集合的基本運算（精講）（原卷版）

1.3集合的基本運算（精講）一．并集1.自然語言：由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素組成的集合，稱為集合A與B的并集.2.符號語言：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}.3.圖形語言：如圖所示.4.運算性質(zhì)：A∪B＝B∪A，A?A∪B，B?A∪B，A∪A＝A，A∪?＝?∪A＝A.如果A?B，則A∪B＝B，反之也成立.5.概念理解并集中的“或”指的是只要滿足其中一個條件即可，符號語言“x∈A，或x∈B”包含三種情況：“x∈A但x?B”，“x∈B但x?A”，“x∈A且x∈B”，如下圖所示：二．交集1.自然語言：由所有屬于集合A且屬于集合B的元素組成的集合，稱為A與B的交集.2.符號語言：A∩B＝{x|x∈A且x∈B}.3.圖形語言：如圖所示.4.運算性質(zhì)：A∩B＝B∩A，A∩B?A，A∩B?B，A∩A＝A，A∩?＝?∩A＝?.如果A?B，則A∩B＝A，反之也成立.5.概念理解（1）交集概念中的“且”即“同時”的意思，兩個集合交集中的元素必須同時是兩個集合中的元素.（2）兩個集合若沒有公共元素，則二者的交集為?.三．全集、補集的概念1.全集①定義：如果一個集合含有所研究問題中涉及的所有元素，那么就稱這個集合為全集.②記法：全集通常記作U.2.補集（1）文字語言：對于一個集合A，由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對于全集U的補集，記作?UA（2）符號語言：?UA＝{x|x∈U，且x?A}（3）圖形語言(4)符號?UA有三層意思：①A是U的子集，即A?U；②?UA表示一個集合，且(?UA)?U；③?UA是U中不屬于A的所有元素組成的集合，即?UA＝{x|x∈U，且x?A}．一．求集合并集的兩種方法1.定義法：對于元素個數(shù)有限的集合，可直接根據(jù)集合的并集定義求解，但要注意集合中元素的互異性．2.數(shù)形結(jié)合法：對于元素個數(shù)無限的集合，進行并集運算時，可借助數(shù)軸求解．注意兩個集合的并集等于兩個集合在數(shù)軸上的相應圖形所覆蓋的全部范圍，建立不等式時，要注意端點值是否能取到，最好是把端點值代入題目驗證．二．求兩個集合的交集的方法1.對于元素個數(shù)有限的集合，可逐個挑出兩個集合的相同元素，但要注意集合中元素的互異性．2.對于元素個數(shù)無限的集合，可借助數(shù)軸求交集，兩集合的交集對應的是表示兩集合的相應圖形所覆蓋的公共區(qū)域．3.求集合A∩B的常見類型(1)若A，B的元素是方程的根，則應先解方程求出方程的根后，再求兩集合的交集.(2)若A，B的元素是有序數(shù)對，則A∩B是指兩個方程組成的方程組的解集，交集是點集.(3)若A，B是無限數(shù)集，可以利用數(shù)軸來求解，但要注意利用數(shù)軸表示不等式時，含有端點的值用實心點表示，不含有端點的值用空心圈表示.三．求補集的方法1.列舉法表示：從全集U中去掉屬于集合A的所有元素后，由所有余下的元素組成的集合.2.由不等式構(gòu)成的無限集表示：借助數(shù)軸，取全集U中集合A以外的所有元素組成的集合.四．利用集合交集、并集的性質(zhì)1.依據(jù)：A∩B＝A?A?B，A∪B＝A?B?A.2.關(guān)注點：當集合A?B時，若集合A不確定，運算時要考慮A＝?的情況，否則易漏解.3.求解與不等式有關(guān)的集合問題的方法解決與不等式有關(guān)的集合問題時，畫數(shù)軸(這也是集合的圖形語言的常用表示方式)可以使問題變得形象直觀，要注意求解時端點的值是否能取到.4.要進行集合運算時，首先必須熟練掌握基本運算法則，可按照如下口訣進行：交集元素仔細找，屬于A且屬于B；并集元素勿遺漏，切忌重復僅取一；全集U是大范圍，去掉U中A元素，剩余元素成補集．考點一并集【例11】（2023浙江省寧波市）已知集合，，則（

）A． B． C． D．【例12】（2022秋·江西景德鎮(zhèn)）集合，，則（

）A． B．C． D．【一隅三反】1．（2023春·廣西）已知集合，，則中的元素個數(shù)為（

）A．3 B．4 C．5 D．62．（2023·安徽）設(shè)集合，，則（

）A． B． C． D．3．（2023·遼寧大連）已知集合，滿足，則（

）A． B． C． D．考點二交集【例21】（2023云南?。┰O(shè)集合，，則（

）A． B．C． D．【例22】（2023四川省成都市）已知集合，，則（

）A． B． C． D．【一隅三反】1．（2023春·北京海淀）已知集合，，則（

）A． B．C． D．2．（2023春·浙江溫州）設(shè)集合，，則（

）A． B． C． D．3．（2022秋·江西贛州·）已知集合，，則（

）A． B．C． D．考點三補集、全集【例3】（2023貴州?。┮阎?，，則（

）A． B．或C．或 D．或【一隅三反】1．（2023·天津河北）設(shè)全集，集合，集合，則（

）A． B．C． D．2．（2023海南?。┰O(shè)全集，集合，則（

）A． B．C． D．考點四集合運算的綜合運用【例4】（2023春·湖南·高三校聯(lián)考階段練習）已知集合，，，則（

）A． B． C． D．【一隅三反】1．（2023·云南）已知全集，則（

）A． B． C． D．2．（2023山東）（多選）已知全集U={1,2,3,4,5,6}，集合P={1,3,5}，Q={1,2,4}，則下列結(jié)論正確的是（）A．={1} B．={1,2,3,4,5,6}C．={1,2,4,6} D．={3,5}3．（2023·河北）（多選）已知集合A＝{x|－1＜x≤3}，集合B＝{x||x|≤2}，則下列關(guān)系式正確的是（）A．A∩B＝B．A∪B＝{x|－2≤x≤3}C．A∪＝{x|x≤－1或x＞2}D．A∩＝{x|2＜x≤3}考點五韋恩圖【例51】（2023·四川成都）已知集合，，且，都是全集的子集，則下圖韋恩圖中陰影部分表示的集合為（

）

A． B．C． D．【例52】（2023·北京）設(shè)集合，，則圖陰影區(qū)域表示的集合是（

）A． B． C． D．【例53】（2023·山西）設(shè)全集及集合與，則如圖陰影部分所表示的集合為（

）A． B．C． D．【例54】（2023·北京·北京四中校考模擬預測）有三支股票位股民的持有情況如下：每位股民至少持有其中一支股票.在不持有股票的人中，持有股票的人數(shù)是持有股票的人數(shù)的2倍.在持有股票的人中，只持有股票的人數(shù)比除了持有股票外，同時還持有其它股票的人數(shù)多1.在只持有一支股票的人中，有一半持有股票.則只持有股票的股民人數(shù)是（

）A．7 B．6 C．5 D．4【一隅三反】1．（2023·安徽安慶）設(shè)全集，，，則圖中陰影部分所表示的集合為（

）A． B．C． D．2．（2023春·湖南）已知全集，集合，，則圖中陰影部分表示的集合為（

）A． B． C． D．3．（2023·四川成都）已知集合，且M，N都是全集U的子集，則如圖的韋恩圖中陰影部分表示的集合為（

）

A． B． C． D．4．（2023·黑龍江）如圖，是全集，，，是的三個子集，則圖中陰影部分表示（

）

A． B．C． D．5．（2022秋·江西景德鎮(zhèn)）某城市數(shù)、理、化競賽時，高一某班有26名學生參加數(shù)學競賽，25名學生參加物理競賽，23名學生參加化學競賽，其中參加數(shù)、理、化三科競賽的有7名，只參加數(shù)、物兩科的有6名，只參加物、化兩科的有8名，只參加數(shù)、化兩科的有5名．若該班學生共有51名，則沒有參加任何競賽的學生共有（

）名A．7 B．8 C．9 D．10考點六求參數(shù)【例61】（2023·湖北荊門）已知集合，，，則（

）．A．1 B．2 C．3 D．4【例62】（2023春·江西景德鎮(zhèn)）設(shè)集合，，若，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【例63】（2023·河南開封）設(shè)集合或，若，則的取值范圍是（

）A．或 B．或C． D．【例64】（2023春·四川南充）（多選）已知全集，集合，則使成立的實數(shù)m的取值范圍可能是（

）A． B．C． D．【一隅三反】1．（2022秋·遼寧沈陽）設(shè)全集，集合，則（

）A． B．2 C． D．2．（2023吉林）已知集合，．（1）若，實數(shù)的取值范圍是____________________．（2）若，實數(shù)的取值范圍是____________________．（3）若，實數(shù)的取值范圍是____________________．3．（2023·福建）在①；②這二個條件中任選一個，補充到本題第（2）問的橫線處，求解下列問題.問題：已知集