《導數(shù)及其應用》水平測試1

9/9《導數(shù)及其應用》水平測試一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）(A)(B)和(C)(D)2.已知函數(shù),則下列判斷中正確的是（）(A)奇函數(shù),在R上為增函數(shù) (B)偶函數(shù),在R上為增函數(shù)(C)奇函數(shù),在R上為減函數(shù) (D)偶函數(shù),在R上為減函數(shù)3.在內(nèi)是在內(nèi)單調(diào)遞增的（）(A)充要條件(B)必要非充分條件(C)充分非必要條件(D)既非充分又非必要條件4.若函數(shù)恰有三個單調(diào)區(qū)間,則實數(shù)的取值范圍是（）(A)(B)(C)(D)5.已知函數(shù)(),則下列結論中正確的是（）(A)的極小值是(B)的極大值是(C)的最大值是(D)的最小值是6.如圖所示,墻上掛有一塊邊長為2的正方形木板,上面畫有拋物線型的圖案(陰影部分).某人向此板投鏢,假設每次都能擊中木板并且擊中木板上每個點的可能性都一樣,則他擊中陰影部分的概率是（）(A) (B) (C) (D)7.函數(shù)的最大值是（）(A) (B) (C) (D)8.設函數(shù)的導函數(shù)為,在同一坐標系中,它們的圖象可能是（）9.若函數(shù)（） (A)2 (B)—2 (C)8 (D)1010.已知,則函數(shù)的最大值為（）(A)1 (B) (C)2 (D)011.已知函數(shù)在上單調(diào)遞增,則的取值范圍是（）(A)(B) (C) (D)12.已知x,y滿足,且,則以x為自變量的函數(shù)y的最小值為（）(A)1(B)2 (C)3(D)4二、填空題（本大題共4小題，每小題4分，共16分，將答案填在題后的橫線上）13.拋物線在點處的切線方程為.14.根據(jù)定積分的幾何意義,計算:.15.函數(shù)的遞增區(qū)間是.16.函數(shù)的極大值為正數(shù),極小值為負數(shù),則實數(shù)的取值范圍是.(用區(qū)間表示)三、解答題（本大題共6小題，共74分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.(12分)求函數(shù)的最大值與最小值.18.(12分)已知函數(shù)的圖象過點,且在點P處的切線與直線垂直.求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值.19.(12分)已知函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù),求實數(shù)的取值范圍.20.(12分)如右圖,設由拋物線與過它的焦點F的直線所圍成平面圖形的面積為(陰影部分),試求的最小值.21.(12分)已知函數(shù)(其中為自然對數(shù)的底).(1)求函數(shù)的最小值;(2)若,證明:;(3)若,證明:.22.(14分)設直線.若直線l與曲線S同時滿足下列兩個條件：①直線l與曲線S相切且至少有兩個切點；②對任意x∈R都有.則稱直線l為曲線S的“上夾線”．（1）已知函數(shù)．求證：為曲線的“上夾線”．（2）觀察下圖：根據(jù)上圖，試推測曲線的“上夾線”的方程，并給出證明．

參考答案一．選擇題：1.答案D解析:由函數(shù)的圖象知D正確.2.答案A解析:由及時,知A正確.3.答案B解析:單調(diào)遞增,如,反之則成立,選B.4.答案C解析:可得必有兩個相互的實根,∴.5.答案B解析:,當時,,當時,,當時,,∴有極大值(也是最大值).6.答案A解析:以拋物線的頂點為原點建立直角坐標系,則拋物線的方程為,陰影部分的面積為,∴所求概率為.7.答案D解析:令則,,由,得,判斷的單調(diào)性及求.8.答案C解析:不妨設曲線為,則,A不合題意;不妨設上曲線為,則,它是位于第四象限的雙曲線,B不合題意;不妨設曲線為,則，C合題意;不妨設上曲線為,則,不是直線,D矛盾.9.答案C解析:得,∴,得∴.10.答案B解析:由得,,∴,有.11.答案A解析:當時,恒成立,即.12.答案D解析:由原方程得,解得∴,令,得,判斷的單調(diào)性知當時,.二、填空題：13.解析:,,切線方程為.14.解析:設,將所求面積分為一個扇形面積與一直角三角形面積之和.15.(或)解析:由及,得(填也可).16.解析:由得兩極值點,結合題意及的大致圖象知解得.三、解答題:17.解:可得,令,得或.=1\*GB3①當時,,為增函數(shù);=2\*GB3②當時,,為減函數(shù),當時,,也為減函數(shù).又當時,;時,.∴,.18.解:由函數(shù)的圖象過點,知.又,在點P處的切線與直線垂直,有.解得,∴,.令得,.當或時,;當時,.所以的單調(diào)增區(qū)間為和,單調(diào)減區(qū)間為.于是當時,有極大值;當時,有極小值.19.解:=1\*GB3①當時,在上單調(diào)遞增;=2\*GB3②當時,,又在上為單調(diào)函數(shù),(=1\*romani)若在上單調(diào)遞增,則恒成立,得;(=2\*romanii)若在上單調(diào)遞減,則恒成立,得;這時的取值范圍是或.綜=1\*GB3①,=2\*GB3②所述,實數(shù)的取值范圍是.20.解:可得的焦點F,設直線的方程為(必存在),且設拋物線與直線相交于A,B兩點,它們的橫坐標分別為,由,得,有,,且,∴.所求的面積:====令,則,有,==.在上為單調(diào)遞增函數(shù),∴當,即時,有最小值.21.解:(1)因為,所以．顯然,當時,;當時,.因此,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增．因此,當時,取得最小值;(2)證明:由(1)知:對任意的實數(shù)均有,即,令,則,∴.(3)由(2)知,且.∴.∴.22.解(1):由得，當時，，此時，，，所以是直線與曲線的一個切點；當時，，此時，，，所以是直線與曲線的一個切點；所以直線l與曲線S相切且至少有兩個切點；對任意x∈R，，所以因此直線是曲線的“上夾線”.(2)推測:的“上夾線”