高考數(shù)學(xué)計(jì)算技巧與試題及答案

高考數(shù)學(xué)計(jì)算技巧與試題及答案姓名：____________________

一、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）

1.已知函數(shù)\(f(x)=ax^2+bx+c\)，其中\(zhòng)(a\neq0\)。若\(f(1)=3\)，\(f(-1)=1\)，且\(f(x)\)在\(x=0\)處的導(dǎo)數(shù)等于2，則下列說法正確的是（）

A.\(a=1\)

B.\(b=1\)

C.\(c=2\)

D.\(a+b+c=4\)

2.若等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為\(S_n\)，則\(S_{2n}-S_n\)是（）

A.常數(shù)項(xiàng)

B.首項(xiàng)

C.第二項(xiàng)

D.第四項(xiàng)

3.若函數(shù)\(y=x^3-3x^2+ax+b\)在\(x=1\)處取得極值，則\(a\)的值為（）

A.1

B.-2

C.0

D.-1

4.若復(fù)數(shù)\(z\)滿足\(|z-1|=|z+1|\)，則\(z\)所在的軌跡是（）

A.實(shí)軸

B.虛軸

C.圓

D.線段

5.已知三角形的三邊長分別為\(a\)，\(b\)，\(c\)，且\(a+b+c=6\)，\(a^2+b^2+c^2=12\)，則三角形的面積\(S\)為（）

A.1

B.2

C.3

D.4

6.若\(\frac{1}{\sin\alpha+\cos\alpha}+\frac{1}{\sin\alpha-\cos\alpha}=\frac{2}{\sin2\alpha}\)，則\(\sin\alpha\)的值為（）

A.\(\frac{1}{2}\)

B.\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)

C.\(\frac{3}{2}\)

D.\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)

7.若函數(shù)\(f(x)=x^3-3x+1\)在區(qū)間\([-1,2]\)上存在極值，則\(f(-1)\)與\(f(2)\)的大小關(guān)系是（）

A.\(f(-1)>f(2)\)

B.\(f(-1)<f(2)\)

C.\(f(-1)=f(2)\)

D.無法確定

8.若\(\log_2(3x-1)=\log_2(x+1)\)，則\(x\)的值為（）

A.1

B.2

C.3

D.4

9.若\(\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x+1}=\frac{4}{(x-1)(x+1)}\)，則\(x\)的值為（）

A.2

B.0

C.1

D.-1

10.若函數(shù)\(f(x)=\sqrt{4-x^2}\)的定義域?yàn)閈(A\)，值域?yàn)閈(B\)，則下列說法正確的是（）

A.\(A\subseteqB\)

B.\(B\subseteqA\)

C.\(A\capB=\varnothing\)

D.\(A\cupB=\mathbb{R}\)

答案：1.B2.A3.D4.C5.A6.C7.A8.C9.A10.A

二、判斷題（每題2分，共10題）

1.對(duì)于任意實(shí)數(shù)\(a\)，\(a^2\geq0\)總是成立。（）

2.若\(\sin\alpha=\cos\alpha\)，則\(\alpha\)必須是\(\frac{\pi}{4}\)的整數(shù)倍。（）

3.在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到直線的距離公式為\(d=\frac{|Ax+By+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}\)。（）

4.若\(\log_ab=\log_cd\)，則\(a\cdotc=b\cdotd\)。（）

5.二項(xiàng)式定理可以用來展開任何形式的二項(xiàng)式。（）

6.若\(\sin\alpha+\cos\alpha=1\)，則\(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\)。（）

7.在等差數(shù)列中，任意兩項(xiàng)之和等于這兩項(xiàng)中間項(xiàng)的兩倍。（）

8.若\(\log_2x=\log_3y\)，則\(x\)和\(y\)必須是同底數(shù)的對(duì)數(shù)。（）

9.在等比數(shù)列中，任意兩項(xiàng)之積等于這兩項(xiàng)中間項(xiàng)的平方。（）

10.若\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1\)，則\(\sinx\)在\(x=0\)處連續(xù)。（）

答案：1.√2.×3.√4.×5.×6.√7.√8.×9.√10.√

三、簡(jiǎn)答題（每題5分，共4題）

1.簡(jiǎn)述如何使用配方法解一元二次方程\(ax^2+bx+c=0\)。

2.請(qǐng)簡(jiǎn)述三角函數(shù)的基本性質(zhì)，包括周期性、奇偶性、單調(diào)性等。

3.如何利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性？

4.請(qǐng)簡(jiǎn)述二項(xiàng)式定理中二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，并給出一個(gè)例子說明。

四、論述題（每題10分，共2題）

1.論述在解決函數(shù)問題時(shí)，如何合理運(yùn)用換元法簡(jiǎn)化計(jì)算。

2.結(jié)合具體實(shí)例，討論在解決幾何問題時(shí)，如何靈活運(yùn)用向量方法解決。

五、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）

1.若\(\sin\alpha=\frac{1}{2}\)，且\(\alpha\)在第二象限，則\(\cos\alpha\)的值為（）

A.\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)

B.\(-\frac{\sqrt{3}}{2}\)

C.\(\frac{1}{2}\)

D.\(-\frac{1}{2}\)

2.若\(\log_2x=3\)，則\(x\)的值為（）

A.2

B.4

C.8

D.16

3.已知等差數(shù)列的前5項(xiàng)和為15，第3項(xiàng)為5，則該數(shù)列的首項(xiàng)為（）

A.1

B.2

C.3

D.4

4.若\(\frac{1}{x^2-1}=\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}\)，則\(x\)的值為（）

A.1

B.-1

C.2

D.-2

5.若\(\tan\alpha=2\)，則\(\sin\alpha\)的值為（）

A.\(\frac{2}{\sqrt{5}}\)

B.\(\frac{1}{\sqrt{5}}\)

C.\(\frac{2\sqrt{5}}{5}\)

D.\(\frac{\sqrt{5}}{2}\)

6.若\(\log_3x=\log_9y\)，則\(x\)和\(y\)的關(guān)系是（）

A.\(x=y^2\)

B.\(x=y^3\)

C.\(x=y^6\)

D.\(x=y^9\)

7.若\(\frac{1}{\sin\alpha}+\frac{1}{\cos\alpha}=2\)，則\(\tan\alpha\)的值為（）

A.1

B.2

C.3

D.4

8.若\(\log_2x+\log_2y=\log_24\)，則\(xy\)的值為（）

A.2

B.4

C.8

D.16

9.若\(\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x+1}=\frac{4}{(x-1)(x+1)}\)，則\(x\)的值為（）

A.2

B.0

C.1

D.-1

10.若\(\sin\alpha+\cos\alpha=\sqrt{2}\)，則\(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha\)的值為（）

A.1

B.2

C.3

D.4

答案：1.B2.C3.A4.C5.A6.C7.A8.C9.A10.A

試卷答案如下：

一、多項(xiàng)選擇題

1.B

解析思路：由\(f(1)=3\)和\(f(-1)=1\)可得兩個(gè)方程，解得\(a\)，\(b\)，\(c\)的值，然后代入\(f'(0)=2\)驗(yàn)證，發(fā)現(xiàn)\(b\)滿足條件。

2.A

解析思路：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式為\(S_n=\frac{n}{2}(2a+(n-1)d)\)，代入\(n\)和\(2n\)分別計(jì)算\(S_{2n}\)和\(S_n\)，相減得到\(nd\)，即首項(xiàng)和末項(xiàng)的和。

3.D

解析思路：求導(dǎo)數(shù)\(f'(x)=2ax+b\)，代入\(x=1\)得\(f'(1)=2a+b=2\)，由\(f(1)=3\)可得\(a+b+c=3\)，解得\(a\)，\(b\)，\(c\)的值。

4.C

解析思路：由\(|z-1|=|z+1|\)可得\(z\)到\(1\)和\(-1\)的距離相等，因此\(z\)在\(y\)軸上。

5.A

解析思路：由\(a+b+c=6\)和\(a^2+b^2+c^2=12\)可得\((a+b+c)^2=36\)，解得\(ab+bc+ca=6\)，利用海倫公式計(jì)算三角形面積。

6.C

解析思路：由\(\frac{1}{\sin\alpha+\cos\alpha}+\frac{1}{\sin\alpha-\cos\alpha}=\frac{2}{\sin2\alpha}\)可得\(\sin\alpha=\frac{3}{2}\)，由于\(\sin\alpha\)的取值范圍是\([-1,1]\)，所以\(\sin\alpha=\frac{3}{2}\)無解。

7.A

解析思路：求導(dǎo)數(shù)\(f'(x)=3x^2-6x+a\)，令\(f'(x)=0\)解得\(x\)的值，然后判斷\(f(x)\)在\(x=1\)處的極值。

8.C

解析思路：由\(\log_2(3x-1)=\log_2(x+1)\)可得\(3x-1=x+1\)，解得\(x\)的值。

9.A

解析思路：由\(\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x+1}=\frac{4}{(x-1)(x+1)}\)可得\(x^2-1=4\)，解得\(x\)的值。

10.A

解析思路：由\(\log_2(3x-1)=\log_2(x+1)\)可得\(3x-1=x+1\)，解得\(x\)的值。

二、判斷題

1.√

解析思路：\(a^2\)為非負(fù)數(shù)。

2.×

解析思路：\(\sin\alpha=\cos\alpha\)時(shí)，\(\alpha\)可以是\(\frac{\pi}{4}\)的整數(shù)倍，但不是唯一解。

3.√

解析思路：點(diǎn)到直線的距離公式是基本的幾何知識(shí)。

4.×

解析思路：\(\log_ab=\log_cd\)意味著\(a\)，\(c\)是同底數(shù)的對(duì)數(shù)，而不是\(a\cdotc=b\cdotd\)。

5.×

解析思路：二項(xiàng)式定理只適用于二項(xiàng)式的展開。

6.√

解析思路：根據(jù)三角恒等式\(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\)。

7.√

解析思路：等差數(shù)列的性質(zhì)。

8.×

解析思路：\(\log_2x=\log_3y\)意味著\(x\)和\(y\)是同底數(shù)的對(duì)數(shù)，而不是\(x\)和\(y\)必須是同底數(shù)的對(duì)數(shù)。

9.√

解析思路：等比數(shù)列的性質(zhì)。

10.√

解析思路：由極限的定義，\(\sinx\)在\(x=0\)處連續(xù)。

三、簡(jiǎn)答題

1.解析思路：將一元二次方程\(ax^2+bx+c=0\)轉(zhuǎn)化為\((x+p)^2=q\)的形式，其中\(zhòng)(p\)和\(q\)是常數(shù)，然后解得\(x\)