《高考數(shù)學(xué)綜合復(fù)習(xí)》《導(dǎo)數(shù)》篇導(dǎo)數(shù)中的極值點(diǎn)偏移問題

《高考數(shù)學(xué)綜合復(fù)習(xí)》《導(dǎo)數(shù)》篇導(dǎo)數(shù)中的極值點(diǎn)偏移問題一、基本概念極值點(diǎn)偏移是指函數(shù)在其極值點(diǎn)左右兩側(cè)的增減速度不同，導(dǎo)致極值點(diǎn)位置偏離兩零點(diǎn)中點(diǎn)的現(xiàn)象。在高考數(shù)學(xué)中常常作為導(dǎo)數(shù)解答題的最后一問，以證明題的形式進(jìn)行考查。是否偏移及偏移判斷方向如下：（1）無偏移：二次函數(shù)的頂點(diǎn)（極值點(diǎn)）位于兩根中點(diǎn)，滿足對稱性；（2）左偏：若函數(shù)在極值點(diǎn)左側(cè)變化更快，則（如）；（3）右偏：若右側(cè)變化更快，則（如）。二、判定方法1.導(dǎo)數(shù)單調(diào)性法：若在左側(cè)遞增更快（左陡右緩），極值點(diǎn)左偏；若在右側(cè)遞增更快（右陡左緩），極值點(diǎn)右偏。2.中值比較定理：對于方程的兩根和，若或，則存在偏移。三、解題策略與模板（一）對稱構(gòu)造法：1.適用類型：對于要求證明和兩類問題，可以利用此方法。而對于（）或（）類型的證明問題，可以借助對數(shù)（和）進(jìn)行化簡后，再利用此方法進(jìn)行解決，也可以利用“（差）比值代換法”進(jìn)行解決。2.步驟：（1）求導(dǎo)分析：確定的單調(diào)區(qū)間和極值點(diǎn)。（2）構(gòu)造函數(shù)：如，通過比較的符號(hào)判斷偏移方向。若，則；若，則。（3）導(dǎo)數(shù)分析：證明的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理得出結(jié)論。3.易錯(cuò)點(diǎn)與注意事項(xiàng)（1）忽略單調(diào)性分析：極值點(diǎn)偏移需先明確函數(shù)在極值點(diǎn)兩側(cè)的單調(diào)性，否則可能誤判偏移方向。（2）構(gòu)造錯(cuò)誤輔助函數(shù)：對稱構(gòu)造應(yīng)緊扣目標(biāo)不等式形式，加法型需構(gòu)造。（3）對數(shù)應(yīng)用錯(cuò)誤：使用對數(shù)均值不等式時(shí)，需確保變量為正且不等號(hào)方向正確。（二）比值代換法：1.適用類型：對于（）或（）類型或同時(shí)涉及指數(shù)、對數(shù)函數(shù)的證明問題，可以將或設(shè)置成參數(shù)，建立兩根和之間的等量關(guān)系，即。2.步驟：（1）設(shè)定比值變量：令（或），結(jié)合原方程消去參數(shù)。（2）代數(shù)變形：將雙變量方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程，例如，代入原方程化簡。（3）構(gòu)造函數(shù)或應(yīng)用不等式：對數(shù)均值不等式：若涉及對數(shù)，利用進(jìn)行放縮。構(gòu)造函數(shù)分析單調(diào)性：根據(jù)題目所給條件構(gòu)造函數(shù)，通過導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，進(jìn)而得出結(jié)論。（4）得出結(jié)論：通過函數(shù)單調(diào)性或不等式變形，證明目標(biāo)關(guān)系（如或）。3.易錯(cuò)點(diǎn)與注意事項(xiàng)（1）變量范圍確定：代換后需明確新變量的范圍，避免單調(diào)性分析錯(cuò)誤。（2）構(gòu)造錯(cuò)誤輔助函數(shù)：輔助函數(shù)需與目標(biāo)不等式形式一致，例如乘除型構(gòu)造。（3）對數(shù)應(yīng)用錯(cuò)誤：使用對數(shù)均值不等式時(shí)，需確保變量為正且不等號(hào)方向正確。四、方法對比與選擇1.差值代換（對稱構(gòu)造法）：適合處理加法型不等式（如或），計(jì)算相對直接。2.比值代換法：適合處理乘除型或?qū)?shù)型問題，需結(jié)合對數(shù)均值不等式或指數(shù)變形。通過靈活運(yùn)用這兩種方法，可將復(fù)雜的雙變量問題轉(zhuǎn)化為單變量分析，簡化證明過程。一、真題解析1．（2022·全國甲卷·高考真題）已知函數(shù)．(1)若，求a的取值范圍；(2)證明：若有兩個(gè)零點(diǎn)，則．【答案】(1)(2)證明見的解析【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)單調(diào)性及最值，即可得解；（2）利用分析法，轉(zhuǎn)化要證明條件為，再利用導(dǎo)數(shù)即可得證.【詳解】（1）[方法一]：常規(guī)求導(dǎo)的定義域?yàn)?，則令,得當(dāng)單調(diào)遞減當(dāng)單調(diào)遞增，若,則,即所以的取值范圍為[方法二]：同構(gòu)處理由得：令，則即令，則故在區(qū)間上是增函數(shù)故，即所以的取值范圍為（2）[方法一]：構(gòu)造函數(shù)由題知,一個(gè)零點(diǎn)小于1,一個(gè)零點(diǎn)大于1，不妨設(shè)要證,即證因?yàn)?即證又因?yàn)?故只需證即證即證下面證明時(shí)，設(shè)，則設(shè)所以,而所以,所以所以在單調(diào)遞增即,所以令所以在單調(diào)遞減即,所以；綜上,,所以.[方法二]：對數(shù)平均不等式由題意得：令，則，所以在上單調(diào)遞增，故只有1個(gè)解又因?yàn)橛袃蓚€(gè)零點(diǎn)，故兩邊取對數(shù)得：，即又因?yàn)?，故，即下證因?yàn)椤厩捎貌坏仁健拷柚鷮?shù)均值不等式進(jìn)行化簡不妨設(shè)，則只需證【巧設(shè)參】設(shè)置參數(shù)，利用“比值代換法”求解構(gòu)造，則故在上單調(diào)遞減故，即得證2．（2021·新高考全國Ⅰ卷·高考真題）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）設(shè)，為兩個(gè)不相等的正數(shù)，且，證明：.【答案】（1）的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為；（2）證明見解析.【分析】(1)首先確定函數(shù)的定義域，然后求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，由導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)即可確定原函數(shù)的單調(diào)性.(2)方法二：將題中的等式進(jìn)行恒等變換，令，命題轉(zhuǎn)換為證明：，然后構(gòu)造對稱差函數(shù)，結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)的特征和函數(shù)的單調(diào)性即可證得題中的結(jié)論.【詳解】(1)的定義域?yàn)椋傻?，，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)，．故在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)，(2)[方法一]：等價(jià)轉(zhuǎn)化由得，即．由，得．由（1）不妨設(shè)，則，從而，得，①令，則，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)，，從而，所以，由（1）得即．①令，則，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，，從而，所以．又由，可得，所以．②由①②得．[方法二]【最優(yōu)解】：變形為，所以．令．則上式變?yōu)?，于是命題轉(zhuǎn)換為證明：．令，則有，不妨設(shè)．由（1）知，先證．要證：．令，則，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，所以，即．再證．因?yàn)?，所以需證．令，所以，故在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增．所以．故，即．綜合可知．[方法三]：比值代換證明同證法2．以下證明．不妨設(shè)，則，由得，，要證，只需證，兩邊取對數(shù)得，即，即證．記，則.記，則，所以，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．，則，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．由得，所以，即．[方法四]：構(gòu)造函數(shù)法由已知得，令，不妨設(shè)，所以．由（Ⅰ）知，，只需證．證明同證法2．再證明．令．令，則．所以，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增．因?yàn)?，所以，即又因?yàn)?，所以，即．因?yàn)?，所以，即．綜上，有結(jié)論得證．【整體點(diǎn)評】方法一：等價(jià)轉(zhuǎn)化是處理導(dǎo)數(shù)問題的常見方法，其中利用的對稱差函數(shù)，構(gòu)造函數(shù)的思想，這些都是導(dǎo)數(shù)問題必備的知識(shí)和技能.方法二：等價(jià)轉(zhuǎn)化是常見的數(shù)學(xué)思想，構(gòu)造對稱差函數(shù)是最基本的極值點(diǎn)偏移問題的處理策略.方法三：比值代換是一種將雙變量問題化為單變量問題的有效途徑，然后構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)的單調(diào)性證明題中的不等式即可.方法四：構(gòu)造函數(shù)之后想辦法出現(xiàn)關(guān)于的式子，這是本方法證明不等式的關(guān)鍵思想所在.二、預(yù)測分析結(jié)合近年高考真題、地方模擬題及命題規(guī)律分析，未來幾年極值點(diǎn)偏移問題的考查將呈現(xiàn)以下趨勢：（一）命題方向預(yù)測1.復(fù)合函數(shù)模型的深化應(yīng)用未來命題可能更傾向于結(jié)合指數(shù)、對數(shù)、三角函數(shù)等復(fù)雜函數(shù)模型，例如：（1）指數(shù)型：如、等，需通過比值代換或?qū)?shù)變形處理偏移。（2）對數(shù)型：如，需利用對數(shù)均值不等式證明偏移關(guān)系。2.與其他導(dǎo)數(shù)問題的綜合考查極值點(diǎn)偏移可能與其他導(dǎo)數(shù)核心問題結(jié)合，形成綜合性壓軸題，例如：（1）零點(diǎn)問題：結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)存在性定理，要求通過偏移證明零點(diǎn)間距或數(shù)量。（2）含參不等式：引入?yún)?shù)討論偏移方向，需同時(shí)處理單調(diào)性與參數(shù)范圍。3.結(jié)構(gòu)創(chuàng)新與隱蔽性增強(qiáng)命題可能通過以下方式增加題目難度：（1）偏移方向隱蔽：如極值點(diǎn)左偏或右偏的判定需結(jié)合導(dǎo)數(shù)高階分析（如二階導(dǎo)數(shù)符號(hào)）。（2）雙極值點(diǎn)偏移：函數(shù)存在多個(gè)極值點(diǎn)時(shí)，需分析不同極值點(diǎn)間的偏移關(guān)系。（二）核心解題方法的延續(xù)與拓展1.對稱構(gòu)造法的持續(xù)主導(dǎo)構(gòu)造輔助函數(shù)或仍將是主流解法，需重點(diǎn)訓(xùn)練其變形應(yīng)用（如含參函數(shù)構(gòu)造）。2.比值代換法的靈活運(yùn)用針對乘積型（如）或商式型偏移問題，需通過代換或簡化雙變量問題，結(jié)合對數(shù)變形或均值不等式證明。3.對數(shù)均值不等式的工具化該不等式的應(yīng)用范圍將進(jìn)一步擴(kuò)大，尤其在處理指數(shù)、對數(shù)型函數(shù)的偏移問題時(shí)不可或缺。（三）備考策略與能力要求1.基礎(chǔ)能力強(qiáng)化（1）導(dǎo)數(shù)工具熟練度：熟練掌握求導(dǎo)法則、極值點(diǎn)判定及單調(diào)性分析。（2）函數(shù)圖像分析：通過圖像理解偏移本質(zhì)（如左陡右緩導(dǎo)致左偏）。2.專項(xiàng)題型突破（1）分類訓(xùn)練：針對加法型（）、乘法型（）等題型進(jìn)行專項(xiàng)訓(xùn)練。（2）錯(cuò)題歸納：總結(jié)對稱構(gòu)造中輔助函數(shù)設(shè)計(jì)、比值代換中變量范圍界定等易錯(cuò)點(diǎn)。3.創(chuàng)新思維與應(yīng)變能力（1）多方法融合：如結(jié)合泰勒展開、極值點(diǎn)偏移與凹凸性分析。（2）模擬實(shí)戰(zhàn)：通過限時(shí)訓(xùn)練提升壓軸題解題速度和心理素質(zhì)。（四）典型創(chuàng)新題型預(yù)測1.動(dòng)態(tài)參數(shù)下的偏移分析例如：已知存在零點(diǎn)和，分析參數(shù)對偏移方向的影響。2.極值點(diǎn)偏移與數(shù)列結(jié)合如通過偏移證明數(shù)列遞推關(guān)系的收斂性。3.幾何背景的偏移問題結(jié)合函數(shù)圖像與幾何圖形（如面積、切線斜率），設(shè)計(jì)需通過偏移求解幾何量的創(chuàng)新題。（四）總結(jié)未來高考對極值點(diǎn)偏移問題的考查將更加注重綜合性與創(chuàng)新性，既保留傳統(tǒng)對稱構(gòu)造法與比值代換的核心地位，又可能引入復(fù)雜函數(shù)模型和跨知識(shí)點(diǎn)綜合題?？忌柙谡莆栈A(chǔ)方法的前提下，強(qiáng)化邏輯推理能力與數(shù)學(xué)建模思維，通過系統(tǒng)訓(xùn)練提升應(yīng)對高階問題的實(shí)戰(zhàn)能力。一、多選題1．（2425高三上·湖北襄陽·期末）已知函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．有最小值B．當(dāng)時(shí)，的圖象在點(diǎn)處的切線方程是C．當(dāng)時(shí)，函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)D．若，則【答案】AD【分析】利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷A，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可判斷B，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和最值，討論，即可判斷C，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)在區(qū)間的單調(diào)性，可得在區(qū)間恒成立，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和最值，即可判斷D.【詳解】，得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以函數(shù)的最小值為，故A正確；當(dāng)時(shí)，，，所以函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為，即，故B錯(cuò)誤；由A可知，函數(shù)的最小值為，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)沒有零點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，所以，單調(diào)遞增，且，所以時(shí)，，即，，若，，不妨設(shè)，即，，且由A可知，在區(qū)間單調(diào)遞增，所以，即，故D正確.故選：AD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是D選項(xiàng)，屬于極值點(diǎn)偏移問題，問題的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性.2．（2425高三上·廣東深圳·期末）已知函數(shù)（，且），下列說法正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，可能存在兩個(gè)零點(diǎn)B．若恒成立，則C．若恒成立，則的最小值為D．若恒成立，且，則【答案】BCD【分析】求導(dǎo)結(jié)合零點(diǎn)存在性定理可判斷A；分與兩種情況討論可求得判斷B；利用，求導(dǎo)可求得的最小值判斷C；由選項(xiàng)B知，，可得，利用換元法，結(jié)合對數(shù)平均值不等式計(jì)算可判斷D.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)檫x項(xiàng)A．當(dāng)時(shí)，，故在上為單調(diào)遞增函數(shù)，由，，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理，在上存在唯一的一個(gè)零點(diǎn)．故選項(xiàng)A錯(cuò)誤．選項(xiàng)B．由選項(xiàng)A知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，無最小值，且，不合題意，故．當(dāng)時(shí)，，，令，則，當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)，故時(shí)，有極小值，也是最小值．，由題意，，又，則，可得，所以，則．選項(xiàng)B正確．選項(xiàng)C．由選項(xiàng)B知，，，令，則，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．故，即的最小值為．選項(xiàng)C正確．選項(xiàng)D．由選項(xiàng)B知，，且．，由得，令，則，易知，故由對數(shù)平均不等式得，得，即由，故，故選項(xiàng)D正確．故選：BCD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：D選項(xiàng)，關(guān)鍵在于由，得到，換元法結(jié)合對數(shù)平均值不等式求得結(jié)論.3．（2024高三·全國·專題練習(xí)）對于函數(shù)，下列說法正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，B．若是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，則C．對任意都有，則D．設(shè)在定義域上有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，則【答案】BCD【分析】A選項(xiàng)求導(dǎo)利用單調(diào)性求解；B選項(xiàng)令，求導(dǎo)利用單調(diào)性證明即可；C選項(xiàng)化簡構(gòu)造函數(shù)即可；D選項(xiàng)兩個(gè)不同的極值點(diǎn)轉(zhuǎn)變?yōu)橹本€與函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，得到的取值，再利用極值點(diǎn)偏移即可得解.【詳解】對于函數(shù)，定義域?yàn)椋?，對于A，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，，即，所以A錯(cuò)誤；對于B，令，則，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減，所以，即，所以B正確；對于C，由題可得，對于任意，恒成立，令，，則，且，于是，解得，所以C正確；對于D，，，則，令，得，由題可知有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，所以直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，對求導(dǎo)得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)有最大值，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

所以，由題可知，，不妨設(shè)，則，要證明，只需要證明，即證，也就是證明，令，，，，則，即在上單調(diào)遞增，又，所以，所以，即，所以D正確，故選：BCD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：極值點(diǎn)偏移問題的一般題設(shè)形式：1.若函數(shù)存在兩個(gè)零點(diǎn)且，求證：（為函數(shù)的極值點(diǎn)）；2.若函數(shù)中存在且滿足，求證：（為函數(shù)的極值點(diǎn)）；3.若函數(shù)存在兩個(gè)零點(diǎn)且，令，求證：；4.若函數(shù)中存在且滿足，令，求證：.二、解答題4．（2025·陜西寶雞·二模）已知函數(shù)，(1)當(dāng)時(shí)，求在處的切線方程；(2)若時(shí)，恒成立，求的范圍；(3)若在內(nèi)有兩個(gè)不同零點(diǎn)、，求證：.【答案】(1)(2)(3)證明見解析【分析】（1）當(dāng)時(shí)，求出、的值，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得出所求切線的方程；（2）由已知不等式結(jié)合參變量分離法可得，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在上的最大值，即可求出實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）分析可知，要證所證不等式成立，即證且，要證，即證，利用誘導(dǎo)公式結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可證明；要證，即證，構(gòu)造函數(shù)，只需證，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，即可證得結(jié)論成立.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則，所以，，.故切線方程為，即，（2）因?yàn)樵谏虾愠闪?，進(jìn)而，即．令，其中，則，當(dāng)時(shí)，，則，此時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，則，此時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，因此，所以，，故，因此，?shí)數(shù)的取值范圍是.（3）因?yàn)楹瘮?shù)在內(nèi)有兩個(gè)不同零點(diǎn)、，則方程在內(nèi)有兩個(gè)根、，即，由（2）知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減．故，欲證，即證，由于且函數(shù)在單調(diào)遞減．所以只需證明，即證，欲證，即證，即，即證，即證，而該式顯然成立，欲證，即證，且，即證，即證，即證，即證，令，只需證，，令，所以，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，，故原不等式得證．【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：利用參變量分離法求解函數(shù)不等式恒（能）成立，可根據(jù)以下原則進(jìn)行求解：（1），；（2），；（3），；（4），.5．（2025·江蘇南京·一模）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求證：；(2)若對于恒成立，求的取值范圍；(3)若存在，使得，求證：.【答案】(1)證明見解析(2)(3)證明見解析【分析】（1）由由，得，構(gòu)造函數(shù)，求解單調(diào)性，證明結(jié)果;（2）求解令，則，分類討論求解的范圍;（3）由（2）知，設(shè)，判斷單調(diào)性，，所以只需證，由，即，只需證（*）進(jìn)而證明結(jié)果.【詳解】（1）由，得.要證，只需證.令，則.當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增，所以，故，因此.（2）令，則①當(dāng)時(shí)，由，得，因此，滿足題意.②當(dāng)時(shí)，由，得，因此，則在上單調(diào)遞增.若，則，則在上單調(diào)遞增，所以，滿足題意；若，則，因此在存在唯一的零點(diǎn)，且，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以，不合題意.綜上，的取值范圍為.（3）由（2）知，設(shè)，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，注意到，故在上存在唯一的零點(diǎn).注意到，且在上單調(diào)遞增.要證明，只需證，因?yàn)?，所以只需證，即證.因?yàn)?，即，所以，只需證，只需證（*）由（1）得，因此，設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，從而，即，因此（*）得證，從而.6．（2025·青海海南·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性．(2)假設(shè)存在正實(shí)數(shù)，滿足．（i）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（ii）證明：．【答案】(1)函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．(2)（i）；（ii）證明見解析【分析】（1）求導(dǎo)，由導(dǎo)數(shù)符號(hào)即可求解；（2）（i）由題意知，問題轉(zhuǎn)換成有兩根，通過取對數(shù)，同構(gòu)，構(gòu)造函數(shù)，通過其單調(diào)性即可求解；（ii）構(gòu)造函數(shù)，通過求導(dǎo)，確定單調(diào)性，確定最值，即可求解；【詳解】（1）由題意知，，令，解得，令，解得，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．（2）（i）由題意知，在上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即，兩邊取對數(shù)，可得．記，易知在上是增函數(shù)，故可等價(jià)于，即．記，則，得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，有最小值，故，即．（ii）根據(jù)題意得，不妨設(shè)．構(gòu)造函數(shù)，則．當(dāng)時(shí)，，則，得在上單調(diào)遞減，有，即．將代入不等式，得，又，故，又在上單調(diào)遞增，故，即．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：極值點(diǎn)偏移問題的一般題設(shè)形式：1.若函數(shù)存在兩個(gè)零點(diǎn)且，求證：（為函數(shù)的極值點(diǎn)）；2.若函數(shù)中存在且滿足，求證：（為函數(shù)的極值點(diǎn)）；3.若函數(shù)存在兩個(gè)零點(diǎn)且，令，求證：；4.若函數(shù)中存在且滿足，令，求證：.7．（2425高三下·河北保定·階段練習(xí)）已知函數(shù)，.(1)討論的單調(diào)性；(2)若函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為.（i）求的最小值；（ii）若關(guān)于x的方程有兩個(gè)根，，證明：.【答案】(1)答案見解析(2)（i）1；（ii）證明見解析【分析】（1）對求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，分類討論的取值范圍即可得解；（2）（i）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得，進(jìn)而利用隱零點(diǎn)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求得的最值，從而得解；（ii）根據(jù)題意，利用極值點(diǎn)偏移的解決技巧，將問題轉(zhuǎn)化為證恒成立，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)即可得解.【詳解】（1）因?yàn)?，則，若，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；若，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）（i）函數(shù)的定義域?yàn)?，則，則，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象在的切線方程為，所以，則，所以，因?yàn)?，所以，令，則，令，則，，所以，使，即，則，又，所以在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，即，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故的最小值為.（ii）由題意可知，，即方程有兩個(gè)根，，令，，則，所以，設(shè)，由（1）知，在上單調(diào)遞增，又，所以，則，由，得，，所以，要證，需證，即證，令，則，令，則，所以在上單調(diào)遞增，則，即，則在上單調(diào)遞減，所以，因此成立，故，得證.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：極值點(diǎn)偏移問題的一般題設(shè)形式：1.若函數(shù)存在兩個(gè)零點(diǎn)且，求證：（為函數(shù)的極值點(diǎn)）；2.若函數(shù)中存在且滿足，求證：（為函數(shù)的極值點(diǎn)）；3.若函數(shù)存在兩個(gè)零點(diǎn)且，令，求證：；4.若函數(shù)中存在且滿足，令，求證：.8．（2425高二上·江蘇連云港·期末）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；(2)若有兩個(gè)零點(diǎn)，且，證明：.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，進(jìn)而根據(jù)點(diǎn)斜式即可求解；（2）令得，令，則，從而令，則利用導(dǎo)數(shù)求出最小值可得答案.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，曲線在處切線的斜率為，又切線方程為，即曲線在處的切線方程為；（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，則，得.，令，則，故，則，，令，則，令，則，在上單調(diào)遞增，，，則在上單調(diào)遞增，，故.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}，注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極（最）值問題處理．9．（2425高三上·山東濰坊·期末）已知函數(shù)，.(1)求曲線在處的切線方程；(2)若，求的取值范圍；(3)若有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，，證明：.【答案】(1)(2)(3)證明見解析【分析】（1）借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義計(jì)算即可得；（2）設(shè)，借助導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可得；（3）結(jié)合（2）中所得可得，可將所需證明內(nèi)容轉(zhuǎn)化為證明，等價(jià)于證明，構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合其單調(diào)性只需證，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可得證.【詳解】（1），，，所以在處的切線方程為，即；（2）由可知，，，即在上恒成立，設(shè)，，當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增，所以時(shí)，取得最小值，最小值為，由題意知，即，故的取值范圍為；（3）方程有兩實(shí)數(shù)解，，即有兩實(shí)數(shù)解，不妨設(shè)，由（2）知方程要有兩實(shí)數(shù)解，則，即，同時(shí)，，，，則，在單調(diào)遞減，欲證，即證，，等價(jià)于，即，等價(jià)于，整理得①，令，①式為，又在單調(diào)遞增，故①式等價(jià)于，即，令，，當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增，又，，即，所以，則.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：最后一問關(guān)鍵點(diǎn)在于將原不等式轉(zhuǎn)化為證明，再轉(zhuǎn)化為證明，最后轉(zhuǎn)化為證明，從而可構(gòu)造函數(shù)幫助證明.10．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)．(1)若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍；(2)設(shè)是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性與最值，數(shù)形結(jié)合即可求的取值范圍；（2）由（1）知，不妨設(shè)，要證，即證，只需證，結(jié)合單調(diào)遞增只需證，再根據(jù)單調(diào)性可得答案.【詳解】（1），則，令，得，若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)．設(shè)，則．當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，因此．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，作出函數(shù)的大致圖象與直線，如圖所示，要使二者有兩個(gè)不同交點(diǎn)，則，故的取值范圍為．（2）因?yàn)槭呛瘮?shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，所以．由（1）知，不妨設(shè)，要證，即證，只需證，顯然．由（1）知當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以只需證，而，所以即證．設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，原不等式得證．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解答函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題常見思路：1，轉(zhuǎn)化為方程的根的個(gè)數(shù)求解；2，轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)求解.11．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)已知函數(shù)的圖象與的圖象關(guān)于直線對稱，證明：當(dāng)時(shí)，；(3)如果，且，證明：．【答案】(1)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減為；(2)證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)知識(shí)可得的單調(diào)區(qū)間；（2）由題可得，然后研究單調(diào)性，可完成證明；（3）方法1，由導(dǎo)數(shù)知識(shí)可得大致圖象，據(jù)此可得，然后通過研究函數(shù)，可得對恒成立，最后由題意，結(jié)合，可完成證明；方法2，要證，即證，然后通過研究可完成證明；方法3，令，要證，即證：，然后通過研究可完成證明.【詳解】（1）.。則的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減為；（2）因的圖象與的圖象關(guān)于直線對稱，則.構(gòu)造函數(shù)，則.因，則，則在上單調(diào)遞增，則，即當(dāng)時(shí)，；（3）法一：，易得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，時(shí)，，，時(shí)，，函數(shù)在處取得極大值，且，如圖所示．由，不妨設(shè)，則必有，構(gòu)造函數(shù)，則，所以在上單調(diào)遞增，，也即對恒成立．由，得，所以，即，又因?yàn)?，且在上單調(diào)遞減，所以，即法二：欲證，即證，由法一知，故，又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，故只需證，又因?yàn)?，故也即證，構(gòu)造函數(shù)，則等價(jià)于證明對恒成立．由，則在上單調(diào)遞增，所以，即已證明對恒成立，故原不等式成立．法三：由，得，化簡得，不妨設(shè)，由法一知，．令，則，代入，得，反解出，則，故要證：，即證：，又因?yàn)?，等價(jià)于證明：，構(gòu)造函數(shù)，則，令.故在上單調(diào)遞增，，從而也在上單調(diào)遞增，，即證成立，也即原不等式成立．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：對于極值點(diǎn)偏移問題，常有兩種思路，第一種將所證不等式轉(zhuǎn)化為，后利用，構(gòu)造與或有關(guān)的函數(shù)，將雙變量問題轉(zhuǎn)變?yōu)閱巫兞繂栴}；第二種思路，將雙變量問題轉(zhuǎn)變?yōu)榕c，之間差值或商值有關(guān)的單變量問題.12．（2425高三上·江蘇宿遷·階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)時(shí)，證明：；(3)函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)、，求證：．【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）求得，對實(shí)數(shù)的取值進(jìn)行分類討論，利用函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可得出函數(shù)的增區(qū)間和減區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，即證不等式，令，即證不等式，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最小值，即可證得結(jié)論成立；（3）設(shè)，由已知等式推導(dǎo)出，將所證不等式等價(jià)變形為，令，即證，令，其中，令導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，即可證得結(jié)論成立.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，對任意的，，由可得，由可得，此時(shí)，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，由可得，由可得或，此時(shí)函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為、；當(dāng)時(shí)，對任意的，，此時(shí)函數(shù)的增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，由可得，由可得或，此時(shí)，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為、.綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為、；當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間為，無減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為、.（2）當(dāng)時(shí)，，即證，令，即證，即證，因?yàn)椋瑒t函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)的值域?yàn)?，令，其中，則，由可得，由可得，所以函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，則，故，即，故原不等式得證.（3），因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)零點(diǎn)、，不妨設(shè)，則，所以，，整理可得，即，要證，即證，即證，令，即證，令，其中，則，所以函數(shù)在上為增函數(shù)，則，即，即，故原不等式得證.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題，方法如下：（1）直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式（或）轉(zhuǎn)化為證明（或），進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)；（2）適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見放縮結(jié)論；（3）構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).13．（2425高三上·江蘇無錫·階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)若，當(dāng)與的極小值之和為0時(shí)，求正實(shí)數(shù)的值；(2)若，求證：.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)極小值的定義計(jì)算即可；（2）把問題轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為，令，只需證明即可.【詳解】（1）定義域均為，，令，解得：，令，解得：，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在取極小值，且；又，令，解得：，令，解得：，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在取極小值，且所以，解得：.（2）令，因?yàn)椋?，由可得：，?）—（2）得：，所以，要證：，只要證：，只要證：，不妨設(shè)，所以只要證：，即證：，令，只需證：，令，所以在上單調(diào)遞增，所以，即有成立，所以成立.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題第二問考查極值點(diǎn)偏移問題，難度較大，解決極值點(diǎn)偏移的主要方法有：1.構(gòu)造對稱函數(shù)；2.比值換元；3.對數(shù)平均不等式.本題使用的解法是對數(shù)平均不等式即證明：