專題83簡單幾何體的表面積與體積（舉一反三）（人教A版2019）

專題8.3簡單幾何體的表面積與體積【七大題型】【人教A版（2019）】TOC\o"13"\h\u【題型1多面體的表面積與體積】 2【題型2圓柱、圓錐、圓臺的表面積與體積】 5【題型3球的表面積與體積】 7【題型4組合體的表面積與體積】 8【題型5球的截面問題】 12【題型6幾何體與球的切、接問題】 15【題型7實際應用問題】 19【知識點1簡單幾何體的表面積與體積】1．多面體的側(cè)面積、表面積和體積多面體圖形側(cè)面積與表面積體積棱柱直棱柱的側(cè)面展開圖是矩形，

S直棱柱側(cè)=Ch(C為底面周長，h為高)，

S直棱柱表=S直棱柱+2S底(S底為底面面積)V柱=S底h(S底為底面面積，h為高)棱錐正棱錐的側(cè)面展開圖是一些全等的等腰三角形，S正棱錐側(cè)=Ch'(C為底面周長，h'為斜高)，S正棱錐表=S正棱錐側(cè)+S底(S底為底面面積)(S底為底面面積，h為高)棱臺正棱臺的側(cè)面展開圖是一些全等的等腰梯形，S正棱臺側(cè)=(C+C')h'(C'、C分別為上、下底面的周長，h'為斜高)，S正棱臺表=S正棱臺側(cè)+S+S′(S′、S分別為上、下底面面積)(S'、S分別為上、下底面面積，h為棱臺的高)2．旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積、表面積和體積旋轉(zhuǎn)體圖形側(cè)面積與表面積體積圓柱圓柱的側(cè)面展開圖是矩形，S圓柱側(cè)=2πrl，表面積S=2πr2+2πrl=2πr(r+l)體積V=S底h(S底為底面面積，h為高)圓錐圓錐的側(cè)面展開圖是扇形，S圓錐側(cè)=πrl，表面積

S=πr2+πrl=πr(r+l)體積V=S底h(S底為底面面積，h為高)圓臺圓臺的側(cè)面展開圖是扇環(huán)，S圓臺側(cè)=π(r1+r2)l，

表面積體積(S'、S分別為上、下底面面積，h為圓臺的高)球半徑為R的球的表面積S=4πR2半徑為R的球的體積3．空間幾何體表面積與體積的常見求法(1)常見的求幾何體體積的方法

①公式法：直接代入公式求解.

②等體積法：四面體的任何一個面都可以作為底面，只需選用底面面積和高都易求出的形式即可.

③補體法：將幾何體補成易求解的幾何體，如棱錐補成棱柱，三棱柱補成四棱柱等.

④分割法：將幾何體分割成易求解的幾部分，分別求體積.

(2)求組合體的表面積與體積的方法

求組合體的表面積的問題，首先應弄清它的組成部分，其表面有哪些底面和側(cè)面，各個面的面積應該怎樣求，然后根據(jù)公式求出各個面的面積，最后相加或相減.求體積時也要先弄清各組成部分，求出各簡單幾何體的體積，再相加或相減.【題型1多面體的表面積與體積】【例1】（2023上·黑龍江·高二統(tǒng)考學業(yè)考試）《九章算術(shù)》中記載，四個面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑.現(xiàn)有一個“鱉臑”，PA⊥底面ABC，AC⊥BC，且PA=3，AC=BC=2，則該四面體的體積為（

）A．1 B．2 C．4 D．8【解題思路】根據(jù)錐體的體積公式運算求解.【解答過程】由題意可知：三棱錐P?ABC的高為PA=3，所以該四面體的體積為13故選：B.【變式11】（2023上·湖南岳陽·高二校考競賽）正方體的八個頂點中，有四個恰好為正四面體的頂點，則正方體的表面積與正四面體的表面積之比為（

）．A．2 B．3 C．62 D．【解題思路】設正方體的棱長為a，可求出正四面體的棱長，繼而求得兩種幾何體的表面積即可.【解答過程】正方體的棱長為a，此時正四面體的棱長為2a則正方體的表面積為6a正四面體的表面積為4×1兩者之比為6a故選：B.【變式12】（2023上·陜西·高三校聯(lián)考階段練習）已知正三棱柱ABC?A1B1CA．3 B．33 C．6 D．【解題思路】利用正三棱柱外接球的性質(zhì)得到a,?的關(guān)系式，從而利用二次函數(shù)的性質(zhì)或基本不等式即可得解.【解答過程】解法一：設正三棱柱底面邊長為a，高為h，底面外接圓的半徑為r，則2r=asin60°=2a3，故又三棱柱的側(cè)面積S=3a?，所以S2當?=2時，等號成立，則三棱柱的側(cè)面積S=3a?最大值為3解法二：設正三棱柱底面邊長為a，高為h，底面外接圓的半徑為r，則2r=asin60°=2a因為a23+當且僅當a=62，?=2時，等號成立，則三棱柱的側(cè)面積S=3a?故選：B.【變式13】（2023·河南·信陽高中校聯(lián)考模擬預測）如圖，兩個相同的正四棱臺密閉容器內(nèi)裝有某種溶液，AB=6,A1B1=2，圖1中液面高度恰好為棱臺高度的一半，圖2中液面高度為棱臺高度的34，若圖1和圖2中溶液體積分別為A．34 B．3839 C．1 【解題思路】根據(jù)棱臺的體積公式，求出V1【解答過程】設四棱臺的高度為?，在圖1中，中間液面四邊形的邊長為4，在圖2中，中間液面四邊形的邊長為5，則V1所以V1故選：D.【題型2圓柱、圓錐、圓臺的表面積與體積】【例2】（2023·全國·模擬預測）如圖所示，圓錐SO的底面圓半徑OA=1，側(cè)面展開圖扇形SAB的面積為3π，則此圓錐的體積為（

A．22π3 B．4π C．【解題思路】根據(jù)圓錐側(cè)面積公式求出母線長，再求出其高，最后利用體積公式即可.【解答過程】設圓錐的母線長為l，則圓錐的側(cè)面積S=12×2所以圓錐的高SO=3故圓錐的體積V=1故選：A.【變式21】（2023上·山東·高三?？计谥校┤鐖D，圓錐的母線長為2，點M為母線AB的中點，從點M處拉一條繩子繞圓錐的側(cè)面轉(zhuǎn)一周到達B點，這條繩子的長度最短值為5，則此圓錐的表面積為（

）

A．π B．54π C．32【解題思路】作出圓錐側(cè)面展開圖，根據(jù)給定條件求出展開圖扇形圓心角，再求出圓錐底面圓半徑即可作答.【解答過程】將圓錐側(cè)面沿母線AB剪開，其側(cè)面展開圖為扇形，如圖，

從點M處拉一條繩子，繞圓錐的側(cè)面轉(zhuǎn)一周達到B點，最短距離即為線段BM長，則有BM=5而M是線段AB'中點，又母線長為2，于是得AM設圓錐底面圓半徑為r，從而有：2πr=2?π所以圓錐的表面積為S=π故選:B.【變式22】（2023·浙江溫州·高二統(tǒng)考學業(yè)考試）已知一個圓臺的上底面半徑為2，下底面的半徑為5，其側(cè)面積為35π，則該圓臺的體積為（

A．208π B．156π C．104π【解題思路】根據(jù)圓臺的側(cè)面積公式求出母線，再求圓臺的高結(jié)合圓臺體積公式求體積即可.【解答過程】設圓臺上下底面的半徑分別為r′,r，母線為由題意可得：S側(cè)則圓臺的高為?=l所以圓臺的體積為V=1故選：D.【變式23】（2023上·遼寧·高三校聯(lián)考期中）如圖，在圓錐PO中，用一個平行于底面的平面去截圓錐PO，可得一個圓錐PO1和一個圓臺O1O，若圓錐PO1的體積是圓錐PO體積的18A．12 B．14 C．23【解題思路】根據(jù)體積之比可得半徑之比，即可根據(jù)圓錐和圓臺的側(cè)面積的公式即可求解.【解答過程】設圓錐PO1,PO的底面圓半徑分別為r,R因為VPO1VPO即R=2r，L=2l.所以SP故選：D.【題型3球的表面積與體積】【例3】（2023下·陜西西安·高一期中）兩個球表面積的比為1:4，則體積的比為（

）A．1:2 B．1:4C．1:8 D．不確定【解題思路】由表面積的比得到半徑之比，再得到體積之比.【解答過程】設兩球的半徑分別為r1，r∵表面積之比S1S2=4∴體積之比V1故選：C.【變式31】（2023上·上?！じ叨ｎ}練習）若兩球的體積之和是12π，經(jīng)過兩球球心的截面圓周長之和為6π，則兩球的半徑之差為（A．1 B．2 C．3 D．4【解題思路】設兩球的半徑分別為R，r(R>r)，根據(jù)題意得到方程，解出即可.【解答過程】設兩球的半徑分別為R，r(R>r)，則由題意得4π解得R=2r=1，故R?r=1故選：A.【變式32】（2023·陜西商洛·統(tǒng)考一模）將一個底面半徑為3，高為4的圓柱形鐵塊熔化為鐵水，恰好制成一個實心鐵球，則該實心鐵球的半徑是（

）A．2 B．3 C．4 D．6【解題思路】根據(jù)題意，求得圓柱的體積，結(jié)合球的體積公式，列出方程，即可求解.【解答過程】由題意，可得圓柱的體積為V=π設該實心鐵球的半徑為R，則43πR故選：B.【變式33】（2023上·四川南充·高二校考階段練習）如圖所示是古希臘數(shù)學家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻著一個圓柱，圓柱內(nèi)有一個內(nèi)切球，這個球的直徑恰好與圓柱的高相等，相傳這個圖形表達了阿基米德最引以為自豪的發(fā)現(xiàn)．我們來重溫這個偉大發(fā)現(xiàn)，圓柱的表面積與球的表面積之比為（

）A．65 B．54 C．32【解題思路】根據(jù)圓柱的表面積公式和球的表面積公式求解．【解答過程】設球半徑為r，則圓柱底面半徑為r，高為2r，所以圓柱的表面積S1與球的表面積S2之比為故選：C．【題型4組合體的表面積與體積】【例4】（2023上·山東濱州·高三校聯(lián)考階段練習）我國有著豐富悠久的“印章文化”，古時候的印章一般用貴重的金屬或玉石制成，是過去官員或私人簽署文件時代表身份的信物。圖1是明清時期的一個金屬印章擺件，除去頂部的環(huán)以后可以看作是一個正四棱柱和一個正四棱錐組成的幾何體，如圖2．已知正四棱柱和正四棱錐的高相等，且正四棱錐的底面邊長為4，側(cè)棱長為23，則該幾何體的體積是（

A．32 B．643 C．1283【解題思路】根據(jù)正四棱錐的幾何性質(zhì)，建立方程，求得其高，結(jié)合體積公式，可得答案.【解答過程】解：因為正四棱錐的底面邊長為4，所以底面的對角線長為42設正四棱柱和正四棱錐的高為?，因為正四棱錐的側(cè)棱長為23，所以?2+故該幾何體的體積為4×4×2+1故選：C.【變式41】（2023上·河南周口·高三校聯(lián)考階段練習）中國是瓷器的故鄉(xiāng)，“瓷器”一詞最早見之于許慎的《說文解字》中．某瓷器如圖1所示，該瓷器可以近似看作由上半部分圓柱和下半部分兩個圓臺組合而成，其直觀圖如圖2所示，已知圓柱的高為18cm，底面直徑AB=12cm，CD=20cm，EF=14cm，中間圓臺的高為3cmA．375πcm2 B．377πcm2【解題思路】先計算兩個圓臺的母線長，根據(jù)圓柱和圓臺的側(cè)面積公式和可得該瓷器的側(cè)面積.【解答過程】由AC=32+可得該瓷器的側(cè)面積為12π故選：D.【變式42】（2023·陜西安康·校聯(lián)考模擬預測）陀螺是中國民間最早的娛樂工具之一，如圖所示，某陀螺可以視為由圓錐SO和圓柱OO1組合而成，點M,N在圓錐SO的底面圓周上，且△SMN的面積為7,sin∠MSN=74，圓錐SOA．40π3 B．44π3 C．【解題思路】該幾何體是由一個圓錐和一個圓柱組成的，由S△SMN【解答過程】設圓錐的底面半徑為r，母線長為l，則△SMN的面積為12SM×SNsin因為圓錐SO的側(cè)面積為πrl=22π故該幾何體的體積為V=V故選：B.【變式43】（2023上·湖北·高二荊州中學校考階段練習）貫耳瓶流行于宋代，清代亦有仿制，如圖所示的青花折枝花卉紋六方貫耳瓶是清乾隆時期的文物，現(xiàn)收藏于首都博物館，若忽略瓶嘴與貫耳，把該瓶瓶體看作3個幾何體的組合體，上面的幾何體Ⅰ是直棱柱，中間的幾何體Ⅱ是棱臺，下面的幾何體Ⅲ也是棱臺，幾何體Ⅲ的下底面與幾何體Ⅰ的底面是全等的六邊形，幾何體Ⅲ的上底面面積是下底面面積的9倍，若幾何體Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的高之比分別為3:3:5，則幾何體Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的體積之比為（

）

A．3:9:25 B．9:21:35 C．3:39:65 D．9:39:65【解題思路】設上面的六棱柱的底面面積為S，高為3m，根據(jù)棱柱和棱臺的體積公式直接計算，然后求比可得.【解答過程】設上面的六棱柱的底面面積為S，高為3m，由上到下的三個幾何體體積分別記為V1則V1V2V3所以V1故選：D.

【知識點2球的截面、幾何體與球的切、接問題】1．球的截面(1)球的截面形狀

①當截面過球心時，截面的半徑即球的半徑，此時球的截面就是球的大圓；

②當截面不過球心時，截面的半徑小于球的半徑，此時球的截面就是球的小圓.

(2)球的截面的性質(zhì)

①球心和截面圓心的連線垂直于截面；

②球心到截面的距離d與球的半徑R及截面的半徑r之間滿足關(guān)系式：.

圖形解釋如下：

在球的軸截面圖中，截面與球的軸截面的關(guān)系如圖所示.若設球的半徑為R，以O'為圓心的截面的半徑為r，OO'=d.則在Rt△OO'C中，有，即.2．幾何體與球的切、接問題常見的與球有關(guān)的組合體問題有兩種：一種是內(nèi)切球，另一種是外接球.

常見的幾何體與球的切、接問題的解決方案：【題型5球的截面問題】【例5】（2023·全國·高三專題練習）某同學在參加《通用技術(shù)》實踐課時，制作了一個工藝品，如圖所示，該工藝品可以看成是一個球被一個棱長為43的正方體的六個面所截后剩余的部分（球心與正方體的中心重合），若其中一個截面圓的周長為4π，則該球的體積是（A．256π3 B．64π C．16【解題思路】求出球心到截面圓所在平面的距離以及截面圓的半徑，利用勾股定理可求得球的半徑，再利用球的體積公式即可求得結(jié)果.【解答過程】由題意可得，球心到截面圓所在的平面的距離d=4設截面圓的半徑為r，球的半徑為R，則2πr=4π所以R=r所以該球的體積為43故選：A.【變式51】（2023上·湖北荊州·高三沙市中學?？茧A段練習）三棱錐A?BCD的四個頂點都在表面積為20π的球O上，點A在平面BCD的射影是線段BC的中點，AB=BC=23，則平面BCD被球O截得的截面面積為（A．23π C．4π D．【解題思路】分別找出△BCD和△ABC的外接圓圓心F和H，通過過F作平面BCD的垂線，過H作平面ABC的垂線，兩垂線的交點即為三棱錐A?BCD外接球球心O，再通過幾何關(guān)系求出△BCD外接圓半徑，即可求其被球O截得的圓的面積．【解答過程】設BC中點為E，∵點A在平面BCD的射影是線段BC的中點E，∴AE⊥平面BCD，AE⊥BC，∴AB=AC，又∵AB=BC，∴△ABC是等邊三角形．取AC中點為G，連接BG交AE于H，則H是△ABC外心．連接ED，在ED上取F，使得FD=2EF，則F為△BCD外心．過F作平面BCD的垂線，過H作平面ABC的垂線，兩垂線的交點即為三棱錐A?BCD外接球球心O，則四邊形OHEF是矩形，OF=HE=1連接OB，BF，設△BCD外接圓半徑FD=BF=r，設球O半徑為OB=R．∵球O的表面積為20π，∴4∴在Rt△OBF中，r=BF=R∴平面BCD被球O截得的截面面積πr故選：C.【變式52】（2023·全國·高三專題練習）已知三棱錐P?ABC滿足PA⊥底面ABC，在△ABC中，AB=6，AC=8，AB⊥AC，D是線段AC上一點，且AD=3DC，球O為三棱錐P?ABC的外接球，過點D作球O的截面，若所得截面圓的面積的最小值與最大值之和為44π，則球O的表面積為（

A．72π B．86π C．112π D．128π【解題思路】先找到外接球球心，過BC的中點M作OM//PA，則OM⊥平面ABC，取OM=12PA，則O為P?ABC外接球球心，過點D作球O的截面，最大的截面過球心，最小的截面是過D且與OD【解答過程】如圖，M是BC邊中點，E是AC邊中點，∵AB⊥AC，∴M是△ABC的外心，

作OM//PA，∵PA⊥平面ABC，∴OM⊥平面ABC，AM,MD?平面ABC，∴OM⊥AM,OM⊥MD，取OM=12PA∴O是三棱錐P?ABC的外接球的球心.E是AC中點，則ME//AB，ME=12AB=3∵AD=3DC，∴ED=14AC=2設PA=2a，則OM=a，OD2=O∴OA過D且與OD垂直的截面圓半徑為r，則r=O這是最小的截面圓半徑，最大的截面圓半徑等于球半徑OA，∴πOA2OA2=故選：D.【變式53】（2023下·浙江·高二校聯(lián)考階段練習）在三棱錐A?BCD中，AB,BC,BD兩兩垂直，且AB=BC=BD=4，半徑為1的球O在該三棱錐內(nèi)部且與面ABC?面ABD?面BCD均相切.若平面α與球O相切，則三棱錐A?BCD的外接球被平面α所截得的截面面積的最小值為（

）A．8+23π B．6+23π C．【解題思路】先推出球的截面面積與球心距離的關(guān)系，再根據(jù)條件將三棱錐A?BCD看作正方體的一部分，求出外接球的球心和半徑，運用前面推出的關(guān)系求解.【解答過程】設截面圓與球心O1的距離為h，球O1的半徑為R，截面圓的半徑為r，則即h越大，截面的面積越??；由題意三棱錐A?BCD是正方體AEGF?BCHD的一部分，其外接球的球心為正方體對角線AH的中點O1外接球的半徑R，則R=4

以BC為x軸，BD為y軸，BA為z軸建立坐標系，則O1,1,1,OO1到球O球面上最遠的點距離為?=此時以最遠點為切點的平面α截外接球O1截面圓的半徑為r=即截面面積的最小值為S=r故選：C.【題型6幾何體與球的切、接問題】【例6】（2023上·上海閔行·高二?？计谀┪覈糯鷶?shù)學名著《九章算術(shù)》，將底面為矩形且有一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為“陽馬”.如圖所示，在長方體ABCD?A1B1C(1)求證：四棱錐D1(2)求該“陽馬”D1【解題思路】（1）根據(jù)DD1⊥平面ABCD（2）根據(jù)長方體的外接球即為四棱錐的外接球，長方體的對角線就是外接球的直徑，結(jié)合球體的表面積公式求解.【解答過程】（1）因為長方體ABCD?A1B1C1D所以四棱錐D1?ABCD中，底面ABCD是矩形，且側(cè)棱DD所以四棱錐D1體積V=1（2）長方體的外接球即為四棱錐的外接球，因為AB=BC=2，AA∴長方體的對角線長為22則長方體的外接球的半徑R=17∴該“陽馬”外接球的表面積為S=4πR【變式61】（2023·全國·高三專題練習）如圖所示，在棱長為1的正方體內(nèi)有兩個球相外切且分別與正方體內(nèi)切，求兩球半徑之和.【解題思路】作正方體的對角面,設出兩球半徑，根據(jù)正方體的對角線長列出等式，即可求得答案.【解答過程】作正方體的對角面，得如圖所示的截面圖:其中AB,CD為正方體的棱，AD,BC為正方體的面對角線，AC為體對角線，球心O1和O2在AC上，過O1,O2分別作設小球半徑為r，大球半徑為R,則由題意知AB=1,∴AC=3得AO∴r+R+3∴R+r=33+1【變式62】（2023上·江西景德鎮(zhèn)·高二?？计谥校┮阎獔A錐的頂點為P，母線PA,PB所成角的余弦值為14，軸截面等腰三角形的頂角為90°，若△PAB的面積為(1)求該圓錐的側(cè)面積；(2)求圓錐的內(nèi)切球體積．【解題思路】（1）先由已知得出l=2r，sin∠APB=154（2）畫出截面圖形，先由相似三角形知識求出內(nèi)切球半徑，再由體積公式即可求解.【解答過程】（1）如圖所示：令圓錐母線長、底面半徑分別為l、r，由圓錐的軸截面為等腰三角形且頂角為90°知，l=又cos∠APB=又因為△PAB的面積為215∴S△PAB又l=2r，所以∴側(cè)面積為S=1（2）如圖所示：設內(nèi)切球半徑為CO=CD=R，球心C在PO上面，則△POA～△PDC，所以CDAO由（1）可知，圓錐的高PO=AO=?=r=2則有R22=所以圓錐的內(nèi)切球體積為V=4【變式63】（2023下·遼寧·高一校聯(lián)考階段練習）《九章算術(shù).商功》中，將四個面都是直角三角形的四面體稱為鱉臑；在鱉臑ABCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，且AB=BC=CD=1，求

(1)四面體ABCD的表面積；(2)四面體ABCD內(nèi)切球半徑；(3)四面體ABCD外接球的表面積．【解題思路】（1）根據(jù)四個面均為直角三角形，求出各個面的面積再相加即可；（2）根據(jù)等體積法即可求解；（3）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)找出外接球球心，再得到外接球半徑，根據(jù)球的表面積公式計算即可得到答案.【解答過程】（1）因為AB⊥面BCD，BC,BD,CD?面BCD，所以AB⊥BC,AB⊥BD,AB⊥CD，又因為BC⊥CD，AB,BC?面ABC，AB∩BC=B，所以CD⊥面ABC，因為AC?面ABC，所以CD⊥AC.所以∠ABC=∠ABD=∠ACD=∠BCD=90°.由題意得，AB=BC=CD=1則S△ABC=1因為在Rt△ABC中，AC=所以S△ACD=1所以四面體ABCD的表面積S=S（2）設內(nèi)切球球心為O，半徑為r，顯然VA?BCD由體積相等得VA?BCD得到r=3（3）由題意得，∠ABD=∠ACD=90所以取AD中點為P，則PA=PB=PC=PD所以P為四面體外接球的球心，AD為直徑，在Rt△ABD中，AD=所以四面體外接球的半徑為r=AD所以四面體外接球面積為S=4π【題型7實際應用問題】【例7】（2023上·上?！じ叨谥校┠撤N“籠具”由內(nèi)，外兩層組成，無下底面，內(nèi)層和外層分別是一個圓錐和圓柱，其中圓柱與圓錐的底面周長相等，圓柱有上底面，制作時需要將圓錐的頂端剪去，剪去部分和接頭忽略不計，已知圓柱的底面周長為24πcm，高為30cm，圓錐的母線長為20cm

(1)求這種“籠具”的體積（結(jié)果精確到0.1cm(2)現(xiàn)要使用一種紗網(wǎng)材料制作50個“籠具”，該材料的造價為每平方米8元，共需多少元？【解題思路】（1）根據(jù)題意，結(jié)合圓錐和圓柱的體積公式，即可求解；（2）根據(jù)題意，求得該組合體的表面積，結(jié)合題意，即可求解.【解答過程】（1）設圓柱的底面半徑為r，高為?，圓錐的母線長為l，高為?1則2πr=24π，可得r=12所以籠具的體積V=π（2）圓柱的側(cè)面積S1圓柱的底面積S2圓錐的側(cè)面積為S3故籠具的表面積S=S故制造50個這樣的籠具總造價為：1104π答：這種籠具的體積約為11158.9cm2，生產(chǎn)50個籠具需要【變式71】（2023·全國·高一隨堂練習）用鐵皮裁剪成兩個圓和一個長方形，焊成一個體積固定的圓柱體容器(1)為使用料最省，應如何設計這個圓柱體？(2)為使接縫線最短，應如何設計這個圓柱體？【解題思路】由體積固定，將圓柱表面積和接縫總長用體積和底面半徑表示，求出取最值的條件.【解答過程】（1