2025年春湘教版八年級下冊數(shù)學(xué)上課課件 1.3 直角三角形全等的判定

1.3直角三角形全等的判定第1章直角三角形湘教版八年級下學(xué)期課件情境引入1．探索并理解直角三角形全等的判定方法“HL”．（難點）2．會用直角三角形全等的判定方法“HL”判定兩個直角三角形全等．（重點）SSSSASASAAAS舊知回顧:我們學(xué)過的判定三角形全等的方法如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，直角邊是_____、_____，斜邊是______.CBAACBCAB思考：前面學(xué)過的四種判定三角形全等的方法,對直角三角形是否適用？ABCA′B′C′1.兩個直角三角形中，斜邊和一個銳角對應(yīng)相等，這兩個直角三角形全等嗎？為什么？2.兩個直角三角形中，有一條直角邊和一銳角對應(yīng)相等，這兩個直角三角形全等嗎？為什么？3.兩個直角三角形中，兩直角邊對應(yīng)相等，這兩個直角三角形全等嗎？為什么？口答：動腦想一想我們知道，證明三角形全等不存在SSA定理.ABCDEF如果這兩個三角形都是直角三角形，即∠C=∠C'=90°，且AB=A'B',AC=A'C'，現(xiàn)在能判定△ABC≌△A'B'C'嗎？BCAA'B'C'動腦想一想我們知道，證明三角形全等不存在SSA定理.任意畫一個Rt△ABC,使∠C=90°.再畫一個Rt△A′B′C′，使∠C′=90°,B′C′=BC,A′B′=AB,把畫好的Rt△A′B′C′剪下來，放到Rt△ABC上，它們能重合嗎？ABC作圖探究直角三角形全等的判定（“斜邊、直角邊”定理）畫圖方法視頻畫圖思路（1）先畫∠MC′

N=90°ABCM

C′N畫圖思路（2）在射線C′M上截取B′C′=BCMC′ABCNB′MC′畫圖思路（3）以點B′為圓心，AB為半徑畫弧，交射線C′N于A′MC′ABCNB′A′畫圖思路（4）連接A′B′MC′ABCNB′A′思考：通過上面的探究，你能得出什么結(jié)論？BCAA'B'C'在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中∵AB=A'B',AC=A'C'，根據(jù)勾股定理，BC2=AB2－AC2，B'C'2=A'B'2－A'C'2，∴BC=B'C'.∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C'.證明猜想1.判斷下列命題的真假，并說明理由：（1）兩個銳角分別相等的兩個直角三角形全等；假命題兩個銳角分別相等的兩個直角三角形相似1.判斷下列命題的真假，并說明理由：（2）斜邊及一銳角分別相等的兩個直角三角形全等；AAS真命題1.判斷下列命題的真假，并說明理由：（3）兩條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等；真命題SAS1.判斷下列命題的真假，并說明理由：（4）一條直角邊相等且另一條直角邊上的中線相等的兩個三角形全等.真命題OCBAO′C′B′A′AB=A′B′AO=A′O′△ABO≌A′B′O′BO=B′O′BC=B′C′△ABC≌A′B′C′2.如圖，兩根長度為12cm的繩子，一端系在旗桿上，另一端分別固定在地面的兩個木樁上，兩個木樁離旗桿底部的距離相等么？請說明理由.AB=AD，AO=AORt△AOB=Rt△AOD(HL)OB=ODOCBA知識要點“斜邊、直角邊”定理文字語言：

斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等（簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）.幾何語言：

ABCA′B′C′在Rt△ABC和Rt△A′B′C′

中，∴Rt△ABC

≌Rt△A′B′C′(HL).“SSA”可以判定兩個直角三角形全等，但是“邊邊”指的是斜邊和一直角邊，而“角”指的是直角.AB=A′B′,BC=B′C′,

判斷滿足下列條件的兩個直角三角形是否全等，不全等的畫“×”，全等的注明理由：

(1)一個銳角和這個角的對邊對應(yīng)相等；（）

(2)一個銳角和這個角的鄰邊對應(yīng)相等；（）

(3)一個銳角和斜邊對應(yīng)相等；（）

(4)兩直角邊對應(yīng)相等；（）

(5)一條直角邊和斜邊對應(yīng)等．（）HLAAS或ASASASAASAAS判一判典例精析

例1

如圖，AC⊥BC，BD⊥AD，AC﹦BD，求證：BC﹦AD.證明：∵AC⊥BC，BD⊥AD，

∴∠C與∠D都是直角.

AB=BA,

AC=BD

.在Rt△ABC

和Rt△BAD中，∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL).∴BC﹦AD.ABDC應(yīng)用“HL”的前提條件是在直角三角形中.這是應(yīng)用“HL”判定方法的書寫格式.利用全等證明兩條線段相等，這是常見的思路.

變式1：如圖，∠ACB=∠ADB=90，要證明△ABC≌△BAD，還需一個什么條件？把這些條件都寫出來，并在相應(yīng)的括號內(nèi)填寫出判定它們?nèi)鹊睦碛?（1）

（）（2）

（）（3）

（）（4）

（）ABDCAD=BC∠DAB=∠CBABD=AC∠DBA=∠CABHLHLAASAAS如圖，AC、BD相交于點P,AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分別為C、D,AD=BC.求證：AC=BD.變式2HLAC=BDRt△ABD≌Rt△BAC如圖：AB⊥AD，CD⊥BC，AB=CD,判斷AD和BC的位置關(guān)系.變式3HL∠ADB=∠CBDRt△ABD≌Rt△CDBAD∥BC例2

如圖，已知AD，AF分別是兩個鈍角△ABC和△ABE的高，如果AD＝AF，AC＝AE.求證：BC＝BE.證明：∵AD，AF分別是兩個鈍角△ABC和△ABE的高，且AD＝AF，AC＝AE，∴Rt△ADC≌Rt△AFE(HL)．∴CD＝EF.∵AD＝AF，AB＝AB，∴Rt△ABD≌Rt△ABF(HL)．∴BD＝BF.∴BD－CD＝BF－EF.即BC＝BE.方法總結(jié)：證明線段相等可通過證明三角形全等解決，“HL”定理是直角三角形全等獨有的判定方法．所以直角三角形全等的判定方法最多，使用時應(yīng)該抓住“直角”這個隱含的已知條件．例3：如圖，有兩個長度相同的滑梯，左邊滑梯的高度AC與右邊滑梯水平方向的長度DF相等，兩個滑梯的傾斜角∠B和∠F的大小有什么關(guān)系？解：在Rt△ABC和Rt△DEF中,BC=EF,AC=DF.∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL).∴∠B=∠DEF(全等三角形對應(yīng)角相等).∵∠DEF+∠F=90°,∴∠B+∠F=90°.1.判斷兩個直角三角形全等的方法不正確的有（）A.兩條直角邊對應(yīng)相等B.斜邊和一銳角對應(yīng)相等

C.斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等D.兩個銳角對應(yīng)相等DA2.如圖，在△ABC中，AD⊥BC于點D，CE⊥AB于點E，AD、CE交于點H，已知EH＝EB＝3，AE＝4，則CH的長為（）A．1B．2C．3D．44.如圖，在△ABC中，已知BD⊥AC，CE⊥AB，BD=CE.求證：△EBC≌△DCB.ABCED證明：∵BD⊥AC，CE⊥AB，

∴∠BEC=∠BDC=90°.在Rt△EBC

和Rt△DCB

中，

CE=BD,

BC=CB

.∴Rt△EBC≌Rt△DCB(HL).3.如圖，△ABC中，AB=AC，AD是高，則△ADB與△ADC

（填“全等”或“不全等”），根據(jù)是

（用簡寫法）.全等HLAFCEDB5.如圖，AB=CD,BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF.求證：BF=DE.證明:∵BF⊥AC,DE⊥AC,∴∠BFA=∠DEC=90°.∵AE=CF，∴AE+EF=CF+EF.即AF=CE.在Rt△ABF和Rt△CDE中，

AB=CD,

AF=CE.∴Rt△ABF≌Rt△CDE(HL).∴BF=DE.如圖，AB=CD,BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF.求證：BD平分EF.AFCEDBG變式訓(xùn)練1

AB=CD,

AF=CE.Rt△ABF≌Rt△CDE(HL).BF=DERt△GBF≌Rt△GDE(AAS).∠BFG=∠DEG∠BGF=∠DGEFG=EGBD平分EF如圖，AB=CD,BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF.想想：BD平分EF嗎?變式訓(xùn)練2C

AB=CD,

AF=CE.Rt△ABF≌Rt△CDE(HL).BF=DERt△GBF≌Rt△GDE(AAS).∠BFG=∠DEG∠BGF=∠DGEFG=EGBD平分EF6.如圖，有一直角三角形ABC，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝5cm，一條線段PQ＝AB，P、Q兩點分別在AC上和過A點且垂直于AC的射線AQ上運動，問P點運動到AC上什么位置時△ABC才能和△APQ全等？【分析】本題要分情況討論：(1)Rt△APQ≌Rt△CBA，此時AP＝BC＝5cm，可據(jù)此求出P點的位置．(2)Rt△QAP≌Rt△BCA，此時AP＝AC，P、C重合．解：(1)當(dāng)P運動到AP＝BC時，∵∠C＝∠QAP＝90°.在Rt△ABC與Rt△QPA中，∵PQ＝AB，AP＝BC，∴Rt△ABC≌Rt△QPA(HL)，∴AP＝BC＝5cm；能力拓展(2)當(dāng)P運動到與C點重合時，AP＝AC.在Rt△ABC與Rt△PQA中，∵PQ＝AB，AP＝AC，∴Rt△QAP≌Rt△BCA(HL)，∴AP＝AC＝10cm，∴當(dāng)AP＝5cm或10cm時，△ABC才能和△APQ全等．【方法總結(jié)】判定三角形全等的關(guān)鍵是找對應(yīng)邊和對應(yīng)角，由于本題沒有說明全等三角形的對應(yīng)邊和對應(yīng)角，因此要分類討論，以免漏解．∵點D是BC的中線∴△ABD是直角三角形∴△ABD≌ACD(HL)7、已知：在△ABC中，AB=13cm，BC=10cm，BC邊上的中線AD=12cm.求證：AB=AC.CBAD∴AB=AC解：如圖，舞臺背景的形狀是兩個直角三角形，工作人員想知道這兩個直角三角形是否全等，但每個三角形都有一條直角邊被花盆遮住無法測量.（1）你能幫他想個辦法嗎？方法一：測量斜邊和一個對應(yīng)的銳角.(AAS)方法二：測量沒遮住的一條直角邊和一個對應(yīng)的銳角.(ASA)或(AAS)課后練習(xí)如圖，舞臺背景的形狀是兩個直角三角形，工作人員想知道這兩個直角三角形是否全等，但每個三角形都有一條直角邊被花盆遮住無法測量.⑵如果他只帶了一個卷尺，能完成這個任務(wù)嗎？

工作人員測量了每個三角形沒有被遮住的直角邊和斜邊，發(fā)現(xiàn)它們分別對應(yīng)相等，于是他就肯定“兩個直角三角形是全等的”.你相信他的結(jié)論嗎？按照下面的步驟做一做：⑴作∠MCN=∠α=90°;CMN⑵在射線CM上截取線段CB=3cm;CMNB⑶以B為圓心,4cm為半徑畫弧，交射線CN于點A;CMNBA⑷連接AB.CMNBA畫一個Rt△ABC，∠C=90°，一直角邊BC=3cm,斜邊AB=4cm直角三角形全等的判定

斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等.

簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”.在使用“HL”時,同學(xué)們應(yīng)注意?。。　癏L”是僅適用于直角三角形的特殊方法.注意對應(yīng)相等.因為”HL”僅適用直角三角形,

書寫格式應(yīng)為:∵在Rt△ABC和Rt△DEF中

AB=DEAC=DF∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL)ABCDEF判斷直角三角形全等條件三邊對應(yīng)相等SSS一銳角和它的鄰邊對應(yīng)相等ASA一銳角和它的對邊對應(yīng)相等AAS兩直角邊對應(yīng)相等SAS斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等HL

直角三角形是特殊的三角形，所以不僅有一般三角形判定全等的方法，還有直角三角形特有的判定方法“HL”.

我們應(yīng)根據(jù)具體問題的實際情況選擇判斷兩個直角三角形全等的方法.想