江蘇省2024高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題二立體幾何2.3專題提能-“立體幾何”專題提能課達(dá)標(biāo)訓(xùn)練含解析

PAGEPAGE1“立體幾何”專題提能課A組——易錯(cuò)清零練1．設(shè)l，m表示直線，m是平面α內(nèi)的隨意一條直線．則“l(fā)⊥m”是“l(fā)⊥α”成立的____________條件(在“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”中選填一個(gè))．解析：由l⊥m，m?α，可得l?α，l∥α或l與α相交，推不出l⊥α；由l⊥α，m?α，結(jié)合線面垂直的定義可得l⊥m.故“l(fā)⊥m”是“l(fā)⊥α”成立的必要不充分條件．答案：必要不充分2．在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝a，AA1＝2，四面體A-CB1D1的體積為6，則a＝________.解析：如圖，VA-CB1D1＝VABCD-A1B1C1D1－VA-A1B1D1－VB1-ABC－VD1-ADC－VC-B1C1D1＝2a2－eq\f(4,3)a2＝eq\f(2,3)a2＝6，所以a＝3.答案：33．設(shè)a，b是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，則下列四個(gè)命題：①若a⊥b，a⊥α，則b∥α；②若a⊥β，α⊥β，則a∥α；③若a∥α，a⊥β，則α⊥β；④若a⊥b，a⊥α，b⊥β，則α⊥β.其中正確命題的序號(hào)是________．解析：①中b可能在平面α內(nèi)；②中a可能在平面α內(nèi)；③中因?yàn)閍∥α，a⊥β，所以α內(nèi)必存在一條直線b與a平行，從而得到b⊥β，所以α⊥β，故③正確；因?yàn)閍⊥b，a⊥α，所以b∥α或b?α，故α內(nèi)必有一條直線c與b平行，又b⊥β，所以c⊥β，故α⊥β，所以④正確．答案：③④4.如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)棱AA1⊥平面AB1C1，AA1＝1，底面△ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，則此三棱柱的體積為________．解析：因?yàn)锳A1⊥平面AB1C1，AB1?平面AB1C1，所以AA1⊥AB1，又知AA1＝1，A1B1＝2，所以AB1＝eq\r(22－12)＝eq\r(3)，同理可得AC1＝eq\r(3)，又知在△AB1C1中，B1C1＝2，所以△AB1C1的邊B1C1上的高為h＝eq\r(3－1)＝eq\r(2)，其面積S＝eq\f(1,2)×2×eq\r(2)＝eq\r(2)，于是三棱錐A-A1B1C1的體積VA-A1B1C1＝VA1-AB1C1＝eq\f(1,3)×S△AB1C1×AA1＝eq\f(\r(2),3)，進(jìn)而可得此三棱柱ABC-A1B1C1的體積V＝3VA-A1B1C1＝3×eq\f(\r(2),3)＝eq\r(2).答案：eq\r(2)B組——方法技巧練1．設(shè)P，A，B，C是球O表面上的四個(gè)點(diǎn)，PA，PB，PC兩兩垂直，且PA＝PB＝1，PC＝2，則球O的表面積是________．解析：設(shè)球O的半徑為R.由PA，PB，PC兩兩垂直，所以外接球的直徑是以PA，PB，PC為棱的長(zhǎng)方體的體對(duì)角線，即4R2＝PA2＋PB2＋PC2＝1＋1＋4＝6，故S球表面積＝4πR2＝6π.答案：6π2．在空間中，用a，b，c表示三條不同的直線，γ表示平面，給出下列四個(gè)命題：①若a∥b，b∥c，則a∥c；②若a⊥b，b⊥c，則a⊥c；③若a∥γ，b∥γ，則a∥b；④若a⊥γ，b⊥γ，則a∥b.其中真命題的序號(hào)為________．解析：依據(jù)公理知平行于同一條直線的兩條直線相互平行，①正確；依據(jù)線面垂直性質(zhì)定理知“同垂直一個(gè)平面的兩條直線平行”，知④正確；②③均不恒成立．故選①④.答案：①④3.如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若各條棱長(zhǎng)均為2，且M為A1C1的中點(diǎn)，則三棱錐M-AB1C的體積是________．解析：法一：在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1，從而AA1⊥B1M.又因?yàn)锽1M是正三角形A1B1C1的中線，所以B1M⊥A1C1，所以B1M⊥平面ACC1A1，則VM-AB1C＝VB1-ACM＝eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)AC×AA1))×B1M＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×2×eq\r(3)＝eq\f(2\r(3),3).法二：VM-AB1C＝VABC-A1B1C1－VA-A1B1M－VC-C1B1M－VB1-ABC＝eq\f(1,2)×2×eq\r(3)×2－2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)×\f(1,2)×\r(3)×2))－eq\f(1,3)×eq\r(3)×2＝eq\f(2\r(3),3).答案：eq\f(2\r(3),3)4.如圖，平行四邊形ABCD和矩形ACEF所在的平面相互垂直，AB＝1，AD＝2，∠ADC＝60°，AF＝eq\f(3,2).(1)求證：AC⊥BF；(2)求多面體ABCDEF的體積．解：(1)證明：∵AB＝1，AD＝2，∠ADC＝60°，由余弦定理：AC2＝CD2＋AD2－2CD·AD·cos60°＝1＋4－2×1×2×eq\f(1,2)＝3，于是AD2＝CD2＋AC2，∴∠ACD＝90°，∵AB∥CD，∴AC⊥AB.又∵四邊形ACEF是矩形，∴FA⊥AC，又AF∩AB＝A，∴AC⊥平面AFB，又BF?平面AFB，∴AC⊥BF.(2)令多面體ABCDEF的體積為V，V＝VD-ACEF＋VB-ACEF＝2VD-ACEF，又∵平面ABCD⊥平面ACEF，DC⊥AC，依據(jù)兩平面垂直的性質(zhì)定理：DC⊥平面ACEF，∴DC為四棱錐D-ACEF的高，S矩形ACEF＝eq\f(3,2)×eq\r(3)＝eq\f(3\r(3),2)，∴VD-ACEF＝eq\f(1,3)×eq\f(3\r(3),2)×1＝eq\f(\r(3),2)，∴V＝2VD-ACEF＝eq\r(3)，即多面體ABCDEF的體積為eq\r(3).5.如圖，四邊形ABCD是矩形，平面ABCD⊥平面BCE，BE⊥EC.(1)求證：平面AEC⊥平面ABE；(2)點(diǎn)F在BE上，若DE∥平面ACF，求eq\f(BF,BE)的值．解：(1)證明：因?yàn)樗倪呅蜛BCD為矩形，所以AB⊥BC.因?yàn)槠矫鍭BCD⊥平面BCE，平面ABCD∩平面BCE＝BC，AB?平面ABCD，所以AB⊥平面BCE.因?yàn)镋C?平面BCE，所以EC⊥AB.因?yàn)镋C⊥BE，AB?平面ABE，BE?平面ABE，AB∩BE＝B，所以EC⊥平面ABE.因?yàn)镋C?平面AEC，所以平面AEC⊥平面ABE.(2)連結(jié)BD交AC于點(diǎn)O，連結(jié)OF.因?yàn)镈E∥平面ACF，DE?平面BDE，平面ACF∩平面BDE＝OF，所以DE∥OF.又因?yàn)榫匦蜛BCD中，O為BD的中點(diǎn)，所以F為BE的中點(diǎn)，即eq\f(BF,BE)＝eq\f(1,2).C組——?jiǎng)?chuàng)新應(yīng)用練1．下列命題：①若直線l平行于平面α內(nèi)的多數(shù)條直線，直線a在平面α內(nèi)，則l∥a；②若直線a在平面α外，則a∥α；③若直線a∥b，直線b?α，則a∥α；④若直線a∥b，b?α，那么直線a就平行于平面α內(nèi)的多數(shù)條直線．其中真命題的個(gè)數(shù)為________．解析：對(duì)于①，∵直線l雖與平面α內(nèi)的多數(shù)條直線平行，但l有可能在平面α內(nèi)，∴l(xiāng)不肯定平行于a，∴①是假命題；對(duì)于②，∵直線a在平面α外，包括兩種狀況：a∥α和a與α相交，∴②是假命題；對(duì)于③，∵a∥b，直線b?α，則只能說明a和b無公共點(diǎn)，但a可能在平面α內(nèi)，∴a不肯定平行于α，∴③是假命題；對(duì)于④，∵a∥b，b?α，那么a?α或a∥α，∴a與平面α內(nèi)的多數(shù)條直線平行，∴④是真命題.答案：12.如圖，已知AB為圓O的直徑，C為圓上一動(dòng)點(diǎn)，PA⊥圓O所在的平面，且PA＝AB＝2，過點(diǎn)A作平面α⊥PB，分別交PB，PC于E，F(xiàn)，當(dāng)三棱錐P-AEF的體積最大時(shí)，tan∠BAC＝________.解析：∵PB⊥平面AEF，∴AF⊥PB.又AC⊥BC，AP⊥BC，∴BC⊥平面PAC，∴AF⊥BC，∴AF⊥平面PBC，∴∠AFE＝90°.設(shè)∠BAC＝θ，在Rt△PAC中，AF＝eq\f(AP·AC,PC)＝eq\f(2×2cosθ,2\r(1＋cos2θ))＝eq\f(2cosθ,\r(1＋cos2θ))，在Rt△PAB中，AE＝PE＝eq\r(2)，∴EF＝eq\r(AE2－AF2)，∴VP-AEF＝eq\f(1,6)AF·EF·PE＝eq\f(1,6)AF·eq\r(2－AF2)·eq\r(2)＝eq\f(\r(2),6)·eq\r(2AF2－AF4)＝eq\f(\r(2),6)·eq\r(－AF2－12＋1)≤eq\f(\r(2),6)，∴當(dāng)AF＝1時(shí)，VP-AEF取得最大值eq\f(\r(2),6)，此時(shí)AF＝eq\f(2cosθ,\r(1＋cos2θ))＝1，∴cosθ＝eq\f(1,\r(3))，sinθ＝eq\r(\f(2,3))，∴tanθ＝eq\r(2).答案：eq\r(2)3.如圖所示，等腰△ABC的底邊AB＝6eq\r(6)，高CD＝3，點(diǎn)E是線段BD上異于點(diǎn)B，D的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F在BC邊上，且EF⊥AB，現(xiàn)沿EF將△BEF折起到△PEF的位置，使PE⊥AE，記BE＝x，V(x)表示四棱錐P-ACFE的體積，則V(x)的最大值為________．解析：因?yàn)镻E⊥EF，PE⊥AE，EF∩AE＝E，所以PE⊥平面ABC.因?yàn)镃D⊥AB，F(xiàn)E⊥AB，所以EF∥CD，所以eq\f(EF,CD)＝eq\f(BE,BD)，即eq\f(EF,3)＝eq\f(x,3\r(6))，所以EF＝eq\f(x,\r(6))，所以S△ABC＝eq\f(1,2)×6eq\r(6)×3＝9eq\r(6)，S△BEF＝eq\f(1,2)×x×eq\f(x,\r(6))＝eq\f(\r(6),12)x2，所以V(x)＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(9\r(6)－\f(\r(6),12)x2))x＝eq\f(\r(6),3)xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(9－\f(1,12)x2))(0＜x＜3eq\r(6))．因?yàn)閂′(x)＝eq\f(\r(6),3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(9－\f(1,4)x2))，所以當(dāng)x∈(0,6)時(shí)，V′(x)＞0，V(x)單調(diào)遞增；當(dāng)6＜x＜3eq\r(6)時(shí)，V′(x)＜0，V(x)單調(diào)遞減，因此當(dāng)x＝6時(shí)，V(x)取得最大值12eq\r(6).答案：12eq\r(6)4.如圖①所示，在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝3，∠ABC＝90°，CD為∠ACB的平分線，點(diǎn)E在線段AC上，CE＝4.如圖②所示，將△BCD沿CD折起，使得平面BCD⊥平面ACD，連結(jié)AB，設(shè)點(diǎn)F是AB的中點(diǎn)．(1)求證：DE⊥平面BCD；(2)若EF∥平面BDG，其中G為直線AC與平面BDG的交點(diǎn)，求三棱錐B-DEG的體積．解：(1)證明：在題圖①中，因?yàn)锳C＝6，BC＝3，∠ABC＝90°，所以∠ACB＝60°.因?yàn)镃D為∠ACB的平分線，所以∠BCD＝∠ACD＝30°，所以CD＝2eq\r(3).又因?yàn)镃E＝4，∠DCE＝30°，所以DE＝2.則CD2＋DE2＝CE2，所以∠CDE＝90°，即DE⊥CD.在題圖②中，因?yàn)槠矫鍮CD⊥平面ACD，平面BCD∩平面ACD＝CD，DE?平面ACD，所以DE⊥平面BCD.(2)在題圖②中，因?yàn)镋F∥平面BDG，EF?平面ABC，平面ABC∩平面BDG＝BG，所以EF∥BG.因?yàn)辄c(diǎn)E在線段AC上，CE＝4，點(diǎn)F是AB的中點(diǎn)，所以AE＝EG＝CG＝2.過點(diǎn)B作BH⊥CD交于點(diǎn)H.因?yàn)槠矫鍮CD⊥平面ACD，BH?平面BCD，所以BH⊥平面ACD.由條件得BH＝eq\f(3,2).又S△DEG＝eq\f(1,3)S△ACD＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)AC·CD·sin30°＝eq\r(3)，所以三棱錐B-DEG的體積為V＝eq\f(1,3)S△DEG·BH＝eq\f(1,3)×eq\r(3)×eq\f(3,2)＝eq\f(\r(3),2).5.如圖，已知斜三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝AC，D為BC的中點(diǎn)．(1)若平面ABC⊥平面BCC1B1，求證：AD⊥DC1；(2)求證：A1B∥平面ADC1.證明：(1)因?yàn)锳B＝AC，D為BC的中點(diǎn)，所以AD⊥BC.因?yàn)槠矫鍭BC⊥平面BCC1B1，平面ABC∩平面BCC1B1＝BC，AD?平面ABC，所以AD⊥平面BCC1B1.因?yàn)镈C1?平面BCC1B1，所以AD⊥DC1.(2)如圖，連結(jié)A1C，交AC1于點(diǎn)O，連結(jié)OD，則O為A1C的中點(diǎn)．因?yàn)镈為BC的中點(diǎn)，所以O(shè)D∥A1B.因?yàn)镺D?平面ADC1，A1B?平面ADC1，所以A1B∥平面ADC1.6.現(xiàn)須要設(shè)計(jì)一個(gè)倉庫，它的上部是底面圓半徑為5m的圓錐，下部是底面圓半徑為5m的圓柱，且該倉庫的總高度為5m．經(jīng)過預(yù)算，制造該倉庫的圓錐側(cè)面、圓柱側(cè)面用料的單價(jià)分別為4百元/m2、1百元/m2.(1)記倉庫的側(cè)面總造價(jià)為y百元：①設(shè)圓柱的高為xm，試將y表示為關(guān)于x的函數(shù)y＝f(x)；②設(shè)圓錐母線與其軸所在直線所成角為θ，試將y表示為關(guān)于θ的函數(shù)y＝g(θ)；(2)問當(dāng)圓柱的高度為多少時(shí)，該倉庫的側(cè)面總造價(jià)最少？解：(1)①由題可知，圓柱的高為xm，且x∈(0,5)，則該倉庫的側(cè)面總造價(jià)y＝(2π×5x)×1＋eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×2π×5×\r(5－x2＋25)))×4＝10πx＋20πeq\r(x2－10x＋50)，x∈(0,5)．②由題可知，圓錐母線與軸所在直線所成角為θ，且θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))，則該倉庫的側(cè)面總造價(jià)y＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\a