2025版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第九章統(tǒng)計(jì)第3節(jié)變量間的相關(guān)關(guān)系與統(tǒng)計(jì)案例講義理含解析新人教A版

PAGEPAGE21第3節(jié)變量間的相關(guān)關(guān)系與統(tǒng)計(jì)案例考試要求1.了解樣本相關(guān)系數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義，了解樣本相關(guān)系數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)向量夾角的關(guān)系，會(huì)通過相關(guān)系數(shù)比較多組成對(duì)數(shù)據(jù)的相關(guān)性；2.了解一元線性回來模型的含義，了解模型參數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義，了解最小二乘原理，駕馭一元線性回來模型參數(shù)的最小二乘估計(jì)方法，會(huì)運(yùn)用相關(guān)的統(tǒng)計(jì)軟件，會(huì)用一元線性回來模型進(jìn)行預(yù)料；3.理解2×2列聯(lián)表的統(tǒng)計(jì)意義，了解2×2列聯(lián)表獨(dú)立性檢驗(yàn)及其應(yīng)用.知識(shí)梳理1.相關(guān)關(guān)系與回來分析回來分析是對(duì)具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的一種常用方法；推斷相關(guān)性的常用統(tǒng)計(jì)圖是：散點(diǎn)圖；統(tǒng)計(jì)量有相關(guān)系數(shù)與相關(guān)指數(shù).(1)在散點(diǎn)圖中，點(diǎn)散布在從左下角到右上角的區(qū)域，對(duì)于兩個(gè)變量的這種相關(guān)關(guān)系，我們將它稱為正相關(guān).(2)在散點(diǎn)圖中，點(diǎn)散布在從左上角到右下角的區(qū)域，兩個(gè)變量的這種相關(guān)關(guān)系稱為負(fù)相關(guān).(3)假如散點(diǎn)圖中點(diǎn)的分布從整體上看大致在一條直線旁邊，稱兩個(gè)變量具有線性相關(guān)關(guān)系.2.線性回來方程(1)最小二乘法：使得樣本數(shù)據(jù)的點(diǎn)到回來直線的距離的平方和最小的方法叫做最小二乘法.(2)回來方程：兩個(gè)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的一組數(shù)據(jù)：(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其回來方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，則eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up8(n),\s\do6(i＝1))(xi－\o(x,\s\up6(－)))(yi－\o(y,\s\up6(－))),\o(∑,\s\up8(n),\s\do6(i＝1))(xi－\o(x,\s\up6(－)))2)＝eq\f(\o(∑,\s\up8(n),\s\do6(i＝1))xiyi－n\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\o(∑,\s\up8(n),\s\do6(i＝1))xeq\o\al(2,i)－n\o(x,\s\up6(－))2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－)).其中，eq\o(b,\s\up6(^))是回來方程的斜率，eq\o(a,\s\up6(^))是在y軸上的截距.回來直線確定過樣本點(diǎn)的中心(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－))).3.回來分析(1)定義：對(duì)具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的一種常用方法.(2)樣本點(diǎn)的中心：對(duì)于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－)))稱為樣本點(diǎn)的中心.(3)相關(guān)系數(shù)當(dāng)r>0時(shí)，表明兩個(gè)變量正相關(guān)；當(dāng)r<0時(shí)，表明兩個(gè)變量負(fù)相關(guān).r的確定值越接近于1，表明兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng).r的確定值越接近于0，表明兩個(gè)變量之間幾乎不存在線性相關(guān)關(guān)系.通常|r|大于0.75時(shí)，認(rèn)為兩個(gè)變量有很強(qiáng)的線性相關(guān)性.(4)相關(guān)指數(shù)：R2＝1－eq\f(\o(∑,\s\up8(n),\s\do6(i＝1))（yi－\o(y,\s\up6(^))i）2,\o(∑,\s\up8(n),\s\do6(i＝1))（yi－\o(y,\s\up6(－))）2).其中eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))(yi－eq\o(y,\s\up6(^))i)2是殘差平方和，其值越小，則R2越大(接近1)，模型的擬合效果越好.4.獨(dú)立性檢驗(yàn)(1)利用隨機(jī)變量K2來推斷“兩個(gè)分類變量有關(guān)系”的方法稱為獨(dú)立性檢驗(yàn).(2)列聯(lián)表：列出的兩個(gè)分類變量的頻數(shù)表，稱為列聯(lián)表.假設(shè)有兩個(gè)分類變量X和Y，它們的可能取值分別為{x1，x2}和{y1，y2}，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表(2×2列聯(lián)表)為y1y2總計(jì)x1Aba＋bx2Cdc＋d總計(jì)a＋cb＋da＋b＋c＋d則隨機(jī)變量K2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（a＋c）（b＋d）（c＋d）)，其中n＝a＋b＋c＋d為樣本容量.[微點(diǎn)提示]1.求解回來方程的關(guān)鍵是確定回來系數(shù)eq\o(a,\s\up6(^))，eq\o(b,\s\up6(^))，應(yīng)充分利用回來直線過樣本中心點(diǎn)(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－))).2.依據(jù)K2的值可以推斷兩個(gè)分類變量有關(guān)的可信程度，若K2越大，則兩分類變量有關(guān)的把握越大.3.依據(jù)回來方程計(jì)算的eq\o(y,\s\up6(^))值，僅是一個(gè)預(yù)報(bào)值，不是真實(shí)發(fā)生的值.基礎(chǔ)自測(cè)1.推斷下列結(jié)論正誤(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”)(1)“名師出高徒”可以說明為老師的教學(xué)水平與學(xué)生的水平成正相關(guān)關(guān)系.()(2)通過回來直線方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))可以估計(jì)預(yù)報(bào)變量的取值和改變趨勢(shì).()(3)因?yàn)橛扇魏我唤M觀測(cè)值都可以求得一個(gè)線性回來方程，所以沒有必要進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn).()(4)事務(wù)X，Y關(guān)系越親密，則由觀測(cè)數(shù)據(jù)計(jì)算得到的K2的觀測(cè)值越大.()答案(1)√(2)√(3)×(4)√2.(選修2－3P91探究改編)為調(diào)查中學(xué)生近視狀況，測(cè)得某校男生150名中有80名近視，在140名女生中有70名近視.在檢驗(yàn)這些學(xué)生眼睛近視是否與性別有關(guān)時(shí)，用下列哪種方法最有勸服力()A.回來分析 B.均值與方差C.獨(dú)立性檢驗(yàn) D.概率解析“近視”與“性別”是兩類變量，其是否有關(guān)，應(yīng)用獨(dú)立性檢驗(yàn)推斷.答案C3.(選修2－3P85講解改編)兩個(gè)變量y與x的回來模型中，分別選擇了4個(gè)不同模型，它們的相關(guān)指數(shù)R2如下，其中擬合效果最好的模型是()A.模型1的相關(guān)指數(shù)R2為0.98B.模型2的相關(guān)指數(shù)R2為0.80C.模型3的相關(guān)指數(shù)R2為0.50D.模型4的相關(guān)指數(shù)R2為0.25解析在兩個(gè)變量y與x的回來模型中，它們的相關(guān)指數(shù)R2越近于1，模擬效果越好，在四個(gè)選項(xiàng)中A的相關(guān)指數(shù)最大，所以擬合效果最好的是模型1.答案A4.(2024·臨沂模擬)已知變量x和y的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：x34567y2.5344.56依據(jù)上表可得回來直線方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x－0.25，據(jù)此可以預(yù)料當(dāng)x＝8時(shí)，eq\o(y,\s\up6(^))＝()A.6.4 B.6.25 C.6.55 D.6.45解析由題意知eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(3＋4＋5＋6＋7,5)＝5，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(2.5＋3＋4＋4.5＋6,5)＝4，將點(diǎn)(5，4)代入eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x－0.25，解得eq\o(b,\s\up6(^))＝0.85，則eq\o(y,\s\up6(^))＝0.85x－0.25，所以當(dāng)x＝8時(shí)，eq\o(y,\s\up6(^))＝0.85×8－0.25＝6.55，故選C.答案C5.(2015·全國Ⅱ卷)依據(jù)下面給出的2004年至2013年我國二氧化硫年排放量(單位：萬噸)柱形圖，以下結(jié)論不正確的是()A.逐年比較，2008年削減二氧化硫排放量的效果最顯著B.2007年我國治理二氧化硫排放顯現(xiàn)成效C.2006年以來我國二氧化硫年排放量呈削減趨勢(shì)D.2006年以來我國二氧化硫年排放量與年份正相關(guān)解析對(duì)于A選項(xiàng)，由圖知從2007年到2008年二氧化硫排放量下降得最多，故A正確.對(duì)于B選項(xiàng)，由圖知，由2006年到2007年矩形高度明顯下降，因此B正確.對(duì)于C選項(xiàng)，由圖知從2006年以后除2011年稍有上升外，其余年份都是逐年下降的，所以C正確.由圖知2006年以來我國二氧化硫年排放量與年份負(fù)相關(guān)，D不正確.答案D6.(2024·天津和平區(qū)檢測(cè))某校為了探討學(xué)生的性別和對(duì)待某一活動(dòng)的看法(支持與不支持)的關(guān)系，運(yùn)用2×2列聯(lián)表進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)，經(jīng)計(jì)算K2＝6.705，則所得到的統(tǒng)計(jì)學(xué)結(jié)論是：有________的把握認(rèn)為“學(xué)生性別與支持該活動(dòng)沒有關(guān)系”.()P(K2≥k0)0.1000.0500.0250.0100.001k02.7063.8415.0246.63510.828A.99.9% B.99% C.1% D.0.1%解析因?yàn)?.635<6.705<10.828，因此有1%的把握認(rèn)為“學(xué)生性別與支持該活動(dòng)沒有關(guān)系”，故選C.答案C考點(diǎn)一相關(guān)關(guān)系的推斷【例1】(1)視察下列各圖形，其中兩個(gè)變量x，y具有相關(guān)關(guān)系的圖是()A.①② B.①④C.③④ D.②③(2)甲、乙、丙、丁四位同學(xué)各自對(duì)A，B兩變量的線性相關(guān)性做試驗(yàn)，并用回來分析方法分別求得相關(guān)系數(shù)r與殘差平方和m如下表：甲乙丙丁r0.820.780.690.85m106115124103則哪位同學(xué)的試驗(yàn)結(jié)果體現(xiàn)A，B兩變量有更強(qiáng)的線性相關(guān)性()A.甲 B.乙 C.丙 D.丁解析(1)由散點(diǎn)圖知③中的點(diǎn)都分布在一條直線旁邊.④中的點(diǎn)都分布在一條曲線旁邊，所以③④中的兩個(gè)變量具有相關(guān)關(guān)系.(2)在驗(yàn)證兩個(gè)變量之間的線性相關(guān)關(guān)系時(shí)，相關(guān)系數(shù)的確定值越接近于1，相關(guān)性越強(qiáng)，在四個(gè)選項(xiàng)中只有丁的相關(guān)系數(shù)最大；殘差平方和越小，相關(guān)性越強(qiáng)，只有丁的殘差平方和最小，綜上可知丁的試驗(yàn)結(jié)果體現(xiàn)了A，B兩變量有更強(qiáng)的線性相關(guān)性.答案(1)C(2)D規(guī)律方法1.散點(diǎn)圖中假如全部的樣本點(diǎn)都落在某一函數(shù)的曲線旁邊，變量之間就有相關(guān)關(guān)系.假如全部的樣本點(diǎn)都落在某始終線旁邊，變量之間就有線性相關(guān)關(guān)系.若點(diǎn)散布在從左下角到右上角的區(qū)域，則正相關(guān).2.利用相關(guān)系數(shù)判定，當(dāng)|r|越趨近于1相關(guān)性越強(qiáng).當(dāng)殘差平方和越小，相關(guān)指數(shù)R2越大，相關(guān)性越強(qiáng).若r>0，則正相關(guān)；r<0時(shí)，則負(fù)相關(guān).3.線性回來直線方程中：eq\o(b,\s\up6(^))>0時(shí)，正相關(guān)；eq\o(b,\s\up6(^))<0時(shí)，負(fù)相關(guān).【訓(xùn)練1】(1)已知變量x和y滿足關(guān)系y＝－0.1x＋1，變量y與z正相關(guān).下列結(jié)論中正確的是()A.x與y正相關(guān)，x與z負(fù)相關(guān)B.x與y正相關(guān)，x與z正相關(guān)C.x與y負(fù)相關(guān)，x與z負(fù)相關(guān)D.x與y負(fù)相關(guān)，x與z正相關(guān)(2)x和y的散點(diǎn)圖如圖所示，則下列說法中全部正確命題的序號(hào)為________.①x，y是負(fù)相關(guān)關(guān)系；②在該相關(guān)關(guān)系中，若用y＝c1ec2x擬合時(shí)的相關(guān)指數(shù)為Req\o\al(2,1)，用eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))擬合時(shí)的相關(guān)指數(shù)為Req\o\al(2,2)，則Req\o\al(2,1)>Req\o\al(2,2)；③x，y之間不能建立線性回來方程.解析(1)由y＝－0.1x＋1，知x與y負(fù)相關(guān)，即y隨x的增大而減小，又y與z正相關(guān)，所以z隨y的增大而增大，減小而減小，所以z隨x的增大而減小，x與z負(fù)相關(guān).(2)在散點(diǎn)圖中，點(diǎn)散布在從左上角到右下角的區(qū)域，因此x，y是負(fù)相關(guān)關(guān)系，故①正確；由散點(diǎn)圖知用y＝c1ec2x擬合比用eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))擬合效果要好，則Req\o\al(2,1)>Req\o\al(2,2)，故②正確；x，y之間可以建立線性回來方程，但擬合效果不好，故③錯(cuò)誤.答案(1)C(2)①②考點(diǎn)二線性回來方程及應(yīng)用【例2】(2024·日照調(diào)研)某地隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，居民收入逐年增長(zhǎng)，下表是該地一建設(shè)銀行連續(xù)五年的儲(chǔ)蓄存款(年底余額)，如下表1：年份x20132014201520242024儲(chǔ)蓄存款y(千億元)567810表1為了探討計(jì)算的便利，工作人員將上表的數(shù)據(jù)進(jìn)行了處理，t＝x－2012，z＝y(tǒng)－5得到下表2：時(shí)間代號(hào)t12345Z01235表2(1)求z關(guān)于t的線性回來方程；(2)通過(1)中的方程，求出y關(guān)于x的回來方程；(3)用所求回來方程預(yù)料到2024年年底，該地儲(chǔ)蓄存款額可達(dá)多少？(附：對(duì)于線性回來方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，其中eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up8(n),\s\do6(i＝1))xiyi－n\o(x,\s\up6(－))·\o(y,\s\up6(－)),\o(∑,\s\up8(n),\s\do6(i＝1))xeq\o\al(2,i)－n\o(x,\s\up6(－))2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－)))解(1)eq\o(t,\s\up6(－))＝3，eq\o(z,\s\up6(－))＝2.2，eq\o(∑,\s\up8(5),\s\do6(i＝1))tizi＝45，eq\o(∑,\s\up8(5),\s\do6(i＝1))teq\o\al(2,i)＝55，eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(45－5×3×2.2,55－5×9)＝1.2，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(z,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(t,\s\up6(－))＝2.2－3×1.2＝－1.4，所以eq\o(z,\s\up6(^))＝1.2t－1.4.(2)將t＝x－2012，z＝y(tǒng)－5，代入eq\o(z,\s\up6(^))＝1.2t－1.4，得y－5＝1.2(x－2012)－1.4，即eq\o(y,\s\up6(^))＝1.2x－2410.8.(3)因?yàn)閑q\o(y,\s\up6(^))＝1.2×2022－2410.8＝15.6，所以預(yù)料到2024年年底，該地儲(chǔ)蓄存款額可達(dá)15.6千億元.規(guī)律方法1.(1)正確理解計(jì)算eq\o(b,\s\up6(^))，eq\o(a,\s\up6(^))的公式和精確的計(jì)算是求線性回來方程的關(guān)鍵.(2)回來直線方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))必過樣本點(diǎn)中心(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－))).2.(1)在分析兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系時(shí)，可依據(jù)樣本數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖來確定兩個(gè)變量之間是否具有相關(guān)關(guān)系，若具有線性相關(guān)關(guān)系，則可通過線性回來方程來估計(jì)和預(yù)料.(2)對(duì)于非線性回來分析問題，應(yīng)先進(jìn)行變量代換，求出代換后的回來直線方程，再求非線性回來方程.【訓(xùn)練2】(2024·全國Ⅱ卷)如圖是某地區(qū)2000年至2024年環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額y(單位：億元)的折線圖.為了預(yù)料該地區(qū)2024年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額，建立了y與時(shí)間變量t的兩個(gè)線性回來模型.依據(jù)2000年至2024年的數(shù)據(jù)(時(shí)間變量t的值依次為1，2，…，17)建立模型①：eq\o(y,\s\up6(^))＝－30.4＋13.5t；依據(jù)2010年至2024年的數(shù)據(jù)(時(shí)間變量t的值依次為1，2，…，7)建立模型②：eq\o(y,\s\up6(^))＝99＋17.5t.(1)分別利用這兩個(gè)模型，求該地區(qū)2024年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)料值；(2)你認(rèn)為用哪個(gè)模型得到的預(yù)料值更牢靠？并說明理由.解(1)利用模型①，該地區(qū)2024年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)料值為eq\o(y,\s\up6(^))＝－30.4＋13.5×19＝226.1(億元).利用模型②，該地區(qū)2024年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)料值為eq\o(y,\s\up6(^))＝99＋17.5×9＝256.5(億元).(2)利用模型②得到的預(yù)料值更牢靠.理由如下：(ⅰ)從折線圖可以看出，2000年至2024年的數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)沒有隨機(jī)散布在直線y＝－30.4＋13.5t上下，這說明利用2000年至2024年的數(shù)據(jù)建立的線性模型①不能很好地描述環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的趨勢(shì).2010年相對(duì)2009年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額有明顯增加，2010年至2024年的數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于一條直線的旁邊，這說明從2010年起先環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的改變規(guī)律呈線性增長(zhǎng)趨勢(shì)，利用2010年至2024年的數(shù)據(jù)建立的線性模型eq\o(y,\s\up6(^))＝99＋17.5t可以較好地描述2010年以后的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的改變趨勢(shì)，因此利用模型②得到的預(yù)料值更牢靠.(ⅱ)從計(jì)算結(jié)果看，相對(duì)于2024年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額220億元，由模型①得到的預(yù)料值226.1億元的增幅明顯偏低，而利用模型②得到的預(yù)料值的增幅比較合理，說明利用模型②得到的預(yù)料值更牢靠.以上給出了2種理由，考生答出其中隨意一種或其他合理理由均可得分.考點(diǎn)三獨(dú)立性檢驗(yàn)【例3】(2024·湖南長(zhǎng)沙雅禮中學(xué)、河南省試驗(yàn)中學(xué)聯(lián)考)環(huán)境問題是當(dāng)今世界共同關(guān)注的問題，我國環(huán)?？偩忠罁?jù)空氣污染指數(shù)PM2.5濃度，制定了空氣質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)：空氣污染指數(shù)(0，50](50，100](100，150](150，200](200，300](300，＋∞)空氣質(zhì)量等級(jí)優(yōu)良輕度污染中度污染重度污染嚴(yán)峻污染某市政府為了打造漂亮城市，節(jié)能減排，從2010年起先考察了連續(xù)六年11月份的空氣污染指數(shù)，繪制了頻率分布直方圖，經(jīng)過分析探討，確定從2024年11月1日起在空氣質(zhì)量重度污染和嚴(yán)峻污染的日子對(duì)機(jī)動(dòng)車輛限號(hào)出行，即車牌尾號(hào)為單號(hào)的車輛單號(hào)出行，車牌尾號(hào)為雙號(hào)的車輛雙號(hào)出行(尾號(hào)是字母的，前13個(gè)視為單號(hào)，后13個(gè)視為雙號(hào)).王先生有一輛車，若11月份被限行的概率為0.05.(1)求頻率分布直方圖中m的值；(2)若按分層抽樣的方法，從空氣質(zhì)量良好與中度污染的天氣中抽取6天，再從這6天中隨機(jī)抽取2天，求至少有一天空氣質(zhì)量是中度污染的概率；(3)該市環(huán)保局為了調(diào)查汽車尾氣排放對(duì)空氣質(zhì)量的影響，對(duì)限行兩年來的11月份共60天的空氣質(zhì)量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，其結(jié)果如下表：空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良輕度污染中度污染重度污染嚴(yán)峻污染天數(shù)112711731依據(jù)限行前6年180天與限行后60天的數(shù)據(jù)，計(jì)算并填寫2×2列聯(lián)表，并回答是否有90%的把握認(rèn)為空氣質(zhì)量的優(yōu)良與汽車尾氣的排放有關(guān).空氣質(zhì)量?jī)?yōu)、良空氣質(zhì)量污染總計(jì)限行前限行后總計(jì)參考數(shù)據(jù)：P(K2≥k0)0.150.100.050.0250.0100.005k02.0722.7063.8415.0246.6357.879參考公式：K2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)，其中n＝a＋b＋c＋d.解(1)因?yàn)橄扌蟹謫坞p號(hào)，王先生的車被限行的概率為0.05，所以空氣重度污染和嚴(yán)峻污染的概率應(yīng)為0.05×2＝0.1，由頻率分布直方圖可知(0.004＋0.006＋0.005＋m)×50＋0.1＝1，解得m＝0.003.(2)因?yàn)榭諝赓|(zhì)量良好與中度污染的天氣的概率之比為0.3∶0.15＝2∶1，按分層抽樣的方法從中抽取6天，則空氣質(zhì)量良好的天氣被抽取的有4天，記作A1，A2，A3，A4，空氣中度污染的天氣被抽取的有2天，記作B1，B2，從這6天中隨機(jī)抽取2天，所包含的基本領(lǐng)件有(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，A4)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A4，B1)，(A4，B2)，(B1，B2)，共15個(gè)，記事務(wù)A為“至少有一天空氣質(zhì)量是中度污染”，則事務(wù)A所包含的事務(wù)有(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A4，B1)，(A4，B2)，(B1，B2)，共9個(gè)，故P(A)＝eq\f(9,15)＝eq\f(3,5)，即至少有一天空氣質(zhì)量是中度污染的概率為eq\f(3,5).(3)2×2列聯(lián)表如下：空氣質(zhì)量?jī)?yōu)、良空氣質(zhì)量污染總計(jì)限行前9090180限行后382260總計(jì)128112240由表中數(shù)據(jù)可得，K2＝eq\f(240×（90×22－90×38）2,180×60×128×112)≈3.214>2.706，所以有90%的把握認(rèn)為空氣質(zhì)量的優(yōu)良與汽車尾氣的排放有關(guān).規(guī)律方法1.在2×2列聯(lián)表中，假如兩個(gè)變量沒有關(guān)系，則應(yīng)滿足ad－bc≈0.|ad－bc|越小，說明兩個(gè)變量之間關(guān)系越弱；|ad－bc|越大，說明兩個(gè)變量之間關(guān)系越強(qiáng).2.解決獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用問題，確定要依據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)的步驟得出結(jié)論.獨(dú)立性檢驗(yàn)的一般步驟：(1)依據(jù)樣本數(shù)據(jù)制成2×2列聯(lián)表：(2)依據(jù)公式K2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（a＋c）（b＋d）（c＋d）)計(jì)算K2的觀測(cè)值k；(3)比較觀測(cè)值k與臨界值的大小關(guān)系，作統(tǒng)計(jì)推斷.【訓(xùn)練3】為了推斷中學(xué)三年級(jí)學(xué)生是否選修文科與性別的關(guān)系，現(xiàn)隨機(jī)抽取50名學(xué)生，得到如下2×2列聯(lián)表：理科文科男1310女720已知P(K2≥3.841)≈0.05，P(K2≥5.024)≈0.025.依據(jù)表中數(shù)據(jù)，得到K2的觀測(cè)值k＝eq\f(50×（13×20－10×7）2,23×27×20×30)≈4.844.則認(rèn)為選修文科與性別有關(guān)系出錯(cuò)的可能性為________.解析K2的觀測(cè)值k≈4.844，這表明小概率事務(wù)發(fā)生.依據(jù)假設(shè)檢驗(yàn)的基本原理，應(yīng)當(dāng)斷定“是否選修文科與性別之間有關(guān)系”成立，并且這種推斷出錯(cuò)的可能性約為5%.答案5%[思維升華]1.求回來方程，關(guān)鍵在于正確求出系數(shù)a^，b^，由于a^，b^的計(jì)算量大，計(jì)算時(shí)應(yīng)細(xì)致謹(jǐn)慎，分步進(jìn)行，避開因計(jì)算而產(chǎn)生錯(cuò)誤.2.回來分析是處理變量相關(guān)關(guān)系的一種數(shù)學(xué)方法.主要解決：(1)確定特定量之間是否有相關(guān)關(guān)系，假如有就找出它們之間貼近的數(shù)學(xué)表達(dá)式；(2)依據(jù)一組視察值，預(yù)料變量的取值及推斷變量取值的改變趨勢(shì)；(3)求出線性回來方程.[易錯(cuò)防范]1.回來分析是對(duì)具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的方法，只有在散點(diǎn)圖大致呈線性時(shí)，求出的線性回來方程才有實(shí)際意義，否則，求出的線性回來方程毫無意義.2.獨(dú)立性檢驗(yàn)中統(tǒng)計(jì)量K2的觀測(cè)值k0的計(jì)算公式很困難，在解題中易混淆一些數(shù)據(jù)的意義，代入公式時(shí)出錯(cuò)，而導(dǎo)致整個(gè)計(jì)算結(jié)果出錯(cuò).基礎(chǔ)鞏固題組(建議用時(shí)：40分鐘)一、選擇題1.對(duì)四組數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，獲得如圖所示的散點(diǎn)圖，關(guān)于其相關(guān)系數(shù)的比較，正確的是()A.r2<r4<0<r3<r1 B.r4<r2<0<r1<r3C.r4<r2<0<r3<r1 D.r2<r4<0<r1<r3解析由散點(diǎn)圖知圖(1)與圖(3)是正相關(guān)，故r1>0，r3>0，圖(2)與圖(4)是負(fù)相關(guān)，故r2<0，r4<0，且圖(1)與圖(2)的樣本點(diǎn)集中在一條直線旁邊，因此r2<r4<0<r3<r1，故選A.答案A2.有下列說法：①在殘差圖中，殘差點(diǎn)比較勻稱地落在水平的帶狀區(qū)域內(nèi)，說明選用的模型比較合適.②用相關(guān)指數(shù)R2來刻畫回來的效果，R2值越接近于1，說明模型的擬合效果越好.③比較兩個(gè)模型的擬合效果，可以比較殘差平方和的大小，殘差平方和越小的模型，擬合效果越好.正確的是()A.①② B.②③ C.①③ D.①②③答案D3.在一次對(duì)性別與說謊是否相關(guān)的調(diào)查中，得到如下數(shù)據(jù)：說謊不說謊總計(jì)男6713女8917總計(jì)141630依據(jù)表中數(shù)據(jù)，得到如下結(jié)論正確的一項(xiàng)是()A.在此次調(diào)查中有95%的把握認(rèn)為是否說謊與性別有關(guān)B.在此次調(diào)查中有99%的把握認(rèn)為是否說謊與性別有關(guān)C.在此次調(diào)查中有99.5%的把握認(rèn)為是否說謊與性別有關(guān)D.在此調(diào)查中沒有充分的證據(jù)顯示說謊與性別有關(guān)解析由已知得k＝eq\f(30×（6×9－7×8）2,13×17×14×16)≈0.002<0.455，所以在犯錯(cuò)誤的概率不超過50%的狀況下，認(rèn)為說謊與性別無關(guān)，也就是說，在此調(diào)查中沒有充分的證據(jù)顯示說謊與性別有關(guān).答案D4.(2024·衡水中學(xué)調(diào)研)已知變量x，y之間的線性回來方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝－0.7x＋10.3，且變量x，y之間的一組相關(guān)數(shù)據(jù)如下表所示，則下列說法錯(cuò)誤的是()x681012y6m32A.變量x，y之間呈負(fù)相關(guān)關(guān)系B.可以預(yù)料，當(dāng)x＝20時(shí)，eq\o(y,\s\up6(^))＝－3.7C.m＝4D.該回來直線必過點(diǎn)(9，4)解析由－0.7<0，得變量x，y之間呈負(fù)相關(guān)關(guān)系，故A正確；當(dāng)x＝20時(shí)，eq\o(y,\s\up6(^))＝－0.7×20＋10.3＝－3.7，故B正確；由表格數(shù)據(jù)可知eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,4)×(6＋8＋10＋12)＝9，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(1,4)(6＋m＋3＋2)＝eq\f(11＋m,4)，則eq\f(11＋m,4)＝－0.7×9＋10.3，解得m＝5，故C錯(cuò)；由m＝5，得eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(6＋5＋3＋2,4)＝4，所以該回來直線必過點(diǎn)(9，4)，故D正確.故選C.答案C5.通過隨機(jī)詢問110名性別不同的學(xué)生是否愛好某項(xiàng)運(yùn)動(dòng)，得到如下的列聯(lián)表：男女總計(jì)愛好402060不愛好203050總計(jì)6050110K2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)算得，K2＝eq\f(110×（40×30－20×20）2,60×50×60×50)≈7.8.得到的正確結(jié)論是()A.有99%以上的把握認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”B.有99%以上的把握認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別無關(guān)”C.有95%以上的把握認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”D.有95%以上的把握認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別無關(guān)”解析依據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)的定義，由K2≈7.8>6.635，可知我們有99%的把握認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”.答案A二、填空題6.某單位為了了解用電量y(度)與氣溫x(℃)之間的關(guān)系，隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了某4天的用電量與當(dāng)天氣溫，并制作了比照表：氣溫(℃)181310－1用電量(度)24343864由表中數(shù)據(jù)得回來直線方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))中的eq\o(b,\s\up6(^))＝－2，預(yù)料當(dāng)氣溫為－4℃時(shí)，用電量約為________度.解析依據(jù)題意知eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(18＋13＋10＋（－1）,4)＝10，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(24＋34＋38＋64,4)＝40.所以eq\o(a,\s\up6(^))＝40－(－2)×10＝60，eq\o(y,\s\up6(^))＝－2x＋60.所以當(dāng)x＝－4時(shí)，y＝(－2)×(－4)＋60＝68，所以用電量約為68度.答案687.(2024·濟(jì)南調(diào)研)心理學(xué)家分析發(fā)覺視覺和空間想象實(shí)力與性別有關(guān)，某數(shù)學(xué)愛好小組為了驗(yàn)證這個(gè)結(jié)論，從所在學(xué)校中按分層抽樣的方法抽取50名同學(xué)(男30，女20)，給全部同學(xué)幾何題和代數(shù)題各一題，讓各位同學(xué)自由選擇一道題進(jìn)行解答.選題狀況如下表：(單位：人)幾何題代數(shù)題總計(jì)男同學(xué)22830女同學(xué)81220總計(jì)302050依據(jù)上述數(shù)據(jù)，推斷視覺和空間想象實(shí)力與性別有關(guān)系，則這種推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過________.附表：P(K2≥k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828解析由列聯(lián)表計(jì)算K2的觀測(cè)值k＝eq\f(50（22×12－8×8）2,30×20×20×30)≈5.556>5.024.∴推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過0.025.答案0.0258.(2024·廣東深中、華附、省實(shí)、廣雅四校聯(lián)考)如圖是一組數(shù)據(jù)(x，y)的散點(diǎn)圖，經(jīng)最小二乘估計(jì)公式計(jì)算，y與x之間的線性回來方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋1，則eq\o(b,\s\up6(^))＝________.解析由題圖知eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(0＋1＋3＋4,4)＝2，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(0.9＋1.9＋3.2＋4.4,4)＝2.6，將(2，2.6)代入eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋1中，解得eq\o(b,\s\up6(^))＝0.8.答案0.8三、解答題9.(2024·天津河西區(qū)調(diào)研)某廠商為了解用戶對(duì)其產(chǎn)品是否滿足，在運(yùn)用該產(chǎn)品的用戶中隨機(jī)調(diào)查了80人，結(jié)果如下表：滿足不滿足男用戶3010女用戶2020(1)依據(jù)上表，現(xiàn)用分層抽樣的方法抽取對(duì)產(chǎn)品滿足的用戶5人，在這5人中任選2人，求被選中的恰好是男、女用戶各1人的概率；(2)有多大把握認(rèn)為用戶對(duì)該產(chǎn)品是否滿足與用戶性別有關(guān)？請(qǐng)說明理由.P(K2≥k0)0.1000.0500.0250.010k02.7063.8415.0246.635注：K2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)，n＝a＋b＋c＋d.解(1)用分層抽樣的方法在滿足產(chǎn)品的用戶中抽取5人，則抽取比例為eq\f(5,50)＝eq\f(1,10).所以在滿足產(chǎn)品的用戶中應(yīng)抽取女用戶20×eq\f(1,10)＝2(人)，男用戶30×eq\f(1,10)＝3(人).抽取的5人中，三名男用戶記為a，b，c，兩名女用戶記為r，s，則從這5人中任選2人，共有10種狀況：ab，ac，ar，as，bc，br，bs，cr，cs，rs.其中恰好是男、女用戶各1人的有6種狀況：ar，as，br，bs，cr，cs.故所求的概率為P＝eq\f(6,10)＝0.6.(2)由題意，得K2的觀測(cè)值為k＝eq\f(80（30×20－20×10）2,（30＋20）（10＋20）（30＋10）（20＋20）)＝eq\f(16,3)≈5.333>5.024.又P(K2≥5.024)＝0.025.故有97.5%的把握認(rèn)為“產(chǎn)品用戶是否滿足與性別有關(guān)”.10.調(diào)查某公司的五名推銷員，其工作年限與年推銷金額如下表：推銷員ABCDE工作年限x(年)23578年推銷金額y(萬元)33.546.58(1)在圖中畫出年推銷金額關(guān)于工作年限的散點(diǎn)圖，并從散點(diǎn)圖中發(fā)覺工作年限與年推銷金額之間關(guān)系的一般規(guī)律；(2)利用最小二乘法求年推銷金額關(guān)于工作年限的回來直線方程；(3)利用(2)中的回來方程，預(yù)料工作年限為10年的推銷員的年推銷金額.附：eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up8(n),\s\do6(i＝1))（xi－\o(x,\s\up6(－))）（yi－\o(y,\s\up6(－))）,\o(∑,\s\up8(n),\s\do6(i＝1))（xi－\o(x,\s\up6(－))）2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－)).解(1)年推銷金額關(guān)于工作年限的散點(diǎn)圖如圖：從散點(diǎn)圖可以看出，各點(diǎn)散布在從左下角到右上角的區(qū)域里，因此，工作年限與年推銷金額正相關(guān)，即工作年限越長(zhǎng)，年推銷金額越大.(2)由表中數(shù)據(jù)可得：eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,5)×(2＋3＋5＋7＋8)＝5，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(1,5)×(3＋3.5＋4＋6.5＋8)＝5，eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up8(n),\s\do6(i＝1))（xi－\o(x,\s\up6(－))）（yi－\o(y,\s\up6(－))）,\o(∑,\s\up8(n),\s\do6(i＝1))（xi－\o(x,\s\up6(－))）2)＝eq\f(（－3）×（－2）＋（－2）×（－1.5）＋0＋2×1.5＋3×3,9＋4＋0＋4＋9)＝eq\f(21,26)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))＝5－eq\f(21,26)×5＝eq\f(25,26)，∴年推銷金額關(guān)于工作年限的回來直線方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\f(21,26)x＋eq\f(25,26).(3)當(dāng)x＝10時(shí)，eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\f(21,26)×10＋eq\f(25,26)＝eq\f(235,26)，∴預(yù)料工作年限為10年的推銷員的年推銷金額為eq\f(235,26)萬元.實(shí)力提升題組(建議用時(shí)：20分鐘)11.在吸煙與患肺癌這兩個(gè)分類變量的獨(dú)立性檢驗(yàn)的計(jì)算中，下列說法正確的是()A.若K2的觀測(cè)值為k＝6.635，在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為吸煙與患肺癌有關(guān)系，那么在100個(gè)吸煙的人中必有99人患有肺癌B.由獨(dú)立性檢驗(yàn)可知，在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為吸煙與患肺癌有關(guān)系時(shí)，我們說某人吸煙，那么他有99%的可能患有肺癌C.若從統(tǒng)計(jì)量中求出在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為吸煙與患肺癌有關(guān)系，是指有1%的可能性使得推斷出現(xiàn)錯(cuò)誤D.以上三種說法都不正確解析獨(dú)立性檢驗(yàn)得出的結(jié)論是帶有概率性質(zhì)的，只能說結(jié)論成立的概率有多大，而不能完全確定一個(gè)結(jié)論，因此才出現(xiàn)了臨界值表，在分析問題時(shí)確定要留意這點(diǎn)，不行對(duì)某個(gè)問題下確定性結(jié)論，否則就可能對(duì)統(tǒng)計(jì)計(jì)算的結(jié)果作出錯(cuò)誤的說明.若從統(tǒng)計(jì)量中求出在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為吸煙與患肺癌有關(guān)系，是指有1%的可能性使得推斷出現(xiàn)錯(cuò)誤.故選C.答案C12.(2024·承德期末)某城市收集并整理了該市2024年1月份至10月份各月最低氣溫與最高氣溫(單位：℃)的數(shù)據(jù)，繪制了下面的折線圖.已知該城市各月的最低氣溫與最高氣溫具有較好的線性關(guān)系，則依據(jù)折線圖，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()A.最低氣溫與最高氣溫為正相關(guān)B.10月的最高氣溫不低于5月的最高氣溫C.月溫差(最高氣溫減最低氣溫)的最大值出現(xiàn)在1月D.最低氣溫低于0℃的月份有4個(gè)解析在A中，最低氣溫與最高氣溫為正相關(guān)，故A正確；在B中，10月的最高氣溫不低于5月的最高氣溫，故B正確；在C中，月溫差(最高氣溫減最低氣溫)的最大值出現(xiàn)在1月，故C正確；在D中，最低氣溫低于0℃的月份有3個(gè)，故D錯(cuò)誤.故選D.答案D13.在2024年3月15日那天，某市物價(jià)部門對(duì)本市的5家商場(chǎng)的某商品的一天銷售量及其價(jià)格進(jìn)行調(diào)查，5家商場(chǎng)的售價(jià)x元和銷售量y件之間的一組數(shù)據(jù)如下表所示：價(jià)格x99.5m10.511銷售量y11n865由散點(diǎn)圖可知，銷售量y與價(jià)格x之間有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，其線性回來方程是eq\o(y,\s\up6(^))＝－3.2x＋40，且m＋n＝20，則其中的n＝________.解析eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(9＋9.5＋m＋10.5＋11,5)＝8＋eq\f(m,5)，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(11＋n＋8＋6＋5,5)＝6＋eq\f(n,5).回來直線確定經(jīng)過樣本中心(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－)))，即6＋eq\f(n,5)＝－3.2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(8＋\f(m,5)))＋40，即3.2m＋n＝42.又因?yàn)閙＋n＝20，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3.2m＋n＝42，,m＋n＝20，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝10，,n＝10，))故n＝10.答案1014.(2024·山東、湖北部分重點(diǎn)中學(xué)模擬)某地級(jí)市共有200000名中小學(xué)生，其中有7%的學(xué)生在2024年享受了“國家精準(zhǔn)扶貧”政策，在享受“國家精準(zhǔn)扶貧”政策的學(xué)生中困難程度分為三個(gè)等次：一般困難、很困難、特殊困難，且人數(shù)之比為5∶3∶2，為進(jìn)一步幫助這些學(xué)生，當(dāng)?shù)厥姓O(shè)立“專項(xiàng)教化基金”，對(duì)這三個(gè)等次的困難學(xué)生每年每人分別補(bǔ)助1000元、1500元、2000元.經(jīng)濟(jì)學(xué)家調(diào)查發(fā)覺，當(dāng)?shù)厝司芍涫杖胼^上一年每增加有n%，一般困難的學(xué)生中有3n%會(huì)脫貧，脫貧后將不再享受“國家精準(zhǔn)扶貧”政策，很困難的學(xué)生中有2n%轉(zhuǎn)為一般困難，特殊困難的學(xué)生中有n%轉(zhuǎn)為很困難.現(xiàn)統(tǒng)計(jì)了該地級(jí)市2013年到2024年共5年的人均可支配收入，對(duì)數(shù)據(jù)初步處理后得到了如圖所示的散點(diǎn)圖和表中統(tǒng)計(jì)量的值，其中年份x取13時(shí)代表2013年，x與y(萬