高考數(shù)學(xué)難題在線解答與試題及答案

高考數(shù)學(xué)難題在線解答與試題及答案姓名：____________________

一、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）

1.已知函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+4x+1$，若$f(x)$在$x=1$處取得極值，則$f'(1)=\boxed{\text{A}}$、$\text{B}$、$\text{C}$、$\text{D}$。

2.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)$A(1,2)$關(guān)于直線$x+y=1$的對(duì)稱點(diǎn)為$B$，則$|AB|$的值為$\boxed{\text{A}}$、$\text{B}$、$\text{C}$、$\text{D}$。

3.已知數(shù)列$\{a_n\}$滿足$a_1=1$，$a_{n+1}=a_n^2-a_n+1$，則數(shù)列$\{a_n\}$的通項(xiàng)公式為$\boxed{\text{A}}$、$\text{B}$、$\text{C}$、$\text{D}$。

4.設(shè)函數(shù)$f(x)=\frac{x^2-4x+3}{x-1}$，則$f(x)$的圖像與$x$軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為$\boxed{\text{A}}$、$\text{B}$、$\text{C}$、$\text{D}$。

5.在$\triangleABC$中，$a=3$，$b=4$，$c=5$，則$\cosA$的值為$\boxed{\text{A}}$、$\text{B}$、$\text{C}$、$\text{D}$。

6.已知函數(shù)$f(x)=\log_2(x+1)$，若$f(x)>0$，則$x$的取值范圍為$\boxed{\text{A}}$、$\text{B}$、$\text{C}$、$\text{D}$。

7.在平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)$P(2,3)$在直線$y=kx+b$上，則$k$和$b$的值分別為$\boxed{\text{A}}$、$\text{B}$、$\text{C}$、$\text{D}$。

8.已知數(shù)列$\{a_n\}$滿足$a_1=1$，$a_{n+1}=a_n+2^n$，則數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項(xiàng)和$S_n$為$\boxed{\text{A}}$、$\text{B}$、$\text{C}$、$\text{D}$。

9.在$\triangleABC$中，$a=3$，$b=4$，$c=5$，則$\sinA$的值為$\boxed{\text{A}}$、$\text{B}$、$\text{C}$、$\text{D}$。

10.已知函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x^2+1}$，若$f(x)<0$，則$x$的取值范圍為$\boxed{\text{A}}$、$\text{B}$、$\text{C}$、$\text{D}$。

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二、判斷題（每題2分，共10題）

1.若函數(shù)$f(x)=x^3-3x+2$在$x=1$處取得極值，則此極值為極大值。（）

2.若點(diǎn)$A(1,2)$和點(diǎn)$B(-3,4)$關(guān)于直線$x+y=0$對(duì)稱，則點(diǎn)$A$關(guān)于直線$x+y=0$的對(duì)稱點(diǎn)為$B$。（）

3.數(shù)列$\{a_n\}$滿足$a_1=1$，$a_{n+1}=a_n^2-a_n+1$，則數(shù)列$\{a_n\}$為等差數(shù)列。（）

4.函數(shù)$f(x)=\frac{x^2-4x+3}{x-1}$在$x=1$處無(wú)定義，因此$f(x)$的圖像與$x$軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為0。（）

5.在$\triangleABC$中，若$a=3$，$b=4$，$c=5$，則$\triangleABC$為直角三角形。（）

6.函數(shù)$f(x)=\log_2(x+1)$在$x=0$處取值為0，因此$f(x)>0$的解集為$x>0$。（）

7.在平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)$P(2,3)$在直線$y=kx+b$上，則$k$和$b$的值分別為$\frac{3}{2}$和$1$。（）

8.數(shù)列$\{a_n\}$滿足$a_1=1$，$a_{n+1}=a_n+2^n$，則數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項(xiàng)和$S_n$為$2^n-1$。（）

9.在$\triangleABC$中，若$a=3$，$b=4$，$c=5$，則$\sinA$的值為$\frac{3}{5}$。（）

10.函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x^2+1}$在$x=0$處取值為1，因此$f(x)<0$的解集為$x<0$。（）

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三、簡(jiǎn)答題（每題5分，共4題）

1.簡(jiǎn)述函數(shù)$f(x)=\frac{x^2-4x+3}{x-1}$的圖像特征，并指出其圖像與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)。

2.設(shè)數(shù)列$\{a_n\}$滿足$a_1=1$，$a_{n+1}=a_n^2-a_n+1$，求證數(shù)列$\{a_n\}$是單調(diào)遞增的。

3.已知函數(shù)$f(x)=\log_2(x+1)$，求函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$[0,2]$上的最大值和最小值。

4.在$\triangleABC$中，已知$a=3$，$b=4$，$c=5$，求$\triangleABC$的內(nèi)角$A$的正弦值。

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四、論述題（每題10分，共2題）

1.論述數(shù)列$\{a_n\}$滿足$a_1=1$，$a_{n+1}=a_n^2-a_n+1$的性質(zhì)，包括但不限于：

-分析數(shù)列$\{a_n\}$的遞推關(guān)系，并推導(dǎo)出數(shù)列的通項(xiàng)公式。

-判斷數(shù)列$\{a_n\}$的單調(diào)性，并給出證明過(guò)程。

-討論數(shù)列$\{a_n\}$的極限是否存在，并給出證明。

2.論述函數(shù)$f(x)=\frac{x^2-4x+3}{x-1}$的性質(zhì)，包括但不限于：

-分析函數(shù)的定義域和值域。

-判斷函數(shù)的奇偶性和周期性。

-討論函數(shù)的極值和拐點(diǎn)，并給出計(jì)算過(guò)程。

-分析函數(shù)的圖像，包括圖像的凹凸性和漸近線。

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五、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）

1.若函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+4x+1$在$x=1$處取得極值，則$f'(1)$的值為（）

A.-1B.1C.2D.3

2.已知點(diǎn)$A(1,2)$關(guān)于直線$x+y=1$的對(duì)稱點(diǎn)為$B$，則$|AB|$的值為（）

A.$\sqrt{5}$B.2C.$\sqrt{2}$D.1

3.數(shù)列$\{a_n\}$滿足$a_1=1$，$a_{n+1}=a_n^2-a_n+1$，則數(shù)列$\{a_n\}$的通項(xiàng)公式為（）

A.$a_n=n^2-1$B.$a_n=2^n-1$C.$a_n=n!$D.$a_n=3^n$

4.函數(shù)$f(x)=\frac{x^2-4x+3}{x-1}$的圖像與$x$軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.0

5.在$\triangleABC$中，$a=3$，$b=4$，$c=5$，則$\cosA$的值為（）

A.$\frac{1}{2}$B.$\frac{3}{5}$C.$\frac{4}{5}$D.$\frac{1}{3}$

6.函數(shù)$f(x)=\log_2(x+1)$，若$f(x)>0$，則$x$的取值范圍為（）

A.$x>0$B.$x>1$C.$x>-1$D.$x\geq1$

7.在平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)$P(2,3)$在直線$y=kx+b$上，則$k$和$b$的值分別為（）

A.$k=1,b=2$B.$k=2,b=1$C.$k=1,b=1$D.$k=2,b=2$

8.數(shù)列$\{a_n\}$滿足$a_1=1$，$a_{n+1}=a_n+2^n$，則數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項(xiàng)和$S_n$為（）

A.$S_n=2^n-1$B.$S_n=2^n+1$C.$S_n=2^{n+1}-1$D.$S_n=2^n-2$

9.在$\triangleABC$中，$a=3$，$b=4$，$c=5$，則$\sinA$的值為（）

A.$\frac{3}{5}$B.$\frac{4}{5}$C.$\frac{1}{2}$D.$\frac{1}{3}$

10.函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x^2+1}$，若$f(x)<0$，則$x$的取值范圍為（）

A.$x<0$B.$x>0$C.$x\leq0$D.$x\geq0$

試卷答案如下：

一、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）

1.答案：A

解析思路：求導(dǎo)數(shù)$f'(x)=3x^2-6x+4$，代入$x=1$得$f'(1)=-1$。

2.答案：C

解析思路：利用對(duì)稱點(diǎn)公式，設(shè)$B(x_B,y_B)$，則$x_B=2-1=1$，$y_B=2-2=0$，所以$|AB|=\sqrt{(1-1)^2+(0-2)^2}=2$。

3.答案：C

解析思路：觀察數(shù)列的遞推關(guān)系，可以發(fā)現(xiàn)$a_n=a_{n-1}+2^{n-1}$，因此$a_n=1+2^0+2^1+...+2^{n-1}=2^n-1$。

4.答案：B

解析思路：因式分解分子，得$f(x)=(x-1)(x-3)$，所以$f(x)$與$x$軸的交點(diǎn)為$x=1$和$x=3$。

5.答案：A

解析思路：根據(jù)勾股定理，$a^2+b^2=c^2$，代入$a=3$，$b=4$，$c=5$，得$9+16=25$，滿足直角三角形的條件。

6.答案：B

解析思路：對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，$f(x)>0$當(dāng)且僅當(dāng)$x+1>1$，即$x>0$。

7.答案：C

解析思路：代入點(diǎn)$P(2,3)$，得$3=k\cdot2+b$，解得$k=1$，$b=1$。

8.答案：A

解析思路：觀察數(shù)列的遞推關(guān)系，可以發(fā)現(xiàn)$a_n=a_{n-1}+2^{n-1}$，因此$a_n=1+2^0+2^1+...+2^{n-1}=2^n-1$。

9.答案：B

解析思路：根據(jù)勾股定理，$\sinA=\frac{a}{c}=\frac{3}{5}$。

10.答案：A

解析思路：對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，$f(x)<0$當(dāng)且僅當(dāng)$x+1<1$，即$x<-1$。

二、判斷題（每題2分，共10題）

1.錯(cuò)誤

解析思路：求導(dǎo)數(shù)$f'(x)=3x^2-6x+4$，代入$x=1$得$f'(1)=-1$，因此為極小值。

2.錯(cuò)誤

解析思路：根據(jù)對(duì)稱點(diǎn)公式，設(shè)$B(x_B,y_B)$，則$x_B=2-1=1$，$y_B=2-2=0$，所以$B$關(guān)于直線$x+y=1$的對(duì)稱點(diǎn)為$A$。

3.正確

解析思路：根據(jù)遞推關(guān)系，$a_{n+1}-a_n=2^{n-1}$，所以數(shù)列$\{a_n\}$為等差數(shù)列。

4.錯(cuò)誤

解析思路：因式分解分子，得$f(x)=(x-1)(x-3)$，所以$f(x)$與$x$軸的交點(diǎn)為$x=1$和$x=3$。

5.正確

解析思路：根據(jù)勾股定理，$a^2+b^2=c^2$，代入$a=3$，$b=4$，$c=5$，得$9+16=25$，滿足直角三角形的條件。

6.錯(cuò)誤

解析思路：對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，$f(x)>0$當(dāng)且僅當(dāng)$x+1>1$，即$x>0$。

7.正確

解析思路：代入點(diǎn)$P(2,3)$，得$3=k\cdot2+b$，解得$k=1$，$b=1$。

8.正確

解析思路：根據(jù)遞推關(guān)系，$a_{n+1}-a_n=2^{n-1}$，所以數(shù)列$\{a_n\}$為等差數(shù)列。

9.正確

解析思路：根據(jù)勾股定理，$\sinA=\frac{a}{c}=\frac{3}{5}$。

10.錯(cuò)誤

解析思路：對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，$f(x)<0$當(dāng)且僅當(dāng)$x+1<1$，即$x<-1$。

三、簡(jiǎn)答題（每題5分，共4題）

1.答案：函數(shù)$f(x)=\frac{x^2-4x+3}{x-1}$的圖像是一個(gè)開(kāi)口向上的拋物線，頂點(diǎn)在$(2,-1)$，與$x$軸的交點(diǎn)為$(1,0)$和$(3,0)$。

2.答案：根據(jù)遞推關(guān)系$a_{n+1}=a_n^2-a_n+1$，有$a_{n+1}-a_n=a_n(a_n-1)$。由于$a_1=1>0$，且$a_n^2-a_n+1=(a_n-1)^2+1>0$，所以$a_{n+1}-a_n>0$，即數(shù)列$\{a_n\}$是單調(diào)遞增的。

3.答案：函數(shù)$f(x)=\log_2(x+1)$在區(qū)間$[0,2]$上是增函數(shù)，因此最小值為$f(0)=\log_2(1)=0$，最大值為$f(2)=\log_2(3)$。

4.答案：根據(jù)勾股定理，$a^2+b^2=c^2$，代入$a=3$，$b=4$，$c=5$，得$\sinA=\frac{a}{c}=\frac{3}{5}$。

四、論述題（每題10分，共2題）

1.答案：數(shù)列$\{a_n\}$滿足$a_1=1$，$a_{n+1}=a_n^2-a_n+1$的性質(zhì)如下：

-通項(xiàng)公式：$a_n=2^n-1$。

-單調(diào)性：數(shù)列$\{a_n\}$是單調(diào)遞增的，因?yàn)?a_{n+1}-a_n=a_n(a_n-1)>0$，當(dāng)$a_n>1$時(shí)。

-極限存在性：數(shù)