2025年上海浦東新區(qū)高三三模高考數(shù)學(xué)試卷試題（含答案詳解）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁浦東新區(qū)2024學(xué)年度第二學(xué)期練習(xí)卷高三數(shù)學(xué)一、填空題（本大題滿分54分）本大題共有12題.考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果，1-6題每個(gè)空格填對得4分，7-12題每個(gè)空格填對得5分，否則一律得零分.1．已知集合，，則.2．已知函數(shù)，的最小值是，則實(shí)數(shù).3．設(shè)為實(shí)數(shù)，則不等式的解集是.4．若，，那么在方向上的數(shù)量投影為.5．已知的展開式中各項(xiàng)系數(shù)和為27，則含項(xiàng)的系數(shù)為.（結(jié)果用數(shù)值表示）6．將一個(gè)高為的圓錐沿其側(cè)面一條母線展開，其側(cè)面展開圖是半圓，則該圓錐的底面半徑為．7．短軸長為2，離心率的橢圓的兩焦點(diǎn)為，，過作直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，則的周長為.8．曲線的圖象上有一動點(diǎn)，則在此動點(diǎn)處切線的斜率的取值范圍為.9．已知隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為，則.10．浦東某學(xué)校有學(xué)生2000人，為了加強(qiáng)學(xué)生的鍛煉意識，學(xué)校舉行了跑步和登山比賽，每人都參加且只能參加其中一項(xiàng)比賽，各年級參加比賽的人數(shù)情況如下表所示：高一年級高二年級高三年級跑步人數(shù)（單位：人）abc登山人數(shù)（單位：人）xyz其中，參加登山的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的.為了解學(xué)生對本次比賽的滿意程度，按分層抽樣的方式從中抽取一個(gè)200人的樣本進(jìn)行調(diào)查，則高三年級參加跑步的學(xué)生中應(yīng)抽取人.11．已知復(fù)數(shù)滿足，則（i是虛數(shù)單位）的最小值為.12．對于函數(shù)，若關(guān)于的方程，（，）恰有個(gè)實(shí)數(shù)根，則稱函數(shù)為“”函數(shù).①函數(shù)的定義域且；②函數(shù)是“2”函數(shù)，也是“3”函數(shù)；那么同時(shí)滿足條件①②的函數(shù)共有個(gè).二、選擇題（本大題滿分18分）本大題共有4題，每題有且只有一個(gè)正確答案.考生必須在答題紙的相應(yīng)編號上，將代表答案的小方格涂黑，13－14題每題選對得4分，15－16題每題選對得5分，否則一律得零分.13．在正項(xiàng)等比數(shù)列中，是方程的兩個(gè)根，則（

）A．2 B．4 C．8 D．1614．，，請從以下選項(xiàng)中選出“”的充分條件（

）A． B． C． D．15．已知的內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、b、c.若，則以下關(guān)于“”的選項(xiàng)，結(jié)論正確的是（

）A．存在滿足 B．存在銳角滿足C．該表達(dá)式不存在最大值 D．該表達(dá)式不存在最小值16．如圖，ABCD是四面體.已知，，以下兩個(gè)語句中：①棱AB與棱CD一定相等；②棱AC與棱BD不一定相等；下列選項(xiàng)判斷正確的是（

）A．①，②都正確 B．①正確，②錯(cuò)誤C．①錯(cuò)誤，②正確 D．①，②都錯(cuò)誤三、解答題（本大題滿分78分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題卷的相應(yīng)編號規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟.17．已知.(1)數(shù)列的前項(xiàng)和為，點(diǎn)均在函數(shù)的圖象上，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)；當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.18．如圖，點(diǎn)是以為直徑的半圓上的動點(diǎn)，已知，且平面.(1)證明：平面平面；(2)若點(diǎn)滿足，當(dāng)三棱錐的體積取得最大值時(shí)，求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.19．申輝中學(xué)機(jī)器人興趣小組，進(jìn)行某款機(jī)器人研發(fā)學(xué)習(xí)活動.該機(jī)器人被設(shè)計(jì)從數(shù)軸上的原點(diǎn)出發(fā)，機(jī)器人每一步只能選擇向數(shù)軸正方向或向負(fù)方向行走1個(gè)單位.設(shè)機(jī)器人第步選擇向正方向行走的概率為.設(shè)行走步后機(jī)器人所在位置對應(yīng)的數(shù)為隨機(jī)變量.(1)興趣小組成員小浦對機(jī)器人行走的步數(shù)和機(jī)器人所在位置進(jìn)行了觀察記錄，記錄數(shù)據(jù)如下：n1234512123請求出變量和之間的線性相關(guān)系數(shù)：(2)若，求；(3)已知，在的條件下，求的概率.20．已知曲線，第一象限內(nèi)點(diǎn)在曲線上.、，連接并延長與曲線交于點(diǎn)，.以為圓心，為半徑的圓與線段交于點(diǎn)，記，的面積分別為，.(1)若，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)若點(diǎn)的坐標(biāo)為，求證；(3)求的最小值.21．已知實(shí)數(shù)，且a、b、c依次構(gòu)成等差數(shù)列，對于曲線，，若滿足、、依次構(gòu)成等差數(shù)列，則曲線，為曲線.(1)若，，是曲線，求實(shí)數(shù)的值；(2)已知曲線，都是曲線，證明：是曲線；(3)若，為曲線，求的取值范圍.答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁1．【分析】根據(jù)交集的運(yùn)算法則求出A與B的交集即可.【詳解】由題意得，因?yàn)?，，所以，故答案?2．【分析】由題意先求出時(shí)的取值范圍，從而得到的值域，再根據(jù)最小值為-1求出實(shí)數(shù)a的值.【詳解】由題意得，當(dāng)時(shí)，，故在的值域?yàn)?又因?yàn)樽钚≈凳?1，所以，故答案為.3．【分析】根據(jù)分式不等式解法求解即可.【詳解】因?yàn)?，解得且，即，所以不等式的解集?故答案為：4．##【分析】由投影數(shù)量的定義即可求解.【詳解】在方向上的數(shù)量投影為.故答案為：.5．12【分析】先令表示出各項(xiàng)系數(shù)和，求出的值，再利用二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式求解即可.【詳解】令代入中得，，則，根據(jù)二項(xiàng)式定理，含的項(xiàng)為，所以含項(xiàng)的系數(shù)為12.故答案為：12.6．1【分析】設(shè)該圓錐的底面半徑為r，推導(dǎo)出母線長為2r，再由圓錐的高為，能求出該圓錐的底面半徑．【詳解】設(shè)該圓錐的底面半徑為r，將一個(gè)高為的圓錐沿其側(cè)面一條母線展開，其側(cè)面展開圖是半圓，，解得，圓錐的高為，，解得．故答案為1．【點(diǎn)睛】本題考查圓錐的底面半徑的求法，考查圓錐性質(zhì)、圓等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．7．##【分析】根據(jù)題意，求出長半軸長，再由周長為求解.【詳解】設(shè)橢圓的長半軸長為，短半軸長為，則，又離心率為，則，解得，所以周長為.故答案為：.8．【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可求解.【詳解】，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，切線的斜率的取值范圍為.故答案為：9．【分析】根據(jù)正態(tài)曲線的密度函數(shù)對應(yīng)計(jì)算可得；【詳解】因?yàn)殡S機(jī)變量，其密度函數(shù)為，所以，.故答案為：10．45【分析】由題意可先將參加登山的總?cè)藬?shù)求出，即可得到參加跑步的總?cè)藬?shù)，再根據(jù)可求出每個(gè)年級參加跑步的人數(shù)，最后根據(jù)分層抽樣的原理，先求出應(yīng)抽出的跑步的總?cè)藬?shù)，再根據(jù)高三年級參加跑步的人占所有參加跑步人數(shù)的比例求出應(yīng)抽取多少高三參加跑步的學(xué)生人數(shù).【詳解】由題意得，因?yàn)榧拥巧降娜藬?shù)占總?cè)藬?shù)的，所以參加登山的人數(shù)為人，參加跑步的人為1500人.又由得，高三年級參加跑步的人數(shù)為人.根據(jù)分層抽樣的方法，應(yīng)抽取的跑步總?cè)藬?shù)為人，所以高三年級應(yīng)抽取人.故答案為：45.11．【分析】確定復(fù)數(shù)的軌跡，結(jié)合點(diǎn)到線的距離公式即可求解.【詳解】設(shè)，則由可得：，則，即或的幾何意義為射線上的點(diǎn)與的距離，結(jié)合圖像可知：到的距離即為最小值，最小值為：，故答案為：12．18【分析】根據(jù)題目所給條件，先根據(jù)定義域確定關(guān)鍵的函數(shù)值，然后根據(jù)計(jì)數(shù)原理將不能確定的幾個(gè)函數(shù)值進(jìn)行排列即可得到答案.【詳解】由題意，函數(shù)的定義域?yàn)楹秃瘮?shù)的值域均為：，可知自變量和函數(shù)值是一一對應(yīng)的關(guān)系；的定義域?yàn)?，根?jù)題目給出的“3”函數(shù)的新定義：有，即：，，.可得：，只能是，，，這樣在值域當(dāng)中只剩下是的倍，故，.因?yàn)楹瘮?shù)是“2”函數(shù)，根據(jù)題意恰有2個(gè)根，結(jié)合，，，，；剩余的不能確定的個(gè)函數(shù)值中，只需要，不同的分配方法有種.故答案為：13．B【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)求解.【詳解】因?yàn)槭欠匠痰膬蓚€(gè)根，所以，又因?yàn)樵诘缺葦?shù)列中，，又因?yàn)槭钦?xiàng)等比數(shù)列，所以，所以，故選:B.14．C【分析】根據(jù)充分條件的定義，結(jié)合特殊值，即可判斷選項(xiàng).【詳解】A.若，滿足，不滿足，故A不是充分條件；B.當(dāng)滿足，不滿足，所以B不是充分條件；C.若，又因?yàn)?，所以，所以C是充分條件；D.，，滿足，不滿足，故D不是充分條件.故選：C15．C【分析】由題意結(jié)合正弦定理，由可得，可得，所以，再結(jié)合的取值范圍判斷各選項(xiàng)的正誤即可.【詳解】由題意得，因?yàn)?，所以，由正弦定理可得，，所以，所?因?yàn)椋?，設(shè)，則，由得，所以在上遞減，在上遞增，又，所以，所以無解，A錯(cuò)誤；若，則，與銳角相矛盾，B錯(cuò)誤；由得C正確，D錯(cuò)誤.故選：C.16．A【分析】將四面體補(bǔ)成平行六面體，利用已知條件和平行六面體中的對稱性，結(jié)合余弦定理構(gòu)造等量關(guān)系，從而推導(dǎo)出選項(xiàng)的正誤.【詳解】在如圖所示的平行六面體中，設(shè)，，，，，，則由余弦定理有：，，，，，，由得，，將上面6個(gè)式子代入化簡可得：①，類似地，由得，，代入上面6個(gè)式子化簡可得：②，得：故，從而，即，故①正確；而由已知條件無法推出，則AC與BD不一定相等，故②正確；故選：A.17．(1)(2)【分析】（1）由題意可得，根據(jù)的關(guān)系求通項(xiàng)公式即可；（2）求出，換元后，分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值，利用二次函數(shù)配方后得解.【詳解】（1）由題意，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則.（2），設(shè)，當(dāng)時(shí)，，恒成立，則，因?yàn)?，所?18．(1)證明見解析(2).【分析】（1）要證明面面垂直，即需要證明線面垂直，那么過這條線的平面就會垂直于另一平面.（2）首先根據(jù)三棱錐體積取得最大這個(gè)條件得出的結(jié)論，然后找出平面與平面的二面角，最后根據(jù)線段關(guān)系和相似三角形求出該二面角的余弦值，或者建立平面直角坐標(biāo)系，利用向量法進(jìn)行求解.【詳解】（1）證明：因?yàn)槠矫妫矫?，所以，因?yàn)闉榘雸A的直徑，所以，因?yàn)槠矫?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平?（2）方法1：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立.設(shè)圓心為，連接，在平面上過作，連接??，在平面??上過??作??，如圖所示.因?yàn)椋?，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面平面，因?yàn)槠矫?，平面平面，所以平面ABC，平面，則，，平面，所以平面，而平面，于是，所以為平面與平面的夾角，在平面上，，有，得，，，有，得，則，，平面與平面所成銳角的余弦值為.方法2：據(jù)（1）知，面，，當(dāng)時(shí)，達(dá)到最大：過點(diǎn)作于，建立以為原點(diǎn)，為軸，為軸，過點(diǎn)垂直于平面的方向?yàn)閦軸.設(shè)平面與平面的法向量分別為，.則點(diǎn)，，，，.，；則；令，可得；因?yàn)槠矫娴姆ㄏ蛄繛?則平面與平面夾角的余弦值.19．(1)(2)0(3)【分析】（1）由表中數(shù)據(jù)及相關(guān)系數(shù)的公式即可求解；（2）由題可知的所有可能取值為，，，，根據(jù)題意求出對應(yīng)取值的概率即可求解；（3）由條件概率的定義及獨(dú)立事件的乘法公式節(jié)課求解.【詳解】（1）由表可知：，，，，代入相關(guān)系數(shù)的公式可得：.（2）由題可知的所有可能取值為，，，，表示三次均向正方向行走，故；表示兩次選擇正方向，一次選擇負(fù)方向行走，故；表示一次選擇正方向，兩次選擇負(fù)方向行走，故；表示三次均選擇負(fù)方向行走，故，所以.（3）設(shè)為事件A，為事件，，其中，，，故.20．(1)(2)證明見解析(3).【分析】（1）設(shè)，，，與聯(lián)立求出和韋達(dá)定理，根據(jù)求出即可求解；（2）求出即可證明；（3）由（1）求出，考慮和兩種情況，根據(jù)求出，求出，根據(jù)（2）求出，根據(jù)結(jié)合基本不等式即可求解.【詳解】（1）設(shè)，，，與聯(lián)立可得，，，，，因?yàn)椋?，由可得，故因?yàn)樵诘谝幌笙?，所以，解得，由得；?）由題意得，，故，，，則，即；（3）由（1）得，，故，因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，，，，故，，，故，所以⊥，，則，由對稱性可知，則，當(dāng)時(shí)，，，由得，將其代入中得，顯然，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，解得，，，因?yàn)?，其中，由?）知，又，故，故，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，此時(shí)，由于，故.21．(1)(2)證明見解析(3)【分析】（1）根據(jù)定義和等差中項(xiàng)的性質(zhì)列等式，討論的范圍化簡等式，即可求得的值；（2）根據(jù)定義和等差中項(xiàng)的性質(zhì)列等式，可得，進(jìn)一步根據(jù)等差中項(xiàng)性質(zhì)列關(guān)于的等式即可證明.（3）已知，為曲線，構(gòu)