典型例題：冪函數性質的應用

1/1冪函數性質的應用冪函數y=xα（1）冪函數y=xα(α∈R)在(0（2）如果α>0，則冪函數的圖象過定點(0，0)（3）如果α<0，則冪函數的圖象過定點(1，1)，并且在區(qū)間(0，+∞)上為減函數；在第一象限內，當x趨向于原點時，圖象在y軸右方并無限地逼近y軸，當（4）設α=pq，p①當p為奇數，q為偶數時，函數為非奇非偶函數，函數在其它象限無圖象，只在第一象限內有圖象；②當p為偶數，q為奇數時，函數為偶函數，圖象在第一、二象限，且關于y軸對稱；③當p、q均為奇數時，函數為奇函數，圖象在第一、三象限，且關于原點對稱.利用上述性質，可以解決許多有關冪函數問題.下面舉例說明.一、比較大小例1比較下列各組中兩個值的大?。海?）0.71.5，0.6（2）2.2-23解析：題中兩組值都是冪運算的結果，且指數相同，因此可以利用冪函數的性質來判斷它們的大小.（1）因為冪函數y=x1.5在[0，+∞)上為增函數，又（2）因為冪函數y=x-23在(0，點評：當冪指數相同時，可直接利用冪函數的單調性來比較.例2比較(-2)23，(-0.7)解析：(-2)23=因為冪函數y=x-23在所以0.7-23點評：當冪指數不同時可先轉化為相同冪指數，再運用單調性比較大小.二、求函數解析式例3已知冪函數fx=x3m-8(m∈N*)解析：因為fx=x3m-8(m∈N*又m∈N*，所以當m=1時，3m-8當m=2時，3m-8=-2，fx故所求冪函數為y=x點評：求冪函數的解析式，一般用待定系數法，弄清冪函數的定義和性質是關鍵.三、討論函數性質例4討論函數fx=x1解析：（1）因為m∈N*，所以所以m2所以函數fx的定義域為R（2）因為m2+m+1是正奇數，所以所以fx在R上是奇函數（3）因為m2+m+1>0，所以1所以函數fx在(-∞，點評：函數的性質是解決函數問題的基礎，應掌握五個常用的冪函數：y=x，y=x2，y=x3，y=四、畫函數圖象例5已知冪函數y=xm-2（m∈N）的圖象與x、y軸都無交點，且關于y軸對稱，求m解析：因為冪函數y=xm-2（m∈N）的圖象與x、y軸都無交點，所以m-2≤0，即又m∈N，所以m=0，因為冪函數圖象關于y軸對稱，所以m=0或m=2.當m=0時，函數為y=x當m=2時，函數為y=x0=1（y 圖1y1（直線y=1和y軸沒有交點）ox圖2點評：函數y=x0=1在五、求參數的取值范圍例6已知a+13<3-2a3解析：∵a+13和3-