2025版高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)核按鈕-第四章 三角函數(shù)與解三角形

第四章三角函數(shù)與解三角形

4.1任意角、弧度制及三角函數(shù)的概念

課程標(biāo)準(zhǔn)有的放矢

1.了解任意角的概念和弧度制，能進(jìn)行弧度與角度的互化，體會引入弧度制

的必要性.

2.借助單位圓理解三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義.

必備知識溫故知新

【教材梳理】

1.任意角

（1）正角、負(fù)角、零角:一條射線繞其端點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做

正角，按姻囹1方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做負(fù)角.如果一條射線沒有做任何旋轉(zhuǎn)，就

稱它形成了一個零角了意角包括正角、負(fù)角和零角.

（2）角的相等:設(shè)角a由射線。4繞端點。旋轉(zhuǎn)而成，角夕由射線。勿'繞端點

。'旋轉(zhuǎn)而成.如果它們的旋轉(zhuǎn)方向相同且旋轉(zhuǎn)量相等,那么就稱a=p.

（3）象限角:在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，使角的頂點與原點重合，角的始邊與x

軸的非負(fù)半軸重合，那么，角的終邊在第幾象限,就說這個角是第幾象限角.如

果角的終邊在坐標(biāo)軸上,那么就認(rèn)為這個角不屬于任何一個象限（常稱為軸線

角）.

（4）終邊相同的角:所有與角a終邊相同的角，連同角a在內(nèi)，可構(gòu)成一個

集合5="16=。+七360。，keZ},即任一與角a終邊相同的角，都可以表

示成角a與整數(shù)個周角的和.

2.弧度制

（1）角度制：用度作為單位來度量角的單位制叫做角度制.

（2）弧度制：長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做I弧度的角,孤度

單位用符號rad表示，讀作弧度.一般地，正角的見度數(shù)是一個正數(shù),負(fù)角的弧

度數(shù)是一個負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)是。.

（3）單位圓：我們把半徑為1法圓叫做單位圓.

（4）角度和弧度的換算.

（5）扇形弧長面積公式.半徑為R的圓中，圓心角為arad的角所對的弧長公

式：I=\a\R,圓心角為arad的扇形的面積公式：S=^IRlai/?2.

3.三角函數(shù)的概念2

（1）定義:設(shè)a是一個任意角，aeR,它的終邊OP與單位圓相交于點

P（%,y），則sina=y,cosa=%,tana=孑（％H0）,正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正引函

數(shù)統(tǒng)稱為三角函數(shù).”

（2）三角函數(shù)的定義域和函數(shù)值在各象限的符號.

三角函數(shù)定義域（弧度制下）第一象第二象第三象第四象

限符號限符號限符號限符號

sinaR++

cosaR++

tana[a\akn+++

4.特殊角的三角函數(shù)值

角a0°30°45°60°900120,135°150°180°270360°

nnn7t

角a的02n3n5nn3n2TC

6732

弧度數(shù)3462

sina01V31V3V210-10

22222

cosa1V3101_V2_V3-101

72222

tana0叵1白不存—迎-10不存0

T在一了在

常用結(jié)論

1.角的集合

（1）象限角的集合.

象限角角的集合表示

第一象限｛x\k-360°<x<90°+k-360°,keZ｝

角

第二象限｛%|90°+k-360°<x<180°+k-360c,keZ｝

角

第三象限｛x|180°+k-360°<%<270°+k?360°,keZ｝

角

第四象限｛%|27U“+k-360w<%<36。"+k?36（T,keZ]

角

（2）非象限角（軸線角）的集合.

角a終邊的位置角a的集合表示

在x軸的非負(fù)半{a|a=k?360。，kEZ]

軸上

在x軸的非正半{a|a=k-360°+180°,keZ]

軸上

在y軸的非負(fù)半{a|a=k360°+90°,keZ]

軸上

在y軸的非正半{a|a=/c-360°+270°,keZ}

軸上

在x軸上{a\a=k-180°,kEZ]

在y軸上{a|a=k-180°4-90°,keZ]

在坐標(biāo)軸上{a\a=/c-90°,kEZ}

2.sinl5°=^2,Sin75°=tanl5°=2-V3,tan750=2+73.

44

3.當(dāng)0<aV］時,sina<a<tana，特別地，cosl<sinl<1<tanl.

2自主評價牛刀小試

1.判斷下.列命題是否正確，正確的在括號內(nèi)畫“J”，錯誤的畫“X”.

（1）銳角是第一象限的角，第一象限的角也都是銳角.（X）

（2）角a的三角函數(shù)值不會隨其終邊上點P的位置改變而改變.（J）

（3）不相等的角終邊一定不相同.（X）

（4）若a為第二象限角，則sinatanaV0.（V）

（5）Q=2kn+30°（keZ）的寫法合乎規(guī)范.（X）

2.2024°角的終邊所在的象限是（C）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

解：2024°=360°x5+180°+44°,所以2024°角的終邊所在的象限為第三象

限.故選C.

3.（教材題改編）已知角a的終邊經(jīng)過點兒（一4,-3）,貝ijcos《+a）的值為

（C）

D?Y

一3

解：依題意,何zos.ina=-===3===

J(—4產(chǎn)+(-3j5’

所以cos(1+a)=—sina=|.故選C.

4.已知扇形的周長是6cm,面積是2cm2,則扇形的圓心角的弧度數(shù)是L&.

解：設(shè)扇形的圓心角為a,半徑為r.由扇形周長公式和扇形面積公式，得2r+ar=

6,ar2=4,消去r,得36a=4(2+a)2,即a?-5a+4=0.解得a=1,或a=4.

故填1或4

核心考點精準(zhǔn)突破

考點一象限角與終邊相同的角

例1

（1）若a是第四象限知，則n-a是第三象限角；］是第二或四象限角.

解：因為Q是第四象限角，

所以—2+2kll<a<2/CTT,k.EZ.

2

所以-2kiTV—oc<-2kirH—,k€Z.

23

所以TTCTTTT—a<-CTTITkEZ.

—2/<2/+-2,

故n—a是第三象限角.

Arn--<-</CTTeZ,故名是第二或第四象限角.

422

故填三；二或第四.

（2）【多選題】下列給出的角中，與一日n終邊相同的角有（ABD）

AnD131r廠2n八29Tt

A.-D.C.--------D.--------

3333

解：與一日TT終邊相同的角為一Tn+2/c7T=m+2（/c-2）n,keZ,

由弓+2（"2）TT=1得k=2,A正確.

由2+2（左一2）冗=生,得上=4,B正確.

33

由三+2（々-2）rr=-空，得k=三CZ,C錯誤.

3,32

由1+2/-2）冗=一等,得上=-3,D正確.

故選ABD.

【點撥】①象限角的確定，一般先寫出不等式，再由不等式性質(zhì)確定，常

需要對k分類討論.②與角a終邊相同的角的集合為｛0/=2kir+a,kEZ｝t

常用來判斷所給角的象限，寫終邊相同角的集合，以及求與終邊相同的相關(guān)角.

變式1

（1）【多選題】下列說法正確的是（CD）

A.第二象限的比第一象限角大

B.60。角與600。角是終邊相同的角

C.鈍角一定是第二象限角

D.將表的分針撥慢lOmin,則分針轉(zhuǎn)過的角的弧度數(shù)為:

解：A中，如100°是第二象限角，400°是第一象限角，故錯誤.

B中，因為600°Wk?360°+60°,kEZ,所以60°角與600°角終邊不同，故錯誤.

C中，因為鈍角的范圍為Gm）,所以鈍角是第二象限角，故正確.

D顯然正確.故選CD.

（2）終邊在直線y=75%上，且在［-2冗,2口）內(nèi)的角Q的集合為上學(xué)一年，

三爭.

解：如圖，在坐標(biāo)系中畫出直線y=gx,可以發(fā)現(xiàn)它與x軸的夾角是2.在

［0,2兀）內(nèi)，終邊在直線y=上的角有兩個，即成拳在［-2殖0）內(nèi)滿足條件的

角有兩個，即一拳一拳故滿足條件的角a構(gòu)成的集合為｛一拳一拳p書.

考點二扇形的弧長與面積問題

例2已知扇形的半徑為r,弧長為2,其周長為4.

（1）若r=1,求該扇形的面積.

解：因為r=1,周長為!+2丁=4,所以/=4-2r=2.所以扇形的面積S=

i/r=-x2x1=1.

22

（2）求該扇形面積的最大值.

［答案］

因為，+2r=4,所以，=4-2r.則扇形的面積S=|Zr=|（4-2r）r<

（寧）=1,當(dāng)且僅當(dāng)2—r=r,即r=l時，等號成立.

所以扇形面積的最大值為1.

【點撥】直接用公式，=|a|r可求弧長，利用5=*任2=打可求扇形面

積，求最值問題常用二次函數(shù)或基本不等式.關(guān)于扇形的弧長公式和面積公式有

角度制與弧度制兩種形式，一般使用弧度制.

變式2已知一扇形的圓心角為a,半徑為R,弧長為1,若a=三，R=10cm,

求：

（1）扇形的面積；

解：由已知,得S扇形=gaR2=gx；x102=言3?）.

（2）扇形的弧長及該弧所在弓形（由弦及其所對的弧組成的圖形）的面積.

［答案］

扇形的弧長/=aR=10=等（cm）,

c-c_c_507r1八2i__50TT12*乃_50TT-75於（2）

A-1U-

白弓形扇形3三角形一3233223（Cm）.

考點三三角函數(shù)的定義及應(yīng)用

例3【多選題】已知角a的頂點與原點0重合，始邊與工軸的非負(fù)半軸重合，它

的終邊過點P（-1,-3,將角a的終邊逆時針旋轉(zhuǎn);得到角0，則下列結(jié)論正確

的是（AC）

43

A.tana=-B.cos/?=—

35

C.sin（a—/?）=-1D.sin（S+：）=-噂

解：對于A,由題苣，得lana=-|=所以A正確.

—3

5

對于B,由題意，得B=a+1,所以cos/?=cos（a+1）=-sina=:所以B錯

、口

伏.

對于C,sin（a—夕）=sin（—1）=一1.或由題意，得cos'=g,sin/?=

sin（a+1）=cosa=一|,所以sin（a-/?）=x（一（_|）x（一|）=-1,所

以C正確.“

對于D,sin（夕+§=—|x曰+gx4=M，所以D錯誤.故選AC.

【點撥】直晨利用J角請數(shù)而定上,巽到或根據(jù)已知給定角的終邊上一個

點的坐標(biāo)，及這點到原點的距離，可以確定這個角的三角函數(shù)值.己知角的英一

個三角函數(shù)值，可以通過三角函數(shù)的定義列出關(guān)于參數(shù)的方程，求參數(shù)的值.

變式3

（1）已知角。終邊經(jīng)過點P（&,a）.若。=一9則a的值為（C）

A.V6B—C.-V6D.--

33

解：角e的終邊經(jīng)過點p（或,a）,則|0P|=VF".

由8=—g,得cos（―；）=^^^=g且aV0,解得Q=—傷.故選C.

（2）在平面直角坐標(biāo)系為0y中，將向量耐=（通,-1）繞原點。按順時針方向

旋轉(zhuǎn)?后得到向量礪=（6,九），則小九=一次.

解：設(shè)以x軸正半軸為始邊，。力為終邊，對應(yīng)的角為a（04aV2n）.根據(jù)題意，

刀=（V5,-1）在第四象限，|瓦?|=2,得cosa=9,sina=—則1=詈.所

以m=2cos（詈一'）=1,n=2sin（詈一'）=—V3.從而nm=—.故填一V5.

66課外閱讀?三角總數(shù)%的數(shù)學(xué)文化

數(shù)學(xué)文化廣義上是指數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)美、數(shù)學(xué)與生活的交叉應(yīng)用、數(shù)學(xué)與各

種文化的關(guān)系以及這些因素的交互作用所構(gòu)成的龐大體系，狹義上是指數(shù)學(xué)思

想、數(shù)學(xué)精神、數(shù)學(xué)方法以及數(shù)學(xué)觀點、數(shù)學(xué)語言等的形成和拓展.在長期的發(fā)

展過程中，數(shù)學(xué)文化形成了注重思維、強(qiáng)調(diào)實用、講究算法、關(guān)注數(shù)學(xué)審美價

值等重要特點.下面第一小題以《夢溪筆談》為背景，該書內(nèi)容包含了數(shù)學(xué)、天

文、物理、音樂、文學(xué)、工程技術(shù)等諸多領(lǐng)域，反映了中國古代，特別是北宋

時期自然及人文科學(xué)的輝煌成就，被譽(yù)為“中國科學(xué)史上的里程碑”.第二小題

以數(shù)學(xué)中美妙而又神秘的圓周率為基礎(chǔ)，以國際圓周率日為背景，通過給出中

外為求得圓周率而采用的經(jīng)典“割圓術(shù)”思想，讓考生求出其近似表達(dá)式，從

而考查考生用三角函數(shù)等相關(guān)知識分析、解決問題的能力.在考生讀題、解題的

過程中，能充分體會數(shù)學(xué)思想之妙，感悟數(shù)學(xué)文化之美.

1.[2022年全國甲卷]沈括的《夢溪筆談匚是中國古代科技史上的杰作，其口收

錄了計算圓弧長度町“會圓術(shù)”.如圖，啟是以0為唯心、04為半徑的圓弧，C

是4B的中點，。在晶上，CO_L4B.“會圓術(shù)”給出用的弧長的近似值s的計算

公式：s=AB+空.當(dāng)04=2/40B=60°時，s=(B)

11-373口ll-4x/3廠9-3V3、9-46

A.-----------B.--------------------D---------

2222

解：如圖，連接。C.因為。是48的中點，所以。CJLAB.又CO_L4B,所以O(shè),C,D

三點共線，即00=OA=OB=2.又NA0B=60°,所以48=0A=0B=2.則

0C=V3,故CD=2-所以s=+笈=2+=耳里.故選區(qū)

OA°乎22

D

2.[2020年北京卷]202()年3月14日是全球首個國際圓周率FI(irDay).歷史上，

求圓周率n的方法有多種，與中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中的“割圓術(shù)”相似.數(shù)學(xué)家阿

爾?卡西的方法是：當(dāng)正整數(shù)九充分大時，計算單位圓的內(nèi)接正6n邊形的周長

和外切正6幾邊形(各邊均與圓相切的正6幾邊形)的周長，將它們的算術(shù)平均數(shù)

作為2n的近似值.按照阿爾?卡西的方法，n的近似值的表達(dá)式是(A)

A.3n(sin?+tan?)B.6幾(sin?+tan?)

C.3幾(sin呼+tan呼)D.6幾(sin%+tan呼)

解：單位圓內(nèi)接正6幾邊形的每條邊所對應(yīng)的圓心角為竺=竺，每條邊長為

nx6n

2sin—,所以單位圓內(nèi)接正6幾邊形的周長為12?isin也.

nn

單位圓的外切正6孔邊形的每條邊長為2tanM其周長為12ntan手

⑵母吟；2小吟=6n（千+tan予，則n=3n（sin子+tan節(jié).

所以如=sin

故選A.

課時作業(yè)知能提升

【鞏固強(qiáng)化】

1.時針經(jīng)過lh,轉(zhuǎn)過了（B）

A.-radB.--radC.—radD.——rad

661212

解：時針順時針旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)過一圈（12h）的角度為-2jrrad,則時針經(jīng)過lh,轉(zhuǎn)過

了二rad=—Erad.故選B.

126

2.點P（sinl24（T,cosl240。）在直角坐標(biāo)平面上位于（D）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

解：1240°=3x360°+160°,因為160°是第二象限角，所以sinl240°>0,

cosl240°VO,點P在第四象限.

故選D.

3.[2020年全國II卷]若a為第四象限角，則（D）

A.cos2a>0B.cos2a<0C.sin2a>0D.sin2a<0

解：（方法一）由a為第四象限角，可得4+2/GTVa<2TT+2/cn,k￡Z,所

以3n+4/CTTV2aV4TT+4kn,k6Z.

此時2a的終邊落在第三、四象限及y軸的非正半軸上，所以sin2aV0.

（方法二）由a在第四象限，可得sina<0,cosa>0,則sin2a=2sinacosa<0.

故選D.

4.【多選題】下列結(jié)論正確的是（ABC）

A.—?是第二象限角

B.若圓心角為g的扇形的弧長為n,則該扇形的面積為詈

C.若角a的終邊上有一點P（-3,4）,則cosa=-|

D.若角。為銳角，則角2a為鈍角

解：對于A,—?=-2TT+￥，史是第二象限角，故A正確.

對于B,設(shè)該扇形的半徑為r,則;?丁二Ti,所以r=3,所以5扇形=;x；x

2故正確.

3=—2,B_________

對于C,設(shè)原點為。，則OP=J（-3）2+42=5,

cosa=—=-故C正確.

OP5

對于D,取a=?,則a是銳角，但2a=巳不是鈍用，故D錯誤.故選ABC.

63

5.【多選題】下面說法正確的有（AD）

A.角;與—371的終邊相同

B.終邊在直線y=上的角a的取值集合可表示為{a[a=k-360°-45°,kG

Z}「

C.若角a的終邊在直線y=—2%上，則sina=等

D.67。30'化成弧度是萼

解：角2與一97：相差如，終邊相同，故A正確.

33

終邊在直線y=-x上的角a的取值集合可表示為｛a|a=k-180°-45°,kE

Z｝,故B錯誤.

若角a的終邊在直線y=-2》上，則sina的取值為土獨(dú)，故C錯誤.

67°30'化成弧度是鄴，故D正確.

8

故選AD.

6.已知角a的終邊上一點的坐標(biāo)為（sin拳cos》則角a的最小正值為（A）

A7TT11TTc.史

A-T喈

解：由題意，得sina=cos］=—，.又sin8V0,點（sin岸cos￡）在第三象限,

即a是第三象限角，所以仇="+2/CTI€Z,最小正值為".故選A.

66

7.若角8的終邊與角耳的終邊相同，則在［n,2n）內(nèi)與舵的終邊相同的角是等.

解：因為角。的終邊與角竺的終邊相同，所以e=%+2/nr,/c€Z.所以2=生+

7737

—.k6Z.令7T<—4-—<2n,解得竺<k<-,/c6Z.所以k=2.所以在

373147

口22內(nèi)與角5的終邊廂同的角為等.故填答.

8.已知扇形4。8的圓心角為a,周長為14.

（1）若這個扇形的面積為10,且a為銳角，求a的大小;

解：設(shè)扇形的半徑為R,扇形的弧長為，，周長為C,

噸D得此或｛建

圓心角a=5=：,或a=5=產(chǎn)=5（舍去）.

R5R2

（2）求這個扇形的面積取得最大值時圓心角a的大小和弦長

［答案］

由27?+/=14,得Z=14-2R,0</?<7.

2

所以扇形的面積S=；/?/=；/?（14-2R）=_R2+7R=—（R-9+

當(dāng)R=：時，Smax=?，此時Z=7.

則圓心角a=2,弦長48=2x-xsinl=7sinl.

【綜合運(yùn)用】2

9.已知角a的頂點為坐標(biāo)原點，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊上有兩點

4（1,a）,8（2,b）,且cos2a=I，則|a-b|=（B）

A.-B—C.—D.1

555

解：由題意，知0,Af8三點共線，從而得到b=2a.

因為cos2a=2cos2a-1=2-（^==^-1=

所以小=1,即|a|=g.所以|a—b\=\a-2a\=故選B.

io.【多選畫】已知角力的終邊落在第二象限，則卡列不等式一定成立的是

(BD)

A.sin-<0B,tan->0C.sin->cos-D.sin-I>cos-

22222l2

解：由題意，得2/CTT+?<a<2/cn+IT,k￡Z,故/CH+巳V巴</at+二kE

2422

Z.所以￡在如圖陰影部》(不含邊界).

絡(luò)

X

故sin］與cos］符號不定且大小不定，而tan/>0,si.n-a>c喈

2

所以A,C錯誤，B,D正確.故選BD.

11.己知某扇形的扇環(huán)如圖所示，其中外弧線的長為60cm,內(nèi)弧線的長為

20cm,連接外弧與內(nèi)瓠的兩端的線段均為16cm,則該扇形的中心角的弧度數(shù)

A.2.3B,2.5-C.2.4D.2.6

解：如圖，依題意，可得?加的長為60cm,cb的長為20cm,則*=算=3,即

OA=3OC.

因為AC=16cm,所以0C=8cm.

所以該扇形的中心角的弧度數(shù)a=￡=2.5.故選B.

12.【多選題】已知函數(shù)y=loga（x-4）-12（a〉0,且aH1）的圖象過定點

P,且角8的終邊經(jīng)過點P,則（BCD）

A.P(4,-12)B.sin。=一言

C.sin26=——-D.tan(9+=——

169\4/17

解：令％-4=1,得x=5,則y=-12,則P(5,-12),故A錯誤.

因為152+(-12)2=13,所以sin?=-U,cos6=tan0=-^J')sin29=

13135

C?八nn(12\,5120,n\tan0+l-V+l7,,

2sin0cos0=2x(---)x—=----,ttan(64—]=-----=—茂-=---,故

\13/13169\4/1-tan。1+與17

BCD正確.故選BCD.

【拓廣探索】

13.已知角a的終邊繞原點。逆時針旋轉(zhuǎn)g后與角6的終邊重合，且cos（a+/?）=

1,則a的取值可以為（答案不唯?）（寫出一個即可）.

解：由題意，得/?二仇+爭

則cos（a+0）=cos（2a+g）=1,

所以2a+*=2/rnEZ,解得a=/CTT—￡Z.

當(dāng)k=0時，a=—/.故填一g（答案不唯一）.

4.2同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及誘導(dǎo)公式

課程標(biāo)準(zhǔn)有的放矢

L理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：siM%+cos?%=1,三口=tanx.

cosx

2.借助單位圓的對稱性，利用定義推導(dǎo)出誘導(dǎo)公式(a±5a±n的正弦、

余弦、正切).

必備知識溫故知新

【教材梳理】

1.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系

(1)平方關(guān)系：siMa+cos2a=1.

(2)商數(shù)關(guān)系：tana(aWkn+：,kEZ).

2.誘導(dǎo)公式

分類公式一公式二公式三公式四公式五公式六

角a+n+a—au—anTT

2~a2+a

2kMkGZ)

與a終相同關(guān)于原關(guān)于％關(guān)于y關(guān)于直線y=x對—

邊關(guān)點對稱軸對稱軸對稱稱

系

正弦sina-sina—sinasinacosacosa

余弦cosa一cosacosa-cosasina-sina

正切tanatana—tana—tana——

記憶函數(shù)名不變，符號看象限函數(shù)名改變，符號看象限

規(guī)律奇變偶不變,符號看象限

常用結(jié)論

同角關(guān)系的常用變形

(1)平方關(guān)系變形：sin2a=1—cos2a=(1+cosa)(l—cosa),cos2a=

1—sin2a=(14-sina)(l—sina),sina=±V1-cos2a,coscr=+V1—sin2cr.

(2)商數(shù)關(guān)系變形：sina=tanacosa(aH：+kir,k￡Z).

(3)和積互化變形:(sina+cosa)2=14-2sinacosa=14-sin2a，

(sina-cosa)2=1—2sinacosa=1—sin2a.

_sin2atan2acos2a

(4)弦切互化變形：sin2aCOS2a=

sin2a+cos2atan2a+lsin2a+cos2a

]sinacosatana

,sinacosa=

tan2a+lsin2a+cos2a-tan2a+l*

自主評價牛刀小試

1.判斷下列命題是否正確，正確的在括號內(nèi)畫“J”，錯誤的畫“X”.

(1)若a,夕為銳角，則siMa+cos?夕=1.(X)

(2)tana=2吧對于。eR恒成立.(X)

cosa

(3)sin(n+a)=-sina成立的條件是a為銳介J.(X)

(4)若tana=tan^,則a—/?=Zen,keZ.(J)

(5)若sin(/nr—a)=\(kWZ),貝ijsina=(X)

2.已知sina=—|,且aG岑當(dāng),則tana=(B)

C[口士1

解：因為sina=—且a6(p^~)?所以a為第三象限角.所以cosa=—浮

tana==三.故選B.

cosa4

3.sin(-等)=(A)

A.--B-迎DY

22

解：sin(一詈)=—sin詈=-sin(2TC+,)=_sin~=~'故選A.

4.(教材題改編)已知sin(T+戊)=，則cosa=一|.

解：sin停+a)=sin管+a)=-cosa=|,所以cosa=—|.故填一

核心考點精準(zhǔn)突破

考點一同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用

命題角度1知一求二問題

例1

(1)已知sina=/且/<aVIT,則cos(ir—a)+2sin(；+a)的值為(B)

A.-B,--C.-D.-

555____________5

解：因為sina=±,且三<a<IT,所以cosa=—Vl-sin2a=—三.故

525

cos(ir-a)+2sin6+a)=—cosa+2cosa=cosa=一：.故選B.

(2)【多選題】已知a€且sina+cosa=則(ABC)

.n,力.12

A.-<a<ITB.sinacosa=-----

225

C74

C.cosa-sina=--D.cosa=--

5151

解：將sina+cosa=:兩邊平方，得sin2a+cos2a+2sinacosa=—,即1+

112

2sinacosa=—,所以sinacosa=,B正確.

因為aE(0,Tt),所以sina>0.故cosaV0,所以;VaVir,A正確.

(cosa-sina)2=sin2a+cos2a—2sinacosa=14-1|=

因為sina>0,cosa<0,所以cosa-sina<0.故cosa-sina=-1C正確.

5

又sina4-cosa=所以cosa=—,D錯誤.

55

故選ABC.

【點撥】知一求二問題，注意判斷角的范圍，熟記一些常見勾股數(shù)，可以

提高解題速度.有些題型可利用整體代入的方法來解，涉及的三角恒等式有

(sina±cosa)2=1±2sinacosa,(sincr+cosa)2+(sina—cosa)2=

2,(sina+cosa)2-(sina-cosa)2=2sin2a等.

變式1

(1)若點P(cosa,sina)在直線y=-2x上，則sin2a=(A)

4433

A.—B,-C.—D.-

5555

解：由題意，知sina=-2cosa,sin2a4-cos2a=1,則4cos+cos2a=1,

所以cos2a=士則sin2a=2sinacosa=-4cos2a=-g.故選A.

(2)已知sina+COSQ=任，則tanaH——=(B)

5tana

D!

9

解：原式兩邊平方，得sin2a+2sinacosa+cos2a

5

2

又sin2a4-cos2a=1,所以sinacosa=

5

,,,1sina,cosasin2a+cosza1

故tanaH-------=--------F--=-：-----------=---------=故選B.

tanacosasinasinacosasinacosar

命題角度2關(guān)于sin-cos］施齊次式問題

例2

(1)已知tana=工，則陋3吧5

2sina+cosa3

解：sina-3cosa=tana-3=故填=

'sina+cosatana+13'3'

(2)［2021年新課標(biāo)I卷］若tan。=-2,則則絆型嚶=(C)

sin04-cos0

A6

A.--B一|C-D.-

5?55

sin0(l+sin20)_sin0(sin20+cos20+2sin0cos0)

解:=sin9(sin。+cos。)=

sin0+cos0sin0+cos0

2

sin0(sin0+cos0)tan0+tan04-2|.故選c.

sin20+cos20l+tan201+4

【點撥】形如asina+bcosa和asin2a+bsinacosa+ccos2a的式子分別稱

為關(guān)于sina,cosa的一次齊次式和二次齊次式，對涉及它們的三角變換通常轉(zhuǎn)

化為正切（分子分母同除以cosa或cos?。）求解.如果分母為1,為了弦化切，常

將1寫成sin2a+cos2a.

變式2

（1）若tana=—3,則竺竺陋的值為（A）

cosa-sina

B-C.--D.-

A?一5233

cosa+sina_1+tana_1+(-3)_1故選

解：因為tana=-3,所以cosaHO.所以

cosa-sinc1-tana1-(-3)2

A.

(2)若tan。=3,則8cos2。+2sin26=(D)

A--5B1C.-2D.2

8cos20+4sin0cos08+4tan08+12

解：8cos2。+2s\n20==2.故選D.

sin20+cos20tan20+l9+1

考點二誘導(dǎo)公式的應(yīng)用

例3

(1)若sin(a+￡)=-*且aegm，則sin(a+*)=一||

解：因為aE§Ti),所以a+%WC).所以cos(a+1)=

2

—Jl—sin(a+：)=一￡.所以sin(a+等)=sin(a+”+BTT=cosfa+T

626

一任故埴一工

13'0八13'

（2）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角a與角口均以。工為始邊，它們的終邊關(guān)于直

線y=%對稱.若sina=則cos0=（D）

S

A,YB1C-1建

解：因為直線y=x的傾斜角為2,所以a與/?滿足a+n=2x2+2/nr=2+

442

2kir，kwZ.所以cos/?=cosQ+2/CTT-a)=cosQ-a=sina=士故選D.

o

【點撥】①三角式的化簡通常先用誘導(dǎo)公式，將角統(tǒng)一后再用同角三角函

數(shù)關(guān)系式求解.②正確理解“奇變偶不變，符號看象限”可以提高解題效率，即

誘導(dǎo)公式可推廣歸結(jié)為要求角攵-±a的三角函數(shù)值，只需直接求a的三角函

數(shù)值，其轉(zhuǎn)化過程及所得結(jié)果滿足：奇變偶不變，符號看象限.③對于kwZ,

sin(/ciT+a)=(―l)“sina,cos(kit+a)=(—l)fccosa.④若角a與夕的終邊關(guān)于

y=x對稱，則a+夕=2/m+5，k￡Z；若角a與。的終邊關(guān)于y=-%對稱，則

a+0=2ku+—,/c6Z.

變式32

(1)【多選題】下列化簡正確的是(AB)

sin(-a)_

A.tan(n+1)=tanlD.---------------cosa

tan(360°-a)

「，sin(n-a)ncos(n-a)tan(-ir-a)_

C.--——-=tanaD?■■-1

cos(ir+a)sm(2n-a)

解：由誘導(dǎo)公式，知tan(ir+1)=tanl,故A正確.

sin(-a)-sina_sina

=COSCZ,故B正確.

tan(3600-a)-tana￡12^.

casa

sin(n-a)—=-tana,故C不正確.

cos(n+a)-cosa

sina

cosa

cos(n-a)tan(-n-a)_-cosa(-tana)_'cosa=—1,故D不正確.故選AB.

sin(2n-a)-sinasina

(2)已知cos償一a)=|?則sin(a—=(C)

A.-C一D.--

5?55

TT

解：依題意，知sin(a-聿=sin[(a-=-cos(a-m)=—COS

,6

a)=_|.故選C

課時作業(yè)知能提升

【鞏固強(qiáng)化】

1.已知cosa=j且a為第四象限角，則sina=(A)

?5

A..--2-y-[2B.土竽C.±fD?號

3

解：sina<0J']sina=-vl-cos2a=一誓.故選A.

2.若tan(u—%)=J,則cos(1+%)=(A)

A_L再

B.土等CD.延

A?土g--T

]]5

解：因為tan(ir—久)=-tanx=y,所以tanx=-y,即cosx=-2sinx.而

sin2x+cos2x=1,于是得sin2%=->所以cos(-+X)=—sinx=.故選A.

52

3.已知cosC+a)=點且sin2a<0,則tana=(A)

.275R次D.當(dāng)

A--vB-T

解：cosQ+\j=-sina=2-J')sina=2因為sin2a=2sinacosa<0,所以

，33

cosa>0.所以cosa=-in2a=日,tana=黑一等.故選A.

4.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角9以O(shè)x為始邊，終邊與單位圓交于點?3，則

tan(2025n—8)的侑為(C)

c--

.3

解：由題意，知sin。=（,cosO=￡則tan。==g.所以tan（2025n—。）=

-tan。=-g.故選C.

5.【多選題】己知sin（：+a）=（下列結(jié)論正確的是（BD）

./n.\V3

A.cos(-+?)=—B.cos-a)=[

C.sin(^+a)=iD.cos償-。1

解：由sin(：+a)=：可得cos(：+a)=±日.則sin(曰+a)=sin(IT+：+

a)=-sin(B+a)=_±cosQ-a)=cos[j-仁+a)]=sin(：+a)=

cos(4-a)=cos(n+：-a)=—cos(:-a)=—

故選BD.

6.【多選題】已知％W(0,TT),sinx+cosx=則下列結(jié)論正確的是(BD)

A.sinfx+-)=——B.sin2x=--

\4/39

「.V17c?V17-1

C.sinx-cosx=----3--D.sinx=---6---

解：sin(x+=sinxcos+cosxsin=y(sinx4-cosx)=故A錯誤.

sinx+cosx=兩邊平方，得1+2sinxcosx=L所以sin2x=2sinxcosx=

39

故B正確.

9

(sinx—cosx)2=1—2sinxcosx=1—sin2x=—.

因為x￡(0,n),sinx+cosxV0,所以sinx>0,cosxV0.所以sinx—cosx=

—,故C錯誤.

3

l1

由選項C,得sin工cosx=sinxIcosx=所以sin%=后f古攵D正

336

確.故選BD.

7.化簡則2曰c。"叱gX。伴]=_tana.

cos(n-a)sin(3n-a)sin(-n-a)sin^—+aj

解：原式=㈠噌(-弋)(Tina)(—sina)=7anQ,故填—tana.

(-cosa)sinasinacosa

8.已知sin(3n+a)=2sin(—+a),分別求四竺2竺吆?與sin2a+sin2a的值.

\2/5sina-2cosa

解：因為sin(3ir+a)=2sin管+a)