數(shù)學(xué)【倒計時05-01天】-2025年高考考前20天終極版沖刺訓(xùn)練(學(xué)生版+解析)

第四輯平面向量（選填題）…………………01排列組合與二項式定理（選填題）…………………05事件與概率、分布列與統(tǒng)計綜合（選填題）………11復(fù)數(shù)（選填題）………………………20集合與常用邏輯用語（選填題）……………………24平面向量（選填題）年份題號分值題干考點2024年新高考I卷35（2024·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）已知向量，若，則（

）A． B．C．1 D．2向量垂直的坐標(biāo)表示；平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示2024年新高考II卷35（2024·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）已知向量滿足，且，則（

）A． B．C．D．1數(shù)量積的運(yùn)算律；已知數(shù)量積求模；垂直關(guān)系的向量表示2023年新高考I卷35（2023·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）已知向量，若，則（

）A．B．C．D．平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示；向量垂直的坐標(biāo)表示；利用向量垂直求參數(shù)2023年新高考II卷135（2023·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）已知向量，滿足，，則．?dāng)?shù)量積的運(yùn)算律2022年新高考I卷35（2022·新高考全國Ⅰ卷·高考真題）在中，點D在邊AB上，．記，則（

）A． B．C． D．用基底表示向量2022年新高考II卷45（2022·新高考全國Ⅱ卷·高考真題）已知向量，若，則（

）A． B．C．5 D．6向量夾角的坐標(biāo)表示；平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示近三年新高考數(shù)學(xué)平面向量選填題考查情況總結(jié)?考點：涵蓋向量垂直的坐標(biāo)表示（2024年新課標(biāo)Ⅰ卷）、數(shù)量積運(yùn)算及向量垂直（2024年新課標(biāo)Ⅱ卷）、向量線性運(yùn)算與垂直（2023年新課標(biāo)Ⅰ卷）、數(shù)量積運(yùn)算律（2023年新課標(biāo)Ⅱ卷）、用基底表示向量（2022年新課標(biāo)Ⅰ卷）、向量夾角與線性運(yùn)算（2022年新課標(biāo)Ⅱ卷）。?題型：多為選擇題，分值5分，側(cè)重考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算、數(shù)量積、垂直關(guān)系及線性運(yùn)算，注重對向量基本概念和運(yùn)算規(guī)則的理解與應(yīng)用。2025年新高考平面向量選填題高考預(yù)測?題型與分值：預(yù)計為選擇題或填空題，分值5分。?考查方向：延續(xù)對向量垂直、數(shù)量積、線性運(yùn)算的考查，可能強(qiáng)化坐標(biāo)運(yùn)算與幾何意義的結(jié)合，或涉及向量模長、夾角的綜合計算，注重運(yùn)算能力與邏輯推理，如根據(jù)向量垂直或數(shù)量積求參數(shù)，或利用坐標(biāo)運(yùn)算解決向量關(guān)系問題。向量的運(yùn)算兩點間的向量坐標(biāo)公式：，，終點坐標(biāo)始點坐標(biāo)向量的加減法，，向量的數(shù)乘運(yùn)算，則：向量的模，則的模相反向量已知，則；已知單位向量向量的數(shù)量積向量的夾角投影向量向量在上的投影向量為向量的平行關(guān)系向量的垂直關(guān)系向量模的運(yùn)算典例1（2024·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）已知向量，若，則（

）A． B． C．1 D．2典例2（2024·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）已知向量滿足，且，則（

）A． B． C． D．1典例3（2023·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）已知向量，若，則（

）A． B．C． D．典例4（2023·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）已知向量，滿足，，則．典例5（2022·新高考全國Ⅰ卷·高考真題）在中，點D在邊AB上，．記，則（

）A． B． C． D．【名校預(yù)測·第一題】（福建省福州第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)試題）已知，若，則（

）A． B． C． D．【名校預(yù)測·第二題】（浙江省杭州學(xué)軍中學(xué)2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試題）已知向量，若反向共線，則實數(shù)的值為（

）A． B．3 C．3或 D．或7【名校預(yù)測·第三題】（湖北省武漢市華中師范大學(xué)第一附屬中學(xué)2024-2025學(xué)年數(shù)學(xué)試題）已知，，若與的夾角是鈍角，則實數(shù)的取值范圍是．【名校預(yù)測·第四題】（山東省泰安第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期4月月考數(shù)學(xué)試題）若向量在向量上的投影向量為，且，則（

）A． B． C． D．【名校預(yù)測·第五題】（重慶市巴蜀中學(xué)2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期二診數(shù)學(xué)試題）已知向量都是單位向量，且向量滿足向量的夾角為，則的最大值為（

）A．2 B． C． D．3【名師押題·第一題】已知向量，，若，則的值為．【名師押題·第二題】已知單位向量，滿足，則向量在向量上的投影向量為（

）A． B． C． D．【名師押題·第三題】已知平面向量，，，，且A，B，C三點共線，則實數(shù)（

）A． B． C． D．2【名師押題·第四題】在直角梯形中，，，，是的中點，若，則（

）.A．1 B． C． D．【名師押題·第五題】在等邊中，，點M為AB的中點，點N滿足，則（

）A． B． C． D．【名師押題·第六題】已知平面向量，若，則（

）A． B． C． D．排列組合與二項式定理（選填題）年份題號分值題干考點2024年新高考II卷145（2024·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）在如圖的4×4的方格表中選4個方格，要求每行和每列均恰有一個方格被選中，則共有種選法，在所有符合上述要求的選法中，選中方格中的4個數(shù)之和的最大值是．全排列問題；寫出基本事件2023年新高考I卷135（2023·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）某學(xué)校開設(shè)了4門體育類選修課和4門藝術(shù)類選修課，學(xué)生需從這8門課中選修2門或3門課，并且每類選修課至少選修1門，則不同的選課方案共有種（用數(shù)字作答）．分類加法計數(shù)原理；實際問題中的組合計數(shù)問題2023年新高考II卷35（2023·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）某學(xué)校為了解學(xué)生參加體育運(yùn)動的情況，用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法作抽樣調(diào)查，擬從初中部和高中部兩層共抽取60名學(xué)生，已知該校初中部和高中部分別有400名和200名學(xué)生，則不同的抽樣結(jié)果共有（

）．A．種B．種C．種D．種分步乘法計數(shù)原理及簡單應(yīng)用；實際問題中的組合計數(shù)問題；抽樣比、樣本總量、各層總數(shù)、總體容量的計算2022年新高考I卷135（2022·新高考全國Ⅰ卷·高考真題）的展開式中的系數(shù)為（用數(shù)字作答）．兩個二項式乘積展開式的系數(shù)問題2022年新高考II卷55（2022·新高考全國Ⅱ卷·高考真題）有甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰，則不同排列方式共有（

）A．12種 B．24種C．36種 D．48種元素（位置）有限制的排列問題；相鄰問題的排列問題近三年新高考數(shù)學(xué)排列組合與二項式定理選填題考查情況總結(jié)?考點：涵蓋排列問題（2024年新課標(biāo)Ⅱ卷方格表選方格）、分類加法計數(shù)（2023年新課標(biāo)Ⅰ卷）、分層抽樣組合計數(shù)（2023年新課標(biāo)Ⅱ卷）、二項式展開式系數(shù)（2022年新課標(biāo)Ⅰ卷）、相鄰排列問題（2022年新課標(biāo)Ⅱ卷），側(cè)重計數(shù)原理與公式應(yīng)用。?題型：均為選填題，分值5分，注重實際情境中的計數(shù)與二項式定理簡單計算。2025年新高考排列組合與二項式定理選填題高考預(yù)測?題型與分值：預(yù)計為選填題，分值5分。?考查方向：延續(xù)排列組合實際應(yīng)用（如分組、排隊），二項式定理求特定項系數(shù)，或與概率等簡單結(jié)合，強(qiáng)化計數(shù)原理（分類、分步）及公式運(yùn)用，考查分析與計算能力。1.分類計數(shù)原理（加法原理）.2.分步計數(shù)原理（乘法原理）.3.排列數(shù)公式==.(，∈N*，且)．注:規(guī)定.4.組合數(shù)公式===(∈N*，，且).5.排列數(shù)與組合數(shù)的關(guān)系.6．單條件排列以下各條的大前提是從個元素中取個元素的排列.（1）“在位”與“不在位”①某（特）元必在某位有種；②某（特）元不在某位有（補(bǔ)集思想）（著眼位置）（著眼元素）種.（2）緊貼與插空（即相鄰與不相鄰）①定位緊貼：個元在固定位的排列有種.②浮動緊貼：個元素的全排列把k個元排在一起的排法有種.注：此類問題常用捆綁法；③插空：兩組元素分別有k、h個（），把它們合在一起來作全排列，k個的一組互不能挨近的所有排列數(shù)有種.（3）兩組元素各相同的插空個大球個小球排成一列，小球必分開，問有多少種排法？當(dāng)時，無解；當(dāng)時，有種排法.（4）兩組相同元素的排列：兩組元素有m個和n個，各組元素分別相同的排列數(shù)為.7．分配問題（1）(平均分組有歸屬問題)將相異的、個物件等分給個人，各得件，其分配方法數(shù)共有.（2）(平均分組無歸屬問題)將相異的·個物體等分為無記號或無順序的堆，其分配方法數(shù)共有.8.二項式定理;二項展開式的通項公式.典例1（2024·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）在如圖的4×4的方格表中選4個方格，要求每行和每列均恰有一個方格被選中，則共有種選法，在所有符合上述要求的選法中，選中方格中的4個數(shù)之和的最大值是．典例2（2023·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）某學(xué)校開設(shè)了4門體育類選修課和4門藝術(shù)類選修課，學(xué)生需從這8門課中選修2門或3門課，并且每類選修課至少選修1門，則不同的選課方案共有種（用數(shù)字作答）．典例3（2023·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）某學(xué)校為了解學(xué)生參加體育運(yùn)動的情況，用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法作抽樣調(diào)查，擬從初中部和高中部兩層共抽取60名學(xué)生，已知該校初中部和高中部分別有400名和200名學(xué)生，則不同的抽樣結(jié)果共有（

）．A．種 B．種C．種 D．種典例4（2022·新高考全國Ⅰ卷·高考真題）的展開式中的系數(shù)為（用數(shù)字作答）．典例5（2022·新高考全國Ⅱ卷·高考真題）有甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰，則不同排列方式共有（

）A．12種 B．24種 C．36種 D．48種【名校預(yù)測·第一題】（黑龍江省哈爾濱第三中學(xué)校2025屆高三下學(xué)期第二次模擬數(shù)學(xué)試題）若在的展開式中，含項的系數(shù)為80，則．（用數(shù)字作答）【名校預(yù)測·第二題】（山東省泰安第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期4月月考數(shù)學(xué)試題）二項式的展開式中，常數(shù)項為（

）A．24 B．6 C． D．【名校預(yù)測·第三題】（黑龍江省哈爾濱市第三中學(xué)校2024-2025學(xué)年高三第一次模擬試卷）2024年4月26日，神舟十九號與神舟十八號航天員順利會師中國空間站，激發(fā)了全國人民的民族自豪感和愛國熱情.齊聚“天宮”的6名宇航員分別是“70后”蔡旭哲、“80后”葉光富、李聰、李廣蘇，“90后”宋令東、王浩澤.為記錄這一歷史時刻，大家準(zhǔn)備拍一張“全家?！?假設(shè)6人站成一排，兩位指令長蔡旭哲和葉光富必須站中間，其他兩位“80后”彼此不相鄰，兩位“90后”彼此不相鄰，則不同的站法共有（

）A．16種 B．32種 C．48種 D．64種【名校預(yù)測·第四題】（遼寧省本溪市高級中學(xué)2025屆高三下學(xué)期4月月考數(shù)學(xué)試題）中國有十二生肖，又叫十二屬相，每一個人的出生年份對應(yīng)了十二種動物（鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬）的一種，現(xiàn)有十二生肖的吉祥物各一個，甲、乙、丙三位同學(xué)依次選一個作為禮物，甲同學(xué)喜歡牛、馬和羊，乙同學(xué)喜歡牛、兔、狗和羊，丙同學(xué)哪個吉祥物都喜歡，則讓三位同學(xué)選取的禮物都滿意的選擇方法共有種（用數(shù)字作答）【名校預(yù)測·第五題】（河南省鄭州外國語學(xué)校2024-2025學(xué)年高三調(diào)研數(shù)學(xué)試卷）現(xiàn)安排甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)參加2022年杭州亞運(yùn)會志愿者服務(wù)活動，有翻譯、導(dǎo)游、禮儀、司機(jī)四項工作可以安排，以下說法正確的是（

）A．每人都安排一項工作的不同方法數(shù)為54B．每人都安排一項工作，每項工作至少有一人參加，則不同的方法數(shù)為C．如果司機(jī)工作不安排，其余三項工作至少安排一人，則這5名同學(xué)全部被安排的不同方法數(shù)為D．每人都安排一項工作，每項工作至少有一人參加，甲、乙不會開車但能從事其他三項工作，丙、丁、戊都能勝任四項工作，則不同安排方案的種數(shù)是【名師押題·第一題】將兩個1，兩個3，一個5排成一行，則不同的排法種數(shù)為.（用數(shù)字作答）【名師押題·第二題】若二項式展開式中的常數(shù)項為160，則．【名師押題·第三題】已知的展開式中項的系數(shù)為60，則實數(shù)的值為.【名師押題·第四題】一個質(zhì)點從平面直角坐標(biāo)系的原點出發(fā)，每秒末必須等可能向右、或向左、或向上、或向下跳一個單位長度，則此質(zhì)點在第10秒末到達(dá)點的跳法共有種．（用數(shù)字作答）【名師押題·第五題】甲、乙等5名志愿者參加2025年文化和旅游發(fā)展大會的、、、四項服務(wù)工作，要求每名志愿者只能參加1項工作，每項工作至少安排1人，且甲不參加項工作，乙必須參加項工作，則不同的安排方法數(shù)有（

）A．36種 B．42種 C．54種 D．72種【名師押題·第六題】為拓展學(xué)生數(shù)學(xué)視野，鼓勵學(xué)生多讀數(shù)學(xué)書，學(xué)校舉辦了“數(shù)學(xué)圖書在哪”的抽獎活動.如圖，在一個5×5的方格表中，按如下規(guī)則放置了一些圖書，小方格中的數(shù)字表示與其有公共頂點的小方格的圖書的總本數(shù)，且有數(shù)字的小方格上沒有圖書，其余方格內(nèi)無限制，且每一個方格只能放1本圖書.則所有可能的圖書排列方式總數(shù)為（

）A．160 B．192 C．224 D．256事件與概率、分布列與統(tǒng)計綜合（選填題）年份題號分值題干考點2024年新高考I卷96（2024·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）隨著“一帶一路”國際合作的深入，某茶葉種植區(qū)多措并舉推動茶葉出口.為了解推動出口后的畝收入（單位：萬元）情況，從該種植區(qū)抽取樣本，得到推動出口后畝收入的樣本均值，樣本方差，已知該種植區(qū)以往的畝收入服從正態(tài)分布，假設(shè)推動出口后的畝收入服從正態(tài)分布，則（

）（若隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布，）B．C．D．指定區(qū)間的概率；正態(tài)分布的實際應(yīng)用2024年新高考I卷145（2024·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）甲、乙兩人各有四張卡片，每張卡片上標(biāo)有一個數(shù)字，甲的卡片上分別標(biāo)有數(shù)字1，3，5，7，乙的卡片上分別標(biāo)有數(shù)字2，4，6，8，兩人進(jìn)行四輪比賽，在每輪比賽中，兩人各自從自己持有的卡片中隨機(jī)選一張，并比較所選卡片上數(shù)字的大小，數(shù)字大的人得1分，數(shù)字小的人得0分，然后各自棄置此輪所選的卡片（棄置的卡片在此后的輪次中不能使用）.則四輪比賽后，甲的總得分不小于2的概率為.求離散型隨機(jī)變量的均值；均值的性質(zhì)；計算古典概型問題的概率2024年新高考II卷45（2024·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）某農(nóng)業(yè)研究部門在面積相等的100塊稻田上種植一種新型水稻，得到各塊稻田的畝產(chǎn)量（單位：kg）并整理如下表根據(jù)表中數(shù)據(jù)，下列結(jié)論中正確的是（

）A．100塊稻田畝產(chǎn)量的中位數(shù)小于1050kgB．100塊稻田中畝產(chǎn)量低于1100kg的稻田所占比例超過80%C．100塊稻田畝產(chǎn)量的極差介于200kg至300kg之間D．100塊稻田畝產(chǎn)量的平均值介于900kg至1000kg之間計算幾個數(shù)的平均數(shù)；計算幾個數(shù)據(jù)的極差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差；計算幾個數(shù)的中位數(shù)2023年新高考I卷95（2023·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）有一組樣本數(shù)據(jù)，其中是最小值，是最大值，則（

）A．的平均數(shù)等于的平均數(shù)B．的中位數(shù)等于的中位數(shù)C．的標(biāo)準(zhǔn)差不小于的標(biāo)準(zhǔn)差D．的極差不大于的極差計算幾個數(shù)的中位數(shù)；計算幾個數(shù)的平均數(shù)；計算幾個數(shù)據(jù)的極差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差2023年新高考II卷125（2023·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）在信道內(nèi)傳輸0，1信號，信號的傳輸相互獨立．發(fā)送0時，收到1的概率為，收到0的概率為；發(fā)送1時，收到0的概率為，收到1的概率為.考慮兩種傳輸方案：單次傳輸和三次傳輸．單次傳輸是指每個信號只發(fā)送1次，三次傳輸是指每個信號重復(fù)發(fā)送3次．收到的信號需要譯碼，譯碼規(guī)則如下：單次傳輸時，收到的信號即為譯碼；三次傳輸時，收到的信號中出現(xiàn)次數(shù)多的即為譯碼（例如，若依次收到1，0，1，則譯碼為1）.A．采用單次傳輸方案，若依次發(fā)送1，0，1，則依次收到l，0，1的概率為B．采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則依次收到1，0，1的概率為C．采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則譯碼為1的概率為D．當(dāng)時，若發(fā)送0，則采用三次傳輸方案譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方案譯碼為0的概率利用互斥事件的概率公式求概率；獨立事件的乘法公式；獨立重復(fù)試驗的概率問題2022年新高考I卷55（2022·新高考全國Ⅰ卷·高考真題）從2至8的7個整數(shù)中隨機(jī)取2個不同的數(shù)，則這2個數(shù)互質(zhì)的概率為（

）A．B． C．D．計算古典概型問題的概率；實際問題中的組合計數(shù)問題2022年新高考II卷135（2022·新高考全國Ⅱ卷·高考真題）已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，且，則．指定區(qū)間的概率近三年新高考數(shù)學(xué)事件與概率、分布列與統(tǒng)計綜合選填題考查情況總結(jié)?考點：涵蓋正態(tài)分布實際應(yīng)用（2024年新課標(biāo)Ⅰ卷）、古典概型概率計算（2024年新課標(biāo)Ⅰ卷、2022年新課標(biāo)Ⅰ卷）、統(tǒng)計量分析（均值、方差、極差、中位數(shù)，如2024年新課標(biāo)Ⅱ卷、2023年新課標(biāo)Ⅰ卷）、獨立事件概率（2023年新課標(biāo)Ⅱ卷），注重實際情境與概念結(jié)合。?題型：以選擇題為主，分值5-6分，側(cè)重考查概率統(tǒng)計知識在實際問題中的應(yīng)用及基本計算能力。2025年新高考事件與概率、分布列與統(tǒng)計綜合選填題高考預(yù)測?題型與分值：預(yù)計為選擇題或填空題，分值5-6分。?考查方向：延續(xù)正態(tài)分布、古典概型、統(tǒng)計量計算的考查，可能結(jié)合分布列簡單問題，強(qiáng)化實際應(yīng)用（如生活場景中的概率計算、統(tǒng)計量分析），注重對概念的理解與運(yùn)算準(zhǔn)確性，如根據(jù)統(tǒng)計圖表分析數(shù)據(jù)特征，或利用概率公式解決實際問題。等可能性事件的概率.互斥事件A，B分別發(fā)生的概率的和P(A＋B)=P(A)＋P(B)．個互斥事件分別發(fā)生的概率的和P(A1＋A2＋…＋An)=P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．獨立事件A，B同時發(fā)生的概率P(A·B)=P(A)·P(B).個獨立事件同時發(fā)生的概率P(A1·A2·…·An)=P(A1)·P(A2)·…·P(An)．次獨立重復(fù)試驗中某事件恰好發(fā)生k次的概率7.離散型隨機(jī)變量的分布列的兩個性質(zhì)（1）;（2）.8.數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)（1）.（2）若～,則.(3)若服從幾何分布,且，則.10.方差11.標(biāo)準(zhǔn)差=.12.方差的性質(zhì)(1)；(2）若～，則.(3)若服從幾何分布,且，則.13.方差與期望的關(guān)系.14.正態(tài)分布密度函數(shù)，式中的實數(shù)μ，（>0）是參數(shù)，分別表示個體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差.15.對于，取值小于x的概率..條件概率條件概率的定義條件概率的性質(zhì)已知B發(fā)生的條件下，A發(fā)生的概率，稱為B發(fā)生時A發(fā)生的條件概率，記為P(A|B)．當(dāng)P(B)>0時，我們有P(A|B)＝eq\f(PA∩B,PB).(其中，A∩B也可以記成AB)類似地，當(dāng)P(A)>0時，A發(fā)生時B發(fā)生的條件概率為P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)(1)0≤P(B|A)≤1，(2)如果B和C是兩個互斥事件，則P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)P(B|A)與P(A|B)易混淆為等同前者是在A發(fā)生的條件下B發(fā)生的概率，后者是在B發(fā)生的條件下A發(fā)生的概率．條件概率的三種求法定義法先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)求P(B|A)基本事件法借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件數(shù)n(A)，再求事件AB所包含的基本事件數(shù)n(AB)，得P(B|A)＝eq\f(nAB,nA)縮樣法縮小樣本空間的方法，就是去掉第一次抽到的情況，只研究剩下的情況，用古典概型求解，它能化繁為簡全概率公式一般地，設(shè)A1，A2，…，An是一組兩兩互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)＞0，i＝1，2，…，n，則對任意的事件B?Ω，BΩ＝B(A1＋A2＋…＋An)＝BA1＋BA2＋…＋BAn，有P(B)＝，此公式為全概率公式.（1）計算條件概率除了應(yīng)用公式P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)外，還可以利用縮減公式法，即P(B|A)＝eq\f(n（AB）,n（A）)，其中n(A)為事件A包含的樣本點數(shù)，n(AB)為事件AB包含的樣本點數(shù).（2）全概率公式為概率論中的重要公式，它將對一個復(fù)雜事件A的概率的求解問題，轉(zhuǎn)化為了在不同情況下發(fā)生的簡單事件的概率的求和問題.貝葉斯公式一般地,設(shè)是一組兩兩互斥的事件,有且,則對任意的事件有數(shù)字樣本特征眾數(shù)：在一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按從小到大（或從大到?。┑捻樞蚺帕?，如果為奇數(shù)個，中位數(shù)為中間數(shù)；若為偶數(shù)個，中位數(shù)為中間兩個數(shù)的平均數(shù)平均數(shù)：，反映樣本的平均水平方差：反映樣本的波動程度，穩(wěn)定程度和離散程度；越大，樣本波動越大，越不穩(wěn)定；越小，樣本波動越小，越穩(wěn)定；標(biāo)準(zhǔn)差：，標(biāo)準(zhǔn)差等于方差的算術(shù)平方根，數(shù)學(xué)意義和方差一樣極差：等于樣本的最大值最小值典例1（2024·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）隨著“一帶一路”國際合作的深入，某茶葉種植區(qū)多措并舉推動茶葉出口.為了解推動出口后的畝收入（單位：萬元）情況，從該種植區(qū)抽取樣本，得到推動出口后畝收入的樣本均值，樣本方差，已知該種植區(qū)以往的畝收入服從正態(tài)分布，假設(shè)推動出口后的畝收入服從正態(tài)分布，則（

）（若隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布，）A． B．C． D．典例2（2024·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）甲、乙兩人各有四張卡片，每張卡片上標(biāo)有一個數(shù)字，甲的卡片上分別標(biāo)有數(shù)字1，3，5，7，乙的卡片上分別標(biāo)有數(shù)字2，4，6，8，兩人進(jìn)行四輪比賽，在每輪比賽中，兩人各自從自己持有的卡片中隨機(jī)選一張，并比較所選卡片上數(shù)字的大小，數(shù)字大的人得1分，數(shù)字小的人得0分，然后各自棄置此輪所選的卡片（棄置的卡片在此后的輪次中不能使用）.則四輪比賽后，甲的總得分不小于2的概率為.典例3（2024·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）某農(nóng)業(yè)研究部門在面積相等的100塊稻田上種植一種新型水稻，得到各塊稻田的畝產(chǎn)量（單位：kg）并整理如下表畝產(chǎn)量[900，950）[950，1000）[1000，1050）[1050，1100）[1100，1150）[1150，1200）頻數(shù)61218302410根據(jù)表中數(shù)據(jù)，下列結(jié)論中正確的是（

）A．100塊稻田畝產(chǎn)量的中位數(shù)小于1050kgB．100塊稻田中畝產(chǎn)量低于1100kg的稻田所占比例超過80%C．100塊稻田畝產(chǎn)量的極差介于200kg至300kg之間D．100塊稻田畝產(chǎn)量的平均值介于900kg至1000kg之間典例4（2023·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）有一組樣本數(shù)據(jù)，其中是最小值，是最大值，則（

）A．的平均數(shù)等于的平均數(shù)B．的中位數(shù)等于的中位數(shù)C．的標(biāo)準(zhǔn)差不小于的標(biāo)準(zhǔn)差D．的極差不大于的極差典例5（2023·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）在信道內(nèi)傳輸0，1信號，信號的傳輸相互獨立．發(fā)送0時，收到1的概率為，收到0的概率為；發(fā)送1時，收到0的概率為，收到1的概率為.考慮兩種傳輸方案：單次傳輸和三次傳輸．單次傳輸是指每個信號只發(fā)送1次，三次傳輸是指每個信號重復(fù)發(fā)送3次．收到的信號需要譯碼，譯碼規(guī)則如下：單次傳輸時，收到的信號即為譯碼；三次傳輸時，收到的信號中出現(xiàn)次數(shù)多的即為譯碼（例如，若依次收到1，0，1，則譯碼為1）.A．采用單次傳輸方案，若依次發(fā)送1，0，1，則依次收到l，0，1的概率為B．采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則依次收到1，0，1的概率為C．采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則譯碼為1的概率為D．當(dāng)時，若發(fā)送0，則采用三次傳輸方案譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方案譯碼為0的概率【名校預(yù)測·第一題】（025屆湖南省長沙市雅禮中學(xué)高三4月綜合自主測試數(shù)學(xué)試題）語文老師要從10篇課文中隨抽3篇不同的課文讓同學(xué)背誦，規(guī)定至少要背出其中2篇才能及格．某位同學(xué)只能背誦其中的6篇，則他能及格的概率是（

）A． B． C． D．【名校預(yù)測·第二題】（浙江省杭州學(xué)軍中學(xué)2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試題）（多選）體育教育既能培養(yǎng)學(xué)生自覺鍛煉身體的習(xí)慣，又能培養(yǎng)學(xué)生開拓進(jìn)取、不畏艱難的堅強(qiáng)性格.杭州學(xué)軍中學(xué)西溪校區(qū)高三學(xué)生參加體育測試，其中理科班女生的成績與文科班女生的成績均服從正態(tài)分布，且，則（

）A． B．C． D．【名校預(yù)測·第三題】（廣東省深圳市高級中學(xué)2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期數(shù)學(xué)試題）（多選）樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)是，方差是，極差為，則下列判斷正確的是（

）A．若，則的平均數(shù)為B．若，則的方差為0C．若的極差是，則D．若，則這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是【名校預(yù)測·第四題】（廣東省深圳市高級中學(xué)2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期數(shù)學(xué)試題）依次拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，表示事件“第一次拋擲骰子的點數(shù)為2”，表示事件“第一次拋擲骰子的點數(shù)為奇數(shù)”，表示事件“兩次拋擲骰子的點數(shù)之和為6”，表示事件“兩次拋擲骰子的點數(shù)之和為7”，則（

）A．與為對立事件 B．與為相互獨立事件C．與為相互獨立事件 D．與為互斥事件【名校預(yù)測·第五題】（湖北省武漢市華中師范大學(xué)第一附屬中學(xué)數(shù)學(xué)試題）一只口袋裝有形狀、大小完全相同的3只小球，其中紅球、黃球、黑球各1只．現(xiàn)從口袋中先后有放回地取球2n次，且每次取1只球，X表示2n次取球中取到紅球的次數(shù)，當(dāng)為奇數(shù)時，；當(dāng)為偶數(shù)時，,則X的數(shù)學(xué)期望為（用n表示），Y的數(shù)學(xué)期望為（用n表示）．【名師押題·第一題】某市高三年級男生的體重（單位：kg）近似服從正態(tài)分布．若，則．【名師押題·第二題】已知互不相等的數(shù)據(jù)，，，，，，的平均數(shù)為，方差為，數(shù)據(jù)，，，，，的方差為，則（

）A． B．C． D．與的大小關(guān)系無法判斷【名師押題·第三題】某校食堂為打造菜品，特舉辦菜品評選活動.已知評委團(tuán)由家長代表，學(xué)生代表和教工代表組成，人數(shù)比為，現(xiàn)由評委團(tuán)對1號菜品和2號菜品進(jìn)行投票（每人只能投一票且必須投一票）.若投票結(jié)果顯示，家長代表和學(xué)生代表中均有的人投票給1號菜品，教工代表中有的人投票給2號菜品，那么，從1號菜品的投票人中任選1人，他是學(xué)生代表的概率為（

）A． B． C． D．【名師押題·第四題】有6張卡片，正面分別寫有數(shù)字1，2，3，4，5，6，且背面均寫有數(shù)字7.先把這些卡片正面朝上排成一排.規(guī)定一次試驗：擲一顆均勻的骰子一次，若點數(shù)為，則將向上數(shù)字為的卡片翻面并放置原處；若沒有向上數(shù)字為的卡片，則卡片不作翻動.進(jìn)行上述試驗3次，發(fā)現(xiàn)卡片朝上的數(shù)字之和為偶數(shù)，在這一條件下，骰子恰有一次點數(shù)為2的概率為（

）A． B． C． D．【名師押題·第五題】為備戰(zhàn)乒乓球賽，某體校甲?乙兩名主力進(jìn)行訓(xùn)練，規(guī)則如下：兩人每輪分別與老師打2局，當(dāng)兩人獲勝局?jǐn)?shù)不少于3局時，則認(rèn)為此輪訓(xùn)練過關(guān)；否則不過關(guān).若甲?乙兩人每局獲勝的概率分別為，，且滿足，每局之間相互獨立.記甲、乙在輪訓(xùn)練中訓(xùn)練過關(guān)的輪數(shù)為，若，則從期望的角度來看，甲?乙兩人訓(xùn)練的輪數(shù)至少為（

）A．28 B．24 C．32 D．27【名師押題·第六題】人工智能（ArtificialIntelligence），英文縮寫為．是新一輪科技革命和產(chǎn)業(yè)變革的重要驅(qū)動力量，是研究、開發(fā)用于模擬、延伸和擴(kuò)展人的智能的理論、方法、技術(shù)及應(yīng)用系統(tǒng)的一門新的科學(xué)．某商場在有獎銷售的抽獎環(huán)節(jié)時，采用技術(shù)生成獎券碼：在每次抽獎時，顧客連續(xù)點擊按鍵5次，每次點擊隨機(jī)生成數(shù)字0或1或2，點擊結(jié)束后，生成的5個數(shù)字之和即為獎券碼．并規(guī)定：如果獎券碼為0，則獲一等獎；如果獎券碼為3的正整數(shù)倍，則獲二等獎，其它情況不獲獎．已知顧客甲參加了一次抽獎，則他獲二等獎的概率為．復(fù)數(shù)（選填題）年份題號分值題干考點2024年新高考I卷25（2024·新高考全國Ⅰ卷·高考真題）若，則（

）A． B．C． D．復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算；復(fù)數(shù)的乘方2024年新高考II卷15（2024·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）已知，則（

）A．0 B．1C． D．2求復(fù)數(shù)的模2023年新高考I卷25（2023·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）已知，則（

）A． B．C．0 D．1共軛復(fù)數(shù)的概念及計算；復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算2023年新高考II卷15（2023·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）在復(fù)平面內(nèi)，對應(yīng)的點位于（

）．A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限在各象限內(nèi)點對應(yīng)復(fù)數(shù)的特征；復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算2022年新高考I卷25（2022·新高考全國Ⅰ卷·高考真題）若，則（

）A． B．C．1 D．2共軛復(fù)數(shù)的概念及計算2022年新高考II卷25（2022·新高考全國Ⅱ卷·高考真題）（

）A． B．C． D．復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算近三年新高考數(shù)學(xué)復(fù)數(shù)選填題考查情況總結(jié)?考點：涵蓋復(fù)數(shù)除法、乘方運(yùn)算（2024年新課標(biāo)Ⅰ卷）、求模（2024年新課標(biāo)Ⅱ卷）、共軛復(fù)數(shù)計算（2023年新課標(biāo)Ⅰ卷、2022年新課標(biāo)Ⅰ卷）、復(fù)數(shù)乘法及象限位置（2023年新課標(biāo)Ⅱ卷、2022年新課標(biāo)Ⅱ卷），側(cè)重復(fù)數(shù)基本運(yùn)算與概念。?題型：均為選擇題，分值5分，注重對復(fù)數(shù)運(yùn)算法則（乘、除）、共軛復(fù)數(shù)、模及幾何意義（象限）的考查。2025年新高考復(fù)數(shù)選填題高考預(yù)測?題型與分值：預(yù)計為選擇題，分值5分。?考查方向：延續(xù)對復(fù)數(shù)乘除運(yùn)算、共軛復(fù)數(shù)、模的考查，可能結(jié)合復(fù)數(shù)方程或幾何意義（如對應(yīng)點所在象限），強(qiáng)化對復(fù)數(shù)基本概念和運(yùn)算法則的掌握，考查運(yùn)算準(zhǔn)確性與概念理解。虛數(shù)單位：，規(guī)定虛數(shù)單位的周期復(fù)數(shù)的代數(shù)形式：Z=，叫實部，叫虛部復(fù)數(shù)的分類復(fù)數(shù)相等：若共軛復(fù)數(shù)：若兩個復(fù)數(shù)的實部相等，而虛部是互為相反數(shù)時，這兩個復(fù)數(shù)叫互為共軛復(fù)數(shù)；，復(fù)數(shù)的幾何意義：復(fù)數(shù)復(fù)平面內(nèi)的點復(fù)數(shù)的模：，則；典例1（2024·新高考全國Ⅰ卷·高考真題）若，則（

）A． B． C． D．典例2（2024·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）已知，則（

）A．0 B．1 C． D．2典例3（2023·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）已知，則（

）A． B． C．0 D．1典例4（2023·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）在復(fù)平面內(nèi)，對應(yīng)的點位于（

）．A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限典例5（2022·新高考全國Ⅰ卷·高考真題）若，則（

）A． B． C．1 D．2【名校預(yù)測·第一題】（貴州省貴陽市第一中學(xué)2025屆高三下學(xué)期數(shù)學(xué)試卷）復(fù)數(shù)的虛部是（

）A． B． C． D．【名校預(yù)測·第二題】（黑龍江省哈爾濱市第三中學(xué)校2024-2025學(xué)年高三第一次模擬試卷）復(fù)數(shù)，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【名校預(yù)測·第三題】（遼寧省本溪市高級中學(xué)2025屆高三下學(xué)期4月月考數(shù)學(xué)試題）已知復(fù)數(shù)z滿足，則（

）A． B．2 C． D．1【名校預(yù)測·第四題】（黑龍江省哈爾濱第三中學(xué)校2025屆高三下學(xué)期第二次模擬數(shù)學(xué)試題）復(fù)數(shù)，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點關(guān)于直線對稱，且（其中i為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)（

）A． B．1 C． D．【名校預(yù)測·第五題】（河北省石家莊市第一中學(xué)2025屆高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)試題）已知，且，為虛數(shù)單位，則的最大值是．【名師押題·第一題】若，則（

）A． B． C． D．2【名師押題·第二題】已知是虛數(shù)單位，，則（

）A． B． C．0 D．3【名師押題·第三題】若復(fù)數(shù)z滿足，則z的虛部是（

）A． B． C． D．【名師押題·第四題】復(fù)數(shù)滿足，其中i為虛數(shù)單位，則對應(yīng)的點在復(fù)平面的（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【名師押題·第五題】已知z是方程的一個復(fù)數(shù)根，則（

）A． B． C． D．【名師押題·第六題】已知復(fù)數(shù)，（為虛數(shù)單位）則的最大值是（

）A．1 B．2 C．3 D．4集合與常用邏輯用語（選填題）年份題號分值題干考點2024年新高考I卷15（2024·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）已知集合，則（

）A． B．C． D．交集的概念及運(yùn)算；由冪函數(shù)的單調(diào)性解不等式2024年新高考II卷25（2024·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）已知命題p：，；命題q：，，則（

）A．p和q都是真命題B．和q都是真命題C．p和都是真命題D．和都是真命題全稱量詞命題的否定及其真假判斷；存在量詞命題的否定及其真假判斷；判斷命題的真假2023年新高考I卷15（2023·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）已知集合，，則（

）A． B．C． D．交集的概念及運(yùn)算；解不含參數(shù)的一元二次不等式2023年新高考I卷75（2023·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）記為數(shù)列的前項和，設(shè)甲：為等差數(shù)列；乙：為等差數(shù)列，則（

）A．甲是乙的充分條件但不是必要條件B．甲是乙的必要條件但不是充分條件C．甲是乙的充要條件D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件充要條件的證明；判斷等差數(shù)列；由遞推關(guān)系證明數(shù)列是等差數(shù)列；求等差數(shù)列前n項和2023年新高考II卷25（2023·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）設(shè)集合，，若，則（

）．A．2 B．1C． D．根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)2022年新高考I卷15（2022·新高考全國Ⅰ卷·高考真題）若集合，則（

）A． B．C． D．交集的概念及運(yùn)算2022年新高考II卷15（2022·新高考全國Ⅱ卷·高考真題）已知集合，則（

）A． B．C． D．交集的概念及運(yùn)算；公式法解絕對值不等式近三年新高考數(shù)學(xué)集合與常用邏輯用語選填題考查情況總結(jié)?考點：涵蓋集合的交集運(yùn)算（2024年新課標(biāo)Ⅰ卷、2023年新課標(biāo)Ⅰ卷、2022年新課標(biāo)Ⅰ卷、2022年新課標(biāo)Ⅱ卷）、由集合包含關(guān)系求參數(shù)（2023年新課標(biāo)Ⅱ卷）、解不等式（冪函數(shù)單調(diào)性解不等式、一元二次不等式、絕對值不等式）、命題真假判斷及否定（2024年新課標(biāo)Ⅱ卷）、充要條件證明（2023年新課標(biāo)Ⅰ卷）。?題型：均為選擇題，分值5分，側(cè)重集合運(yùn)算、不等式求解及邏輯用語的基本概念應(yīng)用，注重基礎(chǔ)運(yùn)算與邏輯判斷能力。2025年新高考集合與常用邏輯用語選填題高考預(yù)測?題型與分值：預(yù)計為選擇題，分值5分。?考查方向：延續(xù)集合交集、并集運(yùn)算，可能結(jié)合不等式（如一元二次不等式、絕對值不等式）求解集合；強(qiáng)化命題真假判斷、充要條件分析，或涉及簡單邏輯聯(lián)結(jié)詞，注重基礎(chǔ)概念與運(yùn)算的準(zhǔn)確性，如根據(jù)集合關(guān)系求參數(shù)范圍，或判斷命題的否定及真假。集合有個元素，子集有個，真子集有個，非空真子集個數(shù)為個.，充分條件與必要條件對于若則類型中，為條件，為結(jié)論若充分性成立，若必要性成立若，，則是的充分必要條件（簡稱：充要條件）若，，則是的充分非必要條件（充分不必要條件）若，，則是的必要非充分條件（必要不充分條件）若，，則是的既不充分也不必要條件全稱量詞命題與存在量詞命題全稱量詞：（任意，所有，全部），含有全稱量詞的命題，叫做全稱量詞命題存在量詞：：（存在一個，存在兩個，存在一些），含有存在量詞的命題，叫做存在量詞命題全稱量詞命題和存在量詞命題的否定全稱量詞命題的否定全稱量詞命題：，，否定為：，存在量詞命題的否定存在量詞命題：，，否定為：，典例1（2024·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）已知集合，則（

）A． B． C． D．典例2（2024·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）已知命題p：，；命題q：，，則（

）A．p和q都是真命題 B．和q都是真命題C．p和都是真命題 D．和都是真命題典例3（2023·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）已知集合，，則（

）A． B． C． D．典例4（2023·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）設(shè)集合，，若，則（

）．A．2 B．1 C． D．典例5（2022·新高考全國Ⅰ卷·高考真題）若集合，則（

）A． B． C． D．【名校預(yù)測·第一題】（廣東省深圳市高級中學(xué)2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期第三次模擬試題）若集合，，則等于（

）A． B．C． D．【名校預(yù)測·第二題】（浙江省杭州學(xué)軍中學(xué)2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試題）已知集合，則中元素的個數(shù)是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【名校預(yù)測·第三題】（湖北省武漢市華中師范大學(xué)第一附屬中學(xué)2024-2025學(xué)年數(shù)學(xué)試題）已知集合，，若，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【名校預(yù)測·第四題】（湖北省武漢市華中師范大學(xué)第一附屬中學(xué)2024-2025學(xué)年數(shù)學(xué)試題）已知，且數(shù)列是等比數(shù)列，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件【名校預(yù)測·第五題】（廣東省廣州市華南師范大學(xué)附屬中學(xué)2024-2025學(xué)年數(shù)學(xué)試題）已知直線，，則“”是“”的（

）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【名師押題·第一題】已知集合，，則（

）A． B． C． D．【名師押題·第二題】已知集合，，則（

）A．， B． C． D．【名師押題·第三題】已知集合，則（

）A． B． C． D．【名師押題·第四題】已知命題：，，則為（

）A．， B．，C．， D．，【名師押題·第五題】已知命題，，命題，，則（

）A．和都是真命題 B．和都是真命題C．和都是真命題 D．和都是真命題【名師押題·第六題】“”是“”的（

）充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件第四輯平面向量（選填題）…………………01排列組合與二項式定理（選填題）…………………11事件與概率、分布列與統(tǒng)計綜合（選填題）………23復(fù)數(shù)（選填題）………………………39集合與常用邏輯用語（選填題）……………………47平面向量（選填題）年份題號分值題干考點2024年新高考I卷35（2024·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）已知向量，若，則（

）A． B．C．1 D．2向量垂直的坐標(biāo)表示；平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示2024年新高考II卷35（2024·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）已知向量滿足，且，則（

）A． B．C．D．1數(shù)量積的運(yùn)算律；已知數(shù)量積求模；垂直關(guān)系的向量表示2023年新高考I卷35（2023·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）已知向量，若，則（

）A．B．C．D．平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示；向量垂直的坐標(biāo)表示；利用向量垂直求參數(shù)2023年新高考II卷135（2023·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）已知向量，滿足，，則．?dāng)?shù)量積的運(yùn)算律2022年新高考I卷35（2022·新高考全國Ⅰ卷·高考真題）在中，點D在邊AB上，．記，則（

）A． B．C． D．用基底表示向量2022年新高考II卷45（2022·新高考全國Ⅱ卷·高考真題）已知向量，若，則（

）A． B．C．5 D．6向量夾角的坐標(biāo)表示；平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示近三年新高考數(shù)學(xué)平面向量選填題考查情況總結(jié)?考點：涵蓋向量垂直的坐標(biāo)表示（2024年新課標(biāo)Ⅰ卷）、數(shù)量積運(yùn)算及向量垂直（2024年新課標(biāo)Ⅱ卷）、向量線性運(yùn)算與垂直（2023年新課標(biāo)Ⅰ卷）、數(shù)量積運(yùn)算律（2023年新課標(biāo)Ⅱ卷）、用基底表示向量（2022年新課標(biāo)Ⅰ卷）、向量夾角與線性運(yùn)算（2022年新課標(biāo)Ⅱ卷）。?題型：多為選擇題，分值5分，側(cè)重考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算、數(shù)量積、垂直關(guān)系及線性運(yùn)算，注重對向量基本概念和運(yùn)算規(guī)則的理解與應(yīng)用。2025年新高考平面向量選填題高考預(yù)測?題型與分值：預(yù)計為選擇題或填空題，分值5分。?考查方向：延續(xù)對向量垂直、數(shù)量積、線性運(yùn)算的考查，可能強(qiáng)化坐標(biāo)運(yùn)算與幾何意義的結(jié)合，或涉及向量模長、夾角的綜合計算，注重運(yùn)算能力與邏輯推理，如根據(jù)向量垂直或數(shù)量積求參數(shù)，或利用坐標(biāo)運(yùn)算解決向量關(guān)系問題。向量的運(yùn)算兩點間的向量坐標(biāo)公式：，，終點坐標(biāo)始點坐標(biāo)向量的加減法，，向量的數(shù)乘運(yùn)算，則：向量的模，則的模相反向量已知，則；已知單位向量向量的數(shù)量積向量的夾角投影向量向量在上的投影向量為向量的平行關(guān)系向量的垂直關(guān)系向量模的運(yùn)算典例1（2024·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）已知向量，若，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】D【分析】根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算可求的值.【詳解】因為，所以，所以即，故，故選：D.典例2（2024·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）已知向量滿足，且，則（

）A． B． C． D．1【答案】B【分析】由得，結(jié)合，得，由此即可得解.【詳解】因為，所以，即，又因為，所以，從而.故選：B.典例3（2023·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）已知向量，若，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出，，再根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示即可求出．【詳解】因為，所以，，由可得，，即，整理得：．故選：D．典例4（2023·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）已知向量，滿足，，則．【答案】【分析】法一：根據(jù)題意結(jié)合向量數(shù)量積的運(yùn)算律運(yùn)算求解；法二：換元令，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律運(yùn)算求解.【詳解】法一：因為，即，則，整理得，又因為，即，則，所以.法二：設(shè)，則，由題意可得：，則，整理得：，即.故答案為：.典例5（2022·新高考全國Ⅰ卷·高考真題）在中，點D在邊AB上，．記，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)幾何條件以及平面向量的線性運(yùn)算即可解出．【詳解】因為點D在邊AB上，，所以，即，所以．故選：B．【名校預(yù)測·第一題】（福建省福州第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)試題）已知，若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【來源】福建省福州第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期第二學(xué)段期末考試數(shù)學(xué)試題【分析】根據(jù)向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示與向量垂直的坐標(biāo)表示求解即可.【詳解】因為，所以，又因為，所以，即，解得.故選：B.【名校預(yù)測·第二題】（浙江省杭州學(xué)軍中學(xué)2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試題）已知向量，若反向共線，則實數(shù)的值為（

）A． B．3 C．3或 D．或7【答案】A【來源】浙江省杭州學(xué)軍中學(xué)2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試題【分析】利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及共線的坐標(biāo)表示計算即可.【詳解】因為，所以.因為共線，所以，解得或.又反向共線，代入驗證可知時為同向，舍去.而滿足條件，所以.故選：.【名校預(yù)測·第三題】（湖北省武漢市華中師范大學(xué)第一附屬中學(xué)2024-2025學(xué)年數(shù)學(xué)試題）已知，，若與的夾角是鈍角，則實數(shù)的取值范圍是．【答案】【來源】湖北省武漢市華中師范大學(xué)第一附屬中學(xué)2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期開學(xué)檢測數(shù)學(xué)試題【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示及平行坐標(biāo)公式判斷鈍角即可求出參數(shù)范圍.【詳解】因為與夾角為鈍角，可以得出，解得：，且不平行，則，即且，即.故答案為：【名校預(yù)測·第四題】（山東省泰安第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期4月月考數(shù)學(xué)試題）若向量在向量上的投影向量為，且，則（

）A． B． C． D．【答案】A【來源】山東省泰安第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期4月月考數(shù)學(xué)試題【分析】利用投影向量公式得，結(jié)合，利用數(shù)量積的運(yùn)算律求得，代入數(shù)量積的夾角公式即可得解.【詳解】因為向量在向量上的投影向量為，所以，所以，又，所以，即，所以，所以，所以.故選：A【名校預(yù)測·第五題】（重慶市巴蜀中學(xué)2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期二診數(shù)學(xué)試題）已知向量都是單位向量，且向量滿足向量的夾角為，則的最大值為（

）A．2 B． C． D．3【答案】A【來源】重慶市巴蜀中學(xué)2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期二診數(shù)學(xué)試題【分析】根據(jù)模長關(guān)系可得，設(shè)，分類討論點與直線的位置關(guān)系，結(jié)合圓的性質(zhì)即可得結(jié)果.【詳解】由題意可知：，因為，即，則，可得，且，所以，設(shè)，則，由題意可知：，若位于直線兩側(cè)，且，可知四點共圓，且圓心為，半徑，其中點優(yōu)弧上，不包括點，則的最大值即為圓的直徑；若位于直線同側(cè)，且，可知四點共圓，且圓心為，半徑，其中點優(yōu)弧上，不包括點，此時；綜上所述：的最大值為2故選：A.【名師押題·第一題】已知向量，，若，則的值為．【答案】【分析】由得即可求解.【詳解】由.故答案為：.【名師押題·第二題】已知單位向量，滿足，則向量在向量上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，利用數(shù)量積的運(yùn)算律求出，再利用投影向量的意義求解.【詳解】已知單位向量，，故由得，故，即，因此，所以向量在向量上的投影向量為.故選：D．【名師押題·第三題】已知平面向量，，，，且A，B，C三點共線，則實數(shù)（

）A． B． C． D．2【答案】B【分析】利用坐標(biāo)表示向量共線可得.【詳解】，，因為A，B，C三點共線，所以設(shè)，即.故選：B【名師押題·第四題】在直角梯形中，，，，是的中點，若，則（

）.A．1 B． C． D．【答案】A【分析】先選擇兩條不共線的向量作基底，再進(jìn)行向量的線性運(yùn)算，最后利用平面向量基本定理來求解即可．【詳解】由圖可知：，，因為，所以，整理得：，根據(jù)平面向量基本定理可得：，解得，所以，故選：A．【名師押題·第五題】在等邊中，，點M為AB的中點，點N滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)等邊三角形可得，再根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算與數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)即可得結(jié)論.【詳解】

在等邊中，，由于點M為AB的中點，點N滿足，所以.故選：D.【名師押題·第六題】已知平面向量，若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根據(jù)向量的數(shù)乘和加法運(yùn)算求出與的坐標(biāo)，再利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式計算它們的數(shù)量積，最后通過化簡得到與的關(guān)系式．【詳解】，即．故選：A.排列組合與二項式定理（選填題）年份題號分值題干考點2024年新高考II卷145（2024·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）在如圖的4×4的方格表中選4個方格，要求每行和每列均恰有一個方格被選中，則共有種選法，在所有符合上述要求的選法中，選中方格中的4個數(shù)之和的最大值是．全排列問題；寫出基本事件2023年新高考I卷135（2023·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）某學(xué)校開設(shè)了4門體育類選修課和4門藝術(shù)類選修課，學(xué)生需從這8門課中選修2門或3門課，并且每類選修課至少選修1門，則不同的選課方案共有種（用數(shù)字作答）．分類加法計數(shù)原理；實際問題中的組合計數(shù)問題2023年新高考II卷35（2023·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）某學(xué)校為了解學(xué)生參加體育運(yùn)動的情況，用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法作抽樣調(diào)查，擬從初中部和高中部兩層共抽取60名學(xué)生，已知該校初中部和高中部分別有400名和200名學(xué)生，則不同的抽樣結(jié)果共有（

）．A．種B．種C．種D．種分步乘法計數(shù)原理及簡單應(yīng)用；實際問題中的組合計數(shù)問題；抽樣比、樣本總量、各層總數(shù)、總體容量的計算2022年新高考I卷135（2022·新高考全國Ⅰ卷·高考真題）的展開式中的系數(shù)為（用數(shù)字作答）．兩個二項式乘積展開式的系數(shù)問題2022年新高考II卷55（2022·新高考全國Ⅱ卷·高考真題）有甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰，則不同排列方式共有（

）A．12種 B．24種C．36種 D．48種元素（位置）有限制的排列問題；相鄰問題的排列問題近三年新高考數(shù)學(xué)排列組合與二項式定理選填題考查情況總結(jié)?考點：涵蓋排列問題（2024年新課標(biāo)Ⅱ卷方格表選方格）、分類加法計數(shù)（2023年新課標(biāo)Ⅰ卷）、分層抽樣組合計數(shù)（2023年新課標(biāo)Ⅱ卷）、二項式展開式系數(shù)（2022年新課標(biāo)Ⅰ卷）、相鄰排列問題（2022年新課標(biāo)Ⅱ卷），側(cè)重計數(shù)原理與公式應(yīng)用。?題型：均為選填題，分值5分，注重實際情境中的計數(shù)與二項式定理簡單計算。2025年新高考排列組合與二項式定理選填題高考預(yù)測?題型與分值：預(yù)計為選填題，分值5分。?考查方向：延續(xù)排列組合實際應(yīng)用（如分組、排隊），二項式定理求特定項系數(shù)，或與概率等簡單結(jié)合，強(qiáng)化計數(shù)原理（分類、分步）及公式運(yùn)用，考查分析與計算能力。1.分類計數(shù)原理（加法原理）.2.分步計數(shù)原理（乘法原理）.3.排列數(shù)公式==.(，∈N*，且)．注:規(guī)定.4.組合數(shù)公式===(∈N*，，且).5.排列數(shù)與組合數(shù)的關(guān)系.6．單條件排列以下各條的大前提是從個元素中取個元素的排列.（1）“在位”與“不在位”①某（特）元必在某位有種；②某（特）元不在某位有（補(bǔ)集思想）（著眼位置）（著眼元素）種.（2）緊貼與插空（即相鄰與不相鄰）①定位緊貼：個元在固定位的排列有種.②浮動緊貼：個元素的全排列把k個元排在一起的排法有種.注：此類問題常用捆綁法；③插空：兩組元素分別有k、h個（），把它們合在一起來作全排列，k個的一組互不能挨近的所有排列數(shù)有種.（3）兩組元素各相同的插空個大球個小球排成一列，小球必分開，問有多少種排法？當(dāng)時，無解；當(dāng)時，有種排法.（4）兩組相同元素的排列：兩組元素有m個和n個，各組元素分別相同的排列數(shù)為.7．分配問題（1）(平均分組有歸屬問題)將相異的、個物件等分給個人，各得件，其分配方法數(shù)共有.（2）(平均分組無歸屬問題)將相異的·個物體等分為無記號或無順序的堆，其分配方法數(shù)共有.8.二項式定理;二項展開式的通項公式.典例1（2024·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）在如圖的4×4的方格表中選4個方格，要求每行和每列均恰有一個方格被選中，則共有種選法，在所有符合上述要求的選法中，選中方格中的4個數(shù)之和的最大值是．【答案】24112【分析】由題意可知第一、二、三、四列分別有4、3、2、1個方格可選；利用列舉法寫出所有的可能結(jié)果，即可求解.【詳解】由題意知，選4個方格，每行和每列均恰有一個方格被選中，則第一列有4個方格可選，第二列有3個方格可選，第三列有2個方格可選，第四列有1個方格可選，所以共有種選法；每種選法可標(biāo)記為，分別表示第一、二、三、四列的數(shù)字，則所有的可能結(jié)果為：，，，，所以選中的方格中，的4個數(shù)之和最大，為.故答案為：24；112【點睛】關(guān)鍵點點睛：解決本題的關(guān)鍵是確定第一、二、三、四列分別有4、3、2、1個方格可選，利用列舉法寫出所有的可能結(jié)果.典例2（2023·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）某學(xué)校開設(shè)了4門體育類選修課和4門藝術(shù)類選修課，學(xué)生需從這8門課中選修2門或3門課，并且每類選修課至少選修1門，則不同的選課方案共有種（用數(shù)字作答）．【答案】64【分析】分類討論選修2門或3門課，對選修3門，再討論具體選修課的分配，結(jié)合組合數(shù)運(yùn)算求解.【詳解】（1）當(dāng)從8門課中選修2門，則不同的選課方案共有種；（2）當(dāng)從8門課中選修3門，①若體育類選修課1門，則不同的選課方案共有種；②若體育類選修課2門，則不同的選課方案共有種；綜上所述：不同的選課方案共有種.故答案為：64.典例3（2023·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）某學(xué)校為了解學(xué)生參加體育運(yùn)動的情況，用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法作抽樣調(diào)查，擬從初中部和高中部兩層共抽取60名學(xué)生，已知該校初中部和高中部分別有400名和200名學(xué)生，則不同的抽樣結(jié)果共有（

）．A．種 B．種C．種 D．種【答案】D【分析】利用分層抽樣的原理和組合公式即可得到答案.【詳解】根據(jù)分層抽樣的定義知初中部共抽取人，高中部共抽取，根據(jù)組合公式和分步計數(shù)原理則不同的抽樣結(jié)果共有種.故選：D.典例4（2022·新高考全國Ⅰ卷·高考真題）的展開式中的系數(shù)為（用數(shù)字作答）．【答案】-28【分析】可化為，結(jié)合二項式展開式的通項公式求解.【詳解】因為，所以的展開式中含的項為，的展開式中的系數(shù)為-28故答案為：-28典例5（2022·新高考全國Ⅱ卷·高考真題）有甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰，則不同排列方式共有（

）A．12種 B．24種 C．36種 D．48種【答案】B【分析】利用捆綁法處理丙丁，用插空法安排甲，利用排列組合與計數(shù)原理即可得解【詳解】因為丙丁要在一起，先把丙丁捆綁，看做一個元素，連同乙，戊看成三個元素排列,有種排列方式；為使甲不在兩端，必須且只需甲在此三個元素的中間兩個位置任選一個位置插入，有2種插空方式；注意到丙丁兩人的順序可交換，有2種排列方式，故安排這5名同學(xué)共有：種不同的排列方式，故選：B【名校預(yù)測·第一題】（黑龍江省哈爾濱第三中學(xué)校2025屆高三下學(xué)期第二次模擬數(shù)學(xué)試題）若在的展開式中，含項的系數(shù)為80，則．（用數(shù)字作答）【答案】2【來源】黑龍江省哈爾濱第三中學(xué)校2025屆高三下學(xué)期第二次模擬考試數(shù)學(xué)試題【分析】利用展開式的通項公式求出第項，令的指數(shù)為3得的系數(shù)，列出方程解得．【詳解】展開式的通項為，令的展開式中的系數(shù)為，∵展開式中x3的系數(shù)為80，∴.∴.故答案為：2.【名校預(yù)測·第二題】（山東省泰安第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期4月月考數(shù)學(xué)試題）二項式的展開式中，常數(shù)項為（

）A．24 B．6 C． D．【答案】D【來源】山東省泰安第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期4月月考數(shù)學(xué)試題【分析】根據(jù)給定條件，求出展開式的通項，進(jìn)而確定常數(shù)項并求解.【詳解】依題意，展開式中的通項公式為，顯然無解，由，得，所以所求常數(shù)項為.故選：D【名校預(yù)測·第三題】（黑龍江省哈爾濱市第三中學(xué)校2024-2025學(xué)年高三第一次模擬試卷）2024年4月26日，神舟十九號與神舟十八號航天員順利會師中國空間站，激發(fā)了全國人民的民族自豪感和愛國熱情.齊聚“天宮”的6名宇航員分別是“70后”蔡旭哲、“80后”葉光富、李聰、李廣蘇，“90后”宋令東、王浩澤.為記錄這一歷史時刻，大家準(zhǔn)備拍一張“全家?！?假設(shè)6人站成一排，兩位指令長蔡旭哲和葉光富必須站中間，其他兩位“80后”彼此不相鄰，兩位“90后”彼此不相鄰，則不同的站法共有（

）A．16種 B．32種 C．48種 D．64種【答案】B【來源】黑龍江省哈爾濱市第三中學(xué)校2024-2025學(xué)年高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)試卷【分析】先排兩位指令長，然后用四名宇航員的排列總數(shù)減去“80后”，“90后”相鄰的排法，即可求解.【詳解】兩位指令長蔡旭哲和葉光富必須站中間，有種排法，剩下的四名宇航員共有種排法，其中兩位“80后”彼此相鄰，兩位“90后”彼此相鄰且分別在左側(cè)或右側(cè)的排法共有種，所以兩位指令長蔡旭哲和葉光富必須站中間，其他兩位“80后”彼此不相鄰，兩位“90后”彼此不相鄰，則不同的站法共有種.故選：.【名校預(yù)測·第四題】（遼寧省本溪市高級中學(xué)2025屆高三下學(xué)期4月月考數(shù)學(xué)試題）中國有十二生肖，又叫十二屬相，每一個人的出生年份對應(yīng)了十二種動物（鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬）的一種，現(xiàn)有十二生肖的吉祥物各一個，甲、乙、丙三位同學(xué)依次選一個作為禮物，甲同學(xué)喜歡牛、馬和羊，乙同學(xué)喜歡牛、兔、狗和羊，丙同學(xué)哪個吉祥物都喜歡，則讓三位同學(xué)選取的禮物都滿意的選擇方法共有種（用數(shù)字作答）【答案】【來源】遼寧省本溪市高級中學(xué)2025屆高三下學(xué)期4月月考數(shù)學(xué)試題【分析】對甲的所選吉祥物進(jìn)行分類討論，結(jié)合分類加法和分步乘法計數(shù)原理可得結(jié)果.【詳解】由于三人都喜歡牛、羊這兩種吉祥物，分以下幾種情況討論：若甲選?；蜓蜃骷槲?，則乙有種選擇，丙有種選擇，此時，不同的選擇方法種數(shù)為種；若甲選馬作吉祥物，則乙有種選擇，丙有種選擇，此時，不同的選擇方法種數(shù)為種.綜上所述，不同的選擇方法種數(shù)為種.故答案為：.【名校預(yù)測·第五題】（河南省鄭州外國語學(xué)校2024-2025學(xué)年高三調(diào)研數(shù)學(xué)試卷）現(xiàn)安排甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)參加2022年杭州亞運(yùn)會志愿者服務(wù)活動，有翻譯、導(dǎo)游、禮儀、司機(jī)四項工作可以安排，以下說法正確的是（

）A．每人都安排一項工作的不同方法數(shù)為54B．每人都安排一項工作，每項工作至少有一人參加，則不同的方法數(shù)為C．如果司機(jī)工作不安排，其余三項工作至少安排一人，則這5名同學(xué)全部被安排的不同方法數(shù)為D．每人都安排一項工作，每項工作至少有一人參加，甲、乙不會開車但能從事其他三項工作，丙、丁、戊都能勝任四項工作，則不同安排方案的種數(shù)是【答案】D【來源】河南省鄭州外國語學(xué)校2024-2025學(xué)年高三調(diào)研考試（八）數(shù)學(xué)試卷【解析】對于選項，每人有4種安排法，故有種；對于選項，5名同學(xué)中有兩人工作相同，先選人再安排；對于選項，先分組再安排；對于選項，以司機(jī)人數(shù)作為分類標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行討論即可.【詳解】解：①每人都安排一項工作的不同方法數(shù)為，即選項錯誤，②每項工作至少有一人參加，則不同的方法數(shù)為，即選項B錯誤，③如果司機(jī)工作不安排，其余三項工作至少安排一人，則這5名同學(xué)全部被安排的不同方法數(shù)為：（），即選項C錯誤，④分兩種情況：第一種，安排一人當(dāng)司機(jī)，從丙、丁、戊選一人當(dāng)司機(jī)有,從余下四人中安排三個崗位，故有；第二種情況，安排兩人當(dāng)司機(jī)，從丙、丁、戊選兩人當(dāng)司機(jī)有,從余下三人中安排三個崗位，故有；所以每項工作至少有一人參加，甲、乙不會開車但能從事其他三項工作，丙、丁、戊都能勝任四項工作，則不同安排方案的種數(shù)是，即選項D正確，故選：D．【點睛】本題考查了排列知識的應(yīng)用.求解排列問題的六種主要方法:1.直接法:把符合條件的排列數(shù)直接列式計算;2.優(yōu)先法:優(yōu)先安排特殊元素或特殊位置;3.捆綁法:把相鄰元素看作一個整體與其他元素一起排列，同時注意捆綁元素的內(nèi)部排列;4.插空法:對不相鄰問題，先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元素排列的空當(dāng)中;5.定序問題除法處理:對于定序問題，可先不考慮順序限制，排列后，再除以定序元素的全排列;6.間接法:正難則反、等價轉(zhuǎn)化的方法.【名師押題·第一題】將兩個1，兩個3，一個5排成一行，則不同的排法種數(shù)為.（用數(shù)字作答）【答案】【分析】先給兩個1找兩個位置，再給兩個3找兩個位置，最后剩的一個位置排5即可.【詳解】第一步選2個空給兩個1有種選法，第二步選剩下的3個空給兩個3有種選法，最后剩一個空排5即可，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理有種排法，故答案為：.【名師押題·第二題】若二項式展開式中的常數(shù)項為160，則．【答案】2【分析】求出二項展開式的通項，令的指數(shù)等于零，再根據(jù)題意建立等量關(guān)系，即可求出.【詳解】由題二項式展開式的通項公式為：，所以當(dāng)時的項為常數(shù)項，解得.故答案為：2.【名師押題·第三題】已知的展開式中項的系數(shù)為60，則實數(shù)的值為.【答案】【分析】寫出的二項展開式，根據(jù)題意求出的系數(shù)，進(jìn)而列出等式求解即可.【詳解】，的二項展開式的通項為，令得，，的展示式中的系數(shù)為；令得，，的展開式中的系數(shù)為40，依題意，解得，故答案為：．【名師押題·第四題】一個質(zhì)點從平面直角坐標(biāo)系的原點出發(fā)，每秒末必須等可能向右、或向左、或向上、或向下跳一個單位長度，則此質(zhì)點在第10秒末到達(dá)點的跳法共有種．（用數(shù)字作答）【答案】9450【分析】結(jié)合題意先分三類，每類由乘法原理結(jié)合組合數(shù)計算，再由分步加法原理求和.【詳解】質(zhì)點第10秒末到達(dá)點共跳了10次，可分三類情況討論：第一類，向右跳4次，向上跳4次，向下跳2次，有種；第二類，向右跳5次，向左跳1次，向上跳3次，向下跳1次，有種；第三類，向右跳6次，向左跳2次，向上跳2次，有種；根據(jù)分類計數(shù)原理得，共有（種）．故答案為：9450.【名師押題·第五題】甲、乙等5名志愿者參加2025年文化和旅游發(fā)展大會的、、、四項服務(wù)工作，要求每名志愿者只能參加1項工作，每項工作至少安排1人，且甲不參加項工作，乙必須參加項工作，則不同的安排方法數(shù)有（

）A．36種 B．42種 C．54種 D．72種【答案】B【分析】按照B項工作安排的人數(shù)分為兩類，利用分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理求解即可.【詳解】安排B項工作的人數(shù)分為兩類，第一類，B項工作僅安排1人，因為甲不參加B項工作，乙必須參加D項工作，從甲、乙以外的3人中選一人參加B項工作有種方法，再安排A，C，D項工作，若D項工作安排兩人，則有種方法，若D項工作安排一人，則有種方法，所以B項工作僅安排1人共種方法，第二類，B項工作安排2人，有種方法，由分類加法計數(shù)原理，得共有種方法.故選：B.【名師押題·第六題】為拓展學(xué)生數(shù)學(xué)視野，鼓勵學(xué)生多讀數(shù)學(xué)書，學(xué)校舉辦了“數(shù)學(xué)圖書在哪”的抽獎活動.如圖，在一個5×5的方格表中，按如下規(guī)則放置了一些圖書，小方格中的數(shù)字表示與其有公共頂點的小方格的圖書的總本數(shù)，且有數(shù)字的小方格上沒有圖書，其余方格內(nèi)無限制，且每一個方格只能放1本圖書.則所有可能的圖書排列方式總數(shù)為（

）A．160 B．192 C．224 D．256【答案】B【分析】根據(jù)數(shù)字的約束，確定哪些方格可以放置圖書，通過分析每個數(shù)字的約束，確定可以放置圖書的方格，并計算最大可能的圖書數(shù)目，使用排列組合的方法，計算所有滿足條件的圖書放置方式的總數(shù).【詳解】如圖所示，灰色代表圖書位置，此時有11本圖書，接下來說明不可能有12本圖書，考慮數(shù)字控制的區(qū)域，假設(shè)有一種方式可以達(dá)到8本圖書，首先左上角區(qū)域只有2本圖書（下圖左），在大圖中去掉后變成了下圖中間的樣子，并且圖中應(yīng)有6本圖書.類似的，下方數(shù)字2代表周圍單元格中有2本圖書，再去掉后形如下方右側(cè)圖形，此時需要填4本圖書，但只剩下三個空方格，矛盾!故最多有7本，結(jié)合不受限制的區(qū)域，最多能抽中本書.接下來求所有可能的方法數(shù)，情形一：如圖所示，?處有圖書時，在左上數(shù)字2的周圍有兩種情形，若數(shù)字3右側(cè)方格無圖書，則4周圍的圖書排布方式已經(jīng)固定，此時下方數(shù)字2的排布方式也被固定，此時中間數(shù)字3周圍只有兩本圖書，矛盾，∴中間數(shù)字3右側(cè)必有圖書.此時如上右圖陰影區(qū)域中有且僅有一本圖書，故下方數(shù)字2左側(cè)或右側(cè)有一本圖書.若下方數(shù)字2左側(cè)有一本圖書，則右側(cè)沒有圖書，此時4周圍的圖書排布已經(jīng)固定，則此時3周圍圖書也已經(jīng)符合題意，只有一種情形.若下方數(shù)字2右側(cè)有一本圖書，此時考慮下方數(shù)字2周圍還應(yīng)存在的一本圖書的位置，若在2右上方，即上左圖中☆位置，則滿足題意，并且此時3周圍也滿足題意，4周圍還剩一本圖書，共有兩種選擇，共兩種；若不在2右上方，則4周圍圖書的排布已經(jīng)符合題意，3周圍還應(yīng)有一本圖書，共有兩種選擇.綜上，在情形一中，根據(jù)分類加法和分步乘法計數(shù)原理，共有種可能.情形二：如圖所示，?處無圖書時，左上數(shù)字2的圖書排布被固定，與情形一類似討論，可知3右側(cè)必有圖書，此時根據(jù)3周圍應(yīng)還有2本圖書得到下方的2左右兩側(cè)均無圖書（否則下方2周圍圖書數(shù)目大于2），故4周圍的圖書排列方式被固定，∴3周圍還應(yīng)有一本圖書，共有兩種選擇，故情形二共有2種可能.∴共有種.故選：B.事件與概率、分布列與統(tǒng)計綜合（選填題）年份題號分值題干考點2024年新高考I卷96（2024·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）隨著“一帶一路”國際合作的深入，某茶葉種植區(qū)多措并舉推動茶葉出口.為了解推動出口后的畝收入（單位：萬元）情況，從該種植區(qū)抽取樣本，得到推動出口后畝收入的樣本均值，樣本方差，已知該種植區(qū)以往的畝收入服從正態(tài)分布，假設(shè)推動出口后的畝收入服從正態(tài)分布，則（

）（若隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布，）B．C．D．指定區(qū)間的概率；正態(tài)分布的實際應(yīng)用2024年新高考I卷145（2024·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）甲、乙兩人各有四張卡片，每張卡片上標(biāo)有一個數(shù)字，甲的卡片上分別標(biāo)有數(shù)字1，3，5，7，乙的卡片上分別標(biāo)有數(shù)字2，4，6，8，兩人進(jìn)行四輪比賽，在每輪比賽中，兩人各自從自己持有的卡片中隨機(jī)選一張，并比較所選卡片上數(shù)字的大小，數(shù)字大的人得1分，數(shù)字小的人得0分，然后各自棄置此輪所選的卡片（棄置的卡片在此后的輪次中不能使用）.則四輪比賽后，甲的總得分不小于2的概率為.求離散型隨機(jī)變量的均值；均值的性質(zhì)；計算古典概型問題的概率2024年新高考II卷45（2024·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）某農(nóng)業(yè)研究部門在面積相等的100塊稻田上種植一種新型水稻，得到各塊稻田的畝產(chǎn)量（單位：kg）并整理如下表根據(jù)表中數(shù)據(jù)，下列結(jié)論中正確的是（

）A．100塊稻田畝產(chǎn)量的中位數(shù)小于1050kgB．100塊稻田中畝產(chǎn)量低于1100kg的稻田所占比例超過80%C．100塊稻田畝產(chǎn)量的極差介于200kg至300kg之間D．100塊稻田畝產(chǎn)量的平均值介于900kg至1000kg之間計算幾個數(shù)的平均數(shù)；計算幾個數(shù)據(jù)的極差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差；計算幾個數(shù)的中位數(shù)2023年新高考I卷95（2023·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）有一組樣本數(shù)據(jù)，其中是最小值，是最大值，則（

）A．的平均數(shù)等于的平均數(shù)B．的中位數(shù)等于的中位數(shù)C．的標(biāo)準(zhǔn)差不小于的標(biāo)準(zhǔn)差D．的極差不大于的極差計算幾個數(shù)的中位數(shù)；計算幾個數(shù)的平均數(shù)；計算幾個數(shù)據(jù)的極差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差2023年新