高考數(shù)學(xué) 選填滿分篇 熱點(diǎn)9　三角恒等變換與解三角形

熱點(diǎn)9三角恒等變換與解三角形年份202220232024角度題號(hào)角度題號(hào)角度題號(hào)新高考Ⅰ卷——簡(jiǎn)單的三角恒等變換8簡(jiǎn)單的三角恒等變換4新高考Ⅱ卷簡(jiǎn)單的三角恒等變換6簡(jiǎn)單的三角恒等變換7簡(jiǎn)單的三角恒等變換13【考向一】簡(jiǎn)單的三角恒等變換【典例1】(2024·新高考Ⅰ卷)已知cos(α+β)=m①,tanαtanβ=2②,則cos(α-β)③=(A)A.-3m B.-m3 C.m3 D.【審題思維】①根據(jù)兩角和的余弦公式將①式展開②將②式進(jìn)行切化弦,結(jié)合①的展開式分別求得cosαcosβ=-m,sinαsinβ=-2m③利用兩角差的余弦公式將③式展開,進(jìn)而得解【題后反思】三角函數(shù)求值的類型及方法(1)“給角求值”:一般給出的角都是非特殊角,從表面來看較難,但非特殊角與特殊角總有一定關(guān)系.解題時(shí),要利用觀察得到的關(guān)系,結(jié)合三角函數(shù)公式轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù),有時(shí),雖不能轉(zhuǎn)化為特殊角,但可通過分子分母的約分、正負(fù)項(xiàng)的相互抵消等達(dá)到化簡(jiǎn)求值的目的.(2)“給值求值”:給出某些角的三角函數(shù)值,求另外一些角的三角函數(shù)值,解題關(guān)鍵在于“變角”,使其角相同或具有某種關(guān)系.(3)“給值求角”:將其轉(zhuǎn)化為“給值求值”,關(guān)鍵也是變角,把所求角用含已知角的式子表示,由所得的函數(shù)值結(jié)合該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求得角,有時(shí)要壓縮角的取值范圍.【典例2】(2023·新高考Ⅰ卷)已知sin(α-β)=13,cosαsinβ=16①,則cos(2α+2β)②=A.79 B.19 C.-19 D【審題思維】①根據(jù)給定條件,利用和角、差角的正弦公式求出sin(α+β)②利用二倍角的余弦公式計(jì)算即可【題后反思】1.恒等變換常用結(jié)論(1)sin2α=1-cos2α2,cos2(2)1+cos2α=2cos2α,1-cos2α=2sin2α.(3)tanα±tanβ=tan(α±β)(1?tanαtanβ).2.恒等變換中的“三變”(1)變角:對(duì)角的拆分要盡可能化成同角、特殊角;(2)變名:盡可能減少函數(shù)名稱;(3)變式:對(duì)式子的變形一般要盡可能有理化、整式化、降低次數(shù)等.3.常見的“變角”技巧(1)單角變?yōu)楹?差)角,如α=(α-β)+β,β=α+β2-(2)倍角變?yōu)楹?差)角,如2α=(α+β)+(α-β)等.【提醒】(1)根據(jù)某一三角函數(shù)值求角時(shí)應(yīng)注意角的范圍;(2)已知θ的某個(gè)三角函數(shù)值,求θ2的相應(yīng)三角函數(shù)值時(shí),常借助于半角公式sin2θ2=1-cosθ2,cos2θ2=1+cosθ2,tanθ2=sin【考向二】解三角形【典例1】(2024·全國甲卷)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)邊分別為a,b,c,若B=π3,b2=94ac,則sinA+sinC=(A.32 B.2 C.72 D【審題思維】由正弦定理將b2=94ac轉(zhuǎn)化為sinAsinC=49sin2B=13→由余弦定理得b2=a2+2ac·cosB→a2+c2=134ac→由正弦定理轉(zhuǎn)化為sin2A+sin2C=134sinAsinC=(sinA+sinC)2=sin2A+sin2C+2sinAsinC→最后開平方求得結(jié)果.【題后反思】1.利用余弦定理的變形判定角在△ABC中,c2=a2+b2?C為直角;c2>a2+b2?C為鈍角;c2<a2+b2?C為銳角.2.判斷角的范圍常用到的結(jié)論(1)a+b>c,a+c>b,b+c>a(兩邊之和大于第三邊);(2)大邊對(duì)大角;(3)在△ABC中,A+B+C=π,sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC,tan(A+B)=-tanC.3.解三角形的常見題型及求解方法(1)已知兩角A,B與一邊a,由A+B+C=π及asinA=bsinB=csinC,可先求出角(2)已知兩邊b,c及其夾角A,由a2=b2+c2-2bccosA,先求出a,再求出角B,C.(3)已知三邊a,b,c,由余弦定理可求出角A,B,C.(4)已知兩邊a,b及其中一邊的對(duì)角A,由正弦定理asinA=bsinB可求出另一邊b的對(duì)角B,由C=π-(A+B),可求出角C,再由asinA=csinC可求出c,而通過a【提醒】(1)邊角互化易出錯(cuò),如等式asinA-bsinB=csinC,有時(shí)將左邊化為角,而未兼顧到右邊.(2)角的范圍判斷是難點(diǎn),有時(shí)不能根據(jù)條件求出角的范圍而致錯(cuò).【典例2】(2022·全國甲卷)已知△ABC中,點(diǎn)D在邊BC上,∠ADB=120°,AD=2,CD=2BD①.當(dāng)ACAB取得最小值②時(shí),BD=

3-1【審題思維】①分別在兩個(gè)不同的三角形中利用余弦定理求相應(yīng)邊長②將AC2AB2【題后反思】1.在△ABC中,已知a,b和A時(shí),解的情況項(xiàng)目A為銳角A為鈍角或直角圖形關(guān)系式a=bsinAbsinA<a<ba≥ba>ba≤b解的個(gè)數(shù)一解兩解一解一解無解2.解三角形中的最值或范圍問題的五種解題技巧(1)利用基本不等式求范圍或最值;(2)利用三角函數(shù)求范圍或最值;(3)利用三角形中的不等關(guān)系求范圍或最值;(4)根據(jù)三角形解的個(gè)數(shù)求范圍或最值;(5)利用二次函數(shù)求范圍或最值.先建立所求量(式子)與已知角或邊的關(guān)系,然后把角或邊作為自變量,所求量(式子)的值作為函數(shù)值,將原問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問題.這里要利用條件中的范圍限制以及三角形自身的范圍限制,要盡量把角或邊的范圍(也就是函數(shù)的定義域)找完善,避免結(jié)果的范圍過大.【真題再現(xiàn)】1.★☆☆☆☆(2024·全國甲卷)已知cosαcosα-sinα=3,則tan(αA.23+1 B.23-1 C.32 D.1-2.★☆☆☆☆(2023·新高考Ⅱ卷)已知α為銳角,cosα=1+54,則sinα2=A.3-58 B.-1+58 3.★☆☆☆☆(2022·新高考Ⅱ卷)若sin(α+β)+cos(α+β)=22cosα+π4sinβ,則A.tan(α-β)=1 B.tan(α+β)=1C.tan(α-β)=-1 D.tan(α+β)=-14.★★☆☆☆(2024·新高考Ⅱ卷)已知α為第一象限角,β為第三象限角,tanα+tanβ=4,tanαtanβ=2+1,則sin(α+β)=-223【模擬精選】1.★☆☆☆☆(2024·揚(yáng)州模擬)已知tanα=3,則sin2α+sin2α=(B)A.-32 B.32 C.14 D2.★★☆☆☆(2024·泉州模擬)已知sin(α-β)=2cos(α+β),tan(α-β)=12,則tanα-tan=(C)A.35 B.53 C.45 3.★★☆☆☆(2024·九江三模)在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知2c-a=2bcosA,則B=(B)A.π6 B.π3 C.2π34.★★☆☆☆(2024·貴州模擬)如圖,甲秀樓位于貴州省貴陽市南明區(qū)甲秀路,是該市的標(biāo)志性建筑之一.甲秀樓始建于明朝,后樓毀重建,改名“來鳳閣”,清代甲秀樓多次重修,并恢復(fù)原名,現(xiàn)存建筑是宣統(tǒng)元年(1909年)重建.甲秀樓上下三層,白石為欄,層層收進(jìn).某研究小組將測(cè)量甲秀樓最高點(diǎn)離地面的高度,選取了與該樓底B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)量基點(diǎn)C與D,現(xiàn)測(cè)得∠BCD=23°,∠CDB=30°,CD=11.2m,在C點(diǎn)測(cè)得甲秀樓頂端A的仰角為72.4°,則甲秀樓的高度約為(參考數(shù)據(jù):tan72.4°≈3.15,sin53°≈0.8)(C)A.20m B.21m C.22m D.23m5.★★★☆☆(2024·太原三模)若sin2α=33,sin(β-α)=66,且α∈[π4,π],β∈[π,3π2],則cos(α+β)=(A.5+26 B.306 C.636.★★★☆☆(2024·西安模擬)在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,c(sinA-sinC)=(a-b)(sinA+sinB),若△ABC的面積為34,周長為3b,則AC邊上的高為(BA.33 B.32 C.3 D.7.★★★☆☆(一題多解)(2024·重慶三模)已知函數(shù)f(x)滿足f(tanx)=1sin2x.若x1,x2是方程2024x2+x-2024=0的兩根,則f(x1)+f(x2)=0【創(chuàng)新演練】1.★★☆☆☆(2024·綿陽模擬)已知tan(α+β),tan(α-β)是函數(shù)f(x)=x2-6x+4的零點(diǎn),則cos(3π2+2A.-25 B.-35 C.-710 D2.★★★☆☆(2024·昆明一模)早期天文學(xué)家常采用“三角法”測(cè)量行星的軌道半徑.假設(shè)一