《概率論和數(shù)理統(tǒng)計》第二章習題解答

...wd......wd......wd...第二章隨機變量及其分布1、解：設公司賠付金額為，則X的可能值為；投保一年內(nèi)因意外死亡：20萬，概率為0.0002投保一年內(nèi)因其他原因死亡：5萬，概率為0.0010投保一年內(nèi)沒有死亡：0，概率為1-0.0002-0.0010=0.9988所以的分布律為：2050P0.00020.00100.99882、一袋中有5只乒乓球，編號為1、2、3、4、5，在其中同時取三只，以X表示取出的三只球中的最大號碼，寫出隨機變量X的分布律解：X可以取值3，4，5，分布律為也可列為下表X：3，4，5P：3、設在15只同類型零件中有2只是次品，在其中取三次，每次任取一只，作不放回抽樣，以X表示取出次品的只數(shù)，〔1〕求X的分布律，〔2〕畫出分布律的圖形。解：任取三只，其中新含次品個數(shù)X可能為0，1，2個。PPx12Ox12O再列為下表X：0，1，2P：4、進展重復獨立實驗，設每次成功的概率為p，失敗的概率為q=1－p(0<p<1)〔1〕將實驗進展到出現(xiàn)一次成功為止，以X表示所需的試驗次數(shù)，求X的分布律?！泊藭r稱X服從以p為參數(shù)的幾何分布?！场?〕將實驗進展到出現(xiàn)r次成功為止，以Y表示所需的試驗次數(shù)，求Y的分布律?！泊藭r稱Y服從以r,p為參數(shù)的巴斯卡分布。〕〔3〕一籃球運發(fā)動的投籃命中率為45%，以X表示他首次投中時累計已投籃的次數(shù)，寫出X的分布律，并計算X取偶數(shù)的概率。解：〔1〕P(X=k)=qk－1p k=1,2,……〔2〕Y=r+n={最后一次實驗前r+n－1次有n次失敗，且最后一次成功}其中q=1－p，或記r+n=k，則P{Y=k}=〔3〕P(X=k)=(0.55)k－10.45 k=1,2…P(X取偶數(shù))=5、一房間有3扇同樣大小的窗子，其中只有一扇是翻開的。有一只鳥自開著的窗子飛入了房間，它只能從開著的窗子飛出去。鳥在房子里飛來飛去，試圖飛出房間。假定鳥是沒有記憶的，鳥飛向各扇窗子是隨機的。〔1〕以X表示鳥為了飛出房間試飛的次數(shù)，求X的分布律?！?〕戶主聲稱，他養(yǎng)的一只鳥，是有記憶的，它飛向任一窗子的嘗試不多于一次。以Y表示這只聰明的鳥為了飛出房間試飛的次數(shù)，如戶主所說是確實的，試求Y的分布律?！?〕求試飛次數(shù)X小于Y的概率；求試飛次數(shù)Y小于X的概率。解：〔1〕X的可能取值為1，2，3，…，n，…P{X=n}=P{前n－1次飛向了另2扇窗子，第n次飛了出去}=，n=1，2，……〔2〕Y的可能取值為1，2，3P{Y=1}=P{第1次飛了出去}=P{Y=2}=P{第1次飛向另2扇窗子中的一扇，第2次飛了出去}=P{Y=3}=P{第1，2次飛向了另2扇窗子，第3次飛了出去}=同上，故6、一大樓裝有5個同類型的供水設備，調(diào)查說明在任一時刻t每個設備使用的概率為0.1，問在同一時刻〔1〕恰有2個設備被使用的概率是多少〔2〕至少有3個設備被使用的概率是多少〔3〕至多有3個設備被使用的概率是多少〔4〕至少有一個設備被使用的概率是多少7、設事件A在每一次試驗中發(fā)生的概率為0.3，當A發(fā)生不少于3次時，指示燈發(fā)出信號?！?〕進展了5次獨立試驗，求指示燈發(fā)出信號的概率。〔2〕進展了7次獨立試驗，求指示燈發(fā)出信號的概率解：設X為A發(fā)生的次數(shù)。則n=5，7B:“指示等發(fā)出信號“①②8、甲、乙二人投籃，投中的概率各為0.6,0.7，令各投三次。求〔1〕二人投中次數(shù)相等的概率。記X表甲三次投籃中投中的次數(shù)Y表乙三次投籃中投中的次數(shù)由于甲、乙每次投籃獨立，且彼此投籃也獨立。P(X=Y)=P(X=0,Y=0)+P(X=2,Y=2)+P(X=3,Y=3)=P(X=0)P(Y=0)+P(X=1)P(Y=1)+P(X=2)P(Y=2)+P(X=3)P(Y=3)=(0.4)3×(0.3)3+[〔2〕甲比乙投中次數(shù)多的概率。P(X>Y)=P(X=1,Y=0)+P(X=2,Y=0)+P(X=2,Y=1)+P(X=3)P(Y=0)+P(X=3)P(Y=1)+P(X=3)P(Y=2)=P(X=1)P(Y=0)+P(X=2,Y=0)+P(X=2,Y=1)+P(X=3)P(Y=0)+P(X=3)P(Y=1)+P(X=3)P(Y=2)=9、有一大批產(chǎn)品，其驗收方案如下，先做第一次檢驗：從中任取10件，經(jīng)歷收無次品承受這批產(chǎn)品，次品數(shù)大于2拒收；否則作第二次檢驗，其做法是從中再任取5件，僅當5件中無次品時承受這批產(chǎn)品，假設產(chǎn)品的次品率為10%，求〔1〕這批產(chǎn)品經(jīng)第一次檢驗就能承受的概率〔2〕需作第二次檢驗的概率〔3〕這批產(chǎn)品按第2次檢驗的標準被承受的概率〔4〕這批產(chǎn)品在第1次檢驗未能做決定且第二次檢驗時被通過的概率〔5〕這批產(chǎn)品被承受的概率解：X表示10件中次品的個數(shù)，Y表示5件中次品的個數(shù)，由于產(chǎn)品總數(shù)很大，故X~B〔10，0.1〕，Y~B〔5，0.1〕〔近似服從〕〔1〕P{X=0}=0.910≈0.349〔2〕P{X≤2}=P{X=2}+P{X=1}=〔3〕P{Y=0}=0.95≈0.590〔4〕P{0<X≤2，Y=0}({0<X≤2}與{Y=2}獨立)=P{0<X≤2}P{Y=0}=0.581×0.5900.343〔5〕P{X=0}+P{0<X≤2，Y=0}≈0.349+0.343=0.69210、有甲、乙兩種味道和顏色極為相似的名酒各4杯。如果從中挑4杯，能將甲種酒全部挑出來，算是試驗成功一次?！?〕某人隨機地去猜，問他試驗成功一次的概率是多少〔2〕某人聲稱他通過品嘗能區(qū)分兩種酒。他連續(xù)試驗10次，成功3次。試問他是猜對的，還是他確有區(qū)分的能力〔設各次試驗是相互獨立的。〕解：〔1〕P(一次成功)=〔2〕P(連續(xù)試驗10次，成功3次)=。此概率太小，按實際推斷原理，就認為他確有區(qū)分能力。11.盡管在幾何教科書中已經(jīng)講過用圓規(guī)和直尺三等分一個任意角是不可能的。但每年總有一些“創(chuàng)造者〞撰寫關于用圓規(guī)和直尺將角三等分的文章。設某地區(qū)每年撰寫此類文章的篇數(shù)X服從參數(shù)為6的泊松分布。求明年沒有此類文章的概率。 解：12.一交換臺每分鐘收到呼喚的次數(shù)服從參數(shù)為4的泊松分布。求〔1〕每分鐘恰有8次呼喚的概率?！?〕某一分鐘的呼喚次數(shù)大于3的概率?！?〕〔2〕13.某一公安局在長度為t的時間間隔內(nèi)收到的緊急呼救的次數(shù)X服從參數(shù)為〔1/2〕t的泊松分布，而與時間間隔的起點無關〔時間以小時計〕?！?〕求某一天中午12時至下午3時沒有收到緊急呼救的概率?！?〕求某一天中午12時至下午5時至少收到1次緊急呼救的概率。解：①②14、解：〔1〕、分鐘時小時，〔2〕、故〔小時〕所以〔分鐘〕15、解：16、解：17、解：設服從分布，其分布率為，求的分布函數(shù)，并作出其圖形。解一：01的分布函數(shù)為：18．在區(qū)間上任意投擲一個質(zhì)點，以表示這個質(zhì)點的坐標。設這個質(zhì)點落在中任意小區(qū)間內(nèi)的概率與這個小區(qū)間的長度成正比例，試求的分布函數(shù)。解：①當時。是不可能事件，②當時，而是必然事件則③當時，是必然事件，有19、以X表示某商店從早晨開場營業(yè)起直到第一顧客到達的等待時間〔以分計〕，X的分布函數(shù)是求下述概率：〔1〕P{至多3分鐘}；〔2〕P{至少4分鐘}；〔3〕P{3分鐘至4分鐘之間}；〔4〕P{至多3分鐘或至少4分鐘}；〔5〕P{恰好2.5分鐘}解：〔1〕P{至多3分鐘}=P{X≤3}=〔2〕P{至少4分鐘}P(X≥4)=〔3〕P{3分鐘至4分鐘之間}=P{3<X≤4}=〔4〕P{至多3分鐘或至少4分鐘}=P{至多3分鐘}+P{至少4分鐘}=〔5〕P{恰好2.5分鐘}=P(X=2.5)=020、設隨機變量X的分布函數(shù)為，求〔1〕P(X<2),P{0<X≤3},P(2<X<)；〔2〕求概率密度fX(x).解：〔1〕P(X≤2)=FX(2)=ln2，P(0<X≤3)=FX(3)－FX(0)=1，〔2〕21、設隨機變量的概率密度為〔1〕〔2〕求X的分布函數(shù)F(x)，并作出〔2〕中的f(x)與F(x)的圖形。解：〔1〕當－1≤x≤1時：當1<x時：故分布函數(shù)為：解：〔2〕故分布函數(shù)為〔2〕中的f(x)與F(x)的圖形如下f(xf(x)x0F(x)2x0F(x)21x0121222、⑴由統(tǒng)計物理學知，分子運動速度的絕對值服從邁克斯韋爾(Maxwell)分布，其概率密度為其中，為Boltzmann常數(shù)，為絕對溫度，是分子的質(zhì)量。試確定常數(shù)。解:①即②當時，當時，或23、某種型號的電子的壽命X〔以小時計〕具有以下的概率密度：現(xiàn)有一大批此種管子〔設各電子管損壞與否相互獨立〕。任取5只，問其中至少有2只壽命大于1500小時的概率是多少解：一個電子管壽命大于1500小時的概率為令Y表示“任取5只此種電子管中壽命大于1500小時的個數(shù)〞。則，24、設顧客在某銀行的窗口等待服務的時間X〔以分計〕服從指數(shù)分布，其概率密度為：某顧客在窗口等待服務，假設超過10分鐘他就離開。他一個月要到銀行5次。以Y表示一個月內(nèi)他未等到服務而離開窗口的次數(shù)，寫出Y的分布律。并求P〔Y≥1〕。解：該顧客“一次等待服務未成而離去〞的概率為因此25、設K在〔0，5〕上服從均勻分布，求方程有實根的概率∵K的分布密度為：要方程有根，就是要K滿足(4K)2－4×4×(K+2)≥0。解不等式，得K≥2時，方程有實根?！?6、設X～N〔3.22〕〔1〕求P(2<X≤5)，P(－4)<X≤10)，P{|X|>2}，P(X>3)∵ 假設X～N〔μ，σ2〕，則P(α<X≤β)=φφ∴P(2<X≤5)=φφ=φ(1)－φ(－0.5)=0.8413－0.3085=0.5328P(－4<X≤10)=φφ=φ(3.5)－φ(－3.5)=0.9998－0.0002=0.9996P(|X|>2)=1－P(|X|<2)=1－P(－2<P<2)= =1－φ(－0.5)+φ(－2.5) =1－0.3085+0.0062=0.6977P(X>3)=1－P(X≤3)=1－φ=1－0.5=0.5〔2〕決定C使得P(X>C)=P(X≤C)∵P(X>C)=1－P(X≤C)=P(X≤C)得 P(X≤C)==0.5又 P(X≤C)=φ∴C=327、某地區(qū)18歲的女青年的血壓〔收縮區(qū)，以mm-Hg計〕服從在該地區(qū)任選一18歲女青年，測量她的血壓X。求〔1〕P(X≤105)，P(100<X≤120). 〔2〕確定最小的X使P(X>x)≤0.05.解:28、由某機器生產(chǎn)的螺栓長度〔cm〕服從參數(shù)為μ=10.05，σ=0.06的正態(tài)分布。規(guī)定長度在范圍10.05±0.12內(nèi)為合格品，求一螺栓為不合格的概率是多少設螺栓長度為XP{X不屬于(10.05－0.12,10.05+0.12)=1－P(10.05－0.12<X<10.05+0.12)=1－=1－{φ(2)－φ(－2)}=1－{0.9772－0.0228}=0.045629、一工廠生產(chǎn)的電子管的壽命X〔以小時計〕服從參數(shù)為μ=160，σ(未知)的正態(tài)分布，假設要求P(120＜X≤200＝=0.80，允許σ最大為多少∵P(120＜X≤200)=又對標準正態(tài)分布有φ(－x)=1－φ(x)∴上式變?yōu)榻獬鲈俨楸?，?0、解：31、解：32、解：所以為概率密度函數(shù)33、設隨機變量X的分布律為：X：－2， －1， 0， 1， 3P：， ， ， ， 求Y=X2的分布律∵Y=X2：(－2)2 (－1)2 (0)2 (1)2 (3)2P：再把X2的取值一樣的合并，并按從小到大排列，就得函數(shù)Y的分布律為：∴Y：0 1 4 9P：34、設隨機變量X在〔0，1〕上服從均勻分布〔1〕求Y=eX的分布密度∵X的分布密度為：Y=g(X)=eX是單調(diào)增函數(shù)又 X=h(Y)=lnY，反函數(shù)存在且 α=min[g(0),g(1)]=min(1,e)=1max[g(0),g(1)]=max(1,e)=e∴Y的分布密度為：〔2〕求Y=－2lnX的概率密度?！遈=g(X)=－2lnX 是單調(diào)減函數(shù)又 反函數(shù)存在。且 α=min[g(0),g(1)]=min(+∞,0)=0β=max[g(0),g(1)]=max(+∞,0)=+∞∴Y的分布密度為：35、設X～N〔0，1〕〔1〕求Y=eX的概率密度∵X的概率密度是Y=g(X)=eX是單調(diào)增函數(shù)又 X=h(Y)=lnY反函數(shù)存在且 α=min[g(－∞),g(+∞)]=min(0,+∞)=0β=max[g(－∞),g(+∞)]=max(0,+∞)=+∞∴Y的分布密度為：〔2〕求Y=2X2+1的概率密度。在這里，Y=2X2+1在(+∞，－∞)不是單調(diào)函數(shù)，沒有一般的結(jié)論可用。設Y的分布函數(shù)是FY〔y〕，則 FY(y)=P(Y≤y)=P(2X2+1≤y)=當y<1時：FY(y)=0當y≥1時：故Y的分布密度ψ(y)是：當y≤1時：ψ(y)=[FY(y)]'=(0)'=0當y>1時，ψ(y)=[FY(y)]'==〔3〕求Y=|X|的概率密度。∵Y的分布函數(shù)為FY(y)=P(Y≤y)=P(|X|≤y)當y<0時，F(xiàn)Y(y)=0當y≥0時，F(xiàn)Y(y)=P(|X|≤y)=P(－y≤X≤y)=∴Y的概率密度為：當y≤0時：ψ(y)=[FY(y)]'=(0)'=0當y>0時：ψ(y)=[FY(y)]'=36、〔1〕設隨機變量X的概率密度為f(x)，求Y=X3的概率密度?！遈=g(X)=X3是X單調(diào)增函數(shù)，又 X=h(Y)=，反函數(shù)存在，且 α=min[g(－∞),g(+∞)]=min(0,+∞)=－∞β=max[g(－∞),g(+∞)]=max(0,+∞)=+∞∴Y的分布密度為：ψ(y)=f[h(h)]·|h'(y)|=〔2〕設隨機變量X服從參數(shù)為1的指數(shù)分布，求Y=X2的概率密度。xOy=x2y法一：∵X的分布密度為：xOy=x2yY=x2是非單調(diào)函