專題14圓中的輔助線模型（原卷版）

專題14.圓中的輔助線模型在平面幾何中，與圓有關(guān)的許多題目需要添加輔助線來(lái)解決。百思不得其解的題目，添上合適的輔助線，問(wèn)題就會(huì)迎刃而解，思路暢通，從而有效地培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維。添加輔助線的方法有很多，本專題通過(guò)分析探索歸納八類圓中常見的輔助線的作法。模型1、遇弦連半徑（構(gòu)造等腰三角形）【模型解讀】已知AB是⊙O的一條弦，連接OA，OB，則∠A＝∠B．在圓的相關(guān)題目中，不要忽略隱含的已知條件。當(dāng)我們要解決有關(guān)角度、長(zhǎng)度問(wèn)題時(shí)，通?？梢赃B接半徑構(gòu)造等腰三角形，利用等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理及圓中的相關(guān)定理，還可連接圓周上一點(diǎn)和弦的兩個(gè)端點(diǎn)，根據(jù)圓周角的性質(zhì)可得相等的圓周角，解決角度或長(zhǎng)度的計(jì)算問(wèn)題例1．（2023·陜西初三一模）如圖，已知△ABC是圓O的內(nèi)接三角形，AB＝AC，∠ACB＝65°，點(diǎn)C是弧BD的中點(diǎn)，連接CD，則∠ACD的度數(shù)是例2.（2022?南召縣中考模擬）如圖，⊙O的直徑AB與弦CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，若DE＝OB，∠AOC＝84°，則∠E等于（）A．42° B．28° C．21° D．20°例3．（2023·重慶九年級(jí)一模）如圖，⊙O1的半徑是⊙O2的直徑，⊙O1的半徑O1C交⊙O2于B，若的度數(shù)是48°，那么的度數(shù)是______．例4．（2023年山東省淄博市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，是的內(nèi)接三角形，，，是邊上一點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)．若，，則的半徑為（

）

A． B． C． D．模型2、遇弦作弦心距（解決有關(guān)弦長(zhǎng)的問(wèn)題）【模型解讀】已知AB是⊙O的一條弦，過(guò)點(diǎn)OE⊥AB，則AE＝BE，OE2+AE2=OA2。在圓中，求弦長(zhǎng)、半徑或圓心到弦的距離時(shí)，常添加弦心距，或作垂直于弦的半徑（或直徑）或再連結(jié)過(guò)弦的端點(diǎn)的半徑。利用垂徑定理、圓心角及其所對(duì)的弧、弦和弦心距之間的關(guān)系、弦的一半、弦心距和半徑組成直角三角形，根據(jù)勾股定理求有關(guān)量。一般有弦中點(diǎn)、或證明弦相等或已知弦相等時(shí)，常作弦心距。例1．（2023年湖南省永州市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，是一個(gè)盛有水的容器的橫截面，的半徑為．水的最深處到水面的距離為，則水面的寬度為．

例2．（2023年四川省廣安市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，內(nèi)接于，圓的半徑為7，，則弦的長(zhǎng)度為．

例3．（2021·湖北中考真題）筒車是我國(guó)古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理，如圖1，筒車盛水桶的運(yùn)行軌道是以軸心為圓心的圓，如圖2，已知圓心在水面上方，且被水面截得的弦長(zhǎng)為6米，半徑長(zhǎng)為4米．若點(diǎn)為運(yùn)行軌道的最低點(diǎn)，則點(diǎn)到弦所在直線的距離是（）

A．1米 B．米 C．2米 D．米例4．（2023·廣東廣州·九年級(jí)?？甲灾髡猩┤鐖D所示，圓的直徑與弦相交于點(diǎn)．已知圓的直徑，，則的值是（

）A． B．8 C． D．4模型3、遇求角可構(gòu)造同弧的圓周角（圓心角）【模型解讀】如圖，已知A、B、P是⊙O上的點(diǎn)，點(diǎn)C是圓上一動(dòng)點(diǎn)，連接AC、BC，則∠ACB=∠AOB。例1．（2023·四川巴中·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的外接圓，若，則（

）

A． B． C． D．例2．（2023秋·湖北武漢·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，點(diǎn)A、B、C在⊙O上，且∠ACB=100o，則∠α度數(shù)為（

）A．160o B．120o C．100o D．80o例3．（2022春·黑龍江哈爾濱·九年級(jí)?？奸_學(xué)考試）如圖，內(nèi)接于，，，則的半徑為（

）

A．4 B．8 C． D．例4．（2023·遼寧鞍山·統(tǒng)考中考真題）如圖，為的兩條弦，D，G分別為的中點(diǎn)，的半徑為2．若，則的長(zhǎng)為（

）

A．2 B． C． D．模型4、遇直徑作直徑所對(duì)的圓周角（構(gòu)造直角三角形）【模型解讀】如圖，已知AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C是圓上一點(diǎn)，連接AC、BC，則∠ACB=90o。如圖，當(dāng)圖形中含有直徑時(shí)，構(gòu)造直徑所對(duì)的圓周角是解問(wèn)題的重要思路，在證明有關(guān)問(wèn)題中注意90o的圓周角的構(gòu)造。例1．（2023·遼寧營(yíng)口·統(tǒng)考中考真題）如圖所示，是的直徑，弦交于點(diǎn)E，連接，若，則的度數(shù)是（

）

A． B． C． D．例2．（2022春·廣東廣州·九年級(jí)?？奸_學(xué)考試）如圖，在中，弦的長(zhǎng)為10，圓周角，則這個(gè)圓的直徑為．

例3．（2023·四川瀘州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，點(diǎn)在斜邊上，以為直徑的半圓與相切于點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，連接．若，，則的長(zhǎng)是（）

A． B． C． D．模型5、遇90°的圓周角連直徑【模型解讀】如圖，已知圓周角∠BAC=90o，連接BC，則BC是⊙O的直徑。遇到90°的圓周角時(shí)，常連接兩條弦沒(méi)有公共點(diǎn)的另一端點(diǎn)，得到直徑。利用圓周角的性質(zhì)，可得到直徑。例1．（2022·遼寧營(yíng)口·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)A，B，C，D在上，，則的長(zhǎng)為（

）A． B．8 C． D．4例2．（2023·四川達(dá)州·統(tǒng)考二模）如圖，半徑為的經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O和點(diǎn)，B是y軸左側(cè)優(yōu)弧上一點(diǎn)，則為（

）

A． B． C． D．例3．（2022·四川涼山·統(tǒng)考中考真題）家具廠利用如圖所示直徑為1米的圓形材料加工成一種扇形家具部件，已知扇形的圓心角∠BAC＝90°，則扇形部件的面積為（

）A．米2 B．米2 C．米2 D．米2模型6、遇切線連圓心和切點(diǎn)（構(gòu)造垂直）【模型解讀】如圖，已知直線AB連與圓O相切于點(diǎn)C，連接OC，則OC⊥AB。AABCO已知圓的切線時(shí)，常把切點(diǎn)與圓心連接起來(lái)，得半徑與切線垂直，構(gòu)造直角三角形，再利用直角三角形的有關(guān)性質(zhì)解題。例1．（2022·黑龍江哈爾濱·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，如圖，、分別切于點(diǎn)、，點(diǎn)為優(yōu)弧上一點(diǎn)，若，則的度數(shù)為（）

A． B． C． D．例2．（2023·湖北武漢·九年級(jí)統(tǒng)考自主招生）如圖，在中，，點(diǎn)在上，以點(diǎn)為圓心，為半徑的剛好與相切，交于點(diǎn)．若，則的面積是（

）A． B． C． D．例3．（2023秋·廣東·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)是半徑為的外一點(diǎn)，，分別切于，點(diǎn)，若是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，則（

）

A． B． C． D．模型7、證明切線的輔助線（證垂直或直角）【模型解讀】證明直線AB是⊙O的切線.ABABCO遇到證明某一直線是圓的切線時(shí)：（1）有點(diǎn)連圓心：當(dāng)直線和圓的公共點(diǎn)已知時(shí)，聯(lián)想圓的切線的判定定理，只要將該店與圓心連接，再證明該直徑與直線垂直。如圖，已知過(guò)圓上一點(diǎn)C的直線AB，連接OC，證明OC⊥AB，則直線AB是⊙O的切線．（2）無(wú)點(diǎn)作垂線：需證明的切線，條件中沒(méi)有告知與圓之間有交點(diǎn)，則聯(lián)想切線的定義，過(guò)圓心作該直線的垂線，證明圓心到垂足的距離等于半徑。如圖，過(guò)點(diǎn)O作OC⊥AB，證明OC等于⊙O的半徑，則直線AB是⊙O的切線．例1．（2023年四川省攀枝花市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，為的直徑，如果圓上的點(diǎn)恰使，求證：直線與相切．

例2．（2023秋·福建福州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，，，的直徑為6．求證：直線是的切線．

例3．（2023年遼寧省阜新市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，是的直徑，點(diǎn)C，D是上異側(cè)的兩點(diǎn)，，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，且平分．(1)求證：是的切線．(2)若，，求圖中陰影部分的面積．

例4．（2023年遼寧省鞍山市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，四邊形內(nèi)接于，為的直徑，過(guò)點(diǎn)D作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接．若．(1)求證：為的切線．(2)若，，求的半徑．

模型8、遇三角形的內(nèi)切圓，連內(nèi)心與頂點(diǎn)（切點(diǎn)）當(dāng)遇到三角形內(nèi)切圓，連接內(nèi)心到三角形各頂點(diǎn)，或連接內(nèi)心到各邊切點(diǎn)（或做垂線）。利用內(nèi)心的性質(zhì)可得一內(nèi)心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的連線是各角的平分線，內(nèi)心到三角形三邊的距離相等。例1．（2020·青?！そy(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，，，則的內(nèi)切圓半徑．例2．（2023年四川省攀枝花市中考數(shù)學(xué)真題）已知的周長(zhǎng)為，其內(nèi)切圓的面積為，則的面積為（

）A． B． C． D．例3．（2023年湖北省潛江、天門、仙桃、江漢油田中考數(shù)學(xué)真題）如圖，在中，的內(nèi)切圓與分別相切于點(diǎn)，，連接的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，則．

課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023秋·湖北武漢·九年級(jí)期中）如圖，為直徑，弦于點(diǎn)，，，則長(zhǎng)為（）

A．10 B．9 C．8 D．52．（2022·湖北武漢·校考一模）如圖，是的直徑，D為上一點(diǎn)，A為的中點(diǎn)，于H并交于點(diǎn)E，若，，則的半徑長(zhǎng)為（

）

A． B． C． D．3．（2023秋·江蘇常州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，是的直徑，是的弦，連接，若，則的度數(shù)為（）

A． B． C． D．4．（2023秋·重慶沙坪壩·九年級(jí)重慶市第七中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，已知與相切于點(diǎn)A，是的直徑，連接交于點(diǎn)D，E為上一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，的度數(shù)是（

）

A． B． C． D．5．（2023秋·湖北武漢·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，的半徑，，則（

）

A． B． C． D．7．（2022·廣東茂名·統(tǒng)考二模）如圖，在中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，連接、、、．若，則的大小為（

）

A． B． C． D．8．（2023秋·成都·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，是弦，是切線，過(guò)B點(diǎn)作于D，交于E點(diǎn)，若平分，則的度數(shù)是（）A． B． C． D．9．（2023秋·福建福州·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，是以原點(diǎn)為圓心、半徑為4的圓，已知有一條直線與有兩個(gè)交點(diǎn)、，則弦長(zhǎng)的最小值為（

）

A．4 B． C．8 D．10．（2023春·廣東深圳·九年級(jí)?？甲灾髡猩┤鐖D，已知半徑為10，割線交于點(diǎn)B，，點(diǎn)O到的距離為6，則．

11．（2023秋·江蘇泰州·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，內(nèi)接于，，．若，則的長(zhǎng)為．

12．（2022秋·廣東深圳·九年級(jí)?？甲灾髡猩┤鐖D，在直角中，，，．圓與邊和相切，圓與邊和相切，圓與圓相外切，設(shè)圓心距的最小值為m，則．

13．（2022秋·吉林四平·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，是的弦，是的切線，為切點(diǎn)，經(jīng)過(guò)圓心．若，則．

14．（2023秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，已知的內(nèi)接五邊形，連接，，若，，則的度數(shù)為．

15．（2023·江蘇·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形，是的直徑，，則的度數(shù)是．16．（2023·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，直徑與弦交于點(diǎn)．連接，過(guò)點(diǎn)的切線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)．若，則°．

17．（2023·浙江金華·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，以為直徑作半圓，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，則弧的長(zhǎng)為．

18．（2023·四川成都·統(tǒng)考中考真題）為傳承非遺文化，講好中國(guó)故事，某地準(zhǔn)備在一個(gè)場(chǎng)館進(jìn)行川劇演出．該場(chǎng)館底面為一個(gè)圓形，如圖所示，其半徑是10米，從A到B有一筆直的欄桿，圓心O到欄桿的距離是5米，觀眾在陰影區(qū)域里觀看演出，如果每平方米可以坐3名觀眾，那么最多可容納名觀眾同時(shí)觀看演出．（取3.14，取1.73）

19．（2023·安徽宿州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，有一個(gè)半徑為的圓形鐵皮，要從中剪出一個(gè)圓心角為的扇形，其中、、都在圓上，則被剪掉陰影部分的面積是．

20．（2023·山東·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在第一象限內(nèi)，與軸相切于點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)，．連接，．(1)求點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)求的值．

21．（2022·四川雅安·統(tǒng)考中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AO是△ABC的角平分線，以O(shè)為圓心，OC為半徑作⊙O與直線AO交于點(diǎn)E和點(diǎn)D．(1)求證：AB是⊙O的切線；(2)連接CE，求證：△ACE∽△A