四川省遂寧市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題 含解析

遂寧市2024—2025學(xué)年度高中二年級第一學(xué)期期末質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試題本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時間120分鐘.注意事項：1.答題前，務(wù)必將自己的姓名、座位號和準(zhǔn)考證號填寫在答題卡規(guī)定的位置上.2.答選擇題時，必須使用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.3.答非選擇題時，必須使用0.5毫米黑色簽字筆，將答案書寫在答題卡規(guī)定的位置上.4.所有題目必須在答題卡上作答，在試題卷上答題無效.5.考試結(jié)束后，只將答題卡交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.雙曲線的離心率為（）A. B. C.2 D.3【答案】B【解析】【分析】由雙曲線的方程求出，然后由離心率公式求解.【詳解】因為雙曲線，所以，，則，所以.故選：B【點睛】本題主要考查雙曲線的離心率求法，屬于基礎(chǔ)題.2.某農(nóng)場共有300頭牛，其中甲品種牛30頭，乙品種牛90頭，丙品種牛180頭，現(xiàn)采用分層抽樣的方法抽取60頭牛進(jìn)行某項指標(biāo)檢測，則抽取甲，乙，丙三個品種牛的頭數(shù)分別為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出抽樣比例，進(jìn)而求解.【詳解】由題意知，抽樣比例為，則，所以抽取甲，乙，丙三個品種牛的頭數(shù)分別為.故選：A3.經(jīng)過點且與直線垂直的直線的方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)垂直關(guān)系確定直線的斜率，再應(yīng)用點斜式寫出直線方程.【詳解】與直線垂直的直線的斜率為，又直線過點，所以直線方程為，整理得.故選：C4.將一枚質(zhì)地均勻的正四面體教具連續(xù)拋擲次，第5次和第8次某一面朝下的概率分別記為，，則，的大小關(guān)系為（）A.，的大小由確定 B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)古典概率的性質(zhì)判斷兩次某一面朝下的概率大小即可.【詳解】由題設(shè)及古典概率的性質(zhì)，對于任意一次某一面朝下的概率均為，不朝下的概率均為，所以.故選：D5.已知圓，圓，則圓與圓的位置關(guān)系是（）A.外離 B.外切 C.相交 D.內(nèi)含【答案】C【解析】【分析】求出兩圓圓心距，利用幾何法可判斷兩圓的位置關(guān)系.【詳解】圓的圓心為，半徑為，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，所以，兩圓圓心距為，則，故兩圓相交.故選：C.6.已知空間向量，，，若，，共面，則m的值為（）A.1 B. C. D.2【答案】D【解析】【分析】根據(jù)條件及向量相等的坐標(biāo)運算，利用向量共面即可求出結(jié)果.【詳解】因為，，，且，，共面，所以，又，得到，解得，故選：D.7.某地區(qū)今年舉行了校園足球聯(lián)賽.賽季結(jié)束后的數(shù)據(jù)顯示：甲學(xué)校足球代表隊（下稱甲隊）每場比賽平均失球數(shù)是1.3，每場失球個數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差是1.2；乙學(xué)校足球代表隊（下稱乙隊）每場比賽平均失球數(shù)是1.9，每場失球個數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差是0.5.下列說法中正確的是（）A.平均來說乙隊比甲隊防守效果好B.甲隊比乙隊技術(shù)水平更穩(wěn)定C.甲隊在防守中有時表現(xiàn)較差，有時表現(xiàn)又非常好D.甲隊每場比賽必失球【答案】C【解析】【分析】根據(jù)平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差的意義逐項分析判斷即可.【詳解】對于選項A：因，平均來說甲隊比乙隊防守效果好，故A錯誤；對于選項BC：因為，乙隊比甲隊技術(shù)水平更穩(wěn)定，故B錯誤；且甲隊在防守中的波動性較大，可知甲隊在防守中有時表現(xiàn)較差，有時表現(xiàn)又非常好，故C正確；對于選項D：雖然甲隊每場比賽平均失球數(shù)是1.3，但不能確定每場比賽是否失球，故D錯誤；故選：C.8.已知點集，分別表示曲線，，若，有四個公共點，則的取值范圍（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】借助絕對值性質(zhì)分類討論可得的圖象，化簡后再分及，分別討論其與的交點個數(shù)即可得.【詳解】對，若，則，即，若，則，即，則由兩條射線：及組成；，即，①當(dāng)時，，此時曲線，只有交點，不符；②當(dāng)時，有，令，可得，當(dāng)時，與必有交點、，當(dāng)時，與必有交點、?1,1，當(dāng)時，與只有交點；③令，若，此時該方程無解，不符；若，則，此時與只有一個交點1,0；若，則，則與必有交點、，當(dāng)時，兩交點坐標(biāo)、，則此時，有三個公共點，不符；則當(dāng)時，，有交點、、、，符合要求；故，有四個公共點時，的取值范圍為.故選：B.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵點在于分類討論得到的圖象由兩條射線：及組成后，再分及與的交點個數(shù)討論.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共計18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.某人連續(xù)投籃三次，每次投一球，記事件為“三次都投中”，事件為“三次都沒投中”，事件為“恰有二次投中”，事件為“至少有二次投中”，則（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】設(shè)為三次投籃命中次，可得，，進(jìn)而逐項分析判斷.【詳解】設(shè)為三次投籃命中次，則，可得，所以，，，，故ACD正確，B錯誤.故選：ACD.10.下列說法中，正確的是（）A.直線的一個方向向量為B.，，三點共線C.直線（其中）必過定點D.經(jīng)過點，傾斜角為的直線方程為【答案】ABC【解析】【分析】對于A：根據(jù)直線方向向量的定義分析判斷；對于B：根據(jù)斜率公式分析判斷；對于C：整理可得，根據(jù)直線過定點分析求解；對于D：舉反例說明即可.【詳解】對于選項A：因為直線的斜率不存在，所以直線的一個方向向量為，故A正確；對于選項B：因為，即，所以，，三點共線，故B正確；對于選項C：直線即為，令，解得，所以直線（其中）必過定點，故C正確；對于選項D：例如，可知不存在，故D錯誤；故選：ABC.11.在平面直角坐標(biāo)系中，已知兩定點，，動點滿足直線與直線的斜率之積為，記的軌跡為，則下列描述正確的是（）A.當(dāng)時，曲線是以原點為圓心，半徑為1的圓B.當(dāng)時，點所在曲線的焦點在軸上C.當(dāng)時，過點的直線與曲線至少有一個公共點D.當(dāng)時，直線與曲線有兩個不同公共點，則【答案】BD【解析】【分析】設(shè)且，利用兩點斜率公式求曲線，根據(jù)各項的描述及圓錐曲線方程的特征、聯(lián)立方程判斷直線與曲線的位置關(guān)系判斷正誤.【詳解】設(shè)且，則，則且，當(dāng)，則曲線為且，即以原點為圓心，半徑為1的圓（去掉點），A錯；當(dāng)，則曲線，若，直線軸時，直線與曲線沒有公共點，C錯；當(dāng)，曲線為焦點在y軸上的雙曲線，聯(lián)立，整理得，顯然不可能有兩個交點，若時，顯然恒成立，所以直線與曲線有兩個不同公共點，B、D對.故選：BD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知向量，若與互相垂直，則實數(shù)的值為___________.【答案】2【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用數(shù)量積的坐標(biāo)表示、垂直關(guān)系的向量表示列式求出.【詳解】由向量，得，，由與互相垂直，得，所以.故答案為：213.已知直線與直線平行（其中為實數(shù)），則它們之間的距離為_____.【答案】3【解析】【分析】根據(jù)直線平行求得，即可求兩平行線之間的距離.【詳解】因直線與直線平行，則，解得，可知兩直線分別為，，符合題意，所以兩直線的距離為.故答案為：3.14.已知三棱柱，點在內(nèi)，，，分別為三邊的一個三等分點，為面的一個法向量，且.若到面的距離為2，則_______.【答案】【解析】【分析】過點作平面于點，可得，，再結(jié)合空間向量線性運算法則及數(shù)量積公式計算即可得.【詳解】過點作平面于點，則，由三棱柱性質(zhì)可得平面平面，故，則，由、、平面，故又，，，則.故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是利用垂直的性質(zhì)，其次是注意絕對值的考慮.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知橢圓長軸長為8，離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）以的焦點為頂點，短軸為虛軸的雙曲線記為，求的方程及其漸近線方程.【答案】（1）（2）雙曲線的方程為，漸近線方程為【解析】【分析】（1）根據(jù)題意列式求，即可得方程；（2）設(shè)雙曲線的實軸長為，虛軸長為，焦距為，根據(jù)題意可得，進(jìn)而可得雙曲線方程和漸近線方程.【小問1詳解】由題意可知：，可得，則，所以橢圓的方程為.【小問2詳解】由（1）可知：的頂點為，短軸長為，設(shè)雙曲線的實軸長為，虛軸長為，焦距為，由題意可知：，且焦點在x軸上，則，所以雙曲線的方程為，漸近線方程為.16.已知直線，圓（點為圓心）.（1）若直線與圓相切，求實數(shù)的值；（2）當(dāng)時，判斷直線與圓是否相交于不同的兩點？如果相交于不同兩點，記這兩點為，并求的面積，如果不相交，請說明理由.【答案】（1）或；（2）直線與圓相交于不同的兩點，【解析】【分析】（1）借助切線定義計算即可得；（2）計算點到直線的距離，比較半徑即可得直線與圓是否相交于不同的兩點，再借助垂徑定理可計算，即可的的面積.【小問1詳解】由可得，即、半徑，由可得，由直線與圓相切，則有，化簡得，即或；【小問2詳解】當(dāng)時，，此時點到直線的距離為，故直線與圓相交，即直線與圓相交于不同的兩點，由，則，則.17.甲、乙兩人在沙灘邊進(jìn)行連續(xù)多輪走步比賽，甲、乙各有一個不透明的盒子，甲的盒子里面有2個紅球1個白球，乙的盒子里面有2個紅球3個白球，這些球只有顏色不同.每一輪比賽的規(guī)則是：甲、乙同時各自從自己的盒子里面摸出一球，如果甲摸到紅球，甲向前走一步，否則原地不動；如果乙摸到白球，乙向前走一步，否則原地不動.各自摸球后都放回自己的盒子中.（1）經(jīng)過多輪比賽后，試估計甲、乙走的步數(shù)誰多？說明理由？（2）以頻率作為概率，試求2輪比賽后，乙走的步數(shù)比甲走的步數(shù)多的概率.【答案】（1）甲，理由見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)每一輪甲前進(jìn)的概率大于每一輪乙前進(jìn)的概率，即可得結(jié)論.（2）根據(jù)2輪比賽后乙走的步數(shù)比甲走的步數(shù)多，分三種情況討論，分別求出其概率，再求和即可.【小問1詳解】因為甲的盒子里面有2個紅球1個白球，甲摸到紅球，甲向前走一步，所以每一輪甲前進(jìn)的概率為；因為乙的盒子里面有2個紅球3個白球，乙摸到白球，乙向前走一步，所以每一輪乙前進(jìn)的概率為；因為，即每一輪甲前進(jìn)的概率都大于每一輪乙前進(jìn)的概率，所以經(jīng)過多輪比賽后，估計甲走步數(shù)多.【小問2詳解】若頻率作為概率，2輪比賽后，乙走的步數(shù)比甲走的步數(shù)多有三種情況：乙走兩步甲走一步，概率為；乙走兩步甲走零步，概率為；乙走一步甲走零步，概率為；綜上，2輪比賽后，乙走的步數(shù)比甲走的步數(shù)多的概率為18.如圖，等腰梯形的高為2，，，是上靠近的三等分點，如圖①所示，將沿折起到的位置，使得，如圖②所示，點在棱上.（1）求證：直線平面；（2）若是的中點，求直線與平面所成角的正弦值；（3）若平面與平面所成的銳二面角為，求的值.【答案】（1）證明見詳解；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）根據(jù)題意可知，進(jìn)而可得，結(jié)合線面垂直的判定定理分析證明；（2）建系標(biāo)點，求平面的法向量，利用空間向量求線面夾角；（3）設(shè)，求平面的法向量，利用空間結(jié)合面面夾角運算求解.【小問1詳解】在圖①中，過作，垂足為，則，可知點與點重合，即，在圖②中，可得，又因為，，平面，所以直線平面.【小問2詳解】由（1）可知：直線平面，，以坐標(biāo)原點，分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，若是的中點，則，可得，設(shè)平面的法向量為m=x1,令，則，可得，則.所以直線與平面所成角的正弦值為.【小問3詳解】由（2）可知：，因為點在棱上，設(shè)，則，設(shè)平面的法向量n=x2,令，則，可得，由題意可得：，整理可得，解得或（舍去），所以.19.已知拋物線的焦點為，第一象限內(nèi)的一點在拋物線上，且.（1）求拋物線的方程；（2）直線與拋物線的另一個交點為，求的面積（其中為坐標(biāo)原點）；（3）斜率分別為的兩條直線都經(jīng)過點，且與拋物線的另一個交點分別為，若，求證：直線過定點.【答案】（1）（2）（3）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)拋物線的定義求解即可；（2）求出直線的方程，聯(lián)立