2025年春湘教版八年級下冊數(shù)學(xué)上課課件 2.6 菱形（第1課時）

2.6菱形第2章四邊形第1課時湘教版八年級下學(xué)期課件1.了解菱形的概念及其與平行四邊形的關(guān)系.2.探索并證明菱形的性質(zhì)定理.（重點）3.應(yīng)用菱形的性質(zhì)定理解決相關(guān)計算或證明問題.（難點）情景引入欣賞下面圖片，圖片中框出的圖形是你熟悉的嗎？平行四邊形矩形前面我們學(xué)習(xí)了平行四邊形和矩形，知道了矩形是由平行四邊形角的變化得到，如果平行四邊形有一個角是直角時,就成為了矩形.有一個角是直角講授新課菱形的性質(zhì)一思考如果從邊的角度,將平行四邊形特殊化,內(nèi)角大小保持不變僅改變邊的長度讓它有一組鄰邊相等,這個特殊的平行四邊形叫什么呢?

平行四邊形定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫作菱形.菱形一組鄰邊相等菱形是特殊的平行四邊形.平行四邊形不一定是菱形.歸納總結(jié)活動1如何利用折紙、剪切的方法，既快又準確地剪出一個菱形的紙片？觀看下面視頻：活動2在自己剪出的菱形上畫出兩條折痕,折疊手中

的圖形(如圖），并回答以下問題:問題1菱形是軸對稱圖形嗎?如果是,指出它的對稱軸.是，兩條對角線所在直線都是它的對稱軸.問題2根據(jù)上面折疊過程，猜想菱形的四邊在數(shù)量上有什么關(guān)系?菱形的兩對角線有什么關(guān)系?

猜想1菱形的四條邊都相等.

猜想2菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角.

已知：如圖，在菱形ABCD中，AB=AD，對角線AC與BD相交于點O.

求證:(1)AB

=

BC

=

CD

=AD；

(2)AC⊥BD；

∠DAC=∠BAC，∠DCA=∠BCA，

∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD.

證明：（1）∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=CD，AD

=BC（菱形的對邊相等）.又∵AB=AD,

∴AB

=

BC

=

CD

=AD.ABCOD證一證（2）∵AB

=

AD,

∴△ABD是等腰三角形.又∵四邊形ABCD是菱形,∴OB

=

OD（菱形的對角線互相平分）.在等腰三角形ABD中,∵OB

=

OD，

∴AO⊥BD，AO平分∠BAD，即AC⊥BD，∠DAC=∠BAC.

同理可證∠DCA=∠BCA，

∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD.ABCOD

菱形是特殊的平行四邊形，它除具有平行四邊形的所有性質(zhì)外，還有平行四邊形所沒有的特殊性質(zhì).對稱性：是軸對稱圖形.邊：四條邊都相等.對角線：互相垂直，且每條對角線平分一組對角.

角：對角相等.邊：對邊平行且相等.對角線：相互平分.菱形的特殊性質(zhì)平行四邊形的性質(zhì)歸納總結(jié)例1如圖，在菱形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，BD＝12cm，AC＝6cm，求菱形的周長．解：因為四邊形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，AO＝AC，BO＝BD.因為AC＝6cm，BD＝12cm，所以AO＝3cm，BO＝6cm.在Rt△ABO中，由勾股定理得所以菱形的周長＝4AB＝4×3＝12(cm)．典例精析例2如圖，在菱形ABCD中，CE⊥AB于點E，CF⊥AD于點F，求證：AE＝AF.證明：連接AC.∵四邊形ABCD是菱形，∴AC平分∠BAD，即∠BAC＝∠DAC.∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴∠AEC＝∠AFC＝90°.又∵AC＝AC，∴△ACE≌△ACF.∴AE＝AF.

菱形是軸對稱圖形，它的兩條對角線所在的直線都是它的對稱軸，每條對角線平分一組對角．歸納ABCDOE證明：∵四邊形ABCD為菱形，∴AD∥BC，AD=BA，

∠ABC＝∠ADC＝2∠ADB

，∴∠DAE＝∠AEB，∵AB=AE,∴∠ABC＝∠AEB，

∴∠ABC=∠DAE，

∵∠DAE＝2∠BAE，∴∠BAE＝∠ADB.

又∵AD＝BA

，∴△AOD≌△BEA

，∴AO＝BE.例3如圖，E為菱形ABCD邊BC上一點，且AB=AE，AE交BD于O，且∠DAE=2∠BAE，求證：OA=EB.1.如圖，在菱形ABCD中，已知∠A＝60°，AB＝

5，則△ABD的周長是(

)A.10B.12C.15D.20C練一練2.如圖，菱形ABCD的周長為48cm，對角線AC、BD相交于O點，E是AD的中點，連接OE，則線段OE的長為_______.第1題圖第2題圖6cm思考：菱形是不是中心對稱圖形?如果是,那么對稱中心是什么？菱形是中心對稱圖形，對角線的交點是它的對稱中心.由于菱形是平行四邊形，因此O做一做：把圖中的菱形ABCD沿直線DB對折，點A的像是______，點C的像是_____，點D的像是_____，點B的像是_____，邊AD的像是_____，邊CD的像是_____，邊AB的像是_____，邊CB的像是_____.點C點A邊CD點D點B邊AD邊CB邊AB想一想：你能得到什么結(jié)論？菱形是軸對稱圖形，兩條對角線所在直線都是它的對稱軸.菱形的面積二問題1

菱形是特殊的平行四邊形,那么能否利用平行四邊形面積公式計算菱形ABCD的面積?ABCD思考

前面我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了菱形的對角線互相垂直,那么能否利用對角線來計算菱形ABCD的面積呢?能.過點A作AE⊥BC于點E,則S菱形ABCD=底×高

=BC·AE.E問題2

如圖，四邊形ABCD是菱形，對角線AC，BD交于點O,試用對角線表示出菱形ABCD的面積.ABCDO解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD,∴S菱形ABCD=S△ABC

+S△ADC=AC·BO+AC·DO=AC(BO+DO)=AC·BD.你有什么發(fā)現(xiàn)？菱形的面積=

底×高=

對角線乘積的一半例4如圖，在菱形ABCD中，點O為對角線AC與BD的交點，且在△AOB中，OA＝5，OB＝12.求菱形ABCD兩對邊的距離h.解：在Rt△AOB中，OA＝5，OB＝12，所以S△AOB＝OA·OB＝×5×12＝30，所以S菱形ABCD＝4S△AOB＝4×30＝120.因為又因為菱形兩組對邊的距離相等，所以S菱形ABCD＝AB·h＝13h，所以13h＝120，得h＝.

菱形的面積計算有如下方法：(1)一邊長與兩對邊的距離(即菱形的高)的積；(2)四個小直角三角形的面積之和(或一個小直角三角形面積的4倍)；(3)兩條對角線長度乘積的一半．歸納例5如圖，菱形花壇ABCD的邊長為20m，∠ABC＝60°，沿著菱形的對角線修建了兩條小路AC和BD，求兩條小路的長和花壇的面積（結(jié)果分別精確到0.01m和0.1m2

）.A

B

C

D

O

解：∵花壇ABCD是菱形，【變式題】

如圖，在菱形ABCD中，∠ABC與∠BAD的度數(shù)比為1：2，周長是8cm．求：（1）兩條對角線的長度；（2）菱形的面積．解：（1）∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=BC，AC⊥BD，AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD=180°.∵∠ABC與∠BAD的度數(shù)比為1：2，∴∠ABC=×180°=60°，∴∠ABO=×∠ABC=30°，△ABC是等邊三角形.∵菱形ABCD的周長是8cm．∴AB=2cm，∴OA=AB=1cm，AC=AB=2cm，

∴BD=2OB=cm；（2）S菱形ABCD=AC?BD

=×2×=（cm2）．

菱形中的相關(guān)計算通常轉(zhuǎn)化為直角三角形或等腰三角形，當(dāng)菱形中有一個角是60°時，菱形被分為以60°為頂角的兩個等邊三角形.歸納練一練如圖，已知菱形的兩條對角線分別為6cm和8cm，則這個菱形的高DE為（）A.2.4cmB.4.8cmC.5cmD.9.6cmB1.菱形具有而一般平行四邊形不具有的性質(zhì)是（）

A.對角相等B.對邊相等C.對角線互相垂直D.對角線相等C2.如圖，在菱形ABCD中，AC=8，BD=6，則△ABD的周長等于（）A.18B.16C.15D.14B3.根據(jù)下圖填一填：（1）已知菱形ABCD的周長是12cm，那么它的邊長是______.（2）在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，則∠BAC＝_______.（3）菱形ABCD的兩條對角線長分別為6cm和8cm，則菱形的邊長是_______.3cm30°ABCOD5cm(4)菱形的一個內(nèi)角為120°,平分這個內(nèi)角的對角線長為11cm，菱形的周長為______.44cm(5)菱形的面積為64平方厘米，兩條對角線的長度比為1∶2,那么菱形最短的那條對角線長為_______.8厘米ABCOD4.如圖,四邊形ABCD是邊長為13cm的菱形,其中對角線BD長10cm.求:(1)對角線AC的長度;(2)菱形ABCD的面積.解:(1)∵四邊形ABCD是菱形,∴∠AED=90°,(2)菱形ABCD的面積∴AC=2AE=2×12=24(cm).DBCAE5.如圖，四邊形ABCD是菱形，F(xiàn)是AB上一點，DF交AC于E．求證：∠AFD=∠CBE．

證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴CB=CD，CA平分∠BCD．∴∠BCE=∠DCE．又CE=CE，∴△BCE≌△CDE（SAS）．∴∠CBE=∠CDE．

∵在菱形ABCD中，AB∥CD，

∴∠AFD=∠FDC.∴∠AFD=∠CBE．ADCBFE6.如圖，O是菱形ABCD對角線AC與BD的交點，CD＝5cm，OD＝3cm；過點C作CE∥DB，過點B作BE∥AC，CE與BE相交于點E.(1)求OC的長；(2)求四邊形OBEC的面積．解：(1)∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD.在直角△OCD中，由勾股定理得OC＝4cm；(2)∵CE∥DB，BE∥AC，∴四邊形OBEC為平行四邊形.又∵AC⊥BD，即∠COB＝90°，∴平行四邊形OBEC為矩形.∵OB＝OD＝3cm，∴S矩形OBEC＝OB·OC＝3×4＝12(cm2)．下列圖案(或物體)中包含的平行四邊形有什么特點？圖2-49它們的鄰邊相等.合作探究平行四邊形菱形一組鄰邊相等一組鄰邊相等的平行四邊形叫作菱形.結(jié)論如圖2-50，四邊形ABCD是菱形，對角線AC，DB相交于點O.對角線AC⊥DB嗎？你的理由是什么？圖2-50動腦筋∵

四邊形ABCD是菱形，∴

DA=DC.∴

點D在線段AC的垂直平分線上.又點O為線段AC的中點，∴

直線DO（即直線DB）是線段AC的垂直平分線，∴

AC⊥DB.菱形的對角線互相垂直.由此得到菱形的性質(zhì)：結(jié)論做一做

把圖2-50中的菱形ABCD沿直線DB對折（即作關(guān)于直線DB的軸反射），點A的像是，點C的像是，點D的像是，點B的像是，邊AD的像是，邊CD的像是，邊AB的像是，邊CB的像是.圖2-50點C點A邊DC點D點B邊DA邊BC邊AB

從上述結(jié)果看出，在關(guān)于直線DB的軸反射下，菱形ABCD的像與它自身重合.同理，在關(guān)于直線AC的軸反射下，菱形ABCD的像與它自身重合.菱形是軸對稱圖形，兩條對角線所在直線都是它