2025年歐幾里得競(jìng)賽解析幾何坐標(biāo)與向量專項(xiàng)突破模擬試卷（解題技巧詳解）

2025年歐幾里得競(jìng)賽解析幾何坐標(biāo)與向量專項(xiàng)突破模擬試卷（解題技巧詳解）一、選擇題（每小題5分，共25分）要求：從四個(gè)選項(xiàng)中選擇一個(gè)正確的答案。1.在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，-2），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-1，4），那么線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)是（）。A.(1,1)B.(2,1)C.(2,-1)D.(1,-1)2.已知向量a=（2，3），向量b=（-1，2），則向量a-b的結(jié)果是（）。A.（3，1）B.（1，3）C.（-3，-1）D.（-1，-3）3.設(shè)點(diǎn)P為（-3，4），點(diǎn)Q為（5，-2），那么線段PQ的長(zhǎng)度是（）。A.2B.3C.5D.84.若向量a與向量b垂直，且a的坐標(biāo)為（3，-4），則b的坐標(biāo)可能是（）。A.（2，3）B.（4，-6）C.（-3，4）D.（6，-8）5.在平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)M到點(diǎn)A和點(diǎn)B的距離分別為5和7，點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)分別為（0，0）和（6，0），則點(diǎn)M的坐標(biāo)可能是（）。A.（3，0）B.（2，4）C.（8，0）D.（5，-3）二、填空題（每空5分，共25分）要求：在橫線上填入正確的數(shù)字或表達(dá)式。6.已知向量a=（1，2），若向量b=（2x，3y），則x和y滿足的關(guān)系式為__________。7.若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，-2），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-3，5），則線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為__________。8.設(shè)向量a=（2，-1），向量b=（1，-2），則向量a·b的結(jié)果為__________。9.若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離為5，則滿足的關(guān)系式為__________。10.設(shè)向量a=（3，4），向量b=（-2，5），則向量a與向量b的夾角θ的余弦值是__________。三、解答題（共50分）要求：請(qǐng)將解答過程寫完整。11.（20分）已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，3），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，2），求線段AB的長(zhǎng)度，并寫出線段AB所在直線的方程。12.（30分）設(shè)向量a=（2，-1），向量b=（-1，3），求向量a與向量b的夾角θ的余弦值。四、解答題（每小題15分，共30分）要求：請(qǐng)將解答過程寫完整。13.已知三角形ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（1，2），B（-3，-1），C（4，-4），求三角形ABC的外接圓圓心坐標(biāo)。14.設(shè)向量a=（2，3），向量b=（-1，2），求向量a與向量b的模長(zhǎng)。五、解答題（每小題20分，共40分）要求：請(qǐng)將解答過程寫完整。15.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，n），點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（-m，-n），且向量OP=（3，4），求點(diǎn)P和點(diǎn)Q的坐標(biāo)。16.設(shè)向量a=（x，y），向量b=（y，-x），且向量a與向量b的夾角θ滿足cosθ=1/√5，求x和y的值。六、解答題（每小題25分，共75分）要求：請(qǐng)將解答過程寫完整。17.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，-3），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-1，5），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4，2），求三角形ABC的重心坐標(biāo)。18.設(shè)向量a=（3，4），向量b=（-2，1），求向量a與向量b的叉積結(jié)果。19.已知點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，3），點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（-1，-2），求以PQ為直徑的圓的方程。本次試卷答案如下：一、選擇題1.B解析：線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為兩個(gè)端點(diǎn)坐標(biāo)的平均值，即（（3-1）/2，（-2+4）/2）=（2，1）。2.A解析：向量a-b的結(jié)果是將向量b的每個(gè)分量取相反數(shù)后與向量a相加，即（2+1，3+2）=（3，1）。3.C解析：線段PQ的長(zhǎng)度可以通過兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算，即√[（5-（-3））^2+（-2-4）^2]=√[8^2+(-6)^2]=√100=10。4.C解析：若向量a與向量b垂直，則它們的點(diǎn)積為0。因此，3*(-3)+(-4)*4=0，滿足條件。5.B解析：由于點(diǎn)M到點(diǎn)A和點(diǎn)B的距離相等，點(diǎn)M應(yīng)該在AB的垂直平分線上。因此，點(diǎn)M的坐標(biāo)應(yīng)該在x軸上，即y=0，結(jié)合距離條件，可得x=2。二、填空題6.a·b=2*2+3*3=4+9=13，所以x和y滿足的關(guān)系式為2x+3y=13。7.線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（（-1+4）/2，（3+2）/2）=（3/2，5/2）。8.向量a·b的結(jié)果為2*1+(-1)*(-2)=2+2=4。9.點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離滿足關(guān)系式x^2+y^2=5^2。10.向量a與向量b的夾角θ的余弦值為（a·b）/（|a|*|b|）=(2*3+4*(-2))/(√(2^2+3^2)*√((-1)^2+2^2))=-4/(√13*√5)。三、解答題11.線段AB的長(zhǎng)度為√[（4-（-1））^2+（2-3）^2]=√[5^2+(-1)^2]=√26。線段AB所在直線的方程可以通過兩點(diǎn)式得到，即(y-2)/(2-3)=(x-4)/(4-(-1))，化簡(jiǎn)得x+3y-10=0。12.向量a與向量b的夾角θ的余弦值為cosθ=(a·b)/(|a|*|b|)=(2*(-1)+(-1)*3)/(√(2^2+(-1)^2)*√((-1)^2+3^2))=-5/(√5*√10)=-√2/√10。四、解答題13.三角形ABC的外接圓圓心是三角形ABC三邊的中垂線的交點(diǎn)。首先，求出AB、BC、CA的中點(diǎn)，然后求出這些中垂線的方程，最后求出這些方程的交點(diǎn)。14.向量a與向量b的模長(zhǎng)分別為|a|=√(2^2+3^2)=√13和|b|=√((-1)^2+2^2)=√5。五、解答題15.向量OP=（3，4），所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，4）。由于點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（-m，-n），且向量OP=（3，4），所以點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（-3，-4）。16.向量a與向量b的夾角θ的余弦值為cosθ=(a·b)/(|a|*|b|)=(x*y+y*(-x))/(√(x^2+y^2)*√(y^2+(-x)^2))=1/√5。解這個(gè)方程得到x和y的值。六、解答題17.三角形ABC的重心坐標(biāo)是三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)的平均值，即（（2-1+4）/3，（-3+5+2）/3）=（5/3，4/3）。18.向量a與向量b的叉積結(jié)果為|a|*|b|*sinθ，其中θ是向量a和向量b的夾角。由于叉積是一個(gè)向量，它的方向垂直于a和b所構(gòu)成的平面，所以叉積的結(jié)果是（4*1-3*(-2)，3*(-1)-4