甘肅省蘭州市第二十七中學(xué)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期期末考試試題文(數(shù)學(xué))

甘肅省蘭州市第二十七中學(xué)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期期末考試試題文(數(shù)學(xué))一、選擇題1.若函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}$，則其定義域?yàn)椋ǎ〢.$\{x|x\neq0\}$B.$\{x|x\neq-1\}$C.$\{x|x\neq0\text{且}x\neq-1\}$D.$\{x|x\neq0\text{且}x\neq1\}$2.已知函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+4x+1$，若$f(x)$在$x=1$處取得極值，則該極值為（）A.$2$B.$-2$C.$3$D.$-3$3.若函數(shù)$f(x)=\sinx+\cosx$，則其周期為（）A.$2\pi$B.$\pi$C.$\frac{\pi}{2}$D.$\frac{\pi}{4}$4.設(shè)$a>0$，$b<0$，則不等式$|a+b|<|a-b|$的解集為（）A.$\{x|-a<a<b\}$B.$\{x|-a<b<a\}$C.$\{x|-a<b\}$D.$\{x|-a<a<b\}$5.已知數(shù)列$\{a_n\}$是等差數(shù)列，且$a_1=3$，$a_5=9$，則該數(shù)列的通項(xiàng)公式為（）A.$a_n=2n+1$B.$a_n=2n+2$C.$a_n=2n-1$D.$a_n=2n-2$二、填空題6.已知函數(shù)$f(x)=x^2-4x+4$，若$f(x)$在$x=2$處取得極值，則該極值為______。7.若函數(shù)$f(x)=\sinx+\cosx$，則其導(dǎo)數(shù)為______。8.已知數(shù)列$\{a_n\}$是等比數(shù)列，且$a_1=2$，$a_3=8$，則該數(shù)列的公比為______。三、解答題9.（本大題共12分）已知函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+4x+1$，求：（1）$f(x)$的導(dǎo)數(shù)$f'(x)$；（2）$f(x)$的單調(diào)遞增區(qū)間和單調(diào)遞減區(qū)間；（3）$f(x)$的極值點(diǎn)及對應(yīng)的極值。10.（本大題共12分）已知數(shù)列$\{a_n\}$是等差數(shù)列，且$a_1=3$，$a_5=9$，求：（1）該數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）該數(shù)列的前$n$項(xiàng)和$S_n$；（3）若$a_{10}=25$，求$n$的值。四、證明題要求：證明以下數(shù)列的性質(zhì)。11.證明數(shù)列$\{a_n\}$，其中$a_1=1$，$a_{n+1}=a_n+2n$，對于所有的$n\in\mathbb{N}^*$，都有$a_n=n^2-n+1$。五、應(yīng)用題要求：根據(jù)給定條件，求解下列問題。12.某商品的原價為$P$元，售價為$S$元。若商品的售價提高了20%，則銷售量下降了10%，但總銷售額仍保持不變。求原價$P$和售價$S$之間的關(guān)系。六、綜合題要求：結(jié)合所學(xué)知識，解答以下問題。13.已知函數(shù)$f(x)=\frac{x^3}{3}-2x^2+5x-4$，求：（1）$f(x)$的極值點(diǎn)；（2）$f(x)$在區(qū)間$[1,3]$上的最大值和最小值；（3）$f(x)$的單調(diào)遞增區(qū)間和單調(diào)遞減區(qū)間。本次試卷答案如下：一、選擇題1.C解析：函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}$的定義域?yàn)樗惺沟梅帜覆粸榱愕?x$的集合，即$x\neq0$且$x\neq-1$。2.A解析：函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+4x+1$的導(dǎo)數(shù)為$f'(x)=3x^2-6x+4$。在$x=1$處，$f'(1)=3(1)^2-6(1)+4=1$，因?yàn)閷?dǎo)數(shù)大于0，所以$f(x)$在$x=1$處取得極小值，極小值為$f(1)=1^3-3(1)^2+4(1)+1=3$。3.A解析：函數(shù)$f(x)=\sinx+\cosx$可以寫成$f(x)=\sqrt{2}\sin(x+\frac{\pi}{4})$的形式，其周期為$\frac{2\pi}{\sqrt{2}}=2\pi$。4.B解析：由于$a>0$，$b<0$，則$|a+b|=a-b$，因?yàn)?b$是負(fù)數(shù)，所以$|a-b|=b-a$，所以不等式$|a+b|<|a-b|$可以簡化為$a-b<b-a$，即$2a<0$，這是不可能的，因此不等式無解，解集為空集。5.B解析：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為$a_n=a_1+(n-1)d$，其中$a_1$是首項(xiàng)，$d$是公差。由$a_1=3$，$a_5=9$得到$9=3+(5-1)d$，解得$d=2$，所以通項(xiàng)公式為$a_n=3+2(n-1)=2n+1$。二、填空題6.0解析：函數(shù)$f(x)=x^2-4x+4$可以寫成$f(x)=(x-2)^2$的形式，在$x=2$處取得最小值，最小值為0。7.$\cosx-\sinx$解析：函數(shù)$f(x)=\sinx+\cosx$的導(dǎo)數(shù)為$f'(x)=\cosx-\sinx$。8.2解析：等比數(shù)列的通項(xiàng)公式為$a_n=a_1q^{n-1}$，其中$a_1$是首項(xiàng)，$q$是公比。由$a_1=2$，$a_3=8$得到$8=2q^2$，解得$q=2$。三、解答題9.（本大題共12分）（1）$f'(x)=3x^2-6x+4$（2）$f'(x)=3x^2-6x+4=0$，解得$x=1$或$x=\frac{2}{3}$。通過測試點(diǎn)或?qū)?shù)符號變化，可以得到$f(x)$的單調(diào)遞增區(qū)間為$(-\infty,\frac{2}{3})$和$(1,+\infty)$，單調(diào)遞減區(qū)間為$(\frac{2}{3},1)$。（3）在$x=1$處，$f(x)$取得極小值$f(1)=3-3+4+1=5$；在$x=\frac{2}{3}$處，$f(x)$取得極大值$f(\frac{2}{3})=(\frac{2}{3})^3-3(\frac{2}{3})^2+4(\frac{2}{3})+1=\frac{2}{27}-2+\frac{8}{3}+1=\frac{29}{27}$。10.（本大題共12分）（1）$a_n=2n+1$（2）$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{n(3+2n+1)}{2}=\frac{n(2n+4)}{2}=n^2+2n$（3）$a_{10}=2(10)+1=21$，所以$n=10$。四、證明題11.證明：由遞推關(guān)系$a_{n+1}=a_n+2n$，對于$n=1$，有$a_2=a_1+2=1+2=3$。假設(shè)對于某個$k$，$a_k=k^2-k+1$成立，則對于$k+1$，有$a_{k+1}=a_k+2k=k^2-k+1+2k=k^2+k+1=(k+1)^2-(k+1)+1$，因此由數(shù)學(xué)歸納法可知，對于所有的$n\in\mathbb{N}^*$，都有$a_n=n^2-n+1$。五、應(yīng)用題12.設(shè)原價為$P$元，售價為$S$元，則售價提高了20%后的售價為$1.2S$元，銷售量下降了10%后的銷售量為$0.9Q$，其中$Q$是原銷售量?？備N售額保持不變，即$PS=1.2S\cdot0.9Q$，化簡得$P=1.08Q$，所以原價$P$和售價$S$之間的關(guān)系為$P=1.08Q$。六、綜合題13.（本大題共12分）（1）$f'(x)=x^2-4x+5=0$，解得$x=2\pm\sqrt{1}$，即$x=3$或$x=1$。（2）通過測試點(diǎn)或?qū)?shù)符號變化，可以得到$f(x)$在$x=1$處取得極小值$f(1)=-\frac{2}{3}$，在$x=3$處取得極