江蘇省南京市、鹽城市2025屆高三下學(xué)期3月一模試題 數(shù)學(xué) 含解析

南京市?鹽城市2025屆高三年級第一次模擬考試數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1.本試卷考試時(shí)間為120分鐘，試卷滿分150分，考試形式閉卷.2.本試卷中所有試題必須作答在答題卡上規(guī)定的位置，否則不給分.3.答題前，務(wù)必將自己的姓名?準(zhǔn)考證號用0.5毫米黑色墨水簽字筆填寫在試卷及答題卡上.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)集合.若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】直接解不等式確定集合，再根據(jù)集合的基本關(guān)系確定參數(shù)范圍即可.【詳解】由可得，由可得，又，所以，即，故D正確.故選：D2.已知復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則（）A.4 B.2 C.1 D.【答案】B【解析】【分析】首先根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算化簡，再計(jì)算其模即可.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所?故選：B3.已知均為單位向量.若，則與夾角的大小是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】對兩邊同時(shí)平方，再結(jié)合單位向量的性質(zhì)求出，最后根據(jù)向量數(shù)量積公式求出夾角.【詳解】已知，兩邊平方可得.則，所以.

因?yàn)榫鶠閱挝幌蛄?，所?根據(jù)，，.將其代入可得：.

則.

設(shè)與的夾角為，，且，，可得，即.因?yàn)?，所?

則與夾角的大小是.故選：C.4.某項(xiàng)比賽共有10個(gè)評委評分，若去掉一個(gè)最高分與一個(gè)最低分，則與原始數(shù)據(jù)相比，一定不變的是（）A.極差 B.45百分位數(shù) C.平均數(shù) D.眾數(shù)【答案】B【解析】分析】根據(jù)題意將10個(gè)數(shù)據(jù)去掉最高分和最低分后45百分位數(shù)不變.【詳解】對A，若每個(gè)數(shù)據(jù)都不相同，則極差一定變化，故A錯(cuò)誤；對B，由，所以將10個(gè)數(shù)據(jù)從小到大排列，45百分位數(shù)為第5個(gè)數(shù)據(jù)，從10個(gè)原始評分中去掉1個(gè)最高分、1個(gè)最低分，得到8個(gè)有效評分，，所以45百分位數(shù)為8個(gè)數(shù)據(jù)從小到大排列后第4個(gè)數(shù)據(jù)，即為原來的第5個(gè)數(shù)據(jù)．對C，去掉一個(gè)最高分一個(gè)最低分，平均數(shù)可能變化，故C錯(cuò)誤；對D，去掉一個(gè)最高分一個(gè)最低分，眾數(shù)可能變化，故D錯(cuò)誤.故選：B5.已知數(shù)列為等比數(shù)列，公比為2，且.若，則正整數(shù)的值是（）A.4 B.5 C.6 D.7【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意求出等比數(shù)列的通項(xiàng)，在運(yùn)用等比數(shù)列的性質(zhì)及前n項(xiàng)和公式求解即可.【詳解】因?yàn)閿?shù)列為等比數(shù)列，公比為2，且，所以，解得，故，因?yàn)?，解得，故選：B.6.在銳角中，角所對的邊分別為.若，則（）A. B. C.1 D.2【答案】D【解析】【分析】用射影定理即可化簡求值.【詳解】如圖所示，過點(diǎn)A作于點(diǎn)D，則，同理可證，因?yàn)椋?，整理得，因?yàn)闉殇J角三角形，所以，所以，即，故選：D7.已知雙曲線的左焦點(diǎn)、右頂點(diǎn)分別為，過點(diǎn)傾斜角為的直線交的兩條漸近線分別于點(diǎn).若為等邊三角形，則雙曲線的漸近線方程是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】求出直線的方程，與漸近線方程聯(lián)立，求出的坐標(biāo)，利用為等邊三角形即，得到的關(guān)系，即可得漸近線方程.【詳解】由題意可得，所以直線的方程為，由可得，由可得，因?yàn)闉榈冗吶切?，所以，即，整理可得，所以，所以雙曲線的漸近線方程是，故選：C.8.已知函數(shù)，則關(guān)于的不等式的解集是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由函數(shù)解析式，可得函數(shù)的單調(diào)性與對稱性，化簡不等式，可得答案.【詳解】由，則，由，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，易知函數(shù)在上單調(diào)遞減，由，則，即，可得，分解因式可得，解得.故選：A.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，不選或有選錯(cuò)的得0分.9.已知，則（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)余弦函數(shù)的和差公式，同角三角函數(shù)的商式公式，以及二倍角公式，可得答案.【詳解】由，且，則，故A錯(cuò)誤；由，故B正確；由，故C正確；由，故D錯(cuò)誤.故選：BC.10.在邊長為2的菱形中，，將菱形沿對角線折成四面體，使得，則（）A.直線與直線所成角為B.直線與平面所成角的余弦值為C.四面體的體積為D.四面體外接球的表面積為【答案】ABD【解析】【分析】A.證明平面即可；B找出線面角，在中求解；C.因平面，則；D作垂線，找球心，在中求解.【詳解】如圖所示，取的中點(diǎn)，連接，因和為等邊三角形，則，因平面，平面，則平面，因平面，則，故A正確；因平面，則在平面內(nèi)的投影落在直線上，故為直線與平面所成角，因，，則，因，則在中邊上的高為，則，故B正確；因，平面，則，故C錯(cuò)誤；點(diǎn)分別為和的外心，過分別作平面，平面，，則點(diǎn)為球心，則，在中，，故，則，則四面體外接球的表面積為，故D正確.故選：ABD11.已知函數(shù)滿足：對任意，且當(dāng)時(shí)，.下列說法正確的是（）A.B.為偶函數(shù)C.當(dāng)時(shí)，D.在上單調(diào)遞減【答案】ACD【解析】【分析】由關(guān)系取，可求，取，可求，再求，判斷A，取，可得，的關(guān)系，再將替換為，求，由此判斷函數(shù)的奇偶性，判斷B，將中的用替換可得，結(jié)合條件證明當(dāng)時(shí)，，再結(jié)合函數(shù)的奇偶性判斷C，結(jié)合單調(diào)性定義證明函數(shù)在上單調(diào)遞減，再利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)在上單調(diào)遞減，判斷D.【詳解】因?yàn)?，令，，可得，所以，令，，可得，所以，所以，A正確；由，令可得，，再將中的替換為，可得，所以，所以，所以函數(shù)為奇函數(shù)，B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，將中的用替換，可得，即，當(dāng)時(shí)，，由已知可得，所以，，又函數(shù)為奇函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，，，所以當(dāng)時(shí)，，C正確；因?yàn)?，所以若，則，任取，且，則，因?yàn)?，所以，，所以，所以，所以函?shù)在上單調(diào)遞減，設(shè)，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)椋?，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，所以，所以，所以在上單調(diào)遞減.故選：ACD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則實(shí)數(shù)的值是__________.【答案】【解析】【分析】由條件可得，化簡求.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于直線對稱，所以，所以，所以，所以，因?yàn)椴缓銥?，所以，所?故答案為：.13.已知橢圓的上頂點(diǎn)為，直線交于兩點(diǎn).若的重心為，則實(shí)數(shù)的值是__________.【答案】##0.75【解析】【分析】根據(jù)橢圓方程求出上頂點(diǎn)的坐標(biāo)，再設(shè)出，，利用三角形重心坐標(biāo)公式得到與的值，然后聯(lián)立直線與橢圓方程，根據(jù)韋達(dá)定理求出與關(guān)于、的表達(dá)式，進(jìn)而求出的值.【詳解】已知橢圓，上頂點(diǎn)坐標(biāo)為.設(shè)，，因?yàn)榈闹匦臑椋裕?由可得；由可得.直曲聯(lián)立，將直線代入橢圓，可得.展開并整理得.根據(jù)韋達(dá)定理可知.又因?yàn)椋?，所?由可得①；由可得②.由②可得，將其代入①可得：，則，解得.當(dāng)時(shí)，代入②可得，，此時(shí)直線與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，符合題意.故答案為：.14.將9個(gè)互不相同的向量，填入的方格中，使得每行、每列的三個(gè)向量的和都相等，則不同的填法種數(shù)是__________.【答案】72【解析】【分析】先確定每行、每列向量和的可能情況，再根據(jù)向量和的情況確定滿足條件的向量組合，最后計(jì)算不同的填法種數(shù).結(jié)合分步乘法原理計(jì)算即可.【詳解】已知，那么向量的所有可能情況有共種.設(shè)每行、每列的三個(gè)向量的和為，因?yàn)?，所?又因?yàn)槿邢蛄亢偷扔谌邢蛄亢?，且所有向量和為，所以，而的分量和分量都為（取值且各有個(gè)），所以.要使每行、每列的三個(gè)向量和為，則每行、每列的三個(gè)向量的分量和分量都分別為.對于分量，個(gè)數(shù)的和為，有這一種組合情況；對于分量，個(gè)數(shù)的和為，也有這一種組合情況.先確定第一行的填法，第一行的個(gè)向量的分量和分量都要滿足的組合，分量的排列有種，分量的排列也有種，所以第一行的填法有種.當(dāng)?shù)谝恍写_定后，第二行第一列的向量分量要與第一行第一列和第三行第一列的分量和為，分量同理，所以第二行第一列的向量是唯一確定的，同理第二行第二列、第二行第三列的向量也唯一確定，第三行的向量也就隨之確定.因?yàn)榈谝恍写_定后，第二行和第三行可以交換位置.所以不同的填法種數(shù)是種.故答案為：72.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.如圖，內(nèi)接于圓為圓的直徑，平面為線段中點(diǎn).（1）求證：平面平面；（2）若，求平面與平面所成銳二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）易證，，故平面，由面面垂直判定定理即可證明平面平面；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面與平面的法向量，利用空間向量即可求空間角.【小問1詳解】因?yàn)閮?nèi)接于圓為圓的直徑，所以.因?yàn)槠矫嫫矫?，所?又平面，所以平面.因?yàn)槠矫?，所以平面平?【小問2詳解】因?yàn)槠矫嫫矫?，所?以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，所以，則，所以.設(shè)平面的法向量，由得不妨設(shè)，則，所以平面的一個(gè)法向量.又，設(shè)平面的法向量，由得不妨設(shè)，則，所以平面的一個(gè)法向量.所以，即平面與平面所成銳二面角的余弦值為.16.已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足為常數(shù)，且.（1）求的值；（2）證明：為等差數(shù)列；（3）若，求的取值范圍.【答案】（1）（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）由關(guān)系式取可得，結(jié)合及條件求；（2）將關(guān)系式中的用替換，與原式相減，結(jié)合與關(guān)系可得遞推式，再證明結(jié)論；（3）由（2）求，代入不等式可得恒成立，由此可求的取值范圍.【小問1詳解】因?yàn)椋?，又，所?又，所以.【小問2詳解】由（1）可得，所以，因此，相減得，得，所以為等差數(shù)列.【小問3詳解】由（2）得，由，得.因?yàn)閷愠闪?，所?17.甲、乙兩人組隊(duì)準(zhǔn)備參加一項(xiàng)挑戰(zhàn)比賽，該挑戰(zhàn)比賽共分關(guān)，規(guī)則如下：首先某隊(duì)員先上場從第一關(guān)開始挑戰(zhàn)，若挑戰(zhàn)成功，則該隊(duì)員繼續(xù)挑戰(zhàn)下一關(guān)，否則該隊(duì)員被淘汰，并由第二名隊(duì)員接力，從上一名隊(duì)員失敗的關(guān)卡開始繼續(xù)挑戰(zhàn)，當(dāng)兩名隊(duì)員均被淘汰或者關(guān)都挑戰(zhàn)成功，挑戰(zhàn)比賽結(jié)束.若甲每一關(guān)挑戰(zhàn)成功的概率均為，乙每一關(guān)挑戰(zhàn)成功的概率均為，且甲、乙兩人每關(guān)挑戰(zhàn)成功與否互不影響，每關(guān)成功與否也互不影響.（1）已知甲先上場，，①求挑戰(zhàn)沒有一關(guān)成功的概率；②設(shè)為挑戰(zhàn)比賽結(jié)束時(shí)挑戰(zhàn)成功的關(guān)卡數(shù)，求；（2）如果關(guān)都挑戰(zhàn)成功，那么比賽挑戰(zhàn)成功.試判斷甲先出場與乙先出場比賽挑戰(zhàn)成功的概率是否相同，并說明理由.【答案】（1）①；②（2）概率相同，理由見解析【解析】【分析】（1）①記甲先上場且兩關(guān)都沒成功的概率為.甲每關(guān)不成功概率是，乙每關(guān)不成功概率是.再結(jié)合獨(dú)立事件乘法公式計(jì)算即可；②取值有，，.求出對應(yīng)概率，再按期望算法算出期望.

（2）設(shè)甲先出場成功概率為，乙先出場成功概率為.把和展開成式子，對應(yīng)部分相等，所以，即甲、乙先出場成功概率一樣.【小問1詳解】①記甲先上場且挑戰(zhàn)沒有一關(guān)成功的概率為，則.②依題可知，的可能取值為，則，所以.【小問2詳解】設(shè)甲先出場比賽挑戰(zhàn)成功的概率為，乙先出場比賽挑戰(zhàn)成功的概率為，則由，得因此，甲先出場與乙先出場比賽挑戰(zhàn)成功的概率相同.18.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求證：；（2）若對于恒成立，求的取值范圍；（3）若存在，使得，求證：.【答案】（1）證明見解析（2）（3）證明見解析【解析】【分析】（1）由由，得，構(gòu)造函數(shù)，求解單調(diào)性，證明結(jié)果;（2）求解令，則，分類討論求解的范圍;（3）由（2）知，設(shè)，判斷單調(diào)性，，所以只需證，由，即，只需證（*）進(jìn)而證明結(jié)果.【小問1詳解】由，得.要證，只需證.令，則.當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增，所以，故，因此.【小問2詳解】令，則①當(dāng)時(shí)，由，得，因此，滿足題意.②當(dāng)時(shí)，由，得，因此，則在上單調(diào)遞增.若，則，則在上單調(diào)遞增，所以，滿足題意；若，則，因此在存在唯一的零點(diǎn)，且，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以，不合題意.綜上，的取值范圍為.【小問3詳解】由（2）知，設(shè)，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，注意到，故在上存在唯一的零點(diǎn).注意到，且在上單調(diào)遞增.要證明，只需證，因?yàn)?，所以只需證，即證.因?yàn)?，即，所以，只需證，只需證（*）由（1）得，因此，設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，從而，即，因此（*）得證，從而.19.設(shè)是由直線構(gòu)成的集合，對于曲線，若上任意一點(diǎn)處的切線均在中，且中的任意一條直線都是上某點(diǎn)處的切線，則稱為的包絡(luò)曲線.（1）已知圓為的包絡(luò)曲線，判斷直線（為常數(shù)，）與集合的關(guān)系；（2）已知的包絡(luò)曲線為，直線.設(shè)與的公共點(diǎn)分別為，記的焦點(diǎn)為.①證明：是、的等比中項(xiàng)；②若點(diǎn)在圓上，求的最大值.【答案】（1）（2）①證明見解析；②【解析】【分析】（1）求出圓心到直線的距離，即可判斷；（2）解法一：①設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，即可得到直線的方程為，再聯(lián)立直線與拋物線方程，消元，列出韋達(dá)定理，根據(jù)焦半徑公式計(jì)算可得；②由①可得，求出的范圍，即可求出的最大值；解法二：①設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，再求出點(diǎn)坐標(biāo)，最后根據(jù)弦長公式計(jì)算可得；②由①知，設(shè)，求出的范圍，即可求出的范圍，從而得解.【小問1詳解】圓心到的距離，即直線與圓相切，所以.【小問2詳解】解法一：①證明