2025年春湘教版八年級下冊數(shù)學(xué)上課課件 1.2 直角三角形的性質(zhì)和判定（Ⅱ）（第2課時）

1.2直角三角形的性質(zhì)和判定（Ⅱ）第1章直角三角形第2課時湘教版八年級下學(xué)期課件1.會運用勾股定理求線段長及解決簡單的實際問題.

（重點）2.能從實際問題中抽象出直角三角形這一幾何模型，利用勾股定理建立已知邊與未知邊長度之間的聯(lián)系，并進(jìn)一步求出未知邊長.（難點）問題觀看下面同一根長竹竿以三種不同的方式進(jìn)門的情況，并結(jié)合曾小賢和胡一菲的做法，對于長竹竿進(jìn)門之類的問題你有什么啟發(fā)？這個跟我們學(xué)的勾股定理有關(guān)，將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題勾股定理的簡單實際應(yīng)用一例1一個門框的尺寸如圖所示，一塊長3m,寬2.2m的長方形薄木板能否從門框內(nèi)通過?為什么?2m1mABDC典例精析解：在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理，AC2=AB2+BC2=12+22=5因為AC大于木板的寬2.2m,所以木板能從門框內(nèi)通過.

分析：可以看出木板橫著，豎著都不能通過，只能斜著.門框AC的長度是斜著能通過的最大長度，只要AC的長大于木板的寬就能通過.ABDCO

解：在Rt△ABO中，根據(jù)勾股定理得OB2=AB2-OA2=2.62-2.42=1，∴OB=1.在Rt△COD中，根據(jù)勾股定理得OD2=CD2-OC2=2.62-(2.4-0.5)2=3.15,所以梯子的頂端沿墻下滑0.5m時，梯子底端并不是也外移0.5m，而是外移約0.77m.例2如圖，一架2.6m長的梯子AB斜靠在一豎直的墻AO上，這時AO為2.4m.如果梯子的頂端A沿墻下滑0.5m,那么梯子底端B也外移0.5m嗎?例3：我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載了一道有趣的問題，這個問題的意思是：有一個水池，水面是一個邊長為10尺的正方形，在水池的中央有一根新生的蘆葦，它高出水面1尺，如果把這根蘆葦垂直拉向岸邊，它的頂端恰好到達(dá)岸邊的水面，請問這個水池的深度和這根蘆葦?shù)拈L度各是多少？DABC解：設(shè)水池的水深A(yù)C為x尺，則這根蘆葦長AD=AB=（x+1）尺，在直角三角形ABC中，BC=5尺由勾股定理得，BC2+AC2=AB2即52+x2=(x+1)225+x2=x2+2x+1，2x=24，∴x=12，x+1=13.答：水池的水深12尺，這根蘆葦長13尺.例4

在一次臺風(fēng)的襲擊中，小明家房前的一棵大樹在離地面6米處斷裂，樹的頂部落在離樹根底部8米處.你能告訴小明這棵樹折斷之前有多高嗎？8米6米8米6米ACB解：根據(jù)題意可以構(gòu)建一直角三角形模型，如圖.在Rt△ABC中，AC=6米，BC=8米，由勾股定理得∴這棵樹在折斷之前的高度是10+6=16（米）.利用勾股定理解決實際問題的一般步驟：（1）讀懂題意，分析已知、未知間的關(guān)系；（2）構(gòu)造直角三角形；（3）利用勾股定理等列方程；（4）解決實際問題.歸納總結(jié)數(shù)學(xué)問題直角三角形勾股定理實際問題轉(zhuǎn)化構(gòu)建利用解決1.湖的兩端有A、B兩點，從與BA方向成直角的BC方向上的點C測得CA=130米,CB=120米,則AB為()ABCA.50米B.120米C.100米D.130米130120?A練一練2.如圖，學(xué)校教學(xué)樓前有一塊長方形草坪,草坪長為4米，寬為3米，有極少數(shù)人為了避開拐角走“捷徑”，在草坪內(nèi)走出了一條“徑路”，卻踩傷了花草.（1）求這條“徑路”的長；（2）他們僅僅少走了幾步(假設(shè)2步為1米)？解：(1)在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理得∴這條“徑路”的長為5米.（2）他們僅僅少走了

(3+4-5)×2=4(步).別踩我,我怕疼!ABCCBA問題在A點的小狗，為了盡快吃到B點的香腸，它選擇AB路線，而不選擇A

CB路線，難道小狗也懂?dāng)?shù)學(xué)？AC+CB>AB（兩點之間線段最短）思考在立體圖形中，怎么尋找最短線路呢？利用勾股定理求最短距離二BAdABA'ABBAO想一想：螞蟻走哪一條路線最近？A'螞蟻A→B的路線問題：在一個圓柱石凳上，若小明在吃東西時留下了一點食物在B處，恰好一只在A處的螞蟻捕捉到這一信息，于是它想從A處爬向B處，螞蟻怎么走最近？BA根據(jù)兩點之間線段最短易知第四個路線最近.若已知圓柱體高為12cm，底面半徑為3cm，π取3.BA3O12側(cè)面展開圖123πABA'A'解：在Rt△ABA′中，由勾股定理得

立體圖形中求兩點間的最短距離，一般把立體圖形展開成平面圖形，連接兩點，根據(jù)兩點之間線段最短確定最短路線.歸納例5有一個圓柱形油罐，要以A點環(huán)繞油罐建梯子，正好建在A點的正上方點B處，問梯子最短需多少米(已知油罐的底面半徑是2米，高AB是5米，π取3）?ABABA'B'解：油罐的展開圖如右圖，則AB'為梯子的最短距離.∵AA'=2×3×2=12,A'B'=5,∴AB'=13.即梯子最短需13米.數(shù)學(xué)思想：立體圖形平面圖形轉(zhuǎn)化展開B牛奶盒A【變式題】看到小螞蟻終于喝到飲料的興奮勁兒，小明靈光乍現(xiàn)，拿出了牛奶盒，把小螞蟻放在點A處，并在點B處放了點兒火腿腸粒，你能幫小螞蟻找出吃到火腿腸粒的最短路程么？6cm8cm10cmBB18AB2610B3AB12=102+（6+8）2=296，AB22=82+（10+6）2=320，AB32=62+（10+8）2=360，解：由題意知有三種展開方法，如圖.由勾股定理得∴AB1＜AB2＜AB3.∴小螞蟻吃到火腿腸的最短路程為AB1，長為cm.例6如圖，一個牧童在小河的南4km的A處牧馬，而他正位于他的小屋B的西8km北7km處，他想把他的馬牽到小河邊去飲水，然后回家．他要完成這件事情所走的最短路程是多少？牧童A小屋BA′C東北解：如圖，作出點A關(guān)于河岸的對稱點A′，連接A′B,則A′B就是最短路程.由題意得A′C=4+4+7=15(km)，BC=8km.在Rt△A′CB中，由勾股定理得

求直線同側(cè)的兩點到直線上一點所連線段的和的最短路程的方法：先找到其中一點關(guān)于這條直線的對稱點，連接對稱點與另一點的線段就是最短路徑長，以連接對稱點與另一個點的線段為斜邊，構(gòu)造出直角三角形，再運用勾股定理求最短路程.歸納如圖，是一個邊長為1的正方體硬紙盒，現(xiàn)在A處有一只螞蟻，想沿著正方體的外表面到達(dá)B處吃食物，求螞蟻爬行的最短距離是多少.AB解：由題意得AC=2，BC=1,在Rt△ABC中，由勾股定理得AB2=AC2+BC2=22+12=5∴AB=，即最短路程為.21ABC練一練1.從電線桿上離地面5m的C處向地面拉一條長為7m的鋼纜，則地面鋼纜A到電線桿底部B的距離是（）A.24mB.12mC.mD.mD2.如圖，一支鉛筆放在圓柱體筆筒中，筆筒的內(nèi)部底面直徑是9cm，內(nèi)壁高12cm，則這只鉛筆的長度可能是（）A.9cmB.12cmC.15cmD.18cmD3.如圖，有兩棵樹，一棵高8米，另一棵高2米，兩棵對相距8米.一只鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵的樹梢，問小鳥至少飛行多少？ABC解：如圖，過點A作AC⊥BC于點C.由題意得AC=8米，BC=8-2=6(米)，

答：小鳥至少飛行10米.4.如圖，是一個三級臺階，它的每一級的長、寬和高分別等于55cm，10cm和6cm，A和B是這個臺階的兩個相對的端點，A點上有一只螞蟻，想到B點去吃可口的食物.這只螞蟻從A點出發(fā)，沿著臺階面爬到B點，最短線路的長是多少？BAABC解：臺階的展開圖如圖，連接AB.在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理得AB2=BC2＋AC2＝552＋482＝5329,∴AB=73cm.5.為籌備迎新晚會，同學(xué)們設(shè)計了一個圓筒形燈罩，底色漆成白色，然后纏繞紅色油紙，如圖.已知圓筒的高為108cm，其橫截面周長為36cm，如果在表面均勻纏繞油紙4圈，應(yīng)裁剪多長的油紙？能力提升：解：如右下圖，在Rt△ABC中，因為AC＝36cm，BC＝108÷4＝27(cm)．由勾股定理，得AB2＝AC2＋BC2＝362＋272＝2025＝452，所以AB＝45cm，所以整個油紙的長為45×4＝180(cm)．問題2我們知道數(shù)軸上的點有的表示有理數(shù)，有的表示無理數(shù)，你能在數(shù)軸上畫出表示的點嗎？01234探究思路：把握題意——找關(guān)鍵字詞——連接相關(guān)知識——建立數(shù)學(xué)模型（建模）提示直角邊長為整數(shù)2，3的直角三角形的斜邊為.活動2：探究用勾股定理在數(shù)軸上表示無理數(shù)問題2我們知道數(shù)軸上的點有的表示有理數(shù)，有的表示無理數(shù)，你能在數(shù)軸上畫出表示的點嗎？01234解：LAB2C“數(shù)學(xué)海螺”類比遷移

利用勾股定理作出長為的線段.11用同樣的方法，你能否在數(shù)軸上畫出表示，，…用同樣的方法，你能否在數(shù)軸上畫出表示，…02135411.運用勾股定理解決實際問題的方法是什么？（2）注意：運用勾股定理解決實際問題,關(guān)鍵在于“找”到合適的直角三角形.數(shù)學(xué)問題直角三角形勾股定理實際問題轉(zhuǎn)化構(gòu)建利用解決（1）2.用勾股定理作出長度為無理數(shù)的線段的思路是什么？構(gòu)造直角三角形，即把無理數(shù)線段看成是兩直角邊都為整數(shù)的斜邊.利用勾股定理表示無理數(shù)的方法（1）利用勾股定理把一個無理數(shù)表示成直角邊是兩個正整數(shù)的直角三角形的斜邊.如本題中的看成直角邊分別為2和3的直角三角形的斜邊；看成是直角邊分別為1和2的直角三角形的斜邊等.（2）以原點O為圓心，以無理數(shù)斜邊長為半徑畫弧與數(shù)軸存在交點，在原點左邊的點表示是負(fù)無理數(shù)，在原點右邊的點表示是正無理數(shù).知識要點′′′′′′證明：在Rt△ABC和Rt△ABC中，∠C=∠C′=90°，根據(jù)勾股定理，得

′′′已知：如圖，在Rt△ABC和Rt△ABC中，∠C=∠C=90°，AB=AB，AC=A

C

．求證：△ABC≌△ABC．′′′′′′′′′′′ABCABC′

′′∴△ABC≌△ABC

（S