2024年高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí)專題七概率與統(tǒng)計(jì)第3講概率隨機(jī)變量及其分布練習(xí)理

PAGEPAGE1其次篇專題七第3講概率、隨機(jī)變量及其分布[限時(shí)訓(xùn)練·素能提升](限時(shí)50分鐘，滿分76分)一、選擇題(本題共5小題，每小題5分，共25分)1．(2024·?？诙?某學(xué)校星期一至星期五每天上午共支配五節(jié)課，每節(jié)課的時(shí)間為40分鐘，第一節(jié)課上課時(shí)間為7：50－8：30，課間休息10分鐘，某同學(xué)請(qǐng)假后返校，若他在8：50－9：30之間隨機(jī)到達(dá)教室，則他聽其次節(jié)課的時(shí)間不少于20分鐘的概率是A.eq\f(1,5)B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,3)D.eq\f(1,2)解析他在8：50－9：30之間隨機(jī)到達(dá)教室，區(qū)間長(zhǎng)度為40，他聽其次節(jié)課的時(shí)間不少于20分鐘，則他在8：50－9：00之間隨機(jī)到達(dá)教室，區(qū)間長(zhǎng)度為10，所以他在8：50－9：30之間隨機(jī)到達(dá)教室，則他聽其次節(jié)課的時(shí)間不少于20分鐘的概率是eq\f(10,40)＝eq\f(1,4).答案B2．(2024·湖南八校聯(lián)考)甲、乙、丙三位同學(xué)上課后獨(dú)立完成5道自我檢測(cè)題，甲的及格概率為eq\f(4,5)，乙的及格概率為eq\f(2,5)，丙的及格概率為eq\f(2,3)，則三人中至少有一人及格的概率為A.eq\f(16,75)B.eq\f(59,75)C.eq\f(1,25)D.eq\f(24,25)解析設(shè)“甲及格”為事務(wù)A，“乙及格”為事務(wù)B，“丙及格”為事務(wù)C，則P(A)＝eq\f(4,5)，P(B)＝eq\f(2,5)，P(C)＝eq\f(2,3)，∴P(eq\o(A,\s\up6(－)))＝eq\f(1,5)，P(eq\o(B,\s\up6(－)))＝eq\f(3,5)，P(eq\o(C,\s\up6(－)))＝eq\f(1,3)，則P(eq\o(A,\s\up6(－))eq\o(B,\s\up6(－))eq\o(C,\s\up6(－)))＝P(eq\o(A,\s\up6(－)))P(eq\o(B,\s\up6(－)))P(eq\o(C,\s\up6(－)))＝eq\f(1,5)×eq\f(3,5)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,25)，∴三人中至少有一人及格的概率P＝1－P(eq\o(A,\s\up6(－))eq\o(B,\s\up6(－))eq\o(C,\s\up6(－)))＝eq\f(24,25).故選D.答案D3．2024年高考前其次次適應(yīng)性訓(xùn)練考試結(jié)束后，對(duì)全市的英語(yǔ)成果進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，發(fā)覺英語(yǔ)成果的頻率分布直方圖形態(tài)與正態(tài)分布N(95，82)的密度曲線擬合．據(jù)此估計(jì)：在全市隨機(jī)抽取的4名高三同學(xué)中，恰有2名同學(xué)的英語(yǔ)成果超過(guò)95分的概率是A.eq\f(1,6)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2)D.eq\f(3,8)解析由題意，英語(yǔ)成果超過(guò)95分的概率是eq\f(1,2)，所以在全市隨機(jī)抽取的4名高三同學(xué)中，恰有2名同學(xué)的英語(yǔ)成果超過(guò)95分的概率是Ceq\o\al(2,4)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(3,8).答案D4．(2024·衡水模擬)《中華好詩(shī)詞》是由河北電視臺(tái)創(chuàng)辦的令廣闊觀眾喜聞樂見的節(jié)目，旨在弘揚(yáng)中國(guó)古代詩(shī)詞文化，觀眾可以選擇從A，B，C和河北衛(wèi)視這四家視聽媒體的播放平臺(tái)中觀看，若甲乙兩人各自隨機(jī)選擇一家播放平臺(tái)觀看此節(jié)目，則甲乙二人中恰有一人選擇在河北衛(wèi)視觀看的概率是A.eq\f(1,2)B.eq\f(3,8)C.eq\f(1,4)D.eq\f(3,16)解析甲、乙兩人從A，B，C和河北衛(wèi)視這四家播放平臺(tái)隨機(jī)選擇一家有4×4＝16(種)等可能狀況，其中甲、乙兩人恰有一人選擇在河北衛(wèi)視觀看的狀況有Ceq\o\al(1,2)×3＝6(種)，∴所求概率為eq\f(6,16)＝eq\f(3,8).答案B5．五個(gè)人圍坐在一張圓桌旁，每個(gè)人面前放著完全相同的硬幣，全部人同時(shí)翻轉(zhuǎn)自己的硬幣．若硬幣正面朝上，則這個(gè)人站起來(lái)；若硬幣正面朝下，則這個(gè)人接著坐著．那么，沒有相鄰的兩個(gè)人站起來(lái)的概率為A.eq\f(5,16)B.eq\f(11,32)C.eq\f(15,32)D.eq\f(1,2)解析依據(jù)題意沒有相鄰的兩個(gè)人站起來(lái)包括三種狀況：5人都不站起來(lái)，或只有1人站起來(lái)，或由2人中間隔一人站起來(lái)，故沒有相鄰的兩個(gè)人站起來(lái)的概率為Ceq\o\al(5,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(5)＋Ceq\o\al(1,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(5)＋Ceq\o\al(1,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(5)＝eq\f(11,32).答案B二、填空題(本題共3小題，每小題5分，共15分)6．(2024·蘭州模擬)從裝有除顏色外完全相同的3個(gè)白球和m個(gè)黑球的布袋中隨機(jī)摸取一球，有放回的摸取5次，設(shè)摸得白球數(shù)為X，已知E(X)＝3，則D(X)等于________．解析依據(jù)題目條件，每次摸到白球的概率都是p＝eq\f(3,3＋m)，滿意二項(xiàng)分布，則有E(X)＝np＝5×eq\f(3,3＋m)＝3，解得m＝2，那么D(X)＝np(1－p)＝5×eq\f(3,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,5)))＝eq\f(6,5).答案eq\f(6,5)7．(2024·張家界三模)已知在[0，1]內(nèi)任取一個(gè)實(shí)數(shù)x，在[0，2]內(nèi)任取一個(gè)實(shí)數(shù)y，則點(diǎn)(x，y)位于y＝ex－1上方的概率為________．解析由題意知，x，y滿意的平面區(qū)域長(zhǎng)為2，寬為1的矩形，面積為2，其中位于y＝ex－1下方的點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域面積為eq\i\in(0,1,)(ex－1)dx＝e－2，點(diǎn)(x，y)位于y＝ex－1上方的概率為p＝1－eq\f(e－2,2)＝eq\f(4－e,2).答案eq\f(4－e,2)8．甲、乙兩位學(xué)生進(jìn)行五子棋競(jìng)賽，約定先勝3局者獲得競(jìng)賽的成功，競(jìng)賽隨即結(jié)束．除第五局甲獲勝的概率是eq\f(1,2)外，其余每局競(jìng)賽甲獲勝的概率都是eq\f(2,3).假設(shè)各局競(jìng)賽結(jié)果相互獨(dú)立，則甲以3∶1獲勝的概率為________．解析解法一設(shè)各局競(jìng)賽甲獲勝的事務(wù)分別為A，B，C，D，則所求概率P＝P(eq\o(A,\s\up6(－))BCD)＋P(Aeq\o(B,\s\up6(－))CD)＋P(ABeq\o(C,\s\up6(－))D)＝eq\f(1,3)×eq\f(2,3)×eq\f(2,3)×eq\f(2,3)＋eq\f(2,3)×eq\f(1,3)×eq\f(2,3)×eq\f(2,3)＋eq\f(2,3)×eq\f(2,3)×eq\f(1,3)×eq\f(2,3)＝eq\f(8,27).解法二設(shè)“甲以3∶1獲勝”為事務(wù)A，由各局競(jìng)賽結(jié)果相互獨(dú)立，得P(A)＝Ceq\o\al(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))×eq\f(2,3)＝eq\f(8,27).答案eq\f(8,27)三、解答題(本大題共3小題，每小題12分，共36分)9．(2024·全國(guó)卷Ⅰ)某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱200件，每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對(duì)產(chǎn)品作檢驗(yàn)，如檢驗(yàn)出不合格品，則更換為合格品．檢驗(yàn)時(shí)，先從這箱產(chǎn)品中任取20件作檢驗(yàn)再依據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果確定是否對(duì)余下的全部產(chǎn)品作檢驗(yàn)．設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為p(0＜p＜1)，且各件產(chǎn)品是否為不合格品相互獨(dú)立．(1)記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為f(p)，求f(p)的最大值點(diǎn)p0；(2)現(xiàn)對(duì)一箱產(chǎn)品檢驗(yàn)了20件，結(jié)果恰有2件不合格品，以(1)中確定的p0作為p的值．已知每件產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用為2元，若有不合格品進(jìn)入用戶手中，則工廠要對(duì)每件不合格品支付25元的賠償費(fèi)用．(ⅰ)若不對(duì)該箱余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn)，這一箱產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用的和記為X，求EX；(ⅱ)以檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用和的期望值為決策依據(jù)，是否該對(duì)這箱余下的全部產(chǎn)品作檢驗(yàn)？解析(1)20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為f(p)＝Ceq\o\al(2,20)p2(1－p)18.因此f′(p)＝Ceq\o\al(2,20)[2p(1－p)18－18p2(1－p)17]＝2Ceq\o\al(2,20)p(1－p)17(1－10p)．令f′(p)＝0，得p＝0.1.當(dāng)p∈(0，0.1)時(shí)，f′(p)＞0；當(dāng)p∈(0.1，1)時(shí)，f′(p)＜0.所以f(p)的最大值點(diǎn)為p0＝0.1.(2)由(1)知，p＝0.1(ⅰ)令Y表示余下的180件產(chǎn)品中的不合格品件數(shù)，依題意知Y～B(180，0.1)，X＝20×2＋25Y，即X＝40＋25Y.所以EX＝E(40＋25Y)＝40＋25EY＝490.(ⅱ)假如對(duì)余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn)，則這一箱產(chǎn)品所須要的檢驗(yàn)費(fèi)為400元．由于E(X)＞400，故應(yīng)當(dāng)對(duì)余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn)．10．(2024·北京)電影公司隨機(jī)收集了電影的有關(guān)數(shù)據(jù)，經(jīng)分類整理得到下表：電影類型第一類其次類第三類第四類第五類第六類電影部數(shù)14050300200800510好評(píng)率0.40.20.150.250.20.1好評(píng)率是指：一類電影中獲得好評(píng)的部數(shù)與該類電影的部數(shù)的比值．假設(shè)全部電影是否獲得好評(píng)相互獨(dú)立．(1)從電影公司收集的電影中隨機(jī)選取1部，求這部電影是獲得好評(píng)的第四類電影的概率；(2)從第四類電影和第五類電影中各隨機(jī)選取1部，估計(jì)恰有1部獲得好評(píng)的概率；(3)假設(shè)每類電影得到人們喜愛的概率與表格中該類電影的好評(píng)率相等．用“ξk＝1”表示第k類電影得到人們喜愛，“ξk＝0”表示第k類電影沒有得到人們喜愛(k＝1，2，3，4，5，6)．寫出方差D(ξ1)，D(ξ2)，D(ξ3)，D(ξ4)，D(ξ5)，D(ξ6)的大小關(guān)系．解析(1)設(shè)“從電影公司收集的電影中隨機(jī)選取1部，這部電影是獲得好評(píng)的第四類電影”為事務(wù)A，第四類電影中獲得好評(píng)的電影為200×0.25＝50部，P(A)＝eq\f(50,140＋50＋300＋200＋800＋510)＝eq\f(50,2000)＝0.025.(2)設(shè)“第四類電影和第五類電影中各隨機(jī)選取1部，恰有1部獲得好評(píng)”為事務(wù)B，P(B)＝0.25×0.8＋0.75×0.2＝0.35.(3)由題意可知，定義隨機(jī)變量如下：ξk＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0，第k類電影沒有得到人們喜愛,1，第k類電影得到人們喜愛))則ξk明顯聽從兩點(diǎn)分布，則六類電影的分布列及方差計(jì)算如下：第一類電影：ξ110p0.40.6E(ξ1)＝1×0.4＋0×0.6＝0.4.D(ξ1)＝(1－0.4)2×0.4＋(0－0.4)2×0.6＝0.24.其次類電影：ξ210p0.20.8E(ξ2)＝1×0.2＋0×0.8＝0.2.Dξ2＝(1－0.2)2×0.2＋(0－0.2)2×0.8＝0.16.第三類電影：ξ310p0.150.85E(ξ3)＝1×0.15＋0×0.85＝0.15Dξ3＝(1－0.15)2×0.15＋(0－0.15)2×0.85＝0.1275.第四類電影：ξ410p0.250.75E(ξ4)＝1×0.25＋0×0.75＝0.25.Dξ1＝(1－0.25)2×0.25＋(0－0.25)2×0.75＝0.1875.第五類電影：ξ510p0.20.8E(ξ5)＝1×0.2＋0×0.8＝0.2，Dξ5＝(1－0.2)2×0.2＋(0－0.2)2×0.8＝0.16.第六類電影：ξ610p0.10.9E(ξ6)＝1×0.1＋0×0.9＝0.1.Dξ6＝(1－0.1)2×0.1＋(0－0.1)2×0.9＝0.09.綜上所述，Dξ1>Dξ4>Dξ2＝Dξ5>Dξ3>Dξ6.(備注：兩點(diǎn)分布的方差計(jì)算公式Dξ＝p(1－p))11．(2024·揭陽(yáng)模擬)某地政府?dāng)M在該地一水庫(kù)上建立一座水電站，用泄流水量發(fā)電．如圖是依據(jù)該水庫(kù)歷年的日泄流量的水文資料畫成的日泄流量X(單位：萬(wàn)立方米)的頻率分布直方圖(不完整)，已知X∈[0，120]，歷年中日泄流量在區(qū)間[30，60)的年平均天數(shù)為156，一年按364天計(jì)．(1)請(qǐng)把頻率分布直方圖補(bǔ)充完整；(2)該水電站希望安裝的發(fā)電機(jī)盡可能都運(yùn)行，但每30萬(wàn)立方米的日泄流量才夠運(yùn)行一臺(tái)發(fā)電機(jī)，如60≤X<90時(shí)才夠運(yùn)行兩臺(tái)發(fā)電機(jī)．若運(yùn)行一臺(tái)發(fā)電機(jī)，每天可獲利潤(rùn)為4000元；若不運(yùn)行，則該臺(tái)發(fā)電機(jī)每天虧損500元．以各段的頻率作為相應(yīng)段的概率，以水電站日利潤(rùn)的期望值為決策依據(jù)，問(wèn)：為使水電站日利潤(rùn)的期望值最大，該水電站應(yīng)安裝多少臺(tái)發(fā)電機(jī)？解析(1)在區(qū)間[30，60)的頻率為eq\f(156,364)＝eq\f(3,7)，eq\f(頻率,組距)＝eq\f(3,7×30)＝eq\f(1,70).設(shè)在區(qū)間[0，30)上，eq\f(頻率,組距)＝a，則eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,70)＋\f(1,105)＋\f(1,210)))×30＝1，解得a＝eq\f(1,210).補(bǔ)充完整的頻率分布直方圖如圖所示．(2)記水電站日利潤(rùn)為Y元．由(1)知，無(wú)法運(yùn)行發(fā)電機(jī)的概率為eq\f(