深耕動(dòng)靜視角 迭代概念生長(zhǎng)

［摘"要］研究者以教學(xué)“角的再認(rèn)識(shí)”一課為例，通過(guò)“教材研讀，明晰概念本質(zhì)；學(xué)情分析，聚焦教學(xué)難點(diǎn)；單元整合，重構(gòu)教學(xué)路徑；課堂實(shí)踐，深化概念教學(xué)”等策略開(kāi)展教學(xué)實(shí)踐，以動(dòng)靜視角整體構(gòu)建角的概念，創(chuàng)設(shè)深度有序的教學(xué)活動(dòng)。［關(guān)鍵詞］概念教學(xué)；角的概念；動(dòng)靜視角；單元視域《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱“新課標(biāo)”）將數(shù)學(xué)課程要培養(yǎng)的核心素養(yǎng)表述為“三會(huì)”：會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界。數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)思維的外顯形式，是事物本質(zhì)的語(yǔ)言表達(dá)，是形成新課標(biāo)中“四基”（基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)）的核心。概念教學(xué)作為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)過(guò)程中的重要手段，是學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)思維解決問(wèn)題的重要工具。因此，新課標(biāo)更關(guān)注學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的把握，強(qiáng)調(diào)關(guān)注概念形成和發(fā)展的過(guò)程。然而在概念教學(xué)過(guò)程中，部分教師常常忽略概念的形成過(guò)程，沒(méi)有凸顯概念本質(zhì)，缺乏概念的結(jié)構(gòu)性教學(xué)。比如在教學(xué)“角的認(rèn)識(shí)”時(shí)，部分教師常常出現(xiàn)如下問(wèn)題：只關(guān)注角的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行淺層教學(xué)，忽視角的概念的作用與價(jià)值的深度教學(xué)，導(dǎo)致學(xué)生對(duì)角的認(rèn)知片面化；對(duì)教材中的兩種靜態(tài)、動(dòng)態(tài)定義理解不深，導(dǎo)致學(xué)生對(duì)角的認(rèn)識(shí)不夠全面，從而在量角、畫(huà)角環(huán)節(jié)出現(xiàn)偏差。教師應(yīng)如何引導(dǎo)學(xué)生準(zhǔn)確理解“角的概念”？筆者以“角的度量”單元為例開(kāi)展單元整體教學(xué)研究，以“角的概念”為單元主線，明晰單元知識(shí)脈絡(luò)。一、教材研讀，明晰概念本質(zhì)1.教材橫向?qū)Ρ取敖堑亩攘俊睂儆凇翱臻g與圖形”板塊中“測(cè)量”的內(nèi)容。人教版教材分四個(gè)階段對(duì)角的概念進(jìn)行建構(gòu)：第一階段為“整體認(rèn)知”階段，二年級(jí)上冊(cè)學(xué)生對(duì)角的認(rèn)知屬于整體認(rèn)識(shí)，教材沒(méi)有對(duì)角的概念給出明確定義，讓學(xué)生通過(guò)觀察、操作對(duì)角進(jìn)行識(shí)別，從生活中的角抽象出數(shù)學(xué)中的角。第二階段為“元素刻畫(huà)”階段，四年級(jí)上冊(cè)是角的概念的正式呈現(xiàn)，靜態(tài)定義出現(xiàn)在“線段、射線、直線”之后。借助靜態(tài)角的定義“由一點(diǎn)引出兩條射線所組成的圖形叫作角”，就能解釋“為什么角的大小跟兩邊的長(zhǎng)度無(wú)關(guān)”?？梢?jiàn)，角的大小立足于結(jié)合點(diǎn)線元素的靜態(tài)角的概念，符合學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展邏輯。動(dòng)態(tài)定義出現(xiàn)在“角的分類”一課中，此定義打破了靜態(tài)定義的局限，是立足點(diǎn)線元素高度抽象角的概念。第三階段為“動(dòng)靜關(guān)聯(lián)”階段，七年級(jí)學(xué)生對(duì)角的認(rèn)識(shí)進(jìn)一步拓展到圖形元素的動(dòng)靜關(guān)聯(lián)。第四階段為“動(dòng)態(tài)刻畫(huà)”階段，到了高中，學(xué)生則通過(guò)深入的動(dòng)態(tài)刻畫(huà)達(dá)成對(duì)角的概念的深化認(rèn)識(shí)。由此可見(jiàn)，學(xué)生對(duì)角的認(rèn)知經(jīng)歷了從感性到理性、從靜態(tài)到動(dòng)態(tài)的遞進(jìn)過(guò)程。2.教材縱向梳理如圖1所示，以動(dòng)靜結(jié)合的視角看本單元的序列，可以發(fā)現(xiàn)：第一課時(shí)認(rèn)識(shí)線段、直線、射線，指向線的特征與關(guān)聯(lián)；第二課時(shí)指向認(rèn)識(shí)單位角與角的靜態(tài)累加；第三課時(shí)指向射線旋轉(zhuǎn)中生成不同類型的角；第四課時(shí)指向應(yīng)用角的概念來(lái)畫(huà)角?？梢钥吹?，角的概念遍布于四個(gè)課例中，人教版對(duì)本單元的教學(xué)設(shè)計(jì)更偏向靜態(tài)角的教學(xué)，然而這些知識(shí)點(diǎn)要以動(dòng)態(tài)的眼光去審視。比如，角的分類是對(duì)動(dòng)態(tài)識(shí)角的再運(yùn)用，畫(huà)角是對(duì)運(yùn)用角的概念的動(dòng)態(tài)刻畫(huà)。因此，教師要基于“角的概念”研究“角的教學(xué)”，用數(shù)學(xué)概念指導(dǎo)后續(xù)的“量角”“畫(huà)角”等教學(xué)活動(dòng)，使教學(xué)活動(dòng)更有結(jié)構(gòu)性。3.不同教材對(duì)比北師大版數(shù)學(xué)教材編排的是在旋轉(zhuǎn)中認(rèn)識(shí)角，且在旋轉(zhuǎn)中形成不同類的角。對(duì)比兩版教材的素材形式，人教版教材指向角的靜態(tài)結(jié)構(gòu)——射線組成的結(jié)果；北師大版教材指向角的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)——射線旋轉(zhuǎn)的過(guò)程；兩者都跟元素射線有關(guān)。值得教師思考的是：靜態(tài)角或動(dòng)態(tài)角切入，哪個(gè)更能建構(gòu)角的概念，更能確保學(xué)生全面、深入地掌握角的概念？教材雖然呈現(xiàn)了本單元角的概念教學(xué)的必要性，但是存在動(dòng)態(tài)角的教學(xué)環(huán)節(jié)不夠扎實(shí)的問(wèn)題。因此，教師要引導(dǎo)學(xué)生以動(dòng)靜結(jié)合的視角對(duì)角的概念進(jìn)行深度認(rèn)知，為后續(xù)學(xué)習(xí)畫(huà)角、量角等知識(shí)打下基礎(chǔ)；要引導(dǎo)學(xué)生從小學(xué)階段的靜態(tài)角順利過(guò)渡到中學(xué)的動(dòng)態(tài)角；要從動(dòng)靜結(jié)合的視角對(duì)教材的單元序列進(jìn)行重構(gòu)。二、學(xué)情分析，聚焦教學(xué)難點(diǎn)在遵循學(xué)科邏輯的基礎(chǔ)上，筆者為了精準(zhǔn)把握學(xué)生對(duì)角的認(rèn)知起點(diǎn)，基于角的概念的生長(zhǎng)點(diǎn)和抑制點(diǎn)，設(shè)計(jì)了兩類問(wèn)題：對(duì)未學(xué)過(guò)本單元內(nèi)容的學(xué)生設(shè)置了角的認(rèn)知前測(cè)題，對(duì)學(xué)過(guò)本單元的四年級(jí)學(xué)生設(shè)置了操作類后測(cè)題。前測(cè)訪談?lì)}：如圖2所示，圖中有角嗎？你判斷的依據(jù)是什么？結(jié)果顯示：約11%的學(xué)生處于關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平，即能基于射線的旋轉(zhuǎn)動(dòng)態(tài)建構(gòu)角，能與靜態(tài)角的元素產(chǎn)生關(guān)聯(lián)；約23%的學(xué)生處于多元結(jié)構(gòu)水平，即能基于射線的旋轉(zhuǎn)動(dòng)態(tài)建構(gòu)角，但不能與靜態(tài)角的元素產(chǎn)生關(guān)聯(lián)；約54%的學(xué)生處于單一結(jié)構(gòu)水平，即能基于角的表象整體靜態(tài)識(shí)別，能分解角的元素；約12%的學(xué)生處于前結(jié)構(gòu)水平，只能基于角的表象整體識(shí)別，無(wú)法分解角的元素。由此可見(jiàn)，多數(shù)學(xué)生處于認(rèn)知靜態(tài)角的層面，無(wú)法識(shí)別由射線通過(guò)旋轉(zhuǎn)所形成的動(dòng)態(tài)角，如平角、周角等。操作應(yīng)用題：如圖3所示，用量角器度量角的大小。結(jié)果顯示：量角錯(cuò)誤率約29%，錯(cuò)因在于學(xué)生停留于對(duì)角的片面認(rèn)識(shí)，如“射線與0刻度未重合”“角度數(shù)的反向讀取”，這些錯(cuò)誤都是由于學(xué)生缺乏對(duì)角的元素的動(dòng)態(tài)感知。在教學(xué)過(guò)程中，教師要利用靜態(tài)角和動(dòng)態(tài)角的關(guān)聯(lián)，引導(dǎo)學(xué)生形成角的整體概念，這是為后續(xù)“量角”“畫(huà)角”等內(nèi)容提供正遷移的關(guān)鍵要點(diǎn)。從教材解讀和學(xué)情分析中可以得到啟示：教師要引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合點(diǎn)和線的元素，以動(dòng)靜結(jié)合的視角對(duì)角的概念進(jìn)行建構(gòu)。三、單元整合，重構(gòu)教學(xué)路徑1.單元核心概念提煉核心概念指向數(shù)學(xué)學(xué)科結(jié)構(gòu)的主干部分，能反映學(xué)科對(duì)象本質(zhì)關(guān)聯(lián)的內(nèi)容。本單元內(nèi)容筆者以元素的運(yùn)動(dòng)為核心概念，以“在元素點(diǎn)、線的運(yùn)動(dòng)中認(rèn)識(shí)不同的線，形成不同的角，并會(huì)度量和應(yīng)用”為單元目標(biāo)，以“點(diǎn)動(dòng)成線、線動(dòng)成角、旋轉(zhuǎn)測(cè)量、動(dòng)靜關(guān)聯(lián)、拼畫(huà)實(shí)踐”為整合路徑重新編排教學(xué)內(nèi)容（如圖4所示），并達(dá)成如下教學(xué)目標(biāo)：（1）認(rèn)識(shí)線的特征與關(guān)系；（2）建立角的動(dòng)、靜概念；（3）掌握用單位角度量；（4）在旋轉(zhuǎn)中畫(huà)出不同類的角。教師引導(dǎo)學(xué)生整體建構(gòu)角的認(rèn)識(shí)、度量，對(duì)概念達(dá)成深度理解。2.單元核心內(nèi)容重構(gòu)整合后的教學(xué)課時(shí)安排保證了教學(xué)的板塊和結(jié)構(gòu)不變，凸顯了動(dòng)靜視角和整體感知的特點(diǎn)（如圖5所示）。比如，第二課時(shí)補(bǔ)充了角的再認(rèn)識(shí)這節(jié)課例，遷移點(diǎn)動(dòng)成線到線動(dòng)成角，建立角的動(dòng)靜概念；第三課時(shí)以主題活動(dòng)“智創(chuàng)量角器”驅(qū)動(dòng)課堂，讓學(xué)生在創(chuàng)造量角器活動(dòng)中體驗(yàn)單位角，學(xué)會(huì)度量角；第四課時(shí)整合畫(huà)角和分類，讓學(xué)生在畫(huà)不同的角中，掌握角的分類與畫(huà)法。四、課堂實(shí)踐，深化概念教學(xué)基于上述分析，筆者圍繞單元重構(gòu)后的關(guān)鍵課例“角的再認(rèn)識(shí)”進(jìn)行例證。1.喚醒經(jīng)驗(yàn)（1）回顧經(jīng)驗(yàn)教師請(qǐng)學(xué)生回憶“角”長(zhǎng)什么樣子，并用手比畫(huà)出樣態(tài)。教師出示若干個(gè)角，提問(wèn)：什么是角？預(yù)設(shè)：有一個(gè)頂點(diǎn)、兩條邊。小結(jié)：由一個(gè)頂點(diǎn)、兩條邊組成的圖形是角。（2）概念重構(gòu)請(qǐng)學(xué)生思考：這兩條邊是什么線？預(yù)設(shè)：射線。請(qǐng)學(xué)生說(shuō)：什么是角？教師出示靜態(tài)角的概念：由一個(gè)點(diǎn)引出的兩條射線組成的圖形是角。2.豐富概念（1）任務(wù)啟動(dòng)教師出示由一個(gè)點(diǎn)引出的一條射線，讓學(xué)生思考：如果把這條射線繞著點(diǎn)動(dòng)起來(lái)，這里有角嗎？活動(dòng)1：動(dòng)靜關(guān)聯(lián)——在動(dòng)態(tài)中識(shí)角活動(dòng)要求：如果沒(méi)角，請(qǐng)說(shuō)明你的理由；如果有角，請(qǐng)用你喜歡的方法把看到的角都畫(huà)出來(lái)。（2）學(xué)情反饋①層次1：辨析有無(wú)角預(yù)設(shè)（沒(méi)角）：只有一條射線。預(yù)設(shè)（有角）：射線旋轉(zhuǎn)過(guò)去會(huì)形成角。學(xué)生分成沒(méi)角和有角兩大陣營(yíng)，進(jìn)行辯論。教師追問(wèn)：明明只有一條射線，另外一條射線怎么來(lái)的？預(yù)設(shè)：射線旋轉(zhuǎn)過(guò)去就產(chǎn)生了另一條射線，兩條射線就形成了角。教師再次追問(wèn)認(rèn)為沒(méi)角的學(xué)生：現(xiàn)在你看到兩條射線了嗎？總結(jié)：一條射線通過(guò)旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置，可以得到另一條射線，由此產(chǎn)生了角。②層次2：理解射線在不同位置形成的不同的角如圖6所示，教師展示作品1（多個(gè)分開(kāi)的角），讓學(xué)生思考：他也認(rèn)為有角，怎么看到了這么多角？小結(jié)：射線通過(guò)旋轉(zhuǎn)，能得到不同位置的第二條射線，就有了不一樣的角。如圖7所示，教師展示作品2（刺猬圖），讓學(xué)生思考：你覺(jué)得有多少個(gè)角？這個(gè)角的兩條射線在哪里？小結(jié)：在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，起始射線在不同位置，轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置得到射線，可以旋轉(zhuǎn)出不同大小的角。如圖8所示，教師展示作品3（箭頭圖），讓學(xué)生思考：你能看懂這個(gè)角的意思嗎？箭頭是什么意思？小結(jié)：可以用這樣的符號(hào)表示這條射線在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中產(chǎn)生的所有角。（3）對(duì)比概念①層次1：形成動(dòng)態(tài)概念教師提問(wèn)：現(xiàn)在你們對(duì)角有什么新的認(rèn)識(shí)？預(yù)設(shè)：一條射線旋轉(zhuǎn)的過(guò)程也能形成角（請(qǐng)學(xué)生演示一條射線旋轉(zhuǎn)形成角的過(guò)程）。小結(jié)動(dòng)態(tài)角的概念：角可以看作由一條射線繞著它的端點(diǎn)，從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所形成的圖形。②層次2：關(guān)注相同本質(zhì)教師提問(wèn)：我們對(duì)角進(jìn)行了兩次描述，這兩次描述有什么相同的地方？預(yù)設(shè)：第二次描述中射線的一個(gè)位置到另一個(gè)位置就是第一次描述中的兩條射線。教師板書(shū)：溝通靜態(tài)角的概念和動(dòng)態(tài)角的概念的聯(lián)系——兩條射線的位置。③層次3：尋找不同視角教師提問(wèn)：兩種描述哪里不同？小結(jié)：以前我們是用靜的眼光看角，現(xiàn)在是從動(dòng)的視角去看角，今后我們也可以學(xué)會(huì)用動(dòng)的視角看世界。今天我們就從動(dòng)靜結(jié)合的視角對(duì)角進(jìn)行再認(rèn)識(shí)。3.深化概念（1）任務(wù)啟動(dòng)教師提問(wèn)：剛才通過(guò)旋轉(zhuǎn)這條射線到另一個(gè)位置，出現(xiàn)另一條射線，形成了角。如果繼續(xù)繞這個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，還會(huì)出現(xiàn)怎樣的角？你能轉(zhuǎn)出一個(gè)與眾不同的角嗎？活動(dòng)二：動(dòng)中取靜——在特殊中辨角活動(dòng)要求：畫(huà)一個(gè)與眾不同的角，說(shuō)一說(shuō)它哪里與眾不同。（2）學(xué)情反饋①層次1：銳角、直角、鈍角概念判斷：如圖9所示，它們是角嗎？怎么得到的？預(yù)設(shè)（靜態(tài)角視角）：都有一個(gè)頂點(diǎn)和兩條射線。教師追問(wèn)：從靜態(tài)的視角看是有兩條射線，從動(dòng)態(tài)的視角看是怎么得到的？預(yù)設(shè)：一條射線從起始位置轉(zhuǎn)到這里為止（手勢(shì)）。預(yù)設(shè)（動(dòng)態(tài)角視角）：這條射線從一個(gè)位置轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置，得到了兩條射線。教師追問(wèn)：（個(gè)性判斷）它們不同在哪里？預(yù)設(shè)：旋轉(zhuǎn)時(shí)轉(zhuǎn)過(guò)的程度不一樣。轉(zhuǎn)過(guò)程度比較小的是銳角，第二個(gè)是直角，比直角大的是鈍角。②層次2：平角概念判斷：如圖10所示，它是角嗎？學(xué)生分成兩個(gè)陣營(yíng)進(jìn)行辨析。預(yù)設(shè)（不是角）：不是，只有一條線。預(yù)設(shè)（是角）：是，一條射線轉(zhuǎn)到對(duì)面。教師提問(wèn)：它的第二條射線是怎么得到的？生：通過(guò)旋轉(zhuǎn)射線到相對(duì)位置，形成平平的樣子。對(duì)比作品：如圖11所示，這兩種畫(huà)法你更喜歡哪一種？預(yù)設(shè)：第二種，能讓人一眼看清楚這條射線是怎么旋轉(zhuǎn)后得到第二條射線的。教師提問(wèn)：（個(gè)性判斷）這個(gè)角與眾不同在哪里？預(yù)設(shè)：這條射線轉(zhuǎn)到和它相反的位置，形成了這個(gè)角。小結(jié)：一條射線繞著端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到與它相反位置形成的角是平角。③層次3：周角概念判斷：如圖12所示，它是角嗎？預(yù)設(shè)（不是角）：不是，只有一條射線。預(yù)設(shè)（是角）：是角，這條射線轉(zhuǎn)一圈得到另一條射線，兩條射線重合了。教師提問(wèn)：如何讓人看出射線旋轉(zhuǎn)一周的過(guò)程？預(yù)設(shè)：如圖13所示，加箭頭表示旋轉(zhuǎn)了一周。教師提問(wèn)：（個(gè)性判斷）它的與眾不同在哪里？預(yù)設(shè)：它是兩條重合的射線形成的角。小結(jié)：只要是一條射線由一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置，得到了另一條射線，形成的圖形就是角。我們把射線旋轉(zhuǎn)一周形成的角叫作周角。教師提問(wèn)：射線旋轉(zhuǎn)一周后還能繼續(xù)旋轉(zhuǎn)下去形成角嗎？以后我們還會(huì)學(xué)習(xí)繼續(xù)旋轉(zhuǎn)下去形成的更多與眾不同的角。4.量感延伸一起回顧：這條射線通過(guò)旋轉(zhuǎn)到不同位置，可以轉(zhuǎn)出不同大小的角。（如圖14所示，動(dòng)態(tài)展示）教師提問(wèn)：想象一下，還可以轉(zhuǎn)到哪些位置？能轉(zhuǎn)出什么樣的角呢？（如圖15所示，依次出現(xiàn)“位置點(diǎn)”）活動(dòng)三：以靜“智”動(dòng)——在旋轉(zhuǎn)中定角（1）感受旋轉(zhuǎn)量如圖16所示，剛剛我們轉(zhuǎn)出了這樣一個(gè)銳角，我們給它取一個(gè)名字，叫作∠1?；顒?dòng)要求：你能找到幾個(gè)和∠1大小一樣的角呢？請(qǐng)你畫(huà)一畫(huà)。學(xué)情反饋，如圖17所示。學(xué)生點(diǎn)評(píng)作品①：∠1轉(zhuǎn)過(guò)的是3個(gè)點(diǎn)，這里畫(huà)的一些角只轉(zhuǎn)過(guò)了2個(gè)點(diǎn)。學(xué)生點(diǎn)評(píng)作品②：找的都正確，都是旋轉(zhuǎn)了3個(gè)點(diǎn)。小結(jié)：你們所說(shuō)的轉(zhuǎn)過(guò)3個(gè)點(diǎn)就是轉(zhuǎn)過(guò)了3格。教師提問(wèn)：如圖18所示，如果旋轉(zhuǎn)射線的一個(gè)位置在這里，另外一個(gè)位置在哪里？（學(xué)生指出）教師追問(wèn)：第二個(gè)位置不一樣，為什么角的大小一樣？預(yù)設(shè)：旋轉(zhuǎn)的量一樣，都是3格。（2）滲透單位角教師提問(wèn)：如果∠1的大小用“3”表示，那大小是“1”的角長(zhǎng)什么樣的？預(yù)設(shè)：射線轉(zhuǎn)過(guò)一格。教師提問(wèn)：如果∠1用“6”“12”“30”等表示，那么大小是“1”的角長(zhǎng)什么樣？下節(jié)課我們繼續(xù)研究。小結(jié)：今天我們對(duì)角進(jìn)行了再認(rèn)識(shí)，你們有什么收獲？五、小結(jié)反思筆者通過(guò)對(duì)教材的橫向、縱向梳理來(lái)明晰教材，通過(guò)學(xué)情的前、后測(cè)來(lái)聚焦學(xué)習(xí)重難點(diǎn)，并設(shè)計(jì)了關(guān)鍵問(wèn)題和學(xué)習(xí)活動(dòng)深度進(jìn)行角的概念教學(xué)，有效提升學(xué)生的量感、推理意識(shí)等核心素養(yǎng)。1.從元素到整體：以解構(gòu)的眼光看數(shù)學(xué)不管是從“一個(gè)頂點(diǎn)兩條邊組成的圖形”，還是“由一條射線旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的結(jié)果”，角的整體認(rèn)知都需要聚焦點(diǎn)線元素。本節(jié)課教師采用了從元素（射線）到整體（角）的視角進(jìn)行教學(xué)，即通過(guò)分解基本元素來(lái)理解復(fù)雜數(shù)學(xué)概念的方法。這種以解構(gòu)的眼光看待數(shù)