2025年中考數(shù)學(xué)三輪高頻考點(diǎn)二次函數(shù)中的特殊三角形與特殊四邊形的存在性問題沖刺練習(xí)

試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)2025年中考數(shù)學(xué)三輪高頻考點(diǎn)二次函數(shù)中的特殊三角形與特殊四邊形的存在性問題沖刺練習(xí)一、二次函數(shù)與特殊三角形問題1．如圖，拋物線交軸于點(diǎn)和點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上．(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)如圖1，求的面積；(3)如圖1，在軸下方的拋物線上找一點(diǎn)，使，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(4)如圖2，對(duì)稱軸垂直于軸于點(diǎn)，點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)（除、外），過點(diǎn)作軸的垂線交拋物線于點(diǎn)，連接．直線分別與拋物線的對(duì)稱軸交于兩點(diǎn)．試問：是否為定值？如果是，請(qǐng)直接寫出這個(gè)定值；如果不是，請(qǐng)說明理由．2．如圖1，拋物線與軸交于點(diǎn)，，與軸交于點(diǎn)．(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)點(diǎn)是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．①如圖1，若點(diǎn)在第一象限內(nèi)，連接交直線于點(diǎn)，設(shè)的面積為，面積為，若，求點(diǎn)坐標(biāo)；②如圖2，拋物線的對(duì)稱軸與軸交于點(diǎn)，過點(diǎn)作點(diǎn)，點(diǎn)是對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是否存在以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．若不存在，請(qǐng)說明理由．3．如圖，拋物線與x軸交于，兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．點(diǎn)D在拋物線上，其橫坐標(biāo)為．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)連接，點(diǎn)P是直線下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作于點(diǎn)M，求線段的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)將拋物線先向左平移1個(gè)單位，再向上平移4個(gè)單位得到拋物線．在（2）的條件下，當(dāng)線段的值最大時(shí)，連接．過點(diǎn)A的直線交拋物線于E，F(xiàn)兩點(diǎn)（點(diǎn)E在點(diǎn)F的上方），過點(diǎn)E作直線平行于直線交拋物線于另一點(diǎn)Q，連接．求證：直線必過一定點(diǎn)．4．如圖1，拋物線與直線交于點(diǎn)和點(diǎn)，點(diǎn)為該拋物線的頂點(diǎn)，已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)．(1)求該拋物線與直線的函數(shù)表達(dá)式；(2)若拋物線與軸交于點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)．（i）以為直角邊，點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，在直線的右側(cè)作等腰直角，請(qǐng)?jiān)趫D2上畫出符合條件的圖形，并判斷點(diǎn)是否在拋物線上；（ii）如圖3，連接，在直線上是否存在點(diǎn)，使？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．5．拋物線交軸于點(diǎn)和點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)如圖1，點(diǎn)是直線上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，求的最大值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)將拋物線沿射線方向平移得到新拋物線，新拋物線經(jīng)過點(diǎn)且與直線另一交點(diǎn)為點(diǎn)，為新拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)．6．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過，，．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)如圖1，點(diǎn)是直線上方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，過作軸交于點(diǎn)，作于點(diǎn)，點(diǎn)，是直線上的動(dòng)點(diǎn)，且，連接．點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，連接，當(dāng)線段取得最大值時(shí)，求的最小值；(3)如圖2，在(2)的條件下，將該拋物線沿射線方向平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到新拋物線新拋物線與軸交于點(diǎn)，(在左邊)，點(diǎn)為新拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn)的橫坐標(biāo)，并寫出其中一個(gè)點(diǎn)橫坐標(biāo)的求解過程．7．在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖像與軸相交于點(diǎn)A、B，點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，與軸相交于點(diǎn)，已知，的面積為6．(1)______；(2)點(diǎn)在軸上，軸，交二次函數(shù)的圖像于點(diǎn)．①當(dāng)時(shí)，求證：；②當(dāng)且時(shí)，求證：；③將二次函數(shù)的圖像平移，記平移后的圖像為圖像，其頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)且平行于軸的直線交圖像于點(diǎn)，點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，過點(diǎn)作直線的垂線，交圖像于點(diǎn)，若，，則______．二、二次函數(shù)與特殊四邊形問題8．如圖，二次函數(shù)的圖像經(jīng)過，兩點(diǎn)，一次函數(shù)的圖像與軸交于點(diǎn)．(1)填空：______，______；(2)求證：二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖像總有交點(diǎn)；(3)當(dāng)點(diǎn)到一次函數(shù)的圖像的距離最大時(shí)，設(shè)此時(shí)一次函數(shù)與二次函數(shù)的圖像交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)），試判斷在線段上是否存在點(diǎn)，使得．若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．9．綜合與探究在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過，，三點(diǎn)，連接．(1)求拋物線的解析式；(2)是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，，當(dāng)是以為底邊的等腰三角形時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為________；(3)如圖①，是直線下方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，，求面積的最大值；(4)如圖②，是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是點(diǎn)右側(cè)軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且始終保持，連接，，則的最小值為________．10．如圖，拋物線（a、b為常數(shù)，）與x軸交于、兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．點(diǎn)P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且在第四象限．(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)如圖1，若點(diǎn)P與點(diǎn)C關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，作直線與y軸交于點(diǎn)M，連接，交y軸于點(diǎn)N，求線段的長(zhǎng)；(3)如圖2，連接，兩線段交于點(diǎn)E．在線段上取點(diǎn)F，使．連接，求的最小值．11．如圖，拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為，，與y軸交于點(diǎn)C，直線經(jīng)過點(diǎn)A，C．(1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)是直線上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．①作軸于點(diǎn)D，交直線于點(diǎn)E，若，求的長(zhǎng)；②作軸于點(diǎn)N，與拋物線的另一交點(diǎn)為M．已知點(diǎn)Q是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，其橫坐標(biāo)為，連接．若，求的值．12．如圖，拋物線經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)，點(diǎn)，在拋物線上，其橫坐標(biāo)分別為，（），連接，．(1)求，的值；(2)當(dāng)軸時(shí)，求直線的函數(shù)表達(dá)式；(3)設(shè)拋物線在點(diǎn)與點(diǎn)之間部分（包括點(diǎn)與點(diǎn)）的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)的差為，在點(diǎn)與點(diǎn)之間部分（包括點(diǎn)與點(diǎn)）的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)的差為．當(dāng)點(diǎn)在拋物線的頂點(diǎn)左側(cè)時(shí)，若，求的值．13．如圖1，拋物線與x軸相交于兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)B的直線交該拋物線于另一點(diǎn)E．(1)求該拋物線的表達(dá)式；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，在直線上方的拋物線上任意取一點(diǎn)D，連接，交直線于點(diǎn)P．設(shè)，當(dāng)t取得最大值時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)及此時(shí)t的最大值；(3)如圖3，經(jīng)過點(diǎn)B不同于的另一直線交該拋物線于另一點(diǎn)F．當(dāng)均為x軸上方拋物線上的兩點(diǎn)（點(diǎn)E在點(diǎn)F的左邊）時(shí)，直線與y軸分別相交于點(diǎn)．若，試探究是否存在定點(diǎn)Q在直線上，若存在，請(qǐng)求出定點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．14．如圖，已知拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)是直線下方拋物線上的點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的平行線交于點(diǎn)，連接．(1)求拋物線的解析式；(2)當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)設(shè)，則的取值范圍是________；(4)在（2）的條件下，當(dāng)點(diǎn)在拋物線對(duì)稱軸的右側(cè)時(shí)，若點(diǎn)是軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作拋物線對(duì)稱軸的垂線，垂足為，連接，，則的最小值為________．答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)《2025年中考數(shù)學(xué)三輪高頻考點(diǎn)二次函數(shù)中的特殊三角形與特殊四邊形的存在性問題沖刺練習(xí)》參考答案1．(1)(2)1(3)(4)是定值，定值為8【分析】（1）運(yùn)用待定系數(shù)法求解即可；（2）根據(jù)題意得到頂點(diǎn)，，由即可求解；（3）如圖所示：過點(diǎn)作軸，垂足為，則，則，可得直線為：，聯(lián)立，即可求解；（4）設(shè)，由的坐標(biāo)得，直線的表達(dá)式為：，當(dāng)時(shí)，，即，由點(diǎn)的坐標(biāo)得，直線的表達(dá)式為：，當(dāng)時(shí)，，由此即可求解．【詳解】（1）解：拋物線經(jīng)過點(diǎn)，，，解得，該拋物線的函數(shù)表達(dá)式為：；（2）解：，∴頂點(diǎn)，，又∵，∴軸，，；（3）解：如圖所示：過點(diǎn)作軸，垂足為，則，，，設(shè)直線與軸相交于點(diǎn)，∵，，∴∴，設(shè)直線的解析式為，∴點(diǎn)代入得：，解得，∴直線為：，聯(lián)立，解得；（4）解：設(shè)，由的坐標(biāo)運(yùn)用待定系數(shù)法得，直線的表達(dá)式為：，當(dāng)時(shí)，，即，由點(diǎn)的坐標(biāo)運(yùn)用待定系數(shù)法得，直線的表達(dá)式為：，當(dāng)時(shí)，，則是為定值，定值為8．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，二次函數(shù)幾何圖形面積的計(jì)算，解直角三角形的計(jì)算，二次函數(shù)與線段長(zhǎng)度的計(jì)算，掌握二次函數(shù)圖象的性質(zhì)是關(guān)鍵．2．(1)(2)①點(diǎn)坐標(biāo)是或；②存在，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，【分析】（1）將點(diǎn)A、B、C，代入即可求得拋物線的表達(dá)式；（2）①求出直線的表達(dá)式為，過作垂直交于和點(diǎn)，可證得，所以，設(shè)，則，，，，即可解決問題．②根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求得的點(diǎn)坐標(biāo)為，分為邊和為對(duì)角線兩種情況討論，即可求解．【詳解】（1）解：把，，代入得∶，解得，∴拋物線的表達(dá)式為；（2）①設(shè)直線的解析式為，把，代入得∶，解得直線的表達(dá)式為．過作軸交于，過作軸交于，∴，，，，設(shè)，則，，，∴當(dāng)時(shí)，，，，，或，點(diǎn)的坐標(biāo)為或．②存在，理由如下：過點(diǎn)作于，如圖，的對(duì)稱軸為直線，，，，又，是等腰直角三角形，，，是等腰直角三角形，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，當(dāng)為邊時(shí)，四邊形為平行四邊形，，軸，點(diǎn)的橫坐標(biāo)與點(diǎn)的橫坐標(biāo)同為，當(dāng)時(shí)，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，根據(jù)對(duì)稱性當(dāng)時(shí)，，∴時(shí)，四邊形也是平行四邊形．當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，如圖，四邊形為平行四邊形，，軸，同理求得：點(diǎn)的坐標(biāo)為，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，綜上，點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為或，時(shí)，．【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)，等高的三角形的面積的比等于底邊的比，相似三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)以及平行四邊形的性質(zhì)．3．(1)(2)線段的最大值為，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3)見解析【分析】（1）將點(diǎn)，代入中，得二元一次方程，解方程即可；（2）過點(diǎn)P作軸交于點(diǎn)N，求出，則當(dāng)最大時(shí)，也最大，用待定系數(shù)法求出直線的表達(dá)式為，設(shè)，，得，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值，進(jìn)而可得答案；（3）根據(jù)二次函數(shù)平移的性質(zhì)得拋物線的表達(dá)式為，令，，利用待定系求法求出直線的表達(dá)式為，再根據(jù)直線過點(diǎn)得，依次求得直線、、的解析式，當(dāng)時(shí)，，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：將點(diǎn)，代入中，得，解得，拋物線的表達(dá)式為；（2）解：如圖，過點(diǎn)P作軸交于點(diǎn)N，在中，令得，點(diǎn)C的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，，，軸，，，，則當(dāng)最大時(shí)，也最大，設(shè)直線的表達(dá)式為，，解得，直線的表達(dá)式為，設(shè)，，，當(dāng)時(shí)，最大，最大為，則，線段的最大值為，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為；（3）證明：，將拋物線平移后得到拋物線的表達(dá)式為，如圖所示，令，，設(shè)直線的表達(dá)式為，把，兩點(diǎn)代入，得，解得，則直線的表達(dá)式為，直線過點(diǎn)，，，點(diǎn)D在拋物線上，且其橫坐標(biāo)為，，由（2）知，得直線的表達(dá)式為，，且，直線的表達(dá)式為，當(dāng)時(shí)，解得（舍去），，，設(shè)直線的表達(dá)式為，把，代入，得，解得，直線的表達(dá)式為，，直線的表達(dá)式為，當(dāng)時(shí)，，直線必過定點(diǎn)．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)和一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，平移的性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)．4．(1)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為，直線的函數(shù)表達(dá)式為；(2)（i）圖見解析，點(diǎn)在拋物線上；（ii）點(diǎn)的坐標(biāo)為．【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）（i）根據(jù)題意作出圖形，分別過點(diǎn)和點(diǎn)作軸的垂線，垂足分別為，，證明，求得，據(jù)此求解即可判定；（ii）分兩種情況討論，當(dāng)時(shí)，，求得直線的解析式為，得到直線的解析式為，聯(lián)立即可求得點(diǎn)的坐標(biāo)；當(dāng)時(shí)，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，利用兩點(diǎn)之間的距離公式列式計(jì)算的坐標(biāo)，從而確定射線QB上不存在滿足條件的點(diǎn)．【詳解】（1）解：將和點(diǎn)代入，得，解得，∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為，∵，∴拋物線的頂點(diǎn)，∵直線過點(diǎn)和，∴，解得，∴直線的函數(shù)表達(dá)式為；（2）解：當(dāng)時(shí)，，，∴，，（i）由題意畫出圖形，如圖，分別過點(diǎn)和點(diǎn)作軸的垂線，垂足分別為，，由題意得，，∵，∴，∴，∴，，∴，∴，當(dāng)時(shí)，，∴點(diǎn)在拋物線上；（ii）如圖，當(dāng)時(shí)，，∵，，設(shè)直線的解析式為，∴，解得，∴直線的解析式為，∵，∴直線的解析式為，聯(lián)立得，解得，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為；當(dāng)時(shí)，∵，∴，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由題意得，解得或，當(dāng)時(shí)，，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為,且在第三象限，此時(shí)，，故在射線上的任一點(diǎn)Q，得到的綜上，點(diǎn)的坐標(biāo)為．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合問題，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，勾股定理，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．5．(1)(2)最大值為4，(3)或【分析】主要考查了二次函數(shù)的解析式的求法和與幾何圖形結(jié)合的綜合能力的培養(yǎng)．要會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來，利用點(diǎn)的坐標(biāo)的意義表示線段的長(zhǎng)度，從而求出線段之間的關(guān)系．（1）利用待定系數(shù)法即可解答，即可求解；（2）證明，則，即可求解；（3）分類討論，即當(dāng)點(diǎn)在下方時(shí)或當(dāng)點(diǎn)在上方時(shí)，分別求解即可．【詳解】（1）解：拋物線與軸交于點(diǎn)，，解得拋物線的解析式為；（2）解：如圖，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)．，設(shè)直線的解析式為，把，代入可得，解得，所以直線的解析式為，，，在中，，，，設(shè)，則，，，當(dāng)時(shí)，有最大值為4，此時(shí)；（3）解：設(shè)直線的表達(dá)式為，把代入可得，解得，所以直線的表達(dá)式為，將拋物線沿射線方向平移，設(shè)拋物線向右平移個(gè)單位，則向上平移個(gè)單位，則，當(dāng)時(shí)，，解得，（舍去），則，聯(lián)立上式和直線的表達(dá)式得：，解得（舍去）或3，即點(diǎn)，如圖，當(dāng)點(diǎn)在下方時(shí)，，，，設(shè)直線的表達(dá)式為，把代入可得，解得，直線的表達(dá)式為，聯(lián)立和新拋物線的表達(dá)式得：，解得或（不合題意舍去），；如圖，當(dāng)點(diǎn)在上方時(shí)，延長(zhǎng)交軸于點(diǎn)，作于點(diǎn)，，，，，，即，，，，，，，設(shè)直線的表達(dá)式為，把代入可得，，解得，所以直線的表達(dá)式為，聯(lián)立和新拋物線的表達(dá)式得：解得：，，綜上所述，的坐標(biāo)為或．6．(1)(2)(3)或【分析】（1）拋物線經(jīng)過，，利用交點(diǎn)式得出，再代入即可；（2）延長(zhǎng)，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，分別求出直線解析式為，直線解析式為，設(shè)，得，，得出，，利用，求出，得出，可得當(dāng)時(shí)，取得最大值，此時(shí)，此時(shí)，將線段沿著方向平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到線段，得出，由平移的性質(zhì)得，則，過點(diǎn)作軸，過點(diǎn)作于，利用，得出，則，由點(diǎn)到直線的最短距離可知當(dāng)，，，依次共線，且時(shí)，最短，此時(shí)即為圖中的，的最小值即為長(zhǎng)度，即可求解；（3）先確定沿射線方向平移個(gè)單位長(zhǎng)度，即為水平向下平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，∴得到新拋物線的解析式為，得出，，作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接，得出，當(dāng)點(diǎn)在上方時(shí)，此時(shí)點(diǎn)為點(diǎn)，設(shè)交軸于點(diǎn)，利用，求出，再求出直線的解析式為，聯(lián)立，即可求解；當(dāng)點(diǎn)在下方時(shí)，此時(shí)點(diǎn)為點(diǎn)，易知，過點(diǎn)作直線的平行線，交直線于點(diǎn)，得出，求出直線的解析式為，設(shè)，利用列式求出，再求出直線的解析式為，聯(lián)立，即可求解．【詳解】（1）解：∵拋物線經(jīng)過，，∴拋物線的解析式為，將代入，得：，∴拋物線的解析式為；（2）解：如圖，延長(zhǎng)，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，設(shè)直線解析式為，將，代入，得：，解得：，∴直線解析式為，設(shè)直線解析式為，將，代入，得：，解得：，∴直線解析式為，設(shè)，∵軸，則，，∴，，∵軸，∴，∵，，∴，∴，∴，∵，，∴，，，∴，∴，∵，，∴當(dāng)時(shí)，取得最大值，此時(shí)，此時(shí)點(diǎn)位置如圖，將線段沿著方向平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到線段，過點(diǎn)作軸，過點(diǎn)作軸，與交于點(diǎn)，∴，，∵，，∴，∴，∴點(diǎn)到點(diǎn)即向下平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，∴點(diǎn)到點(diǎn)即向下平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，∴，即，由平移的性質(zhì)得，∴，如圖，過點(diǎn)作軸，過點(diǎn)作于，∴，，∴，∴，∴，∴，由點(diǎn)到直線的最短距離可知當(dāng)，，，依次共線，且時(shí)，最短，此時(shí)即為圖中的，的最小值即為長(zhǎng)度，∵，∴的最小值為；（3）解：如圖，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則，，∴，∴，同（2）中的平移方法可得沿射線方向平移個(gè)單位長(zhǎng)度，即為水平向下平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，∴得到新拋物線的解析式為，令，得，解得：，，∴，，作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接，∴，∴，∵，∴，∴，當(dāng)點(diǎn)在上方時(shí)，如圖，此時(shí)點(diǎn)為點(diǎn)，設(shè)交軸于點(diǎn)，∵，∴，∴，又∵，∴，又∵，∴，∴，即，解得：，設(shè)直線的解析式為，將，代入，得：，解得：，∴直線的解析式為，聯(lián)立，得：，解得：，，∴的橫坐標(biāo)為；當(dāng)點(diǎn)在下方時(shí)，如圖，此時(shí)點(diǎn)為點(diǎn)，易知，過點(diǎn)作直線的平行線，交直線于點(diǎn)，∵，∴，∴，∴，設(shè)直線的解析式為，將代入，得，∴直線的解析式為，設(shè)，∴，，∴，解得：，∴，設(shè)直線的解析式為，將，代入，得：，解得：，∴直線的解析式為，聯(lián)立，得：，解得：，，∴的橫坐標(biāo)為；綜上所述，的橫坐標(biāo)為或．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)與幾何綜合，待定系數(shù)法求二次函數(shù)與一次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，平移的性質(zhì)，點(diǎn)到直線的最短距離，勾股定理，等腰三角形的判定，解一元二次方程，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握這些性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．(1)1(2)①見解析；②見解析；③1或4【分析】（1）根據(jù)，令，得，根據(jù)，得，求得得到，，確定，設(shè)，結(jié)合的面積為6．確定點(diǎn)C，后代入解析式確定a的值即可．（2）①當(dāng)時(shí)，，確定，根據(jù)，，得，，故即可得證；②分三種情況討論：當(dāng)時(shí)，點(diǎn)M在x軸下方拋物線上；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)M在x軸上方拋物線上；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)M在x軸上方拋物線上，分別表示出、、的長(zhǎng)，即可證明結(jié)論；③先確定即為圖像，過點(diǎn)且平行于軸的直線交圖像于點(diǎn)，點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，故，解得，故，，分兩種情況討論，過點(diǎn)作直線的垂線，交圖像于點(diǎn)，得時(shí)，，故，由，，分別求解即可．【詳解】（1）解：∵，令，得，∵，∴，解得，∴，，∴，設(shè)，∵的面積為6．∴，解得或（舍去），故，，解得．故答案為：1．（2）解：①當(dāng)時(shí)，，故，由，得當(dāng)時(shí)，，故，∴，∵，，∴，，故，故；②當(dāng)且時(shí)，∵，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)M在x軸下方拋物線上，由，得當(dāng)時(shí)，，故，∴，∵，，∴，，故，故；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)M在x軸上方拋物線上，由，得當(dāng)時(shí)，，故，∴，∵，，∴，，故，故；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)M在x軸上方拋物線上，由，得當(dāng)時(shí)，，故，∴，∵，，∴，，故，故；綜上所述，結(jié)論都成立．③根據(jù)二次函數(shù)，將圖像左移1個(gè)單位，上移4個(gè)單位，得到即為圖像，過點(diǎn)且平行于軸的直線交圖像于點(diǎn)，點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，故，解得，故，，當(dāng)時(shí)，由過點(diǎn)作直線的垂線，交圖像于點(diǎn)，得時(shí)，，故，由，，故，，故，解得，當(dāng)時(shí)，由過點(diǎn)作直線的垂線，交圖像于點(diǎn)，得時(shí)，，故，由，，故，，故，解得，故；故答案為：1或4．【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求解析式，拋物線的平移，解方程，絕對(duì)值的應(yīng)用，熟練掌握平移和待定系數(shù)法是解題的關(guān)鍵．8．(1)(2)見解析(3)不存在，理由見解析【分析】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，正確的求出函數(shù)解析式，利用數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵：（1）待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可；（2）將一次函數(shù)的解析式轉(zhuǎn)化為：，得到直線恒過點(diǎn)，根據(jù)拋物線也過點(diǎn)，即可得證；（3）根據(jù)直線恒過點(diǎn)，得到當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)形成的線段垂直直線時(shí)，點(diǎn)到直線的距離最大，過點(diǎn)作軸，推出點(diǎn)，以為斜邊，在下方，構(gòu)造等腰直角三角形，求出點(diǎn)坐標(biāo)，圓周角定理，推出點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上，根據(jù)到線段的距離大于半徑，得到與線段相離，得到線段上不存在點(diǎn)使．【詳解】（1）解：把，代入，得：，解得：．故答案為：；（2）由（1）知：，∵，∴當(dāng)時(shí)，，∴直線恒過點(diǎn)，又∵當(dāng)時(shí)，，∴拋物線也過點(diǎn)；∴二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖像總有交點(diǎn)；（3）不存在，理由如下：由（2）知道，直線恒過點(diǎn)，∴當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)形成的線段垂直直線時(shí)，點(diǎn)到直線的距離最大，如圖，此時(shí)，過點(diǎn)作軸，則，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，以為斜邊，在下方，構(gòu)造等腰直角三角形，則：在的中垂線上，且，∴點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，設(shè)，則：，∴或（舍去）；∴，∵，∴點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上，∵到軸的距離為2，，∴圓與直線相離，∴線段上不存在點(diǎn)使．9．(1)；(2)或；(3)當(dāng)時(shí)，最大，最大面積為；(4)．【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法求解即可；（2）設(shè)，由是以為底邊的等腰三角形，得，進(jìn)而得，，解得，從而代入得，，即可得解；（3）利用待定系數(shù)法求得直線為，過作軸交直線于點(diǎn)，設(shè)，則，，進(jìn)而利用鉛錘法構(gòu)造二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；（4）連接，，過作軸于點(diǎn)，在射線上取，連接，證明（）得，從而得當(dāng)點(diǎn)、、三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，利用勾股定理即可得解．【詳解】（1）解：∵拋物線經(jīng)過，，三點(diǎn)，∴，解得，∴；（2）解：設(shè)，∵當(dāng)是以為底邊的等腰三角形，∴，∵，，∴解得，∵在上，∴解得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴或；（3）解：設(shè)直線為，∵，，∴解得，∴直線為，如圖，過作軸交直線于點(diǎn)，設(shè)，則，，∵，，∴，∴當(dāng)時(shí)，最大，最大面積為；（4）解：連接，，過作軸于點(diǎn)，在射線上取，連接，∵，，∴軸，∴，∵軸∴，∴，∵，，∴，∴，，∴，∵，，∴（）∴，∴當(dāng)點(diǎn)、、三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，最小值為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)，勾股定理，兩點(diǎn)之間，線段最短，全等三角形的判定及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)，勾股定理，兩點(diǎn)之間，線段最短是解題的關(guān)鍵．10．(1)(2)(3)【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求二次函數(shù)解析式，勾股定理，軸對(duì)稱的性質(zhì)，求最短線段，利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題是關(guān)鍵．（1）將點(diǎn)、代入拋物線，利用待定系數(shù)法求解即可；（2）求出拋物線的對(duì)稱軸為直線，根據(jù)點(diǎn)P與點(diǎn)C關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，得點(diǎn)，運(yùn)用待定系數(shù)法求出的解析式，可得的坐標(biāo)，從而可求出的長(zhǎng)；（3）根據(jù)勾股定理求出，過點(diǎn)C作軸，使得，過點(diǎn)T作軸于點(diǎn)G，證明得，當(dāng)O、E、T共線時(shí)，最小，最小值為的長(zhǎng)，由勾股定理求出的長(zhǎng)即可解決問題．【詳解】（1）解：將代入中，得，解得，∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為．（2）解：在中，當(dāng)時(shí)，，，∵，∴拋物線的對(duì)稱軸為直線，∵點(diǎn)P與點(diǎn)C關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，且∴點(diǎn)，設(shè)直線的函數(shù)表達(dá)式為（m、n為常數(shù)，），將，代入上式，得，解得，∴直線的函數(shù)表達(dá)式為，當(dāng)時(shí)，．．同理可求得直線的函數(shù)表達(dá)式為，當(dāng)時(shí)，．．．（3）解：，．如圖2，過點(diǎn)C作軸，使得，過點(diǎn)T作軸于點(diǎn)G，軸，，，.，故O、E、T共線時(shí)，最小，最小值為的長(zhǎng)，，，故的最小值為．11．(1)(2)①4；②【分析】（1）由待定系數(shù)法即可求解；（2）①根據(jù)點(diǎn)在拋物線上得，再由可求出m、n的值，求出直線的解析式，進(jìn)而可得E點(diǎn)坐標(biāo)，即可求的長(zhǎng)；②過點(diǎn)Q作軸于點(diǎn)H，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，點(diǎn)G的坐標(biāo)為，根據(jù)拋物線解析式得對(duì)稱軸為直線，根據(jù)對(duì)稱性質(zhì)得，進(jìn)而可得，，再根據(jù)正切值的定義即可得解．【詳解】（1）解：拋物線經(jīng)過點(diǎn)A，B，，解得，拋物線的解析式為；（2）解：①點(diǎn)在拋物線上，，，，解得，（舍去），，點(diǎn)P的坐標(biāo)為，直線經(jīng)過點(diǎn)A，，解得，即，把代入得，，；②過點(diǎn)Q作軸于點(diǎn)H，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，如圖，則，點(diǎn)是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，，點(diǎn)G的坐標(biāo)為，，拋物線的對(duì)稱軸為直線，，點(diǎn)P在直線的右邊，軸，點(diǎn)P，M關(guān)于直線對(duì)稱，，，點(diǎn)Q在拋物線上，，，．【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)的綜合運(yùn)用，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)，三角函數(shù)．12．(1)，(2)(3)【分析】(1)待定系數(shù)法求解析式即可求解；(2)化為頂點(diǎn)式，求得頂點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而可求點(diǎn)P，Q的坐標(biāo)，待定系數(shù)法即可求解；(3)分兩種情況討論，①當(dāng)P，Q都在對(duì)稱軸的左側(cè)時(shí)，②當(dāng)P，Q在對(duì)稱軸兩側(cè)時(shí)，分別求得，，根據(jù)建立方程，解方程即可求解．【詳解】（1）解：拋物線經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)，，解得；（2）解：，拋物線即為，對(duì)稱軸為直線，當(dāng)軸時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，對(duì)于拋物線，當(dāng)時(shí)，，，，∴，設(shè)直線的函數(shù)表達(dá)式為，得，解得，直線的函數(shù)表達(dá)式為；（3）解：①如圖所示，當(dāng)P，Q都在對(duì)稱軸的左側(cè)時(shí)，則，，，，，，，即，解得或（舍去）；當(dāng)P，Q在對(duì)稱軸兩側(cè)或其中一點(diǎn)在對(duì)稱軸上時(shí)，則，，即，對(duì)于拋物線，頂點(diǎn)坐標(biāo)為則，，，解得(舍去)或（舍去）；綜上所述，當(dāng)點(diǎn)在拋物線的頂點(diǎn)左側(cè)時(shí)，若，的值為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法求解析式，頂點(diǎn)式，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．13．(1)(