＝45°，∴PG＝PF，∵PM≥PH，PN≥PG，∴PM+PN≥PH+PG＝4，∵PM+PN＝4，∴PM與PH重合，PN與PG重合，∵BM＝BN，∴四邊形MPNB為正方形，∴PM＝PN＝2，∴PC＝2．故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查矩形的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)，作出適當(dāng)?shù)妮o助線是解題關(guān)鍵．三、解答題（共13小題，計(jì)81分.解答應(yīng)寫(xiě)出過(guò)程）14．（5分）解不等式：x．【分析】去分母，移項(xiàng)，合并同類(lèi)項(xiàng)，系數(shù)化成1即可．【解答】解：x，去分母，得3x﹣5＞4x，移項(xiàng)，得3x﹣4x＞5，合并同類(lèi)項(xiàng)，得﹣x＞5，不等式的兩邊都除以﹣1，得x＜﹣5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元一次不等式，能正確根據(jù)不等式的性質(zhì)進(jìn)行變形是解此題的關(guān)鍵．15．（5分）計(jì)算：．【分析】直接利用二次根式的乘法運(yùn)算法則以及負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)、絕對(duì)值的性質(zhì)分別化簡(jiǎn)，進(jìn)而得出答案．【解答】解：原式＝﹣5﹣7+|﹣8|＝＝﹣5+1．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，正確化簡(jiǎn)各數(shù)是解題關(guān)鍵．16．（5分）化簡(jiǎn)：（）．【分析】先算括號(hào)里的運(yùn)算，把除法轉(zhuǎn)為乘法，最后約分即可．【解答】解：（）＝＝＝＝．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查分式的混合運(yùn)算，解答的關(guān)鍵是對(duì)相應(yīng)的運(yùn)算法則的掌握．17．（5分）如圖．已知銳角△ABC，∠B＝48°，請(qǐng)用尺規(guī)作圖法，在△ABC內(nèi)部求作一點(diǎn)P．使PB＝PC．且∠PBC＝24°．（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）【分析】先作∠ABC的平分線BD，再作BC的垂直平分線l，直線l交BD于P點(diǎn)，則P點(diǎn)滿(mǎn)足條件．【解答】解：如圖，點(diǎn)P即為所求．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖﹣復(fù)雜作圖：解決此類(lèi)題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了等腰三角形的性質(zhì)．18．（5分）如圖，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝20°．過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC，垂足為E，延長(zhǎng)EA至點(diǎn)D．使AD＝AC．在邊AC上截取AF＝AB，連接DF．求證：DF＝CB．【分析】利用三角形內(nèi)角和定理得∠CAB的度數(shù)，再根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)可得結(jié)論．【解答】證明：在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝20°，∴∠CAB＝180°﹣∠B﹣∠C＝110°．∵AE⊥BC．∴∠AEC＝90°．∴∠DAF＝∠AEC+∠C＝110°，∴∠DAF＝∠CAB．在△DAF和△CAB中，，∴△DAF≌△CAB（SAS）．∴DF＝CB．【點(diǎn)評(píng)】此題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握其性質(zhì)定理是解決此題的關(guān)鍵．19．（5分）一個(gè)不透明的袋子中裝有四個(gè)小球，這四個(gè)小球上各標(biāo)有一個(gè)數(shù)字，分別是1，1，2，3．這些小球除標(biāo)有的數(shù)字外都相同．（1）從袋中隨機(jī)摸出一個(gè)小球，則摸出的這個(gè)小球上標(biāo)有的數(shù)字是1的概率為；（2）先從袋中隨機(jī)摸出一個(gè)小球，記下小球上標(biāo)有的數(shù)字后，放回，搖勻，再?gòu)拇须S機(jī)摸出一個(gè)小球，記下小球上標(biāo)有的數(shù)字，請(qǐng)利用畫(huà)樹(shù)狀圖或列表的方法、求摸出的這兩個(gè)小球上標(biāo)有的數(shù)字之積是偶數(shù)的概率．【分析】（1）根據(jù)題意和題目中的數(shù)據(jù)，可以計(jì)算出從袋中機(jī)摸出一個(gè)小球，則摸出的這個(gè)小球上標(biāo)有的數(shù)字是1的概率；（2）根據(jù)題意可以畫(huà)出相應(yīng)的樹(shù)狀圖，然后即可求出摸出的這兩個(gè)小球上標(biāo)有的數(shù)字之積是偶數(shù)的概率．【解答】解：（1）由題意可得，從袋中機(jī)摸出一個(gè)小球，則摸出的這個(gè)小球上標(biāo)有的數(shù)字是1的概率為＝，故答案為：；（2）樹(shù)狀圖如下：由上可得，一共有16種等可能性，其中兩數(shù)之積是偶數(shù)的可能性有7種，∴摸出的這兩個(gè)小球上標(biāo)有的數(shù)字之積是偶數(shù)的概率．【點(diǎn)評(píng)】本題考查列表法與樹(shù)狀圖法、概率公式，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，畫(huà)出相應(yīng)的樹(shù)狀圖，求出相應(yīng)的概率．20．（5分）小紅在一家文具店買(mǎi)了一種大筆記本4個(gè)和一種小筆記本6個(gè)，共用了62元．已知她買(mǎi)的這種大筆記本的單價(jià)比這種小筆記本的單價(jià)多3元，求該文具店中這種大筆記本的單價(jià)．【分析】設(shè)該文具店中這種大筆記本的單價(jià)是x元，根據(jù)買(mǎi)了一種大筆記本4個(gè)和一種小筆記本6個(gè)，共用了62元，得4x+6（x﹣3）＝62，即可解得答案．【解答】解：設(shè)該文具店中這種大筆記本的單價(jià)是x元，則小筆記本的單價(jià)是（x﹣3）元，∵買(mǎi)了一種大筆記本4個(gè)和一種小筆記本6個(gè)，共用了62元，∴4x+6（x﹣3）＝62，解得：x＝8；答：該文具店中這種大筆記本的單價(jià)為8元．【點(diǎn)評(píng)】本題考查一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，找到等量關(guān)系，列出方程解決問(wèn)題．21．（6分）一天晚上，小明和爸爸帶著測(cè)角儀和皮尺去公園測(cè)量一景觀燈（燈桿底部不可到達(dá)）的高AB．如圖所示，當(dāng)小明爸爸站在點(diǎn)D處時(shí)，他在該景觀燈照射下的影子長(zhǎng)為DF，測(cè)得DF＝2.4m；當(dāng)小明站在爸爸影子的頂端F處時(shí)，測(cè)得點(diǎn)A的仰角α為26.6°．已知爸爸的身高CD＝1.8m，小明眼睛到地面的距離EF＝1.6m，點(diǎn)F、D、B在同一條直線上，EF⊥FB，CD⊥FB，AB⊥FB．求該景觀燈的高AB．（參考數(shù)據(jù)：sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50）【分析】過(guò)點(diǎn)E作EH⊥AB，垂足為H，根據(jù)題意可得：EH＝FB，EF＝BH＝1.6m，然后設(shè)EH＝FB＝xm，在Rt△AEH中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AH的長(zhǎng)，從而求出AB的長(zhǎng)，再根據(jù)垂直定義可得∠CDF＝∠ABF＝90°，從而證明A字模型相似三角形△CDF∽△ABF，最后利用相似三角形的性質(zhì)可得AB＝x，從而列出關(guān)于x的方程，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：過(guò)點(diǎn)E作EH⊥AB，垂足為H，由題意得：EH＝FB，EF＝BH＝1.6m，設(shè)EH＝FB＝xm，在Rt△AEH中，∠AEH＝26.6°，∴AH＝EH?tan26.6°≈0.5x（m），∴AB＝AH+BH＝（0.5x+1.6）m，∵CD⊥FB，AB⊥FB，∴∠CDF＝∠ABF＝90°，∵∠CFD＝∠AFB，∴△CDF∽△ABF，∴＝，∴＝，∴AB＝x，∴x＝0.5x+1.6，解得：x＝6.4，∴AB＝x＝4.8（m），∴該景觀燈的高AB約為4.8m．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問(wèn)題，相似三角形的應(yīng)用，平行投影，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．22．（7分）經(jīng)驗(yàn)表明，樹(shù)在一定的成長(zhǎng)階段，其胸徑（樹(shù)的主干在地面以上1.3m處的直徑）越大，樹(shù)就越高．通過(guò)對(duì)某種樹(shù)進(jìn)行測(cè)量研究，發(fā)現(xiàn)這種樹(shù)的樹(shù)高y（m）是其胸徑x（m）的一次函數(shù)．已知這種樹(shù)的胸徑為0.2m時(shí)，樹(shù)高為20m；這種樹(shù)的胸徑為0.28m時(shí)，樹(shù)高為22m．（1）求y與x之間的函數(shù)表達(dá)式；（2）當(dāng)這種樹(shù)的胸徑為0.3m時(shí)，其樹(shù)高是多少？【分析】（1）設(shè)y＝kx+b（k≠0），利用待定系數(shù)法解答即可；（2）把x＝0.3代入（1）的結(jié)論解答即可．【解答】解：（1）設(shè)y＝kx+b（k≠0），根據(jù)題意，得，解之，得，∴y＝25x+15；（2）當(dāng)x＝0.3m時(shí)，y＝25×0.3+15＝22.5（m）．∴當(dāng)這種樹(shù)的胸徑為0.3m時(shí)，其樹(shù)高為22.5m．【點(diǎn)評(píng)】此題考查一次函數(shù)的實(shí)際運(yùn)用，掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的方法與步驟是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．23．（7分）某校數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)們從“校園農(nóng)場(chǎng)”中隨機(jī)抽取了20棵西紅柿植株，并統(tǒng)計(jì)了每棵植株上小西紅柿的個(gè)數(shù)．其數(shù)據(jù)如下：28，36，37，39，42，45，46，47，48，50，54，54，54，54，55，60，62，62，63，64．通過(guò)對(duì)以上數(shù)據(jù)的分析整理，繪制了統(tǒng)計(jì)圖表：分組頻數(shù)組內(nèi)小西紅柿的總個(gè)數(shù)25≤x＜3512835≤x＜45n15445≤x＜55945255≤x＜656366根據(jù)以上信息，解答下列問(wèn)題：（1）補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖：這20個(gè)數(shù)據(jù)的眾數(shù)是54；（2）求這20個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)；（3）“校園農(nóng)場(chǎng)”中共有300棵這種西紅柿植株，請(qǐng)估計(jì)這300棵西紅柿植株上小西紅柿的總個(gè)數(shù)．【分析】（1）用總數(shù)減去其它三組的頻數(shù)可得n的值，進(jìn)而補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖，然后根據(jù)眾數(shù)的定義解答即可；（2）根據(jù)算術(shù)平均數(shù)的計(jì)算公式解答即可；（3）用300乘（2）的結(jié)論可得答案．【解答】解：（1）由題意得，n＝20﹣1﹣9﹣6＝4，補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖如下這20個(gè)數(shù)據(jù)中，54出現(xiàn)的次數(shù)最多，故眾數(shù)為54．故答案為：54；（2）．∴這20個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)是50；（3）所求總個(gè)數(shù)：50×300＝15000（個(gè)）．∴估計(jì)這300棵西紅柿植株上小西紅柿的總個(gè)數(shù)是15000個(gè)．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了頻數(shù)分布直方圖、頻數(shù)分布表，用樣本估計(jì)總體，眾數(shù)以及加權(quán)平均數(shù)，解決此題的關(guān)鍵是明確頻率＝頻數(shù)÷總數(shù)．24．（8分）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠BAC＝45°，過(guò)點(diǎn)B作BC的垂線，交⊙O于點(diǎn)D，并與CA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，作BF⊥AC，垂足為M，交⊙O于點(diǎn)F．（1）求證：BD＝BC；（2）若⊙O的半徑r＝3，BE＝6，求線段BF的長(zhǎng)．【分析】（1）如圖，連接DC，根據(jù)圓周角定理得到∠BDC＝∠BAC＝45°，求得∠BCD＝90°﹣∠BDC＝45°，根據(jù)等腰三角形的判定定理即可得到結(jié)論；（2）如圖，根據(jù)圓周角定理得到CD為⊙O的直徑，求得CD＝2r＝6．根據(jù)勾股定理得到EC＝＝＝3，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論．【解答】（1）證明：如圖，連接DC，則∠BDC＝∠BAC＝45°，∵BD⊥BC，∴∠BCD＝90°﹣∠BDC＝45°，∴∠BCD＝∠BDC．∴BD＝BC；（2）解：如圖，∵∠DBC＝90°，∴CD為⊙O的直徑，∴CD＝2r＝6．∴BC＝CD?sin＝3，∴EC＝＝＝3，∵BF⊥AC，∴∠BMC＝∠EBC＝90°，∠BCM＝∠BCM，∴△BCM∽△ECB．∴，∴BM＝＝＝2，CM＝，連接CF，則∠F＝∠BDC＝45°，∠MCF＝45°，∴MF＝MC＝，∴BF＝BM+MF＝2+．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的外接圓與外心，圓周角定理，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．25．（8分）某校想將新建圖書(shū)樓的正門(mén)設(shè)計(jì)為一個(gè)拋物線型拱門(mén)，并要求所設(shè)計(jì)的拱門(mén)的跨度與拱高之積為48m2，還要兼顧美觀、大方，和諧、通暢等因素，設(shè)計(jì)部門(mén)按要求給出了兩個(gè)設(shè)計(jì)方案．現(xiàn)把這兩個(gè)方案中的拱門(mén)圖形放入平面直角坐標(biāo)系中，如圖所示：方案一，拋物線型拱門(mén)的跨度ON＝12m，拱高PE＝4m．其中，點(diǎn)N在x軸上，PE⊥ON，OE＝EN．方案二，拋物線型拱門(mén)的跨度ON′＝8m，拱高P'E'＝6m．其中，點(diǎn)N′在x軸上，P′E′⊥O′N(xiāo)′，OE′＝E′N(xiāo)′．要在拱門(mén)中設(shè)置高為3m的矩形框架，其面積越大越好（框架的粗細(xì)忽略不計(jì)）．方案一中，矩形框架ABCD的面積記為S1，點(diǎn)A、D在拋物線上，邊BC在ON上；方案二中，矩形框架A'B'C′D'的面積記為S2，點(diǎn)A'，D'在拋物線上，邊B'C'在ON'上．現(xiàn)知，小華已正確求出方案二中，當(dāng)A'B'＝3m時(shí)，，請(qǐng)你根據(jù)以上提供的相關(guān)信息，解答下列問(wèn)題：（1）求方案一中拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）在方案一中，當(dāng)AB＝3m時(shí)，求矩形框架ABCD的面積S1并比較S1，S2的大?。痉治觥浚?）由題意知拋物線的頂點(diǎn)P（6，4），設(shè)頂點(diǎn)式用待定系數(shù)法可得方案一中拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y＝﹣x2+x；（2）令y＝3可得x＝3或x＝9，故BC＝6（m），S1＝AB?BC＝18（m2）；再比較S1，S2的大小即可．【解答】解：（1）由題意知，方案一中拋物線的頂點(diǎn)P（6，4），設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y＝a（x﹣6）2+4，把O（0，0）代入得：0＝a（0﹣6）2+4，解得：a＝﹣，∴y＝﹣（x﹣6）2+4＝﹣x2+x；∴方案一中拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y＝﹣x2+x；（2）在y＝﹣x2+x中，令y＝3得：3＝﹣x2+x；解得x＝3或x＝9，∴BC＝9﹣3＝6（m），∴S1＝AB?BC＝3×6＝18（m2）；∵1