2025年全國中學生數(shù)學聯(lián)賽試題及答案詳解（含競賽策略）

2025年全國中學生數(shù)學聯(lián)賽試題及答案詳解（含競賽策略）一、選擇題要求：在下列各題中，只有一個選項是正確的，請將正確答案的序號填寫在題后的括號內(nèi)。1.若函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+4x$，則$f'(x)$等于：（1）$3x^2-6x+4$；（2）$3x^2-6x-4$；（3）$3x^2-6x+3$；（4）$3x^2-6x$。2.在$\triangleABC$中，$a=3$，$b=4$，$c=5$，則$\cosA$的值為：（1）$\frac{1}{2}$；（2）$\frac{1}{3}$；（3）$\frac{1}{4}$；（4）$\frac{1}{5}$。3.已知$x^2+y^2=1$，則$\sin2\alpha+\cos2\beta$的取值范圍是：（1）$[-2,2]$；（2）$[-1,1]$；（3）$[-1,2]$；（4）$[-2,1]$。4.若等差數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項和為$S_n$，首項為$a_1$，公差為$d$，則$S_n$的表達式為：（1）$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$；（2）$S_n=\frac{n(a_1-a_n)}{2}$；（3）$S_n=\frac{n(a_1+2d)}{2}$；（4）$S_n=\frac{n(a_1-2d)}{2}$。5.設$a>0$，$b>0$，$a+b=1$，則$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}$的最小值為：（1）$2$；（2）$\frac{3}{2}$；（3）$\frac{4}{3}$；（4）$2\sqrt{2}$。6.若$log_2x+log_3y=1$，則$xy$的取值范圍是：（1）$(0,1)$；（2）$(1,\infty)$；（3）$[1,\infty)$；（4）$(0,\infty)$。二、填空題要求：請將正確答案填寫在題后的橫線上。7.已知等差數(shù)列$\{a_n\}$的前三項分別為$2$，$4$，$6$，則第$10$項$a_{10}$等于__________。8.在$\triangleABC$中，若$\sinA=\frac{3}{5}$，$\cosB=\frac{4}{5}$，則$\sinC$的值為__________。9.已知$log_2x+log_3y=1$，則$x^2y^3$的值為__________。10.若$a>0$，$b>0$，$a+b=1$，則$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}$的最小值為__________。三、解答題要求：請將答案填寫在題后的橫線上。11.（1）已知$f(x)=x^3-3x^2+4x$，求$f'(x)$。（2）求函數(shù)$f(x)=\frac{x^2}{2}-x+1$的最大值。12.在$\triangleABC$中，$a=3$，$b=4$，$c=5$，求$\cosA$和$\sinC$的值。13.設$x^2+y^2=1$，求$\sin2\alpha+\cos2\beta$的最大值和最小值。14.已知等差數(shù)列$\{a_n\}$的前三項分別為$2$，$4$，$6$，求該數(shù)列的公差$d$和前$10$項和$S_{10}$。15.設$a>0$，$b>0$，$a+b=1$，求$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}$的最小值，并求出取得最小值時$a$和$b$的值。四、應用題要求：根據(jù)題目要求，進行數(shù)學建模和計算，得出結論。16.某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品，其成本函數(shù)為$C(x)=10x+1000$（單位：元），其中$x$為產(chǎn)品數(shù)量。該產(chǎn)品的售價為$30$元/件。求：（1）當生產(chǎn)$50$件產(chǎn)品時，工廠的利潤；（2）為了使得工廠的利潤最大，工廠應該生產(chǎn)多少件產(chǎn)品。五、證明題要求：證明下列各題。17.證明：若$a^2+b^2=2$，則$a+b\geq\sqrt{2}$。18.證明：若$a,b,c$為等差數(shù)列，且$a+b+c=0$，則$a^2+b^2+c^2=3bc$。六、綜合題要求：綜合運用所學知識解決實際問題。19.某市公交車線路的票價為$2$元/人次，日總客流量為$10000$人次。為了鼓勵市民綠色出行，市政府決定對票價進行調(diào)整。假設調(diào)整后的票價為$x$元/人次，則日總客流量將增加$y$人次。根據(jù)調(diào)查，$y$與$x$之間的關系為$y=-1000x+15000$。求：（1）當票價調(diào)整至多少元/人次時，日總客流量最大；（2）在票價調(diào)整至$x$元/人次時，日總客流量最大值是多少。本次試卷答案如下：一、選擇題1.（1）解析：根據(jù)導數(shù)的定義和運算法則，$f'(x)=3x^2-6x+4$。2.（1）解析：根據(jù)勾股定理，$\cosA=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{4^2+5^2-3^2}{2\times4\times5}=\frac{1}{2}$。3.（2）解析：由三角恒等變換，$\sin2\alpha+\cos2\beta=2\sin\alpha\cos\alpha+2\cos^2\beta-1=2(\sin\alpha\cos\alpha+\cos^2\beta)-1$。由于$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$，所以$\sin2\alpha+\cos2\beta$的取值范圍是$[-1,1]$。4.（1）解析：等差數(shù)列的前$n$項和公式為$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$。5.（2）解析：由均值不等式，$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\geq\frac{2}{\sqrt{a^2b^2}}=\frac{2}{ab}\geq\frac{2}{\sqrt{ab}}$。由于$a+b=1$，所以$ab\leq\frac{1}{4}$，因此$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\geq\frac{4}{3}$。6.（4）解析：由對數(shù)的性質(zhì)，$log_2x+log_3y=log_2x+\frac{log_2y}{log_23}=log_2(xy)=1$，所以$xy=2$。二、填空題7.解析：等差數(shù)列的通項公式為$a_n=a_1+(n-1)d$，所以$a_{10}=2+(10-1)\times2=20$。8.解析：由三角函數(shù)的關系，$\sinC=\sin(180^\circ-A-B)=\sin(A+B)=\sinA\cosB+\cosA\sinB=\frac{3}{5}\times\frac{4}{5}+\frac{4}{5}\times\frac{3}{5}=\frac{24}{25}$。9.解析：由對數(shù)的性質(zhì)，$x^2y^3=2^{log_2x^2}\times3^{log_3y^3}=2^{2log_2x}\times3^{3log_3y}=4\times27=108$。10.解析：由均值不等式，$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\geq\frac{2}{\sqrt{a^2b^2}}=\frac{2}{ab}\geq\frac{2}{\sqrt{ab}}$。由于$a+b=1$，所以$ab\leq\frac{1}{4}$，因此$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\geq\frac{4}{3}$。三、解答題11.（1）解析：$f'(x)=3x^2-6x+4$。（2）解析：$f(x)=\frac{x^2}{2}-x+1$，求導得$f'(x)=x-1$。令$f'(x)=0$，得$x=1$。由于$f''(x)=1>0$，所以$x=1$是$f(x)$的極小值點，也是最小值點，因此$f(x)$的最大值為$f(1)=\frac{1}{2}-1+1=\frac{1}{2}$。12.解析：$\cosA=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{4^2+5^2-3^2}{2\times4\times5}=\frac{1}{2}$，$\sinC=\sin(180^\circ-A-B)=\sin(A+B)=\sinA\cosB+\cosA\sinB=\frac{3}{5}\times\frac{4}{5}+\frac{4}{5}\times\frac{3}{5}=\frac{24}{25}$。13.解析：由三角恒等變換，$\sin2\alpha+\cos2\beta=2\sin\alpha\cos\alpha+2\cos^2\beta-1=2(\sin\alpha\cos\alpha+\cos^2\beta)-1$。由于$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$，所以$\sin2\alpha+\cos2\beta$的最大值為$2-1=1$，最小值為$-2-1=-3$。14.解析：等差數(shù)列的公差$d=a_2-a_1=4-2=2$，前$10$項和$S_{10}=\frac{10(a_1+a_{10})}{2}=\frac{10(2+20)}{2}=110$。15.解析：由均值不等式，$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\geq\frac{2}{\sqrt{a^2b^2}}=\frac{2}{ab}\geq\frac{2}{\sqrt{ab}}$。由于$a+b=1$，所以$ab\leq\frac{1}{4}$，因此$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\geq\frac{4}{3}$。當$a=b=\frac{1}{2}$時，取得最小值$\frac{4}{3}$。四、應用題16.解析：（1）利潤$P(x)=收入-成本=30x-(10x+1000)=20x-1000$。當$x=50$時，$P(50)=20\times50-1000=500$元。（2）為了使得利潤最大，需要求$P(x)$的最大值。求導得$P'(x)=20$，由于$P'(x)$為常數(shù)，所以$P(x)$在$x$的定義域內(nèi)單調(diào)遞增。因此，當$x$取最大值時，$P(x)$也取最大值。由于$x$為產(chǎn)品數(shù)量，所以$x$的最大值為$100$。當$x=100$時，$P(100)=20\times100-1000=1800$元。五、證明題17.解析：由均值不等式，$(a-b)^2\geq0$，即$a^2-2ab+b^2\geq0$。移項得$a^2+b^2\geq2ab$，即$a+b\geq\sqrt{2ab}$。由于$a^2+b^2=2$，所以$a+b\geq\sqrt{2}$。18.解析：由等差數(shù)列的性質(zhì)，$a+b+c=3a$，所以$a=\frac{a+b+c}{3}=0$。將$a=0$代入$a^2+b^2+c^2=3bc$，得$b^2+c^2=3bc$。由于$b^2+c^2\geq2bc$，所以$3bc\geq2bc$，即$bc\geq0$。因此$a^2+b^2+c^2=3bc$。六、綜合題19.解析：（1）日總客流量$Q(x)=(2+x)(-1000x+