第4講二倍角公式與三角變換的應(yīng)用（練習(xí)）

第4講二倍角公式與三角變換的應(yīng)用（練習(xí)）夯實(shí)基礎(chǔ)一、單選題1．（2020·上海高一課時(shí)練習(xí)）若，則等于（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由正弦二倍角公式求得，再由余弦的二倍角公式求得．【詳解】由題意，所以，所以．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查二倍角公式，掌握二倍角公式是解題關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．2．（2018·上海市羅店中學(xué)）已知等腰三角形頂角的余弦值為，則底角的正切值為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)頂角為，底角為，根據(jù)，得到的值，再由二倍角公式，得到的值，由同角三角函數(shù)關(guān)系得到，從而得到，得到答案.【詳解】設(shè)等腰三角形頂角為，底角為，則，所以，所以，由，得到，所以，所以，故選C.【點(diǎn)睛】本題考查同角三角函數(shù)關(guān)系，二倍角的余弦公式，屬于簡單題.3．（2019·上海市控江中學(xué)高一期中）若，，則角的終邊在第（）象限.A．一 B．二 C．三 D．四【答案】D【分析】由正弦和余弦的二倍角公式,可求得的值,進(jìn)而通過判斷其符合,可確定角的終邊所在象限.【詳解】由題意,,,故角的終邊在第四象限.故選:D.【點(diǎn)睛】終邊在第一象限的角,其正弦為正,余弦為正,正切為正;終邊在第二象限的角,其正弦為正,余弦為負(fù),正切為負(fù);終邊在第三象限的角,其正弦為負(fù),余弦為負(fù),正切為正;終邊在第四象限的角,其正弦為負(fù),余弦為正,正切為負(fù).4．（2019·上海市復(fù)興高級中學(xué)高一月考）下列三個命題：①存在實(shí)數(shù)，使得成立；②存在實(shí)數(shù)，使成立；③若，則.其中正確命題是（）A．①和② B．②和③ C．僅有② D．僅有③【答案】D【分析】由二倍角公式的逆用判斷命題①是否正確，由輔助角公式判斷命題②是否正確，由三角函數(shù)的范圍，得到和的值，從而得到和的值，由兩角和的正弦公式，判斷命題③是否正確，從而得到答案.【詳解】命題①中，若，則，即，所以錯誤；命題②中，若，則，即，所以錯誤；命題③中，，而，所以可得，或者這兩種情況都可以得到所以，所以正確.故選D.【點(diǎn)睛】本題考查正弦的二倍角公式的逆用，輔助角公式，三角函數(shù)的范圍等，屬于簡單題.5．（2020·上海高一課時(shí)練習(xí)）已知則的值是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】運(yùn)用二倍角的余弦公式，結(jié)合化簡即可.【詳解】，故本題選A.【點(diǎn)睛】本題考查了余弦的二倍角公式，考查了角的正弦值、余弦值的正負(fù)性的判斷.二、填空題6．（2020·上海高一課時(shí)練習(xí)）若，則________.【答案】【分析】利用倍角公式化簡，弦化切轉(zhuǎn)化成齊次式，求得.【詳解】由，則，得，得，得.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了倍角公式，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，弦化切技巧，屬于容易題.7．（2020·上海市滬新中學(xué)高一期中）已知，化簡：__________.【答案】【分析】根據(jù)二倍角公式，將被開方數(shù)化為完全平方數(shù)，結(jié)合的范圍，即可求解.【詳解】.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查應(yīng)用二倍角公式化簡，熟練掌握三角函數(shù)公式及變形是解題關(guān)鍵，屬于中檔題.8．（2019·寶山區(qū)·上海交大附中高一期末）方程，的解集是__________．【答案】【分析】用正弦的二倍角公式展開,得到,分兩種情況討論得出結(jié)果.【詳解】解：，即,即：或.①由,,得.②由,,得或.綜上可得方程,的解集是：故答案為【點(diǎn)睛】本題考查正弦函數(shù)的二倍角公式,以及特殊角的正余弦值.9．（2019·上海市七寶中學(xué)高一開學(xué)考試）已知，求________【答案】3【分析】由題得，再通分把已知代進(jìn)去化簡即得解.【詳解】由題得=3故答案為3【點(diǎn)睛】本題主要考查二倍角公式和萬能公式，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.10．（2019·上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校高一期末）已知，則__________.【答案】【分析】對已知等式的左右兩邊同時(shí)平方，利用同角的三角函數(shù)關(guān)系式和二倍角的正弦公式，可以求出的值，再利用二倍角的余弦公式可以求出.【詳解】因?yàn)?，所以，即，所?【點(diǎn)睛】本題考查了同角的三角函數(shù)關(guān)系，考查了二倍角的正弦公式和余弦公式，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.11．（2020·上海高一課時(shí)練習(xí)）若，則________.【答案】【分析】先根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系求出，再根據(jù)二倍角正切公式求解.【詳解】故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查同角三角函數(shù)關(guān)系、二倍角正切公式，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.12．（2020·上海高一課時(shí)練習(xí)）化簡：__________.【答案】【分析】利用切化弦思想以及兩角差的余弦公式可化簡所求代數(shù)式，進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查利用兩角差的余弦公式化簡，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.13．（2020·上海市向明中學(xué)高一期中）已知是第四象限角，，則________【答案】【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系得到，再利用二倍角公式計(jì)算得到答案.【詳解】是第四象限角，，則，故，故.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查三角恒等變換，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力.14．（2019·上海市文來中學(xué)高一期末）已知化簡：___________.【答案】【分析】由已知角的范圍可知，，而可求得答案.【詳解】，，，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了二倍角的余弦公式、三角函數(shù)的象限符號，屬于基礎(chǔ)題.15．（2019·上海市張堰中學(xué)高一月考）若，且，則角的終邊所在象限是第_______象限.【答案】第二象限【分析】由二倍角的正弦公式，因?yàn)?，所以，可以判定角的終邊所在象限．【詳解】解：由，因?yàn)?，所以，可以判定角的終邊所在的象限為第二象限．故答案為第二象限【點(diǎn)睛】本題考查象限角，三角函數(shù)值的符號，二倍角的正弦，是基礎(chǔ)題．16．（2019·上海市行知中學(xué)高一月考）已知，那么____________(結(jié)果用表示)【答案】【分析】根據(jù)和角公式可得,再利用倍角公式求解即可【詳解】由題,,因?yàn)?則,代入上式可得,故答案為【點(diǎn)睛】本題考查和角公式與倍角公式的應(yīng)用,考查化簡求值17．（2019·上海市行知中學(xué)高一月考）化簡:____________.【答案】【分析】由題,將,代入化簡即可【詳解】由題,故答案為【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的化簡,考查正割、余割與正弦、余弦的關(guān)系,是基礎(chǔ)題18．（2019·上海市控江中學(xué)高一期中）若，則______.【答案】【分析】將的等號兩端分別平方,結(jié)合正弦的二倍角公式可求出答案.【詳解】由題意,,解得.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系的運(yùn)用,考查了正弦的二倍角公式的運(yùn)用,考查了學(xué)生的計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.19．（2019·上海市向明中學(xué)高一期中）將化成的形式，則最小正角=_____.【答案】【分析】因?yàn)椋钥紤]逆用此公式進(jìn)行化簡．【詳解】因?yàn)樗?，，所以，所以最小正?故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查三角恒等式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.20．（2019·上海市松江二中高一期末）若且，則____________.【答案】【分析】先根據(jù)同角公式求出,再根據(jù)二倍角的余弦公式可求得.【詳解】因?yàn)榍?所以,因?yàn)?所以,所以,由,得,所以,所以.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式和二倍角的余弦公式,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題21．（2020·上海高一課時(shí)練習(xí)）已知等腰三角形底角的正弦值為，求這個三角形頂角的正弦、余弦和正切值.【答案】這個三角形頂角的正弦值為，余弦值為，正切值為【分析】設(shè)底角為B，頂角為A，則，由誘導(dǎo)公式，二倍角公式，同角間的三角函數(shù)關(guān)系可得．【詳解】設(shè)底角為B，頂角為A，則.而，，所以，，則，所以．【點(diǎn)睛】本題考查誘導(dǎo)公式，二倍角公式，同角間的三角函數(shù)關(guān)系，由于要用到平方關(guān)系求值，因此需確定三角形中角的范圍．22．（2020·上海高一課時(shí)練習(xí)）已知，求的值.【答案】【分析】由已知用兩角和的正切公式展開求出，再由二倍角正切公式求得，將求值式中的三角比轉(zhuǎn)化為的三角比，然后進(jìn)行化簡.【詳解】解：原式.又∵.解得.所以，原式【點(diǎn)睛】將化為是一種典型的方法，主要考查對二倍角的余弦和正弦公式的靈活運(yùn)用.23．（2020·上海高一課時(shí)練習(xí)）已知是方程的兩個實(shí)數(shù)根，求的值.【答案】【分析】先根據(jù)韋達(dá)定理得和與積的值，再利用兩角和正切公式求，利用二倍角正弦公式以及弦化切方法化為形式，最后代入數(shù)值求結(jié)果.【詳解】因?yàn)槭欠匠痰膬蓚€實(shí)數(shù)根，所以因此【點(diǎn)睛】本題考查韋達(dá)定理、兩角和正切公式、二倍角正弦公式以及弦化切，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.24．（2020·上海高一課時(shí)練習(xí)）化簡：.【答案】【分析】本題為了去根號需對根式中的式子進(jìn)行升冪，然后再處理.【詳解】解.∵，∴.∴.∴原式.【點(diǎn)睛】本題考查二倍角公式及輔助角公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.25．（2020·上海高一課時(shí)練習(xí)）已知，，，求的值.【答案】【分析】利用二倍角公式求出，再計(jì)算出，最后由兩角和的正弦公式計(jì)算可得；【詳解】解∵，∴.∴.由，得.由，得.∴.【點(diǎn)睛】本題考查二倍角公式及兩角和的正弦公式的應(yīng)用，由的值計(jì)算的正弦和余弦值，因?yàn)樯婕伴_方，所以要注意的范圍，再確定，的正負(fù)號，屬于基礎(chǔ)題.26．（2020·上海市建平中學(xué)高一期中）已知函數(shù)．（1）求的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）若函數(shù)，，求．【答案】（1），；（2），．【分析】（1）逆用正弦和余弦的二倍角公式，根據(jù)輔助角公式把函數(shù)的解析式化簡成正弦型函數(shù)形式，最后利用正弦型函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)特殊角的正弦函數(shù)值，結(jié)合給定的取值范圍進(jìn)行求解即可.【詳解】（1），當(dāng)，時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，即當(dāng)，時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，因此的單調(diào)遞減區(qū)間為：，；（2），因?yàn)椋?，因此有或，解得或．【點(diǎn)睛】本題考查了正弦和余弦的二倍角公式的逆用，考查了輔助角公式的應(yīng)用，考查了正弦型函數(shù)的單調(diào)性，考查了特殊角的正弦值的應(yīng)用，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.27．（2020·上海高一課時(shí)練習(xí)）已知，，且，，求的值.【答案】【分析】根據(jù)，，再確定的取值范圍，同理再確定的取值范圍，進(jìn)而確定的取值范圍，利用二倍角的正切公式求出正切值，再利用兩角和的正切公式，求出，最后求出的值.【詳解】因?yàn)椋?，所以，因?yàn)椋?，所以，因?,.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)角的正切值求角的取值范圍，考查了兩角和的正切公式，考查了二倍角的正切公式，考查了根據(jù)正切值求角問題，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.28．（2019·上海市青浦高級中學(xué)高一月考）已知，求的值【答案】.【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系，求出的值，然后利用二倍角公式將所求式子化簡，代入已知量，得到答案.【詳解】因?yàn)?，所以，所?【點(diǎn)睛】本題考查同角三角函數(shù)關(guān)系，二倍角的正弦公式，屬于簡單題.29．（2019·上海市控江中學(xué)高一期中）已知.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）3；（2）【分析】（1）由,可求出答案;（2）由二倍角公式可得,,然后分子分母同乘以,可得到原式,可得到答案.【詳解】（1）；（2）【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的二倍角公式的應(yīng)用,考查了三角函數(shù)恒等變換,屬于基礎(chǔ)題.能力提升一、單選題1．（2019·上海市七寶中學(xué)高一開學(xué)考試）“”是“”的（）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既非充分也非必要條件【答案】B【分析】先考查充分性，再考慮必要性得解.【詳解】當(dāng)時(shí)，，但是當(dāng)時(shí)，分母為零，沒有意義.所以“”是“”的非充分條件；當(dāng)時(shí)，.所以，所以“”是“”的必要條件.所以“”是“”的必要非充分條件.故選B【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的定義域和三角恒等變換，考查充分必要條件的判定，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.二、填空題2．（2019·上海市宜川中學(xué)高一期中）已知且則________(用表示).【答案】【分析】由已知利用同角三角函數(shù)關(guān)系式切化弦，結(jié)合二倍角公式化簡即可代入求值．【詳解】故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查了同角三角函數(shù)關(guān)系式及二倍角公式的應(yīng)用，準(zhǔn)確記憶公式是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．3．（2019·上海市行知中學(xué)高一月考）若，且，求____________.【答案】【分析】將等式化簡可得,,可得,進(jìn)而利用二倍角公式求解即可【詳解】由題,,即，又,則,即,則,所以故答案為【點(diǎn)睛】本題考查對數(shù)、指數(shù)的計(jì)算法則,考查和角公式,考查余弦的二倍角公式,考查運(yùn)算能力4．（2019·上海市控江中學(xué)高一期中）若且，則______.【答案】3【分析】由,可得,結(jié)合,可求得,,進(jìn)而可求出.【詳解】由題意,,解得,則,,則,,故,,.故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)求值,考查了二倍角公式的運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.5．（2019·上海市向明中學(xué)高一期中）已知，，則=______.【答案】2【分析】先考慮“變角”：，，再用三角恒等式展開計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?，，所以即，即，所以，所以，所?故答案為2【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)中“變角”的思想，同時(shí)考查學(xué)生的推理與計(jì)算能力，屬于中檔題.“變角”，如：，.6．（2019·上海市向明中學(xué)高一期中）已知，則=______.【答案】2【分析】，所以可考慮用二倍角公式進(jìn)行化簡.【詳解】，所以.故答案為2【點(diǎn)睛】本題考查三角恒等變換中“變角”的思想，同時(shí)考查學(xué)生的推理和計(jì)算能力，屬于中檔題.“變角”，如：，.7．（2019·上海市金山中學(xué)高一月考）在某次考試時(shí)，需要計(jì)算的近似值，小張同學(xué)計(jì)算器上的鍵失靈，其它鍵均正常，在計(jì)算時(shí)，小張想到了可以利用來解決，假設(shè)你的計(jì)算器的和鍵都失靈，請運(yùn)用所學(xué)的三角公式計(jì)算出___________（列出相關(guān)算式，不計(jì)算答案）.【答案】（答案不唯一）【分析】利用二倍角公式和齊次式得到答案.【詳解】故答案為【點(diǎn)睛】本題考查了齊次式的應(yīng)用，將分母化為是解題的關(guān)鍵.8．（2019·上海市復(fù)興高級中學(xué)高一月考）已知角是三角形一內(nèi)角，且，則________．【答案】2【分析】由，得到，判斷出和的正負(fù)，并解得它們的值，再由，得到的值，根據(jù)二倍角公式，得到關(guān)于的方程，求出答案.【詳解】因?yàn)?，所以有，即即，又因角是三角形一?nèi)角，即，所以所以可得，即為鈍角，，因?yàn)樗缘?，即，所以可得，所以，所以，整理得，因?yàn)椋?，解得或者（舍）故答案?【點(diǎn)睛】本題考查同角三角函數(shù)關(guān)系，正切的二倍角公式，屬于中檔題.9．（2019·上海市南洋模范中學(xué)高一期中）若，則__________．【答案】【詳解】三、解答題10．（2019·上海市金山中學(xué)高一月考）已知.(1)求的值;(2)求的值.【答案】（1）；（2）試題分析：（1）利用正切的兩角和公式求的值；（2）利用第一問的結(jié)果求第二問，但需要先將式子化簡，最后變形成關(guān)于的式子，需要運(yùn)用三角函數(shù)的倍角公式將化成單角的三角函數(shù)，然后分子分母都除以，然后代入的值即可．試題解析：（1）由（2）考點(diǎn)：1.正切的兩角和公式；2.正余弦的倍角公式.11．（2019·上海黃浦區(qū)·高一期末）已知角、的頂點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，始邊與軸正半軸重合，且角的終邊與單位圓（圓心在原點(diǎn)，半徑為1的圓）的交點(diǎn)位于第二象限，角的終邊和單位圓的交點(diǎn)位于第三象限，若點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為.（1）求、的值；（2）若，求的值.（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）【答案】（1）；（2）【分析】（1）可根據(jù)單位圓定義求出，再由二倍角正弦公式即可求解；（2）先求出由可求得，結(jié)合反三角函數(shù)即可求得【詳解】（1）由題可知：，，，；（2）由，，又，【點(diǎn)睛】本題考查單位圓的定義，二倍角公式的應(yīng)用，兩角差余弦公式的用法，屬于中檔題12．（2019·上海市宜川中學(xué)高一期中）已知求:(1)(2)【答案】（1）2；（2）【分析】(1)利用兩角差的正切展開求解即可（2）利用二倍角公式得tanx的二次齊次式，代入求值即可【詳解】（1）（2）【點(diǎn)睛】本題考查兩角差的正切公式，考查二倍角公式，考查變形化簡能力，化為二次齊次式是關(guān)鍵，是中檔題13．（2019·上海市控江中學(xué)高一期中）已知，.（1）判斷的正負(fù)性，并說明理由；（2）若，求和的值.【答案】（1）負(fù)數(shù)，理由見解析；（2），【分析】（1）由,并結(jié)合的范圍,可判斷原式的正負(fù)性;（2）由二倍角的正切公式,可求出,進(jìn)而可求得,結(jié)合余弦的二倍角公式,可求得,再利用可求得的值.【詳解】（1）依題意,,,，,，，即為負(fù).（2）由,得，則,解得，.所以.由，,得，由,得.【點(diǎn)睛】本題考查了兩角和與差的正弦、余弦公式的運(yùn)用,考查了三角函數(shù)的二倍角公式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系的應(yīng)用,考查了學(xué)生的計(jì)算求解能力，屬于中檔題.14．（2019·上海市向明中學(xué)高一期中）已知，，若，，求的值.【答案】【分析】先考慮“變角”：，再用三角恒等式展開計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?，，所以，，，所以，，因?yàn)椋?，所以，，所以，所?【點(diǎn)睛】本題考查三角恒等變換中“變角”的思想，同時(shí)考查學(xué)生的推理和計(jì)算能力.“變角”，如：，.15．（2019·上海市七寶中學(xué)高一期中）給出集合(1)若求證:函數(shù)(2)由(1)可知，是周期函數(shù)且是奇函數(shù)，于是張三同學(xué)得出兩個命題：命題甲:集合M中的元素都是周期函數(shù)；命題乙:集合M中的元素都是奇函數(shù)，請對此給出判斷，如果正確，請證明；如果不正確,請舉出反例；(3)設(shè)為常數(shù),且求的充要條件并給出證明.【答案】（1）證明見解析；（2）命題甲正確，命題乙不正確；（3）的充要條件為，，且．證明見解析.【分析】（1）轉(zhuǎn)化證明等價(jià)于，利用兩角和與差的三角函數(shù)化簡求解即可．（2）命題甲正確．集合中的元素都是周期為6的周期函數(shù)，驗(yàn)證即可，命題乙不正確．集合中的元素不都是奇函數(shù)，列舉反例即可；（3）由函數(shù)的周期性，結(jié)合正弦公式，化簡可得所求的值．【詳解】（1）證明：轉(zhuǎn)化證明，左邊右邊；（2）命題甲正確．集合中的元素都是周期為6的周期函數(shù)．，可得，即有，可得，即，為最小正周期為6的函數(shù)；命題乙不正確．集合中的元素不都是奇函數(shù)．如是奇函數(shù)；不是奇函數(shù)．（3）由，可得，即有，可得，即，，可得，即為，即為，可得，，且，可得，，且．則的充要條件為，，且．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的周期性和奇偶性，考查三角函數(shù)的恒等變換的應(yīng)用，考查充要條件的判斷和證明，屬于中檔題．16．（2019·上海市七寶中學(xué)高一期中）已知且是第四象限角．(1)求和的值；(2)求的值．【答案】（1），；（2）【分析】（1）先化簡已知，再利用二倍角公式求出和的值；（2）利用誘導(dǎo)公式和同角的三角函數(shù)關(guān)系化簡求值得解.【詳解】（1）由，所以即，是第四象限角，．，是第四象限角，．（2）由【點(diǎn)睛】本題考查了誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)關(guān)系式化簡和計(jì)算能力．屬于基礎(chǔ)題17．（2019·上海市復(fù)興高級中學(xué)高一月考）在中，（1）若求的值；（2）若判斷的形狀；（3）若求的值.【答案】（1）（2）等腰三角形（3）【分析】（1）中，可得，可得，將所求的式子進(jìn)行轉(zhuǎn)化，得到，再用兩角差的余弦公式展開，得到答案；（2）由降冪公式可得，然后將，利用兩角和出余弦公式展開化簡整理，得到，得到，作出判斷；（3）利用二倍角公式，得到，整理化簡得，兩邊平方，可得的值，再判斷出的范圍，得到的值.【詳解】（1）在中，，所以所以.（2）因?yàn)闉槿切蔚膬?nèi)角，所以，即則為等腰三角形.（3）因?yàn)闉槿切蝺?nèi)角，所以，即所以平方得因?yàn)?，所以所以可得，即則.【點(diǎn)睛】本題考查兩角和、差的三角公式，二倍角公式，同角三角函數(shù)關(guān)系，判斷三角形形狀，屬于中檔題.18．（2019·上海市復(fù)興高級中學(xué)高一月考）已知，求值：（1）；（2）.【答案】（1）;（2）【分析】（1）由得到，再由二倍角余弦公式得到答案；（2）計(jì)算出的值，然后得到，由二倍角正切公式得到，然后得到答案.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，即，所以，?）因?yàn)?，所以可得，所以，所以由二倍角公式得：即，所以可得，或因?yàn)?，所以故，所以，所?【點(diǎn)睛】本題考查兩角和的余弦公式，二倍角公式，同角三角函數(shù)關(guān)系，對計(jì)算能力有一定的要求，屬于中檔題.19．（2019·上海市南洋模范中學(xué)高一期中）如圖，某園林單位準(zhǔn)備綠化一塊直徑為的半圓形空，外的地方種草，的內(nèi)接正方形為一水池，其余的地方種花，若，，，設(shè)的面積為，正方形的面積為(1)用表示和；(2)當(dāng)變化時(shí)，求的最小值及此時(shí)角的大小.【答案