高考數(shù)學(xué)壓軸題分析與試題及答案

高考數(shù)學(xué)壓軸題分析與試題及答案姓名：____________________

一、多項選擇題（每題2分，共10題）

1.已知函數(shù)f（x）=x3-3x2+4x+5，若f（x）=0有兩個不同的實數(shù)根，且這兩個實數(shù)根的乘積是-4，則f（x）=0的解為：

A.x1=2，x2=1

B.x1=-2，x2=1

C.x1=2，x2=-1

D.x1=-2，x2=-1

2.在等差數(shù)列{an}中，若a1=3，a5=11，則數(shù)列{an}的前n項和Sn的最大值是：

A.72

B.84

C.96

D.108

3.在三角形ABC中，AB=AC，點D是BC邊的中點，E是AD上的動點，連接BE和CE，若∠ABE=∠ACE=30°，則△ABE和△ACE的周長之比為：

A.√3：1

B.1：√3

C.2：1

D.1：2

4.已知函數(shù)f（x）=x2-4x+5，若存在實數(shù)a，使得f（a）=0，且f（x）在（-∞，a）上單調(diào)遞增，在（a，+∞）上單調(diào)遞減，則a的取值范圍是：

A.a>2

B.a≤2

C.a<2

D.a≥2

5.在復(fù)數(shù)域中，若（1+i）a=1-i，則復(fù)數(shù)a的值為：

A.1+i

B.1-i

C.1

D.-1

6.已知等比數(shù)列{an}中，a1=1，公比q=2，則數(shù)列{an}的前n項和Sn的通項公式是：

A.Sn=2n-1

B.Sn=2n

C.Sn=2n+1

D.Sn=2n/3

7.已知函數(shù)f（x）=x3+2x2-5x+2，若f（x）在（-∞，+∞）上有三個不同的實數(shù)根，且f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x）的零點為-1，則f（x）的三個實數(shù)根之和為：

A.-1

B.0

C.1

D.2

8.在平面直角坐標(biāo)系中，點A（-2，3），點B（4，-1），C是AB邊的中點，點D是AC邊的中點，若直線y=kx+b經(jīng)過點D，則k和b的取值范圍分別是：

A.k>0，b>0

B.k<0，b<0

C.k>0，b<0

D.k<0，b>0

9.在三角形ABC中，AB=AC，點D是BC邊的中點，E是AD上的動點，若∠ABE=∠ACE=30°，則△ABE和△ACE的面積之比為：

A.√3：1

B.1：√3

C.2：1

D.1：2

10.已知函數(shù)f（x）=x3-3x2+4x+5，若f（x）=0有兩個不同的實數(shù)根，且這兩個實數(shù)根的乘積是-4，則f（x）=0的解為：

A.x1=2，x2=1

B.x1=-2，x2=1

C.x1=2，x2=-1

D.x1=-2，x2=-1

二、判斷題（每題2分，共10題）

1.若函數(shù)f（x）=ax2+bx+c在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增，則a>0，b>0，c>0。（）

2.在等差數(shù)列{an}中，若a1=3，d=2，則數(shù)列{an}的通項公式為an=2n+1。（）

3.若函數(shù)f（x）=x3-3x2+4x+5在（-∞，+∞）上有三個不同的實數(shù)根，則f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x）在（-∞，+∞）上有兩個不同的實數(shù)根。（）

4.在復(fù)數(shù)域中，若（1+i）a=1-i，則復(fù)數(shù)a是純虛數(shù)。（）

5.在等比數(shù)列{an}中，若a1=1，公比q=-2，則數(shù)列{an}的前n項和Sn的通項公式為Sn=2n-1。（）

6.若函數(shù)f（x）=x3+2x2-5x+2在（-∞，+∞）上有三個不同的實數(shù)根，則f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x）在（-∞，+∞）上有兩個不同的實數(shù)根。（）

7.在平面直角坐標(biāo)系中，若直線y=kx+b經(jīng)過點（0，0），則k和b的取值范圍分別是k≠0，b=0。（）

8.在三角形ABC中，若AB=AC，點D是BC邊的中點，則AD是△ABC的中線。（）

9.若函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx+d在（-∞，+∞）上有三個不同的實數(shù)根，則a、b、c、d的取值范圍分別是a≠0，b≠0，c≠0，d≠0。（）

10.在等差數(shù)列{an}中，若a1=5，d=-2，則數(shù)列{an}的前n項和Sn的最大值為55。（）

三、簡答題（每題5分，共4題）

1.簡述如何判斷一個二次函數(shù)在某個區(qū)間上的單調(diào)性。

2.給出一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列，請分別寫出它們的通項公式。

3.如何求一個三角形的面積，如果已知其一邊長和這邊上的高。

4.簡述復(fù)數(shù)乘法的幾何意義。

四、論述題（每題10分，共2題）

1.論述函數(shù)圖像在解析幾何中的重要性，并舉例說明如何通過函數(shù)圖像來分析函數(shù)的性質(zhì)，如單調(diào)性、奇偶性、周期性等。

2.論述數(shù)列極限的概念及其在數(shù)學(xué)分析中的意義。結(jié)合具體例子，說明數(shù)列極限的判定方法，并討論數(shù)列極限在實際問題中的應(yīng)用。

五、單項選擇題（每題2分，共10題）

1.下列各數(shù)中，屬于有理數(shù)的是：

A.√2

B.π

C.-3/4

D.e

2.已知等差數(shù)列{an}中，a1=5，d=3，則a10的值為：

A.32

B.35

C.38

D.41

3.在三角形ABC中，AB=AC，點D是BC邊的中點，若∠ABC=60°，則△ABD和△ACD的面積之比為：

A.1：2

B.2：1

C.1：1

D.3：2

4.函數(shù)f（x）=x2-4x+3的圖像與x軸的交點個數(shù)為：

A.1

B.2

C.3

D.0

5.已知復(fù)數(shù)z=3+4i，則|z|的值為：

A.5

B.7

C.9

D.12

6.等比數(shù)列{an}中，a1=2，公比q=1/2，則數(shù)列{an}的前n項和Sn的值為：

A.2n

B.2n-1

C.2n+1

D.2n/3

7.若函數(shù)f（x）=x3-3x2+4x+5在（-∞，+∞）上有三個不同的實數(shù)根，則f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x）的零點為：

A.-1

B.1

C.2

D.3

8.在平面直角坐標(biāo)系中，點A（1，2），點B（3，4），則線段AB的中點坐標(biāo)為：

A.(2，3)

B.(2，2)

C.(3，2)

D.(2，1)

9.若函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx+d在（-∞，+∞）上有三個不同的實數(shù)根，則a的取值范圍是：

A.a>0

B.a<0

C.a≠0

D.a=0

10.在等差數(shù)列{an}中，若a1=3，d=-2，則數(shù)列{an}的前n項和Sn的最大值為：

A.9

B.12

C.15

D.18

試卷答案如下

一、多項選擇題答案及解析思路

1.B.x1=-2，x2=1

解析思路：根據(jù)韋達定理，兩個根的乘積等于常數(shù)項與二次項系數(shù)的比，即-4/1=-4，解得x1=-2，x2=1。

2.B.84

解析思路：等差數(shù)列的前n項和公式為Sn=n(a1+an)/2，代入a1=3，d=2，得到Sn=n(3+3+2(n-1))/2=3n+n(n-1)=n^2+2n，當(dāng)n=8時，Sn取得最大值，即84。

3.A.√3：1

解析思路：由于AB=AC，且∠ABE=∠ACE=30°，所以△ABE和△ACE都是30°-60°-90°的特殊三角形，因此它們的邊長比為1：√3：2，所以周長之比為√3：1。

4.B.a≤2

解析思路：由于f（x）在（-∞，a）上單調(diào)遞增，在（a，+∞）上單調(diào)遞減，且f（x）=0有兩個不同的實數(shù)根，所以a是這兩個根的平均值，即a=（根1+根2）/2，由于根1和根2的乘積為-4，且根1和根2同號，所以a≤2。

5.A.1+i

解析思路：將（1+i）a=1-i兩邊同時乘以（1-i），得到a=（1-i）/（1+i）（1-i）=（1-i）/2，所以a=1/2-i/2，即a=1+i。

6.A.Sn=2n-1

解析思路：等比數(shù)列的前n項和公式為Sn=a1(1-q^n)/(1-q)，代入a1=1，q=2，得到Sn=1(1-2^n)/(1-2)=2^n-1，即Sn=2n-1。

7.C.1

解析思路：由于f（x）在（-∞，+∞）上有三個不同的實數(shù)根，且f′（x）的零點為-1，所以f′（x）在x=-1處由正變負(fù)，因此x=-1是f（x）的極大值點，也是f（x）的三個實數(shù)根的中點，所以三個實數(shù)根之和為-1。

8.C.k<0，b<0

解析思路：由于直線y=kx+b經(jīng)過點D，D是AC邊的中點，所以D的坐標(biāo)為A和C坐標(biāo)的平均值，即D的坐標(biāo)為(-2+4)/2,(3-1)/2，即D的坐標(biāo)為(1,1)。將D的坐標(biāo)代入直線方程得到k和b的關(guān)系，解得k<0，b<0。

9.B.2：1

解析思路：由于AB=AC，且∠ABE=∠ACE=30°，所以△ABE和△ACE都是30°-60°-90°的特殊三角形，因此它們的面積比為1：√3：2，所以面積之比為√3：1。

10.A.x1=2，x2=1

解析思路：根據(jù)韋達定理，兩個根的乘積等于常數(shù)項與二次項系數(shù)的比，即-4/1=-4，解得x1=2，x2=1。

二、判斷題答案及解析思路

1.×

解析思路：函數(shù)在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增，只要求a>0，b可以是任何實數(shù)。

2.×

解析思路：等差數(shù)列的通項公式為an=a1+(n-1)d，代入a1=3，d=2，得到an=3+2(n-1)=2n+1。

3.√

解析思路：函數(shù)有三個不同的實數(shù)根，導(dǎo)數(shù)有兩個不同的實數(shù)根，這是由羅爾定理和函數(shù)圖像的性質(zhì)決定的。

4.×

解析思路：復(fù)數(shù)a可以是實數(shù)或純虛數(shù)。

5.√

解析思路：等比數(shù)列的前n項和公式為Sn=a1(1-q^n)/(1-q)，代入a1=1，q=1/2，得到Sn=1(1-(1/2)^n)/(1-1/2)=2^n-1。

6.√

解析思路：與第3題解析相同。

7.×

解析思路：直線y=kx+b經(jīng)過原點時，k和b的取值范圍分別是k≠0，b=0。

8.√

解析思路：根據(jù)三角形中位線定理，AD是△ABC的中線。

9.×

解析思路：函數(shù)有三個不同的實數(shù)根，導(dǎo)數(shù)有兩個不同的實數(shù)根，但這并不意味著a、b、c、d都非零。

10.×

解析思路：等差數(shù)列的前n項和公式為Sn=n(a1+an)/2，代入a1=5，d=-2，得到Sn=n(5+5-2(n-1))/2=5n-n(n-1)=5n-n^2+n，當(dāng)n=5時，Sn取得最大值，即15。

三、簡答題答案及解析思路

1.解析思路：判斷函數(shù)在某個區(qū)間上的單調(diào)性，可以通過求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)來判斷。如果導(dǎo)數(shù)恒大于0，則函數(shù)在該區(qū)間上單調(diào)遞增；如果導(dǎo)數(shù)恒小于0，則函數(shù)在該區(qū)間上單調(diào)遞減。

2.解析思路：等差數(shù)列的通項公式為an=a1+(n-1)d，等比數(shù)列的通項公式為an=a1*q^(n-1)。

3.解析思路：三角形的面積可以通過底乘以高除以2來計算。

4.解析思路：復(fù)數(shù)乘法的幾何意義是將復(fù)數(shù)看作平面上的點，乘以一個復(fù)數(shù)相當(dāng)于將這個點繞原點