2024-2025學(xué)年黑龍江省哈爾濱市道外區(qū)高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年黑龍江省哈爾濱市道外區(qū)高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.下列說法正確的是(

)A.兩個(gè)單位向量一定相等

B.若a與b不共線，則a與b都是非零向量

C.共線的單位向量必相等

D.兩個(gè)相等向量的起點(diǎn)、方向、長度必須都相同2.復(fù)數(shù)(4+i)?(1+5i)的虛部為(

)A.?4 B.4 C.?4i D.4i3.在△ABC中，已知角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若sinA：sinB：sinC=4：7：9，則cosA=(

)A.?1921 B.863 C.194.已知A(2,1)，B(3,1)，C(1,5)三點(diǎn)，則AB?BC等于(

)A.?15 B.?13 C.?2 D.15.如圖，測量河對(duì)岸的塔高AB時(shí)，選取與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)觀測點(diǎn)C與D，AB垂直于平面BCD.現(xiàn)測得∠BCD=15°，∠BDC=120°，CD=20m，并在點(diǎn)C測得塔頂A的仰角為45°，則塔高AB=(

)A.2063m

B.1036.在△ABC中，BC邊上的中線為AD，點(diǎn)O滿足AO=3OD，則OC=A.?38AB+58AC B.7.如圖，高度為?的圓錐形玻璃容器中裝了水，則下列四個(gè)容器中，水的體積最接近容器容積一半的是(

)A. B. C. D.8.如果復(fù)數(shù)z滿足|z+2i|+|z?2i|=4，則|z+i+1|的最小值為(

)A.1 B.2 C.2 D.二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知向量a=(x,3)，b=(5,2)，則下列結(jié)論正確的是(

)A.若a/?/b，則x=152 B.若a⊥b，則x=?65

C.若|10.已知圓錐的頂點(diǎn)為S，AB為底面直徑，△SAB是面積為1的直角三角形，則(

)A.該圓錐的母線長為2 B.該圓錐的體積為13π

C.該圓錐的側(cè)面積為π 11.已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，下列結(jié)論正確的是(

)A.若A>B，則sinA>sinB

B.若b2sin2C+c2sin2B=2bccosBcosC，則△ABC是直角三角形

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知復(fù)數(shù)(2?i)(a+i)是純虛數(shù)(i為虛數(shù)單位)，則實(shí)數(shù)a的值為______．13.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，asinB=?3bcosA，則A=14.六氟化硫，化學(xué)式為SF6，在常壓下是一種無色、無臭、無毒、不燃的穩(wěn)定氣體，有良好的絕緣性，在電器工業(yè)方面具有廣泛用途.六氟化硫分子結(jié)構(gòu)為正八面體結(jié)構(gòu)(正八面體是每個(gè)面都是正三角形的八面體)，如圖所示.若此正八面體的棱長為4，則它的內(nèi)切球的表面積為______．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

設(shè)復(fù)數(shù)z1=2?ai(a∈R)，z2=1+i．

(1)若z1+z2是實(shí)數(shù)，求z16.(本小題15分)

已知a與b是平面內(nèi)的兩個(gè)向量，|a|=2，|b|=1，a與b的夾角為π4．

(1)求a?b；

(2)求|a17.(本小題15分)

在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知b2+c2?a2=bc．

(1)求A．

(2)若18.(本小題17分)

如圖，在棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，截去三棱錐A1?ABD，求

(1)截去的三棱錐A1?ABD的表面積；

(2)剩余的幾何體19.(本小題17分)

在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，向量m=(b,a+c)，n=(b?c,c?a)，且m⊥n．

(1)若邊a=8，AB?AC=6，∠BAC的平分線交BC邊于點(diǎn)D.求AD的長；

(2)若E為BC邊上任意一點(diǎn)，AE=1參考答案1.B

2.A

3.C

4.C

5.C

6.A

7.D

8.A

9.ABD

10.ABD

11.ABD

12.?113.2π314.32π315.解：(1)z1+z2=2?ai+1+i=3+(1?a)i∈R，則a=1，

z1z2=2?i1+i=(2?i)(1?i)(1+i)(1?i)=1?3i2=12?16.解：(1)a?b=|a||b|cos?a,b?=2×1×17.解：(1)因?yàn)閎2+c2?a2=bc，

由余弦定理可得b2+c2?a2=2bccosA，

所以cosA=12，

又0<A<π，

所以A=π3；

(2)因?yàn)閎=2c，A=π3，三角形的面積為83，

所以S△ABC=12bcsinA=32c2=83，

可得c=4，b=8，

由余弦定理得：a2=b2+c2?2bccosA=64+16?2×8×4×12=48．

解得：a=43，

19.解：(1)

根據(jù)題意可知，向量m=(b,a+c)，n=(b?c,c?a)，

由m⊥n得，m?n=b(b?c)+(a+c)(c?a)=0，即bc=b2+c2?a2，

∴cosA=b2+c2?a22bc=12，由A∈