2024-2025學(xué)年天津市濱海新區(qū)塘沽紫云中學(xué)教育集團(tuán)校高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年天津市塘沽紫云中學(xué)教育集團(tuán)校高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.AB?AC+A.CD B.DC C.BC D.CB2.下列命題正確的是(

)A.三點確定一個平面 B.梯形確定一個平面

C.兩條直線確定一個平面 D.四邊形確定一個平面3.復(fù)數(shù)z滿足z(5+12i)=13i，則z?的虛部為(

)A.?1213 B.?5i13 C.4.如圖，AD為ΔABC的邊BC上的中線，且AD=a,AC=b，那么A.2a?b

B.a?2b

5.四邊形OABC直觀圖為如圖矩形O1A1B1C1，其中O1AA.8

B.10

C.12

D.166.“a<0”是“復(fù)數(shù)2+(2?a)i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第一象限”的(

)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件7.若棱長為23的正方體的頂點都在同一球面上，則該球的表面積為(

)A.12π B.24π C.36π D.144π8.在△ABC中，若AB=4，BC=5，B=π6，則AB?A.?103 B.?53 C.9.設(shè)m，n為空間兩條不同的直線，α，β為空間兩個不同的平面，給出下列命題：

①若m⊥α，m//β，則α⊥β；

②若m//α，n//α，則m//n；

③若m?α，n?α且m//β，n//β，則α//β；

④若m⊥α，n//β且α//β，則m⊥n．

其中所有正確命題的序號是(

)A.①② B.②③ C.③④ D.①④10.設(shè)x，y∈R，向量a=(x,1)，b=(1,y)，c=(2,?4)，且a⊥c，b/?/A.5 B.10 C.211.在△ABC中，bcos2A+b=2ccosA，則△ABC的形狀為(

)A.等邊三角形 B.等腰三角形或直角三角形

C.直角三角形 D.等腰直角三角形12.正多面體也稱柏拉圖立體(被譽(yù)為最有規(guī)律的立體結(jié)構(gòu))，是所有面都只由一種正多邊形構(gòu)成的多面體(各面都是全等的正多邊形).數(shù)學(xué)家已經(jīng)證明世界上只存在五種柏拉圖立體，即正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體.已知一個正八面體ABCDEF的棱長都是3(如圖)，則下列說法錯誤的是(

)A.AC⊥DE

B.直線BC與平面BEDF所成的角為60°

C.若點P為棱EB上的動點，則三棱錐F?ADP的體積為定值924

D.若點P為棱ED上的動點，則二、填空題：本題共8小題，每小題5分，共40分。13.i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)z=(1+i)(2?ai)(a∈R)為純虛數(shù)，則a=______．14.在△ABC中，∠A=30°，AC=2，BC=2，那么sinB等于______．15.已知向量a=(2,0)，b=(1,1)，則a在b方向上的投影向量的坐標(biāo)______．16.已知圓錐的底面半徑為2，其側(cè)面展開圖為一個半圓，則該圓錐的母線長為______．17.已知復(fù)數(shù)z=3+ai1?2i(a∈R)滿足|z|=5，則a=18.如圖，E，F(xiàn)，G分別是三棱錐P?ABC的棱AP，BC，AC的中點，PC=10，AB=6，EF=7，是三角形EFG的周長為______，異面直線AB與PC所成的角為______．19.立方、塹堵、陽馬和鱉臑等這些名詞都出自中國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)?商功》，在《九章算術(shù)?商功》中有這樣的記載：“斜解立方，得兩塹堵；斜解塹堵，其一為陽馬，一為鱉臑.”意思是說：把一塊長方體沿斜線分成相同的兩塊，這兩塊叫“塹堵”，如圖，

再把一塊“塹堵”沿斜線分成兩塊，其中以矩形為底，另有一棱與底面垂直的四棱錐，稱為“陽馬”，余下的三棱錐是由四個直角三角形組成的四面體，稱為“鱉臑”，如圖，

現(xiàn)有一四面體ABCD，已知AB=2，BC=3，CD=4，DB=5，AC=13，AD=29，根據(jù)上述史料中“鱉臑”的由來，可求得這個四面體的體積為

，及該四面體的外接球的體積為

．20.在菱形ABCD中，AB=6，∠BAD=60°，CE=2EB，CF=2FD，已知點M在線段EF上，且AM=xAB+12AD，則|三、解答題：本題共4小題，共50分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。21.(本小題12分)

已知向量a，b滿足a=(2,1)，b=(1,?3)．

(Ⅰ)求向量a，b的數(shù)量積a?b；

(Ⅱ)求向量a，b夾角θ的余弦值；

(Ⅲ)22.(本小題12分)

如圖，四棱柱ABCD?A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，AA1⊥平面ABCD，AB=1，AA1=2，∠BAD=60°，點P為DD1的中點．

(1)23.(本小題13分)

在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知a=5，b=11，cosC=35．

(1)求c的值；

(2)求△ABC的面積；

(3)求sin24.(本小題13分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，PA=PB，PA⊥PB，F(xiàn)為CP上的點，且BF⊥平面PAC．

(Ⅰ)求證：平面PAB⊥平面ABCD；

(Ⅱ)求直線PC與平面ABCD所成角的正弦值；

(Ⅲ)在棱PD上是否存在一點G，使GF//平面PAB，若存在，求PG的長；若不存在，說明理由．

參考答案1.A

2.B

3.D

4.A

5.B

6.A

7.C

8.A

9.D

10.B

11.C

12.B

13.?2

14.215.(1,1)

16.217.±4

18.15

π319.4；2920.7

?3721.解：(Ⅰ)∵a=(2,1)，b=(1,?3)，

∴a?b=2×1+1×(?3)=?1；

(Ⅱ)∵a=(2,1)，b=(1,?3)，

∴|a|=5，|b22.解：(1)證明：連接BD交AC于點O，連接PO，如圖，

則O為BD的中點，

由于P是DD1的中點，故PO//BD1，

∵PO?平面PAC，BD1?平面PAC，

∴BD1//平面PAC；

(2)證明：在四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，則AC⊥BD，

又DD1⊥平面ABCD，且AC?平面ABCD，則DD1⊥AC，

∵BD?平面BDD1B1，D1D?平面BDD1B1，BD∩D1D=D，

∴AC⊥平面BDD1B1，又BD1?平面BDD1B1，

∴BD1⊥AC；

(3)連接B1P，B1O，

∵PA=PC，O是AC的中點，∴PO⊥AC，

∵AA1//BB1，AA1⊥平面ABCD，∴BB123.解：(1)在△ABC中，因為a=5，b=11，cosC=35，

所以由余弦定理c2=a2+b2?2abcosC，

得c=52+112?2×5×11×35=45；

(2)在△ABC中，因為a=5，b=11，cosC=35，

則C∈(0,π2)，sinC=1?cos2C=424.(Ⅰ)證明：∵BF⊥平面PAC，∴BF⊥PA，

∵PA⊥PB，PB∩BF=B，

∴PA⊥平面PBC，

∴PA⊥BC，

∵AB⊥BC，PA∩AB=A，

∴BC⊥平面PAB，

∵BC?平面ABCD，

∴平面PAB⊥平面ABCD；

(Ⅱ)解：作PE⊥AB，垂足為E，連接EC，則∠PCE為直線PC與平面ABCD所成角．

∵PA=PB，PA⊥PB，AB=2