2025年高考數(shù)學(xué)模擬檢測卷（文科專用）-三角函數(shù)與不等式深度解析試題

2025年高考數(shù)學(xué)模擬檢測卷（文科專用）——三角函數(shù)與不等式深度解析試題一、三角函數(shù)與恒等變換要求：掌握三角函數(shù)的基本性質(zhì)，能熟練運用三角恒等變換解決相關(guān)問題。1.若sinα=$\frac{3}{5}$，且α為銳角，求cos2α的值。2.若cosβ=$\frac{4}{5}$，且β為第一象限角，求sinβ+cosβ的值。3.若tanα=$\frac{3}{4}$，且α為第二象限角，求sinαcosα的值。4.若sinα=$\frac{1}{2}$，cosα=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，求sin2α-cos2α的值。5.若sinα+cosα=$\frac{5}{4}$，且α為銳角，求sinαcosα的值。6.若sinαcosα=$\frac{1}{2}$，且α為第二象限角，求sin2α+cos2α的值。二、不等式要求：掌握不等式的基本性質(zhì)，能熟練運用不等式解決相關(guān)問題。1.解不等式：2x+3>5。2.解不等式：$\frac{1}{x}-\frac{2}{x+1}<0$。3.解不等式：$\sqrt{x-1}+\sqrt{x+1}>2$。4.解不等式：$x^2-3x+2\geq0$。5.解不等式：$\frac{x-1}{x+2}\leq\frac{1}{x-1}$。6.解不等式：$\frac{x^2+1}{x-1}\geq0$。三、三角函數(shù)與不等式綜合題要求：綜合運用三角函數(shù)與不等式的知識解決相關(guān)問題。1.若sinα=$\frac{1}{2}$，cosα=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，求sin2α+cos2α的值。2.若cosβ=$\frac{4}{5}$，且β為第一象限角，求sinβ+cosβ的值。3.若tanα=$\frac{3}{4}$，且α為第二象限角，求sinαcosα的值。4.若sinα=$\frac{1}{2}$，cosα=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，求sin2α-cos2α的值。5.若sinα+cosα=$\frac{5}{4}$，且α為銳角，求sinαcosα的值。6.若sinαcosα=$\frac{1}{2}$，且α為第二象限角，求sin2α+cos2α的值。四、三角函數(shù)與不等式應(yīng)用題要求：綜合運用三角函數(shù)與不等式的知識解決實際問題。1.一邊長為2的等腰三角形，其頂角為α，若三角形面積為$\frac{3}{2}$，求sinα的值。2.已知函數(shù)f(x)=sinx+cosx，求函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,π]上的最大值和最小值。3.一條直線通過點A(1,2)和點B(3,4)，求這條直線與x軸的交點坐標(biāo)。4.一輛汽車以每小時60公里的速度行駛，在行駛過程中，其速度逐漸減少，直至達到每小時30公里。假設(shè)汽車行駛了t小時后速度達到每小時30公里，求在這段時間內(nèi)汽車行駛的總距離。5.若等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且S10=55，S15=120，求等差數(shù)列{an}的首項a1和公差d。五、不等式與不等式組要求：掌握不等式與不等式組的基本性質(zhì)，能熟練運用它們解決實際問題。1.解不等式組：$\begin{cases}x-2>0\\x+3\leq5\end{cases}$。2.解不等式組：$\begin{cases}2x+1\geq0\\x-3<0\end{cases}$。3.解不等式組：$\begin{cases}\frac{1}{x}-\frac{2}{x+1}<0\\x\neq0\end{cases}$。4.解不等式組：$\begin{cases}x^2-3x+2\geq0\\x\neq1\end{cases}$。5.解不等式組：$\begin{cases}\frac{x-1}{x+2}\leq\frac{1}{x-1}\\x\neq1\end{cases}$。6.解不等式組：$\begin{cases}\frac{x^2+1}{x-1}\geq0\\x\neq1\end{cases}$。六、三角函數(shù)與不等式綜合應(yīng)用題要求：綜合運用三角函數(shù)與不等式的知識解決實際問題。1.已知函數(shù)f(x)=sinx+cosx，求函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,2π]上的單調(diào)區(qū)間。2.一條拋物線經(jīng)過點A(2,3)和點B(4,1)，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。3.若tanα=$\frac{3}{4}$，且α為第二象限角，求sinαcosα的值。4.一輛汽車從靜止開始加速，其加速度為a(t)=3t，求汽車在t=2秒時的速度。5.若sinα=$\frac{1}{2}$，cosα=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，求sin2α+cos2α的值。6.解不等式：$\sqrt{x-1}+\sqrt{x+1}>2$。本次試卷答案如下：一、三角函數(shù)與恒等變換1.解析：由sinα=$\frac{3}{5}$，得cosα=$\sqrt{1-sin^2α}$=$\sqrt{1-\left(\frac{3}{5}\right)^2}$=$\frac{4}{5}$，所以cos2α=cos^2α-sin^2α=$\left(\frac{4}{5}\right)^2-\left(\frac{3}{5}\right)^2$=$\frac{16}{25}-\frac{9}{25}$=$\frac{7}{25}$。2.解析：由cosβ=$\frac{4}{5}$，得sinβ=$\sqrt{1-cos^2β}$=$\sqrt{1-\left(\frac{4}{5}\right)^2}$=$\frac{3}{5}$，所以sinβ+cosβ=$\frac{3}{5}+\frac{4}{5}$=$\frac{7}{5}$。3.解析：由tanα=$\frac{3}{4}$，得sinα=$\frac{3}{5}$，cosα=$\frac{4}{5}$，所以sinαcosα=$\frac{3}{5}\times\frac{4}{5}$=$\frac{12}{25}$。4.解析：由sinα=$\frac{1}{2}$，cosα=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，得sin2α=2sinαcosα=2$\times\frac{1}{2}\times\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，cos2α=cos^2α-sin^2α=$\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2-\left(\frac{1}{2}\right)^2$=$\frac{3}{4}-\frac{1}{4}$=$\frac{1}{2}$，所以sin2α-cos2α=$\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}$。5.解析：由sinα+cosα=$\frac{5}{4}$，得（sinα+cosα）^2=$\left(\frac{5}{4}\right)^2$，即sin^2α+2sinαcosα+cos^2α=$\frac{25}{16}$，又因為sin^2α+cos^2α=1，所以2sinαcosα=$\frac{25}{16}-1$=$\frac{9}{16}$，所以sinαcosα=$\frac{9}{32}$。6.解析：由sinαcosα=$\frac{1}{2}$，得sin^2α+cos^2α=1，所以sin^2α=$\frac{1}{2}$，cos^2α=$\frac{1}{2}$，所以sin2α+cos2α=2sinαcosα=2$\times\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$。二、不等式1.解析：移項得2x>2，除以2得x>1。2.解析：通分得$\frac{x+2-2x}{x(x+1)}<0$，化簡得$\frac{2-x}{x(x+1)}<0$，解得0<x<2。3.解析：兩邊平方得x-1+x+1>4，化簡得2x>4，除以2得x>2，所以x>2。4.解析：因式分解得(x-1)(x-2)\geq0，解得x\leq1或x\geq2。5.解析：通分得$\frac{x^2-1}{(x+2)(x-1)}\leq\frac{1}{x-1}$，化簡得$\frac{x^2-1}{x+2}\leq1$，移項得$x^2-1\leqx+2$，化簡得$x^2-x-3\leq0$，因式分解得(x-3)(x+1)\leq0，解得-1\leqx\leq3。6.解析：通分得$\frac{x^2+1}{x-1}\geq0$，解得x\neq1且x\neq0。三、三角函數(shù)與不等式綜合題1.解析：由sinα=$\frac{1}{2}$，cosα=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，得sin2α=2sinαcosα=2$\times\frac{1}{2}\times\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，cos2α=cos^2α-sin^2α=$\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2-\left(\frac{1}{2}\right)^2$=$\frac{3}{4}-\frac{1}{4}$=$\frac{1}{2}$，所以sin2α+cos2α=$\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}$。2.解析：由cosβ=$\frac{4}{5}$，得sinβ=$\frac{3}{5}$，所以sinβ+cosβ=$\frac{3}{5}+\frac{4}{5}$=$\frac{7}{5}$。3.解析：由tanα=$\frac{3}{4}$，得sinα=$\frac{3}{5}$，cosα=$\frac{4}{5}$，所以sinαcosα=$\frac{3}{5}\times\frac{4}{5}$=$\frac{12}{25}$。4.解析：由sinα=$\frac{1}{2}$，cosα=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，得sin2α=2sinαcosα=2$\times\frac{1}{2}\times\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，cos2α=cos^2α-sin^2α=$\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2-\left(\frac{1}{2}\right)^2$=$\frac{3}{4}-\frac{1}{4}$=$\frac{1}{2}$，所以sin2α-cos2α=$\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}$。5.解析：由sinα+cosα=$\frac{5}{4}$，得（sinα+cosα）^2=$\left(\frac{5}{4}\right)^2$，即sin^2α+2sinαcosα+cos^2α=$\frac{25}{16}$，又因為sin^2α+cos^2α=1，所以2sinαcosα=$\frac{25}{16}-1$=$\frac{9}{16}$，所以sinαcosα=$\frac{9}{32}$。6.解析：由sinαcosα=$\frac{1}{2}$，得sin^2α+cos^2α=1，所以sin^2α=$\frac{1}{2}$，cos^2α=$\frac{1}{2}$，所以sin2α+cos2α=2sinαcosα=2$\times\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$。四、三角函數(shù)與不等式應(yīng)用題1.解析：由三角形面積公式得$\frac{1}{2}\times2\times2\timessinα=\frac{3}{2}$，解得sinα=$\frac{3}{4}$。2.解析：由f(x)=sinx+cosx，得f'(x)=cosx-sinx，令f'(x)=0，得cosx=sinx，即tanx=1，解得x=$\frac{\pi}{4}$或x=$\frac{5\pi}{4}$，所以f(x)在[0,$\frac{\pi}{4}$]上單調(diào)遞增，在[$\frac{\pi}{4}$,$\frac{5\pi}{4}$]上單調(diào)遞減，最大值為f(0)=1，最小值為f($\frac{5\pi}{4}$)=-1。3.解析：由點斜式得直線方程為y-2=$\frac{2-4}{1-3}(x-1)$，化簡得y=-x+3，令y=0，得x=3，所以交點坐標(biāo)為(3,0)。4.解析：由速度公式v=at，得s=$\frac{1}{2}at^2$，代入a=3t，得s=$\frac{1}{2}\times3t^2$，代入t=2，得s=6。5.解析：由等差數(shù)列前n項和公式得S_n=\frac{n}{2}(2a_1+(n-1)d)$，代入S_10=55，S_15=120，得$\frac{10}{2}(2a_1+9d)=55$，$\frac{15}{2}(2a_1+14d)=120$，解得a_1=1，d=2。五、不等式與不等式組1.解析：解不等式組得1<x<5。2.解析：解不等式組得-1/2<x<3。3.解析：解不等式組得0<x<1。4.解析：解不等式組得x\leq1或x\geq2。5.解析：解不等式組得-1<x<1。6.解析：解不等式組得x\neq1且x\neq0。六、三角函數(shù)與不等式綜合應(yīng)用題1.解析：由f(x)=sinx+cosx，得f'(x)=cosx-sinx，令f'(x)=0，得cosx=sinx，即tanx=1，解得x=$\frac{\pi}{4}$或x=$\frac{5\pi}{4}$，所以f(x)在[0,$\frac{\pi}{4}$]上單調(diào)遞增，在[$\frac{\pi}{4}$,$\frac{5\pi}{4}$]上單調(diào)遞減，最大值為f(0)=1，最小值為f($\frac{5\pi}{4}$)=-1。2.解析：由拋物線經(jīng)過點A(2,3)和點B(4,1)