2025年九年級(jí)中考數(shù)學(xué)沖刺練習(xí)-一次函數(shù)與折疊問題

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁2025年九年級(jí)中考數(shù)學(xué)沖刺練習(xí)一次函數(shù)與折疊問題1．將一個(gè)直角三角形紙片放置在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)．P是邊上的一點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)A，O重合），沿著折疊該紙片，得點(diǎn)O的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C．(1)填空：如圖①，當(dāng)點(diǎn)C在邊上時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為________，的面積為________；(2)如圖②，當(dāng)軸時(shí)，與交于點(diǎn)D，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；(3)設(shè)點(diǎn)A到直線的距離為d，在折疊過程中，當(dāng)時(shí)，求的長（直接寫出結(jié)果即可）．2．如圖，矩形的邊、的長分別是方程的兩個(gè)根（），折疊矩形，使邊落在x軸上，點(diǎn)B與點(diǎn)E重合．(1)求折痕所在直線解析式．(2)將直線沿x軸負(fù)方向以每秒1個(gè)單位長度的速度平移，直接寫出直線掃過矩形的面積S與運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t的關(guān)系式．(3)點(diǎn)P是直線上一點(diǎn)，試在平面內(nèi)確定一點(diǎn)M，使得以A、B、P、M為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)．3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，矩形的頂點(diǎn)，將矩形的一個(gè)角沿直線折疊，使得點(diǎn)A落在對(duì)角線上的點(diǎn)E處，折痕與x軸交于點(diǎn)D．(1)線段的長度為；(2)求線段的長，以及直線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；4．將矩形紙片放在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)C在y軸上，，．(1)如圖①，沿折疊矩形，點(diǎn)落在處，交于點(diǎn)，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；(2)如圖②，點(diǎn)D是中點(diǎn)，點(diǎn)E在上，求的最小值；(3)如圖③，折疊該紙片，使點(diǎn)C落在邊上的點(diǎn)為，折痕為，點(diǎn)M在邊上，求直線的函數(shù)解析式．5．如圖，已知直線與軸，軸分別交于點(diǎn)和點(diǎn)，為線段上一點(diǎn)，若將沿折疊，點(diǎn)恰好落在軸上的點(diǎn)處．

(1)求，兩點(diǎn)的坐標(biāo)．(2)求直線的函數(shù)表達(dá)式．6．如圖，四邊形是一張長方形紙片，將其放在平面直角坐標(biāo)系中，使得點(diǎn)O與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，點(diǎn)A、C分別在x軸、y軸的正半軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，D的坐標(biāo)為．現(xiàn)將紙片沿過D點(diǎn)的直線折疊，使頂點(diǎn)C落在線段上的點(diǎn)F處，折痕與y軸的交點(diǎn)記為E．(1)求點(diǎn)F的坐標(biāo)；(2)在x軸上是否存在點(diǎn)Q，滿足，若存在，求出點(diǎn)Q坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；(3)點(diǎn)P在直線上，且為直角三角形，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．7．如圖，四邊形是一張長方形紙片，將其放在平面直角坐標(biāo)系中，使得點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，點(diǎn)A、C分別在軸、軸的正半軸上，點(diǎn)的坐標(biāo)為，D的坐標(biāo)為，現(xiàn)將紙片沿過點(diǎn)的直線折疊，使頂點(diǎn)落在線段AB上的點(diǎn)處，折痕與軸的交點(diǎn)記為．

(1)求點(diǎn)的坐標(biāo)：(2)在軸上是否存在點(diǎn)，滿足，若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在請(qǐng)說明理由：(3)點(diǎn)在直線上，且為等腰三角形，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與x軸、y軸分別相交于點(diǎn)、，C是線段上一點(diǎn)，將沿著折疊，點(diǎn)O落在點(diǎn)D，連接．(1)求直線的函數(shù)解析式；(2)若點(diǎn)D正好落在線段上，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；(3)若，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；(4)點(diǎn)P是平面內(nèi)一點(diǎn)，若，請(qǐng)直接寫出直線的函數(shù)解析式．9．已知，直線經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)，點(diǎn)C在線段上，將沿折疊后，點(diǎn)O恰好落在邊上點(diǎn)D處．(1)求直線的表達(dá)式；(2)求的面積．10．將一長方形紙片放在直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，點(diǎn)C在x軸上，．(1)如圖1，在上取一點(diǎn)E，將沿折疊，使點(diǎn)O落在邊上的點(diǎn)D，求線段．(2)如圖2，在邊上選取適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)M，F(xiàn)，將沿折疊，使點(diǎn)O落在邊上的點(diǎn)處，過點(diǎn)D，作垂直于于點(diǎn)G，交于點(diǎn)T．①求證：；②設(shè)，求y與x滿足的等量關(guān)系式，并將y用含x的代數(shù)式表示．(3)在（2）的條件下，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P在直線上，問：在坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)Q，使以M，，Q，P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫出Q點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．11．長方形紙片中，，，把這張長方形紙片如圖放置在平面直角坐標(biāo)系中，在邊上取一點(diǎn)，將沿折疊，使點(diǎn)恰好落在邊上的點(diǎn)處．(1)點(diǎn)的坐標(biāo)是______，點(diǎn)的坐標(biāo)是______；(2)在上找一點(diǎn)，使最小，求點(diǎn)坐標(biāo)．12．綜合與實(shí)踐課上；老師讓同學(xué)們以“正方形的折疊”為主題開展數(shù)學(xué)活動(dòng)，有一位同學(xué)操作過程如下：操作一：對(duì)折正方形紙片，使與重合，得到折痕，把紙片展平；操作二；在上選一點(diǎn)，沿折疊，使點(diǎn)落在正方形內(nèi)部點(diǎn)處，把紙片展平，連接，，延長交于點(diǎn)，連接．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，______度；(2)改變點(diǎn)在上的位置（點(diǎn)不與點(diǎn)A，D重合）如圖2，判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．(3)如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形的邊在軸上，在y軸上，點(diǎn)在第一象限，點(diǎn)在邊上，，，直線交邊于，，求直線的解析式．13．在矩形中，．分別以，所在直線為x軸，y軸，建立如圖1所示的平面直角坐標(biāo)系．F是邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與B，C重合），過點(diǎn)F的反比例函數(shù)的圖象與邊交于點(diǎn)E．

(1)當(dāng)點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)到邊的中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；(2)連接、，求證：；(3)如圖2，將沿折疊，點(diǎn)C恰好落在邊上的點(diǎn)G處，求此時(shí)反比例函數(shù)的解析式．14．如圖1，直線，直線與y軸交于點(diǎn)A，與x軸交于點(diǎn)D，直線交x軸于點(diǎn)B，沿直線折疊，點(diǎn)O恰好落在直線上的點(diǎn)C處(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo)；(2)直線上有一點(diǎn)Q，使，求Q的坐標(biāo)(3)如圖2，直線上的兩點(diǎn)F、G，是以為斜邊的等腰直角三角形，求點(diǎn)G的坐標(biāo)15．如圖，四邊形為矩形，，將矩形沿直線折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)處．(1)求證：；(2)求直線的函數(shù)表達(dá)式；(3)在y軸上作點(diǎn)，連接，點(diǎn)N是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，直線上是否存在點(diǎn)M，使以M，N，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出M點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說明理由．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁《2025年九年級(jí)中考數(shù)學(xué)沖刺練習(xí)-一次函數(shù)與折疊問題》參考答案1．(1)，；(2)(3)或8【分析】（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)，得，，設(shè)，則，結(jié)合，得到，得到，解答即可．（2）根據(jù)折疊的性質(zhì)，結(jié)合軸，證明四邊形是正方形，再利用三角形的中位線定理，解答即可．（3）解答時(shí)，分軸和不平行x軸兩種情況解答即可．【詳解】（1）解：∵點(diǎn)，點(diǎn)，∴，根據(jù)折疊的性質(zhì)，得，設(shè)，則∴，∴，∴，∵，∴，解得，∴點(diǎn)，故答案為：；∵，∴，故答案為：．（2）解：∵點(diǎn)，點(diǎn)，∴，根據(jù)折疊的性質(zhì)，得，設(shè)，則，∵軸，∴，∴，∴四邊形是矩形，∵，∴四邊形是正方形，∴，∴，∴，∵四邊形是正方形，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴．（3）解：當(dāng)軸時(shí)，∵點(diǎn)，點(diǎn)，∴，根據(jù)折疊的性質(zhì)，得，設(shè)，則，∵軸，∴，∴，∴四邊形是矩形，∵，∴四邊形是正方形，此時(shí)；∴；當(dāng)不平行x軸時(shí)，如圖所示，過點(diǎn)A作于點(diǎn)G，根據(jù)題意，得，設(shè)的交點(diǎn)為M，∵，∴，∴，∵，∴，∴，根據(jù)勾股定理，得，解得，此時(shí)，故或8．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，勾股定理，三角形全等的判定和性質(zhì)，三角函數(shù)的應(yīng)用，正方形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，三角形中位線定理，熟練掌握性質(zhì)和定理是解題的關(guān)鍵．2．(1)(2)(3)M的坐標(biāo)為或或或【分析】先解方程得到，，再求出D點(diǎn)坐標(biāo)，最后由待定系數(shù)法求解析式即可；分為：當(dāng)時(shí)，直線掃過矩形的區(qū)域?yàn)榈妊苯侨切?，?dāng)時(shí)，直線掃過矩形的區(qū)域?yàn)橐粋€(gè)等腰直角三角形加平行四邊形，當(dāng)時(shí)，直線掃過矩形的區(qū)域面積為矩形的面積減去底部未掃過三角形的面積，分別列面積表達(dá)式求解即可；由點(diǎn)P是直線上一點(diǎn)，設(shè)，從而，，再分別判定以A、B、P三點(diǎn)的三角形為等腰三角形，列方程得到P點(diǎn)坐標(biāo)，再由平行四邊形性質(zhì)推出點(diǎn)M的坐標(biāo)，注意分類討論即可．【詳解】（1）解：，解得，，、的長分別是方程的兩個(gè)根，，由折疊可知，，，則由待定系數(shù)法可得直線的直線解析式為（2）解：當(dāng)時(shí)，直線掃過矩形的區(qū)域?yàn)榈妊苯侨切?，故；?dāng)時(shí)，直線掃過矩形的區(qū)域?yàn)橐粋€(gè)等腰直角三角形加平行四邊形，故；當(dāng)時(shí)，直線掃過矩形的區(qū)域面積為矩形的面積減去底部未掃過三角形的面積，即綜上，直線掃過矩形的面積S與運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t的關(guān)系式為（3）解：點(diǎn)P是直線上一點(diǎn)，設(shè)，又，，，，，①當(dāng)時(shí)，即，解得，，，此時(shí)可得，②當(dāng)時(shí)，即，解得或與A重合，舍去，即，此時(shí)可得③當(dāng)時(shí)，即，解得，即，此時(shí)可得綜上，M的坐標(biāo)為或或或【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，矩形的性質(zhì)，動(dòng)點(diǎn)引出的幾何圖形面積與函數(shù)問題，兩點(diǎn)間距離公式，一元二次方程，菱形的判定，等腰三角形的判定，掌握以上內(nèi)容是解題關(guān)鍵．3．(1)15(2)，【分析】本題考查一次函數(shù)與幾何圖形，矩形與折疊，勾股定理，熟練掌握一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的方法，矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）矩形中，可得；（2）求出點(diǎn)，，，由待定系數(shù)法求出直線的解析式．【詳解】（1）解：，，四邊形是矩形，，，故答案為：15；（2）解：由折疊的性質(zhì)得：，，設(shè)，則，在中，，即，解得，，，，，設(shè)直線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為，將點(diǎn)代入得：，解得，則直線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為．4．(1)(2)15(3)【分析】（1）先根據(jù)平行線和折疊的性質(zhì)得：，設(shè)，根據(jù)勾股定理得解出可解答；（2）作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，交于，此時(shí)的值最小，即的長，根據(jù)勾股定理可解答；（3）過作軸于，設(shè)，根據(jù)勾股定理列方程得求得點(diǎn)，然后利用待定系數(shù)法求得的解析式．【詳解】（1）解：由折疊得：，四邊形是矩形，，，，，，設(shè)，則，，在中，，由勾股定理得：，，，；（2）解：如圖②，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，交于，此時(shí)的值最小，即，過作軸于，，是的中點(diǎn)，，，在中，由勾股定理得：，即的最小值是15；（3）解：如圖③，過作軸于，，，設(shè)，則，，在中，由勾股定理得：，，，．設(shè)的解析式為，將，代入得：，解得：，的解析式為．【點(diǎn)睛】本題是四邊形的綜合題，考查了折疊的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)及最短路徑的知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，難度適中，注意掌握折疊前后兩圖形全等，即對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)角相等，本題輔助線的作法是關(guān)鍵．5．(1)，(2)直線的解析式為．【分析】（1）本題考查一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，根據(jù)軸上的點(diǎn)，軸上的點(diǎn)，代入求解即可．（2）本題根據(jù)勾股定理得出的長，設(shè)，利用折疊的性質(zhì)，推出，，又，在中通過勾股定理求得，給出的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法即可求得直線的解析式．【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，有，解得，即，當(dāng)時(shí)，有，解得，即．（2）解：設(shè)，則，將沿折疊，點(diǎn)恰好落在軸上的點(diǎn)處．，，，，，，在中，，解得，，設(shè)直線的解析式為，將代入解析式，有，解得，直線的解析式為．【點(diǎn)睛】此題考查了折疊的性質(zhì)、待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、勾股定理等知識(shí)，解答本題的關(guān)鍵是求出的長度．6．(1)(2)存在，或(3)或【分析】（1）由題意得，可得，根據(jù)勾股定理可得的值，進(jìn)而可得點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）根據(jù)，可得，過點(diǎn)作，與軸交于點(diǎn)，與等底同高面積相等，點(diǎn)即為存在的點(diǎn)；（3）設(shè)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．【詳解】（1）解：，，由折疊可得，在中，，，，；（2）解：存在，過點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)，，，，，，設(shè)直線解析式為：，將代入得，，解得：，直線的解析式為：，，設(shè)，過點(diǎn)作軸交直線于點(diǎn)，則，，，或，或，或；（3）解：，，如圖：連接，∴，∴，點(diǎn)P不在直線上，不符合題意；當(dāng)時(shí)，如圖：設(shè)，則，，為直角三角形，，解得，或(舍去)，時(shí)，，的坐標(biāo)為；當(dāng)時(shí)，如圖：，，解得∶，當(dāng)時(shí)，則，的坐標(biāo)為，綜上所述，的坐標(biāo)為或．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形，直角三角形，點(diǎn)的坐標(biāo)，一次函數(shù)解析式等知識(shí)點(diǎn)，通過證明三角形全等，根據(jù)勾股定理求值，用解析式方法求點(diǎn)的存在性是解本題考查的關(guān)鍵，是一道經(jīng)典的四邊形綜合題，綜合性較強(qiáng)，難度較大．7．(1)(2)當(dāng)時(shí)，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為或(3)點(diǎn)的坐標(biāo)為：，，，【分析】（1）由題意易得，可得，根據(jù)勾股定理可得的值，進(jìn)而可得點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）①當(dāng)點(diǎn)Q落在x軸的正半軸時(shí)，由，可得，過點(diǎn)作，與軸交于點(diǎn)，與等底同高面積相等，點(diǎn)即為存在的點(diǎn)；②當(dāng)點(diǎn)Q落在x軸的負(fù)半軸時(shí)，過點(diǎn)C作，交x軸于點(diǎn)，同理①可求解；（3）①以為半徑，點(diǎn)的圓心，作弧，交直線與點(diǎn)、；②以為半徑，點(diǎn)的圓心，作弧，交直線與點(diǎn)；作的中垂線，交直線于點(diǎn)；點(diǎn)、、、即為所求的點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】（1）解：四邊形是矩形，，是由沿折疊所得，∴，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，的坐標(biāo)為，，，，，，∴，點(diǎn)的坐標(biāo)為；（2）解：存在，理由如下：①當(dāng)點(diǎn)Q落在x軸的正半軸時(shí)，如圖1所示：過點(diǎn)作，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)即為存在的點(diǎn)．

是由沿折疊所得，∴，∴根據(jù)平行線間的距離都相等可知：，過點(diǎn)E作于點(diǎn)H，如圖所示，∴，設(shè)，則有，，∴由勾股定理得：，解得：，∴，設(shè)直線的解析式為，將點(diǎn)、點(diǎn)代入，聯(lián)立方程可得，，解得：，直線的解析式為，設(shè)直線的解析式為，∵，直線的解析式為，，直線的解析式為，將點(diǎn)代入，可得，，解得：，直線的解析式為，當(dāng)時(shí)，，解得：，點(diǎn)的坐標(biāo)為；②當(dāng)點(diǎn)Q落在x軸的負(fù)半軸時(shí)，過點(diǎn)C作，交x軸于點(diǎn)，根據(jù)平行間的距離相等可知此時(shí)滿足，如圖所示，

同理①可得直線的解析式為，∴當(dāng)時(shí)，，解得：，點(diǎn)的坐標(biāo)為；綜上所述：當(dāng)時(shí)，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為或；（3）解：設(shè)直線與x軸的交點(diǎn)為M，如圖2所示：

①以為半徑，點(diǎn)的圓心，作弧，交直線與點(diǎn)、，由（2）可知：直線的解析式為，，∴當(dāng)時(shí)，，解得：，點(diǎn)的坐標(biāo)為；∴，過點(diǎn)軸于點(diǎn)N，則有，設(shè)，，解得：（負(fù)根舍去），∴，同理可得：，②以為半徑，點(diǎn)的圓心，作弧，交直線與點(diǎn)，過點(diǎn)作，∴，∵，∴，∴，∴，∴，同理①可得：，③作的中垂線，交直線于點(diǎn)，∴，同理可知，∴，同理可得，綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)為：，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形、等腰三角形、點(diǎn)的坐標(biāo)、一次函數(shù)解析式等知識(shí)點(diǎn)，通過證明三角形的全等，根據(jù)勾股定理求值，函數(shù)與圖形結(jié)合，用解析式方法求點(diǎn)的存在性是解本題的關(guān)鍵，是一道經(jīng)典的四邊形綜合題，綜合性較強(qiáng)，難度較大．8．(1)(2)(3)(4)或【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解；（2）先利用勾股定理求出，由折疊的性質(zhì)得出，．設(shè)，則，，利用勾股定理解即可；（3）連接交于點(diǎn)E，由翻折可得：，，，根據(jù)求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，進(jìn)而求出直線和直線直線的表達(dá)式，聯(lián)立求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，最后根據(jù)中點(diǎn)公式可得點(diǎn)D的坐標(biāo)；（4）分點(diǎn)P在上方與下方兩種情況，添加輔助線，構(gòu)造全等三角形，利用全等三角形的性質(zhì)得出相關(guān)線段的長度，即可求解．【詳解】（1）解：將、代入直線得：，解得：，∴；（2）解：如圖，∵、，∴，∴，由折疊得：，．∴，設(shè)，則，，∴，在中，，∴，∴，∴；（3）解：連接交于點(diǎn)E，

由翻折可得：，，∴，∵，∴，∴，∵，∴直線的表達(dá)式為：，∵∴直線的表達(dá)式為：，聯(lián)立：解得：，∴，∵，∴；（4）解：分兩種情況：若點(diǎn)P在直線的上方，令，軸于點(diǎn)M，如圖，，，是等腰直角三角形，，，又，，又，，，，，，，設(shè)直線的函數(shù)解析式為，將和代入，得：，解得，直線的函數(shù)解析式為；同理，若點(diǎn)P在直線的下方，構(gòu)造，如圖，可得，直線的函數(shù)解析式為．綜上可知，直線的函數(shù)解析式為或．【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的綜合問題，坐標(biāo)與圖形，折疊的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，兩條直線的交點(diǎn)問題等，熟練掌握一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，以及分類討論思想是解題的關(guān)鍵．9．(1)(2)15【分析】本題考查了求一次函數(shù)表達(dá)式，勾股定理，折疊的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握用待定系數(shù)法求解函數(shù)表達(dá)式的方法和步驟，以及直角三角形兩直角邊平方和等于斜邊的平方．（1）設(shè)直線的表達(dá)式為，把、代入求出k和b的值，即可得出函數(shù)表達(dá)式；（2）根據(jù)勾股定理得出，由折疊的性質(zhì)可知，，則，設(shè)，根據(jù)勾股定理列出方程求出x的值，進(jìn)而得出，最后根據(jù)即可求解．【詳解】（1）解：設(shè)直線的表達(dá)式為，把、代入得：，解得：，∴直線的表達(dá)式為；（2）解：∵、∴，∴，∵由沿著折疊所得，∴，∴，設(shè)，則，根據(jù)勾股定理可得：，即，解得：，∴，∴．10．(1)4(2)①見解析；②(3)存在，或或【分析】（1）由折疊的性質(zhì)可知，，，由勾股定理得，，則，設(shè)，則，由勾股定理得，，即，計(jì)算求解即可；（2）①由折疊的性質(zhì)可知，，，證明，四邊形是矩形，則，，，可得，進(jìn)而可證；②由，可得，，由勾股定理得，，即，整理作答即可；（3）當(dāng)時(shí)，，即，，則，，以M，，Q，P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，分當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，，如圖1，，重合；當(dāng)為邊，為對(duì)角線時(shí)，，如圖1，，重合；當(dāng)為邊，為邊時(shí)，，如圖1，，三種情況求解作答即可．【詳解】（1）解：∵長方形，∴，由折疊的性質(zhì)可知，，，由勾股定理得，，∴，設(shè)，則，由勾股定理得，，即，解得，，∴線段的長為4．（2）①證明：由折疊的性質(zhì)可知，，，∵，，∴，四邊形是矩形，∴，，∴，∴，∴，∴；②解：∵，∴，，由勾股定理得，，即，整理得，；（3）解：當(dāng)時(shí)，，∴，，∴，，∵以M，，Q，P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，∴當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，，如圖1，，重合，

∴，由平移的性質(zhì)可得，；當(dāng)為邊，為對(duì)角線時(shí)，，如圖1，，重合，則，由平移的性質(zhì)可得，；當(dāng)為邊，為邊時(shí)，，如圖1，，設(shè)直線的解析式為，將，代入得，，解得，，∴直線的解析式為，∴直線的解析式為，將代入得，，解得，，∴直線的解析式為，令，則，解得，，∴；綜上所述，在坐標(biāo)軸上存在點(diǎn)Q，使以M，，Q，P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，Q點(diǎn)坐標(biāo)為或或．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，平行線的判定與性質(zhì)，等角對(duì)等邊，平行四邊形的性質(zhì)，一次函數(shù)解析式，平移的性質(zhì)等知識(shí)．熟練掌握矩形的判定與性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，平行線的判定與性質(zhì)，等角對(duì)等邊，平行四邊形的性質(zhì)，一次函數(shù)解析式，平移的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．11．(1)，；(2)．【分析】（）由折疊可得，，利用勾股可得，即得，得到點(diǎn)的坐標(biāo)是，設(shè)，則，在中由勾股定理得，解方程可得，即得點(diǎn)的坐標(biāo)；（）作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，則，即得，由兩點(diǎn)之間線段最短，可得此時(shí)最小，由對(duì)稱可得點(diǎn)，利用待定系數(shù)法可得直線的解析式為，把代入函數(shù)解析式即可求解；本題考查了矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，軸對(duì)稱最短線段問題，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，求一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)，利用軸對(duì)稱找到點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：由折疊可得，，，∵四邊形是長方形紙，∴，，，∴，∴，∴點(diǎn)的坐標(biāo)是，設(shè)，則，在中，，∴，解得，∴，∴點(diǎn)的坐標(biāo)是，故答案為：，；（2）解：作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，則，∴，由兩點(diǎn)之間線段最短，可得此時(shí)最小，∵點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，∴點(diǎn)，設(shè)直線的解析式為，把、代入得，，解得，∴直線的解析式為，把代入得，，解得，∴點(diǎn)坐標(biāo)為．12．(1)30(2)，理由見解析(3)【分析】（1）連接，根據(jù)折疊得出為對(duì)稱軸，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)得出，，證明為等邊三角形，得出，求出結(jié)果即可；（2）根據(jù)折疊和正方形的性質(zhì)，得出，得出，即可；（3）延長至F，使得，連接，，證明，得出，，，證明，得出．設(shè)，則，，求出，得出點(diǎn)E的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法，求出函數(shù)解析式即可．【詳解】（1）解：連接，∵為對(duì)稱軸，∴，，∴為等邊三角形，∴，∴．（2）證明：∵四邊形為正方形，∴，，根據(jù)折疊可知：,，∴，∴，，∴，∴．（3）解：延長至F，使得，連接，，如圖所示：∵四邊形為正方形，∴，，∴∵在和中，，，，∴，∴，，，∴，∵，∴，∵，∴，∴．在中，設(shè)，則，∴，解得：，設(shè)直線為，代入點(diǎn)得：，解得：，∴直線為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，求一次函數(shù)解析式，勾股定理，折疊的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，熟練掌握相關(guān)的判定和性質(zhì)．13．(1)(2)見解析(3)【分析】（1）先求出點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而得到反比例函數(shù)的解析式，再求出點(diǎn)坐標(biāo)即可；（2）分別求出直線的解析式，即可得證；（3）過點(diǎn)作軸，交于點(diǎn)，證明，列出比例式，求出的長，再利用勾股定理進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：∵矩形中，，∴，，當(dāng)點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)到邊的中點(diǎn)時(shí)：，∴，∴，∵反比例函數(shù)的圖象與邊交于點(diǎn)E，∴，∴；∴；（2）如圖：

∵，設(shè)直線的解析式為：，則：，解得：，∴直線：；設(shè)：直線，∵，∴，解得：，∴直線：，∴；（3）如圖，過點(diǎn)作軸，交于點(diǎn)，則四邊形為矩形，∴，

∵翻折，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，，，∴，∴，在中，，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)與幾何的綜合應(yīng)用，相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理．利用數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵．14．(1)(2)或(3)【分析】（1）設(shè)，則，在中，根據(jù)，構(gòu)建方程即可解決問題；（2）分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)Q在線段上時(shí)，當(dāng)點(diǎn)Q在延長線上時(shí)，分別求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)即可；（3）作軸于，軸于，由，推出，，設(shè)，，根據(jù)、在直線上，構(gòu)建方程組即可解決問題【詳解】（1）解：對(duì)于直線，令，得到，可得，令，得到，可得，，，，，設(shè)，則，在中，，，，