安徽省鼎尖聯(lián)考2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期4月月考數(shù)學(xué)試題（解析）

第頁，共頁高二數(shù)學(xué)A卷滿分：150分考試時(shí)間：120分鐘注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)．2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡簽字筆書寫，字體工整、筆跡清晰．3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效．4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑．5．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.的展開式中的系數(shù)為（）A.10 B.20 C.30 D.40【答案】D【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求值.【詳解】因?yàn)檎归_式的第項(xiàng)為：.由.即.所以的系數(shù)為.故選：D2.已知函數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求導(dǎo)，代入，計(jì)算出答案.【詳解】，令得，解得.故選：A3.等比數(shù)列的公比，前項(xiàng)和為，若成等差數(shù)列，則（）A.32 B.62 C.124 D.248【答案】B【解析】【分析】利用等差中項(xiàng)的性質(zhì)結(jié)合等比數(shù)列通項(xiàng)公式求出首項(xiàng)，再根據(jù)等比數(shù)列前項(xiàng)和公式求值.【詳解】由題意，成等差數(shù)列，則，即，因?yàn)?，所以，解?則.故選：B.4.已知函數(shù)，則函數(shù)在處的切線方程為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)并根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求得切線方程.詳解】易知，可得，又，所以切線方程為，即.故選：D5.中國古代儒家提出的“六藝”是指：禮、樂、射、御、書、數(shù)，某校國學(xué)社團(tuán)預(yù)計(jì)在周六開展“六藝”課程講座活動(dòng)，周六這天準(zhǔn)備排課六節(jié)，每藝一節(jié)，其中“禮”和“樂”均不排在第一和第六節(jié)，且“禮”和“樂”不相鄰，則排法有（）A.72種 B.144種 C.150種 D.240種【答案】B【解析】【分析】利用插空法計(jì)算可得.【詳解】先排射、御、書、數(shù)4節(jié)，有種排法，因?yàn)椤岸Y”和“樂”均不排在第一和第六節(jié)，且“禮”和“樂”不相鄰，所以從射、御、書、數(shù)中間的3個(gè)空選2個(gè)空排“禮”和“樂”，有種排法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，滿足條件的排列方法有：種.故選：B6.如圖，已知在長方體中，，點(diǎn)E在棱上，且，則直線與直線所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而得到向量和的坐標(biāo)，再利用向量的夾角公式求出兩向量夾角的余弦值，由于異面直線所成角的范圍是，所以取其絕對(duì)值即為異面直線所成角的余弦值．【詳解】以為原點(diǎn)，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系．已知，，則，．所以，，．因?yàn)辄c(diǎn)在棱上，且，，所以，，則．

所以，．

根據(jù)向量的夾角公式．先計(jì)算．．．則．

因?yàn)楫惷嬷本€所成角的范圍是，所以直線與直線所成角的余弦值為．

直線與直線所成角的余弦值為．故選：C．7.已知，則下列說法正確的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用換底公式，作差法結(jié)合基本不等式，可比較的大小；在利用函數(shù)的單調(diào)性比較的大小.【詳解】因?yàn)?，所?又因，所以，而，所以.綜上.故選：A8.定義“鼎尖數(shù)列”滿足以下條件：是由4個(gè)1和4個(gè)2組成的有窮數(shù)列，且對(duì)任意的，前m項(xiàng)中1的個(gè)數(shù)不少于2的個(gè)數(shù)．則不同的“鼎尖數(shù)列”共有（）A.10個(gè) B.12個(gè) C.14個(gè) D.18個(gè)【答案】C【解析】【分析】利用表格把滿足條件的數(shù)列一一列舉出來即可得到答案.【詳解】依次列舉，滿足條件的“鼎尖數(shù)列”如下：11112222212221221211222122121122121112221221211221可知：不同的“鼎尖數(shù)列”共有個(gè).故選：C二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知一元三次函數(shù)的圖象過點(diǎn)，其導(dǎo)函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.B.C.函數(shù)的極小值點(diǎn)為D.函數(shù)的對(duì)稱中心是【答案】AB【解析】【分析】求原函數(shù)：已知導(dǎo)函數(shù)，得到含常數(shù)的原函數(shù)，再用已知點(diǎn)坐標(biāo)確定的值．

判斷選項(xiàng)A：把代入已求出的原函數(shù)，計(jì)算函數(shù)值來判斷對(duì)錯(cuò)．

判斷選項(xiàng)B：依據(jù)導(dǎo)數(shù)定義，就是，代入導(dǎo)函數(shù)計(jì)算．

判斷選項(xiàng)C：先求導(dǎo)函數(shù)的根，再分析根兩側(cè)導(dǎo)函數(shù)正負(fù)確定單調(diào)性，進(jìn)而判斷極小值點(diǎn)，注意極小值點(diǎn)是的值．

判斷選項(xiàng)D：對(duì)原函數(shù)求二階導(dǎo)數(shù)，令二階導(dǎo)數(shù)為求出，再代入原函數(shù)求函數(shù)值，與所給對(duì)稱中心對(duì)比判斷．【詳解】已知，設(shè)原函數(shù)：（為常數(shù)）．因?yàn)楹瘮?shù)的圖象過點(diǎn)，將代入可得：，解得．所以．

將代入可得：，所以選項(xiàng)A正確．

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，．將代入可得：，所以選項(xiàng)B正確．

令，即，解得或．當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．所以是函數(shù)的極小值點(diǎn)，而不是點(diǎn)，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤．

根據(jù)三次函數(shù)對(duì)稱中心為，對(duì)于，，所以函數(shù)的對(duì)稱中心是，選項(xiàng)D錯(cuò)誤．故選：AB．10.已知直線的方程為，圓C的方程為．則下列說法正確的是（）A.直線恒過點(diǎn)B.直線的方向向量與向量共線C.若直線與C有公共點(diǎn)，則D.當(dāng)時(shí)，則直線與圓C所交弦長為【答案】ACD【解析】【分析】A令即可；B求出直線的方向向量，再判斷與是否共線；C利用圓心到直線的距離；D利用公式即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，，則直線恒過定點(diǎn)，故A正確；直線的方向向量為，若與共線，則，得，故只有當(dāng)時(shí)才與共線，故B錯(cuò)誤；若直線與C有公共點(diǎn)，且圓的半徑，則圓心到直線的距離，解得或，故C正確；當(dāng)時(shí)，圓心到直線的距離，因圓的半徑，則弦長為，故D正確.故選：ACD11.如圖，“楊輝三角”是我國古代的偉大發(fā)明，其中表示第i行的第j個(gè)數(shù)表示第i行所有數(shù)字之和，例如．則下列說法正確的是（）A.B.C.若，則數(shù)列的前n和為D.若，則【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的概念可判斷AB的真假；根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)結(jié)合等比數(shù)列的求和公式可判斷CD的真假.【詳解】對(duì)A：因?yàn)?，故A正確；對(duì)B：因?yàn)?，故B錯(cuò)誤；對(duì)C：因?yàn)?，所以，所以?shù)列的前項(xiàng)和為：，故C正確；對(duì)D：當(dāng)，時(shí)，，故D正確.故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.某學(xué)校為培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手能力、合作能力和環(huán)保意識(shí)，在新的學(xué)期建立了一塊勞動(dòng)基地（形狀如圖），并進(jìn)行花卉種植活動(dòng)．現(xiàn)有4種不同的花卉，在基地的5個(gè)區(qū)域種植，只要求相鄰區(qū)域種植不同的花卉，則不同的種植方法共有___________種．【答案】72【解析】【分析】按照分類加法和分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】依題意可按照的順序分為5步進(jìn)行種植，則區(qū)域1，2，3各有4種、3種、2種不同的花卉供選擇，若區(qū)域4與區(qū)域2種植相同的花卉，則區(qū)域4有一種選擇，區(qū)域5有2種；若區(qū)域4與區(qū)域2種植不同的花卉，則區(qū)域4有一種選擇，區(qū)域5有1種；再由分類分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得.故答案為：7213.如圖，雷達(dá)接收器的工作原理是將接收信號(hào)匯集到同一焦點(diǎn)，從而獲取信息；已知雷達(dá)接收器的截面曲線可看作拋物線，則水平光信號(hào)入射到拋物線上點(diǎn)A，經(jīng)拋物線反射到點(diǎn)B，反射光線與x軸的交點(diǎn)為F，則的最小值為___________．【答案】9【解析】【分析】設(shè)，利用焦半徑公式計(jì)算可得的表達(dá)式，再由三角函數(shù)值域計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意可知，直線過拋物線的焦點(diǎn)，作，垂直于拋物線的準(zhǔn)線，垂足分別為，如下圖所示：設(shè)，易知，可得，即，可得，同理可得，因此，由因?yàn)椋?，因?即的最小值為9.故答案為：914.已知函數(shù)，則函數(shù)與函數(shù)的公切線有___________條．【答案】2【解析】【分析】分別設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，求出兩切點(diǎn)處的切線方程聯(lián)立方程組并得出關(guān)系式，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得其單調(diào)性得出零點(diǎn)個(gè)數(shù)即可求得切弦條數(shù).【詳解】設(shè)在函數(shù)函數(shù)與函數(shù)處的切點(diǎn)分別為，則，因此，可得切線方程為，即；由，則，因此切線方程為，即；令，因此可得，設(shè)，則，令，解得，即在上單調(diào)遞增，令，解得，即在上單調(diào)遞減；當(dāng)，，又，；因此函數(shù)上有兩個(gè)零點(diǎn)，即公切線有2條.故答案為：2【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解公切線條數(shù)問題首先設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，求出切線方程并得出切點(diǎn)間的關(guān)系式，再構(gòu)造函數(shù)轉(zhuǎn)化為求解方程根的個(gè)數(shù)（或函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)）即可.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知二項(xiàng)式，且滿足．求：（1）n的值和所有項(xiàng)的系數(shù)之和；（2）二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)．【答案】（1），；（2）和.【解析】【分析】（1）利用組合數(shù)的計(jì)算可求得，再利用賦值法求所有項(xiàng)的系數(shù)之和；（2）利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)得出二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)，根據(jù)展開式的通項(xiàng)公式求解即可.【小問1詳解】由可得，因?yàn)?，?jīng)整理可得，即，解得或（舍去），所以，.令，二項(xiàng)式所有項(xiàng)的系數(shù)之和為.【小問2詳解】二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)公式為，因?yàn)槭瞧鏀?shù)，所以二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是和，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是和.16.某商場在“五一”勞動(dòng)節(jié)期間，要對(duì)某商品進(jìn)行調(diào)價(jià)，已知該商品的每日銷售量y（單位：）與銷售價(jià)格x（單位：百元/）滿足，其中，該商品的成本為1百元/．（1）將該商場每日銷售該商品所獲利潤表示為銷售價(jià)格x的函數(shù)；（2）當(dāng)每日銷售該商品所獲利潤最大和最小時(shí)，銷售價(jià)格分別是多少？（參考數(shù)據(jù)：）【答案】（1），（）（2）當(dāng)銷售單價(jià)（百元）時(shí)，利潤最大；當(dāng)銷售單價(jià)（百元）時(shí)，利潤最小.【解析】【分析】（1）根據(jù)“利潤銷售量單位利潤”可列出函數(shù)關(guān)系.（2）求導(dǎo)，分析函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可得函數(shù)的最大、最小值.【小問1詳解】由題意：，（）.【小問2詳解】因?yàn)?，（?設(shè)，（）則，因?yàn)?，所?所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.又，，又當(dāng)時(shí)，，所以，所以在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，所以，所以在上單調(diào)遞增.又，，.所以當(dāng)銷售單價(jià)（百元）時(shí)，利潤最大；當(dāng)銷售單價(jià)（百元）時(shí)，利潤最小.17.已知數(shù)列滿足，且．（1）求證：數(shù)列為等差數(shù)列；（2）已知，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求證：．【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的概念證明數(shù)列為等差數(shù)列.（2）根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式，寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式，分析數(shù)列的項(xiàng)滿足，所以，即可證明.【小問1詳解】因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，所以，所以，又，所以數(shù)列為以3為首項(xiàng)，以3為公差的等差數(shù)列.【小問2詳解】由（1）得：.所以.所以.18.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；（2）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；（3）若函數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）極小值；極大值（2）答案見解析（3）【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，利用導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)判斷函數(shù)的單調(diào)性，再求函數(shù)的極值.（2）分情況解一元二次不等式，可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.（3）分情況討論，求函數(shù)的最大值，根據(jù)最大值不大于0，可求a的取值范圍.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，.所以.由或；由.所以函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值，且；當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值，且.【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，，.所以.當(dāng)時(shí)，由或；由.所以函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，在上恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，由或；由.所以函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.【小問3詳解】若，當(dāng)時(shí)，，故不合題意；若，則，所以，由；由.所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.所以函數(shù)的最大值為：.所以恒成立；若，則，.由；由.所以函數(shù)的最大值為：.由，所以.綜上可知.故取值范圍是.19.已知橢圓的離心率為，短軸長為，直線的方向向量．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線與橢圓相切．（i）求直線的方程；（ii）若是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，過分別作橢圓的切線，其中一條交直線l于兩點(diǎn)，求的最小值．（附：已知點(diǎn)在橢圓上，則橢圓在該點(diǎn)處的切線方程為）【答案】（1）（2）（i）或；（ii）【解析】【分析】（1）根據(jù)橢圓離心率以及短軸長可解得，即可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）（i）聯(lián)立直線和橢圓方程利用交點(diǎn)個(gè)數(shù)由判別式計(jì)算可得直線方程；（ii）求得切線方程并解得交點(diǎn)坐標(biāo)，得出的表達(dá)式再利用換元法構(gòu)造函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)單調(diào)性計(jì)算可得結(jié)果.【小問1詳解】