湖北省武漢市2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期10月月考試卷含解析

Page18一.選擇題（共8小題）1.從裝有十個紅球和十個白球的罐子里任取2球,下列情況中互斥而不對立的兩個事件是A.至少有一個紅球，至少有一個白球B.恰有一個紅球，都是白球C.至少有一個紅球，都是白球D.至多有一個紅球，都是紅球【答案】B【解析】【詳解】由題意所有的基本事件可分為三類：兩個紅球，一紅一白，兩個白球．易知A選項(xiàng)的事件不互斥；C，D兩個選項(xiàng)中的事件為對立事件；而B項(xiàng)中的事件一是互斥，同時還有“兩個紅球”的事件，故不對立．故選B點(diǎn)睛：“互斥事件”與“對立事件”的區(qū)別：對立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情況，但互斥事件不一定是對立事件，“互斥”是“對立”的必要不充分條件.2.對空間任意一點(diǎn)和不共線三點(diǎn)，，，能得到，，，四點(diǎn)共面的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)共面向量的推論判斷.【詳解】A選項(xiàng)：，故A錯；B選項(xiàng)：，故B正確；C選項(xiàng)：，故C錯；D選項(xiàng)：，故D錯.故選：B.3.向量是空間的一個單位正交基底，向量在基底，，下的坐標(biāo)為，則在基底的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)，根據(jù)空間向量基本定理即可建立關(guān)于，，的方程，解方程即得，，．【詳解】設(shè)；由題意可知，，解得；在基底下的坐標(biāo)為．故選：A．4.如圖，四面體中，點(diǎn)為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，設(shè)，，，若可用，，表示為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算計算即可.【詳解】由題意可得，而.故選：B5.在中，角、、的對邊分別為、、，且的面積，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合余弦定理，以及三角形的面積公式，即可求解．【詳解】解：的面積，，，則，，，，，，，，．故選：D．6.如圖，某電子元件由，，三種部件組成，現(xiàn)將該電子元件應(yīng)用到某研發(fā)設(shè)備中，經(jīng)過反復(fù)測試，，，三種部件不能正常工作的概率分別為，，，各個部件是否正常工作相互獨(dú)立，則該電子元件能正常工作的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)上半部分正常工作為事件，下半部分正常工作為事件，該電子元件能正常工作為事件，根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率公式求出、，即可求出、，再根據(jù)對立事件及獨(dú)立事件的概率公式計算可得.【詳解】設(shè)上半部分正常工作為事件，下半部分正常工作為事件，該電子元件能正常工作為事件，則，，，所以，所以，即該電子元件能正常工作的概率是.故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解答的關(guān)鍵是利用對立事件的概率公式及相互獨(dú)立事件的概率公式求出.7.已知二面角的棱上兩點(diǎn)，，線段與分別在這個二面角內(nèi)的兩個半平面內(nèi)，并且都垂直于棱.若，，，.則這兩個平面的夾角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】結(jié)合圖象可得，再利用空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律可得兩平面夾角的余弦值.【詳解】由題可知，、在直線上，，，且，，如下圖，故，，，，，，因?yàn)?，故，故，解得，所以平面和平面的夾角的余弦值是.故選：A8.在空間直角坐標(biāo)系中，定義：經(jīng)過點(diǎn)且一個方向向量為的直線方程為，經(jīng)過點(diǎn)且法向量為的平面方程為，已知：在空間直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過點(diǎn)的直線方程為，經(jīng)過點(diǎn)的平面的方程為，則直線與平面所成角的正弦值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意可得直線的方向向量與平面的法向量，進(jìn)而可得直線與平面所成角的正弦值.【詳解】經(jīng)過點(diǎn)的直線方程為，即，故直線的一個方向向量為，又經(jīng)過點(diǎn)的平面的方程為，即，故的一個法向量為.設(shè)直線與平面所成角為，則.故選：A二.多選題（共3小題）9.設(shè)為古典概率模型中的兩個隨機(jī)事件，以下命題正確的為（）A.若，，則當(dāng)且僅當(dāng)時，是互斥事件B.若，，則是必然事件C.若，，則時是獨(dú)立事件D.若，且，則是獨(dú)立事件【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)互斥事件，獨(dú)立事件和必然事件的定義逐個分析判斷【詳解】對于A，因?yàn)?，所以是互斥事件，所以A正確，對于B，若事件為“拋骰子點(diǎn)數(shù)出現(xiàn)1或2”，則，若事件為“拋骰子點(diǎn)數(shù)出現(xiàn)的是小于等于4”，則，而此時不是必然事件，所以B錯誤，對于C，因?yàn)?，，，，所以，得，所以，所以是?dú)立事件，所以C正確，對于D，因?yàn)椋?，因?yàn)椋?，所以PAB=所以是獨(dú)立事件，則也是獨(dú)立事件，所以D正確，故選：ACD10.已知空間三點(diǎn)，，，則下列說法正確的是（）A.B.在方向上的投影向量為C.點(diǎn)到直線的距離為D.的面積為【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)題意，由空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，代入計算，對選項(xiàng)逐一判斷，即可得到結(jié)果.【詳解】，，，因?yàn)?，所以A正確；，在方向上的投影向量為，所以B錯誤；在方向上的投影向量的長度，點(diǎn)到直線的距離為故C正確；，的面積，故D正確；故選：ACD．11.正方體的棱長為，為底面的中心，為線段上的動點(diǎn)（不包括兩個端點(diǎn)），為線段的中點(diǎn)，則（）A.與是異面直線B.平面平面C.存在點(diǎn)使得D.當(dāng)為線段中點(diǎn)時，過、，三點(diǎn)的平面截此正方體所得截面的面積為【答案】BD【解析】【分析】選項(xiàng)A，可證明與共線；選項(xiàng)B，利用面面垂直的判定定理證明；選項(xiàng)C，假設(shè)結(jié)論成立能推出矛盾；選項(xiàng)D，截面是等腰梯形，可求面積.【詳解】因?yàn)?、、共線，又，即、、、共面，因此與共面，故A選項(xiàng)不正確；正方體中，，，，、平面，平面，因?yàn)槠矫?，∴平面平面，故B選項(xiàng)正確；已知為線段上的動點(diǎn)（不包括兩個端點(diǎn)），設(shè)，假設(shè)存在點(diǎn)使得，則有：解得，與重合，與已知矛盾，故C選項(xiàng)不正確；當(dāng)為線段中點(diǎn)時，為線段中點(diǎn)，連接，如圖所示：有，得，因?yàn)?，同?過、、三點(diǎn)的平面截此正方體所得截面為等腰梯形，正方體的棱長為2，，，，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，由，，從而可得等腰梯形高為，∴截面等腰梯形的面積為，所以過、、三點(diǎn)的平面截此正方體所得截面的面積為，故D選項(xiàng)正確；故選：BD.三.填空題（共3小題）12.在用隨機(jī)數(shù)（整數(shù)）模擬“有5個男生和5個女生，從中抽選4人，求選出2個男生2個女生的概率”時，可讓計算機(jī)產(chǎn)生的隨機(jī)整數(shù)，并且代表男生，用代表女生．因?yàn)槭沁x出4個，所以每4個隨機(jī)數(shù)作為一組．通過模擬試驗(yàn)產(chǎn)生了20組隨機(jī)數(shù)：68303215705664317840452378342604534609526837981657344725657859249768605191386754由此估計“選出2個男生2個女生”的概率為______．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)題意，由古典概型的概率計算公式，代入計算，即可得到結(jié)果.【詳解】在20組數(shù)中，6830，7840，7834，5346，0952，5734，4725，5924，6051，9138滿足要求，共10個，由此估計“選出2個男生2個女生”的概率為．故答案為：13.已知平面內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)在平面外，若的一個法向量為，則到平面的距離為______________．【答案】1【解析】【分析】依題意求得，再利用點(diǎn)到平面的距離公式即可得解.【詳解】因?yàn)椋c(diǎn)，所以，又的一個法向量為，所以到平面的距離為.故答案為：1．14.的內(nèi)角的對邊分別為，若，且的面積為，則的最小值為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)三角恒等變換以及余弦定理可得，即可利用面積可得有根，即可利用判別式求解.【詳解】由可得，即，由于，故，由于，故，因此，故，，的面積為，故，由于，，故，令,將代入可得，化簡得，將代入，且可得，則，解得，或，（舍去）故最小值為.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：由可得有實(shí)數(shù)根，利用判別式求解.四.解答題（共5小題）15.如圖，在四棱錐中，平面，，為棱的中點(diǎn)．（1）求證：//平面；（2）當(dāng)時，求直線與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）取中點(diǎn)為，證明//，即可由線線平行證明線面平行；（2）過作平面的垂線，結(jié)合幾何特點(diǎn)求得，再求線面角的正弦值即可.【小問1詳解】取中點(diǎn)為，連接，如下所示：在△中，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，故//；又，故//，則四邊形為平行四邊形，//；又面面，故//面.【小問2詳解】過點(diǎn)作延長線的垂線，垂足為，連接，如下所示：由（1）可知，//，故平面也即平面；因?yàn)?/，則；又面面，故；又面，故面；又面，則，又；面，故面，則即為與平面的夾角；在△中，因?yàn)?，則，；在△中，因?yàn)?，，則；又，，即直線與平面所成角的正弦值為.16.2023年，某省實(shí)行新高考，數(shù)學(xué)設(shè)有4個多選題，在給出的A，B，C，D四個選項(xiàng)中，有兩項(xiàng)或三項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分．現(xiàn)正在進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)科期中考試．（1）根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，小李同學(xué)做對第一個多選的概率為，做對第二個多選題的概率為，對第三個多選題的概率為．求小李同學(xué)前三個多選題錯一個的概率．（2）若最后一道數(shù)學(xué)多選題有三個正確的選項(xiàng)，而小智和小博同學(xué)完全不會做，只能對這道題的選項(xiàng)進(jìn)行隨機(jī)選取，每個選項(xiàng)是否被選到是等可能的，若小智打算從中隨機(jī)選擇一個選項(xiàng)，小博打算從中隨機(jī)選擇兩個選項(xiàng)．（i）求小博得2分的概率；（ii）求小博得分比小智得分高的概率．【答案】（1）（2）（i）；（ii）【解析】【分析】（1）根據(jù)相互獨(dú)立事件及互斥事件的概率公式計算可得；（2）（i）利用古典概型的概率公式計算可得；（ii）設(shè)小博得分為，小智得分為，求出，，，，再根據(jù)獨(dú)立事件的概率公式計算可得.【小問1詳解】設(shè)事件為小李同學(xué)前三個多選題錯一個題，則.【小問2詳解】（i）因?yàn)樽詈笠坏罃?shù)學(xué)多選題有三個正確的選項(xiàng)，不妨設(shè)正確答案為，而小博打算從中隨機(jī)選擇兩個選項(xiàng)，則共有種，其中選中錯誤答案的有種，所以小博得2分的概率.（ii）設(shè)小博得分為，由（i）可知，，設(shè)小智得分為，則，，設(shè)小博得分比小智得分高為事件，則.17.如圖，在三棱柱中底面為正三角形，．（1）證明：；（2）求異面直線與所成角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律及定義得到，即可得證；（2）取的中點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接、，即可得到為異面直線與所成角或其補(bǔ)角，再由余弦定理計算可得.【小問1詳解】因?yàn)?，所以，所以，?【小問2詳解】取的中點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接、，則為的中點(diǎn)，所以，所以為異面直線與所成角或其補(bǔ)角，在等邊三角形中，在平行四邊形中，所以，所以，因?yàn)?，，所以，在矩形中，所以，在中由余弦定理，所以異面直線與所成角的余弦值為.18.2023年10月26日，中國的神舟十七號載人飛船與“天宮”空間站成功對接，形成三艙三船組合體．某地區(qū)為了激發(fā)當(dāng)?shù)厝嗣駥μ煳膶W(xué)的興趣，開展了天文知識比賽，滿分100分（95分及以上為認(rèn)知程度高），結(jié)果認(rèn)知程度高的有人，這人按年齡分成5組，其中第一組：，第二組：，第三組：，第四組：，第五組：，得到如圖所示的頻率分布直方圖．已知第一組有10人．（1）根據(jù)頻率分布直方圖，估計這人的第60百分位數(shù)（精確到0.1）；（2）現(xiàn)從第四組和第五組用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取6人，擔(dān)任“黨章黨史”宣傳使者．①有甲（年齡36），乙（年齡42），且甲、乙確定入選，從6人中要選擇兩個人擔(dān)任組長，求甲、乙兩人至少有一人被選上組長的概率；②若第四組宣傳使者的年齡的平均數(shù)與方差分別為36和，第五組宣傳使者的年齡的平均數(shù)與方差分別為42和1，估計這人中35－45歲所有人年齡的平均數(shù)和方差．【答案】（1）（2）①；②平均數(shù)為38，方差約為10.【解析】【分析】（1）先確定第60百分位數(shù)所在小組，再根據(jù)求百分位數(shù)公式進(jìn)行計算；（2）①求出從第四組和第五組所抽人數(shù)，寫出樣本空間，利用古典概型求概率公式進(jìn)行計算；②根據(jù)數(shù)據(jù)求出第四組和第五組所有宣傳使者的年齡平均數(shù)，從而利用局部方差和整體方差的公式進(jìn)行求解.【小問1詳解】設(shè)第60百分位數(shù)為，因?yàn)?，，所以位于第三組：內(nèi)，所以.【小問2詳解】①由題意得，第四組和第五組抽取人數(shù)之比為，即第四組4人，記為A，B，C，甲，第五組2，記為D，乙，對應(yīng)的樣本空間為：AB，AC，A甲，AD，A乙，BC，B甲，BD，B乙，C甲，CD，C乙，甲D，甲乙，D乙，共15個樣本點(diǎn)，設(shè)事件M為“甲、乙兩人至少一人被選上”，則有A甲，A乙，B甲，B乙，C甲，C乙，甲D，甲乙，D乙，共有9個樣本點(diǎn).所以；②設(shè)第四組的宣傳使者的年齡平均數(shù)分為，方差為，設(shè)第五組的宣傳使者的年齡平均數(shù)為，方差為，第四組和第五組所有宣傳使者的年齡平均數(shù)為，方差為，則即第四組和第五組所有宣傳使者的年齡平均數(shù)為，，即第四組和第五組所有宣傳使者的年齡方差為.據(jù)此估計這人中年齡在35~45歲的所有人的年齡的平均數(shù)為38，方差約為10.19.如圖，在多面體中，側(cè)面為菱形，側(cè)面為直角梯形，為的中點(diǎn)，點(diǎn)為線段上一動點(diǎn)，且．（1）若點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，證明：平面；（2）若平面平面，且，問：線段上是否存在點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正弦值為?若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．【答案】（1）證明見解析（2）存在，【解析】【分析】（1）根據(jù)中位線和平行四邊形性質(zhì)得到，然后根據(jù)線