《解三角形》章末總結(jié)

1/13人教A版必修五第一章《解三角形》章末復(fù)習(xí)知識(shí)梳理1.正弦定理：===2R，其中R是三角形外接圓半徑.2.余弦定理：（1）形式一：，，形式二：，，，（角到邊的轉(zhuǎn)換）3.S△ABC=absinC=bcsinA=acsinB,S△==Sr(S=,r為內(nèi)切圓半徑)=(R為外接圓半徑).4.在三角形中大邊對(duì)大角，反之亦然.5.射影定理：a=bcosC+ccosB,b=acosC+ccosA,c=acosB+bcosA.6.三角形內(nèi)角的誘導(dǎo)公式(1)sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC,tanC=-tan(A+B),cos=sin,sin=cos……在△ABC中，熟記并會(huì)證明tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC;(2)A、B、C成等差數(shù)列的充要條件是B=60°；(3)△ABC是正三角形的充要條件是A、B、C成等差數(shù)列且a、b、c成等比數(shù)列.7.解三角形常見(jiàn)的四種類型(1)已知兩角A、B與一邊a,由A+B+C=180°及==，可求出角C，再求b、c.(2)已知兩邊b、c與其夾角A，由a2=b2+c2-2bccosA，求出a，再由余弦定理，求出角B、C.(3)已知三邊a、b、c，由余弦定理可求出角A、B、C.(4)已知兩邊a、b及其中一邊的對(duì)角A，由正弦定理=，求出另一邊b的對(duì)角B，由C=π-(A+B)，求出c，再由=求出C，而通過(guò)=求B時(shí)，可能出一解，兩解或無(wú)解的情況，其判斷方法，如下表：A>90°A=90°A<90°a>b一解一解一解a=b無(wú)解無(wú)解一解a<ba>bsinA兩解無(wú)解無(wú)解a=bsinA一解a<bsinA無(wú)解8.用向量證明正弦定理、余弦定理，關(guān)鍵在于基向量的位置和方向.9.三角形的分類或形狀判斷的思路，主要從邊或角兩方面入手.專題一：正、余弦定理的應(yīng)用1．正弦定理主要有兩個(gè)方面的應(yīng)用：(1)已知三角形的任意兩個(gè)角與一邊，由三角形內(nèi)角和定理，可以計(jì)算出三角形的第三個(gè)角，由正弦定理可以計(jì)算出三角形的另兩邊；(2)已知三角形的任意兩邊和其中一邊的對(duì)角，應(yīng)用正弦定理，可以計(jì)算出另一邊的對(duì)角的正弦值，進(jìn)而確定這個(gè)角和三角形其他的邊和角．2．余弦定理有兩方面的應(yīng)用：(1)已知三角形的兩邊和它們的夾角可以由余弦定理求出第三邊，進(jìn)而求出其他兩角；(2)已知三角形的三邊，利用余弦定理求出一個(gè)角，進(jìn)而求出其他兩角．例1．.（2011江西卷17）．（本小題滿分12分）在中，角所對(duì)應(yīng)的邊分別為，，，求及例2．.（2009北京理）在中，角的對(duì)邊分別為，。（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的面積.1．（2010上海文數(shù)）18.若△的三個(gè)內(nèi)角滿足，則△（A）一定是銳角三角形.（B）一定是直角三角形.（C）一定是鈍角三角形.（D）可能是銳角三角形，也可能是鈍角三角形.2．（2010天津理數(shù)）（7）在△ABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c，若，，則A=（A）（B）（C）（D）3.（2011全國(guó)二17）．（本小題滿分10分）在中，，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）設(shè)的面積，求的長(zhǎng)．專題二：正、余弦定理、三角函數(shù)與向量的綜合應(yīng)用例3.在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，若（Ⅰ）判斷△ABC的形狀；（Ⅱ）若的值. 例4．（2009浙江理）（本題滿分14分）在中，角所對(duì)的邊分別為，且滿足，．（I）求的面積；（II）若，求的值．4.（2009岳陽(yáng)一中第四次月考）.已知△中，，，，，，則 （）A.．B．C．D．或5．(2010年安徽)△ABC的面積是30，內(nèi)角A、B、C所對(duì)邊長(zhǎng)分別為a、b、c，cosA＝eq\f(12,13).(1)求eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))；(2)若c－b＝1，求a的值．專題三：三角形面積例5．在中，，，,求的值和的面積。6.（2011遼寧卷17）．（本小題滿分12分）在中，內(nèi)角對(duì)邊的邊長(zhǎng)分別是，已知，．（Ⅰ）若的面積等于，求；（Ⅱ）若，求的面積．專題四：解三角形的實(shí)際應(yīng)用正弦定理、余弦定理在實(shí)際生產(chǎn)生活中有著非常廣泛的應(yīng)用．常見(jiàn)題有距離問(wèn)題、高度問(wèn)題、角度問(wèn)題以及求平面圖形的面積問(wèn)題等．解決這類問(wèn)題時(shí)，首先要認(rèn)真分析題意，找出各量之間的關(guān)系，根據(jù)題意畫(huà)出示意圖，將要求的問(wèn)題抽象為三角形模型，然后利用正、余弦定理求解，最后將結(jié)果還原為實(shí)際問(wèn)題．eq\x(實(shí)際問(wèn)題)eq\o(→,\s\up7(抽象),\s\do5(概括))eq\x(解三角形問(wèn)題)eq\o(→,\s\up7(推理),\s\do5(演算))eq\x(三角形問(wèn)題的解)eq\o(→,\s\up7(還原),\s\do5(說(shuō)明))eq\x(實(shí)際問(wèn)題的解)例5：如圖，△ACD是等邊三角形，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，BD交AC于E，AB=2．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求．例6：（2009遼寧卷理）如圖，A,B,C,D都在同一個(gè)與水平面垂直的平面內(nèi)，B，D為兩島上的兩座燈塔的塔頂。測(cè)量船于水面A處測(cè)得B點(diǎn)和D點(diǎn)的仰角分別為，，于水面C處測(cè)得B點(diǎn)和D點(diǎn)的仰角均為，AC=0.1km。試探究圖中B，D間距離與另外哪兩點(diǎn)間距離相等，然后求B，D的距離（計(jì)算結(jié)果精確到0.01km，1.414，2.449）7.如圖3，位于A處的信息中心獲悉：在其正東方向相距40海里的B處有一艘漁船遇險(xiǎn)，在原地等待營(yíng)救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C處的乙船，現(xiàn)乙船朝北偏東θ的方向沿直線CB前往B處救援，求cosθ的值．圖38．如圖，測(cè)量河對(duì)岸的塔高時(shí)，可以選與塔底在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)點(diǎn)與．現(xiàn)測(cè)得，并在點(diǎn)測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?，求塔高．本章思維總結(jié)1．解斜三角形的常規(guī)思維方法是：（1）已知兩角和一邊（如A、B、C），由A+B+C=π求C，由正弦定理求a、b；（2）已知兩邊和夾角（如a、b、c），應(yīng)用余弦定理求c邊；再應(yīng)用正弦定理先求較短邊所對(duì)的角，然后利用A+B+C=π，求另一角；（3）已知兩邊和其中一邊的對(duì)角（如a、b、A），應(yīng)用正弦定理求B，由A+B+C=π求C，再由正弦定理或余弦定理求c邊，要注意解可能有多種情況；（4）已知三邊a、b、c，應(yīng)余弦定理求A、B，再由A+B+C=π，求角C。2．三角學(xué)中的射影定理：在△ABC中，，…3．兩內(nèi)角與其正弦值：在△ABC中，，…4．解三角形問(wèn)題可能出現(xiàn)一解、兩解或無(wú)解的情況，這時(shí)應(yīng)結(jié)合“三角形中大邊對(duì)大角定理及幾何作圖來(lái)幫助理解”。答案：例題1解：由得∴∴∴，又∴由得即∴由正弦定理得例2．【解析】本題主要考查三角形中的三角函數(shù)變換及求值、誘導(dǎo)公式、三角形的面積公式等基礎(chǔ)知識(shí)，主要考查基本運(yùn)算能力．解（Ⅰ）∵A、B、C為△ABC的內(nèi)角，且，∴，∴.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，又∵，∴在△ABC中，由正弦定理，得∴.∴△ABC的面積.1．解析：由及正弦定理得a:b:c=5:11:13由余弦定理得，所以角C為鈍角2．【答案】A【解析】本題主要考查正弦定理與余弦定理的基本應(yīng)用，屬于中等題。由由正弦定理得，所以cosA==，所以A=300【溫馨提示】解三角形的基本思路是利用正弦、余弦定理將邊化為角運(yùn)算或?qū)⒔腔癁檫呥\(yùn)算。3.解：（Ⅰ）由，得，由，得．所以． 5分（Ⅱ）由得，由（Ⅰ）知，故， 8分又，故，．所以． 10分例3.解：（I）即為等腰三角形.（II）由（I）知例4．解（1）因?yàn)椋?，又由得，?）對(duì)于，又，或，由余弦定理得，4. 答案C5．思維突破：(1)根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系，由cosA＝eq\f(12,13)得sinA的值，再根據(jù)△ABC面積公式得bc＝156；直接求數(shù)量積eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→)).(2)由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，代入已知條件c－b＝1及bc＝156，求a的值．解：由cosA＝eq\f(12,13)，得sinA＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,13)))2)＝eq\f(5,13).又eq\f(1,2)bcsinA＝30，∴bc＝156.(1)eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝bccosA＝156×eq\f(12,13)＝144.(2)a2＝b2＋c2－2bccosA＝(c－b)2＋2bc(1－cosA)＝1＋2·156·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(12,13)))＝25.∴a＝5.例5．解法一：先解三角方程，求出角A的值。又,,。解法二：由計(jì)算它的對(duì)偶關(guān)系式的值。=1\*GB3①,=2\*GB3②=1\*GB3①+=2\*GB3②得。=1\*GB3①－=2\*GB3②得。從而。以下解法略去。點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查三角恒等變形、三角形面積公式等基本知識(shí)，著重?cái)?shù)學(xué)考查運(yùn)算能力，是一道三角的基礎(chǔ)試題。兩種解法比較起來(lái)，你認(rèn)為哪一種解法比較簡(jiǎn)單呢？6.本小題主要考查三角形的邊角關(guān)系，三角函數(shù)公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合應(yīng)用三角函數(shù)有關(guān)知識(shí)的能力．滿分12分．解：（Ⅰ）由余弦定理及已知條件得，，又因?yàn)榈拿娣e等于，所以，得． 4分聯(lián)立方程組解得，． 6分（Ⅱ）由題意得，即， 8分當(dāng)時(shí)，，，，，當(dāng)時(shí)，得，由正弦定理得，聯(lián)立方程組解得，．所以的面積． 12分例5：解：（Ⅰ）因?yàn)樗?，（Ⅱ）在中，，故由正弦定理得故?解:在△ABC中，∠DAC=30°,∠ADC=60°－∠DAC=30,所以CD=AC=0.1又∠BCD=180°－60°－60°=60°，故CB是△CAD底邊AD的中垂線，所以BD=BA，

在△ABC中，即AB=因此，BD=故B，D的距離約為0.33km。。點(diǎn)評(píng)：解三角形等內(nèi)容提到高中來(lái)學(xué)習(xí)，又近年加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合思想的考查和對(duì)三角變換要求的降低，對(duì)三角的綜合考查將向三角形中問(wèn)題伸展，但也不可太難，只要掌握基本知識(shí)、概念，深刻理解其中基本的數(shù)量關(guān)系即可過(guò)關(guān)。圖37．解：在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°.由余弦定理知：BC2＝AB2＋AC2－2