高中數(shù)學2輪15 創(chuàng)新題專練

特色專項

高考題型特訓

U靖選靖練「仿真高考〕

本部分主要由“五練”：創(chuàng)新題專練、小題滿分練、大題保

分練、壓軸題突破練和仿真模擬練組成,其有以下特點：

0完全復合高考模式一題型、分值、難易程度：

?從往年“強大繁瑣計算式”改為從思路入手.考理解、考證

明,培養(yǎng)考生的思維能力與合理分配考生時間的能力；

?“五練”可根據(jù)考生自身情況,選擇練習的方式,可分題型

專練,也可隨機組套卷練,練后輕松應對“百變高考、

創(chuàng)新題專練

1.寫出一個滿足yu）=y（2—幻的偶函數(shù)：fix）=.

cos?（答案不唯一）［本題是開放性試題，答案不唯一.如:

由./U）=人2—X）且Xx）為偶函數(shù)可知,/U）的圖象關(guān)于直線x=1對稱且關(guān)于直

線X=0對稱，y（X）=C0S7U符合題意.]

2.如圖所示，在四棱錐P-A8CZ）中，附_1_底面ABCD,且底面各邊都相等，

M是PC上的一個動點，當點〃滿足時，平面M3。，平面PCD.（填

寫一個你認為是正確的條件即可）

DM_LPC或[連接AC（圖略）.因為四邊形A5CD各邊都相等，

所以四邊形A8CO為菱形，所以ACJ_8O.

又抬，底面ABC。，所以APL8。，

又ACCM=A,ACU平面用。，APU平面HC,所以8。_1_平面hC.

又PCU平面朋C,所以BOLPC,

所以當。M_LPC（或8MLPO時，即有PC,平面M8O,而PCU平面PCD,

所以平面MBD上平面PCD.

故可填。A/_LPC或等.]

3.若函數(shù),/（x）=sin（2x+9）為偶函數(shù)，則8的一個值為.（寫出一個

即可）

7T

]（答案不唯一）[由偶函數(shù)的性質(zhì)得，對任意x￡R,人一元）=/0），

即sin（2x+=sin（-2x+（p）,即sin（2x+^）—sin（—2x+^）=2sin2xcos（p=0.

兀

由x的任意性可知，cos^9=0,得9=/+E,k￡Z,

故可填集合卜X=]+%1,kez|■中任意1個元素.]

4.已知△ABC中，bcosA-c>0.

（1）問△ABC中是否必有一個內(nèi)角為鈍角，說明理由；

（?△ABC同時滿足下列四個條件中的三個：①sinA=乎，②sinC=乎，③“

=2,④c=4i請證明使得△ABC存在的這三個條件僅有一組，寫出這組條件并

求出b的值.

［解］(1)因為。cosA-c>0,

所以由正弦定理可得sinBcosA-sinC>0,

在△ABC中，C=n—A—B,sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,

所以sinAcosB+cosAsinfi<sinBcosA,即sinAcosB<0,

因為AW(0,兀)，

所以sinA>0,

所以cosBVO,故角8為鈍角.所以△ABC中必有一個內(nèi)角為鈍角.

(2)若滿足①②，由(1)知B為鈍角，A,。為銳角，結(jié)合sinA=￥，sinC=,,

TTjr

可得A=I，C=y

所以8=苣57r，不是鈍角，故①②不能同時成立.

若滿足①③④，則由正弦定理可得癮=默，即定=蠱，所以sinC=

2

1

2,

又a>c,所以A>C,

因為sinA=乎，

所以A=f或A=牛，

7T

由(1)可得8為鈍角，所以4=不

TT7兀

所以。=不B=TI—A—C=^2,

八，兀?兀、兀兀.兀.兀/一#

所以cos3=cos(w十a(chǎn)j=cos§cossmjSin~,

故b=yla2+c2-2accosB

=個4+2—2X2X巾+1.

、巧rr

若滿足②③④，由5為鈍角，sinC=^-,#C=y而Q>C,所以A>C,

JT

此時BV］,不為鈍角，所以②③④不能同時成立.

綜上所述，使得△ABC存在的這三個條件只有①③④，此時人=4+1.

5.(2021.福建福州1月月考)已知等差數(shù)列｛〃〃｝與正項等比數(shù)列｛為｝滿足?

="=3,且?guī)滓籊,20,紡+歷既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列.

(1)求數(shù)列｛m｝和｛為｝的通項公式；

(2)從①C"="—'+(—1)”加，②C"=anbn,③C"=―("/，這三個條件中任

選一個，補充到下面的問題中，并解答.

若,求數(shù)列｛C"｝的前”項和Sn.

［解］(1)設(shè)等差數(shù)列｛斯｝的公差為乩等比數(shù)列｛加｝的公比為式4>0),由題

意可得20=加-43=。5+》2,

20=3q2-(3+2J),d=2,

即《解得，

[20=(3+4c/)+3q,4=3,

故z=2〃+l,b”=3".

(2)若選①，解答過程如下:

Cn。以”+!+(—1)“加=(2刀+1)(2〃+3)+(-3)”

氏—￡)+(-3)",

Sn=Cl+C2+…+C==

(LIfl(-3)"]—3[1—(—3)〃]

\a?z+J十，A—云。1如+1尸1+3—A32/?+3廠4

西&n,3[(-3r-l]

故"―3Q〃+3)十4

若選②，解答過程如下：

n2,

Cn=anbn=(2ri+l)-3,Sn=c\+c2-\-----Fcn=3X3+5X3H-----F(2n+l)X3',

3S?=3X32+5X33H-----F(2〃+l)X3"+i,

兩式相減得一2S”=32+2X32+2X33H-----F2X3"-(2〃+l)X3"+i=9+

9(1—3"?)

,,+1,1+1n+l

2X1-3-(2/7+1)X3=-2tt-3,所以Sn=n-3.

若選③，解答過程如下：

=2(小+3)=2(2〃+4)=]_]=_J_

Cn+,

=anan+\bn+\=(2〃+1)(2〃+3)3—=(2/?+1)-3"—(2?+3)-3?=肅

]

Cln+\bn+1'

則*=a+c2+…+c"=熹-夫+夫-熹11_1_1

anbnan+\hn+\a\b\

知+1包+1'故S'=§一(2鹿+3)3計1

6.(2021.深圳八校2月聯(lián)考)如圖為一個半圓柱，E為半圓弧CO上一點，CD

=小.

(1)若AD=2小，求四棱錐E-A8CD的體積的最大值.

(2)有以下三個條件：①4■萬3=說\5□②直線AO與BE所成角的正弦值

為|，鯨修黑=坐請你選擇兩個條件作為已知條件，求直線A。與平面EAB

所成角的余弦值.

［解］(1)在平面EOC內(nèi)作EELCD于￡如圖所示.

易知平面A3CO_1_平面EDC,平面ABCOC平面EDC=CD,

所以EFA.平面ABCD,即EF為四棱錐E-ABCD的高.

因為E為半圓弧CO上一點，所以CELEO.

,11rrCEXED2小

故VE-ABCD=^XSABCDXEF=MX木X2鄧X—=~^CEXED.

因為CE2+ED2=CD2=5,

22

h、…^2^5WCE+ED2^5,,55、

所以VE-ABCD^-^-X---------------=^—X2='^—,

當且僅當CE=EO=乎時等號成立，故四棱錐E-ABCD的體積的最大值為

5^5

3?

(2)由條件①得，4|DEl|DC|cosZCDE=\EC\\DC\cosZDCE,所以4。序=。E2,

所以2DE=CE,又CE1+ED2=5,則DE=1,CE=2.

因為AD〃BC,BC_L平面。CE,

所以NCBE為直線AO與BE所成的角.

由條件②得sinZCBE=|=ff,所以tanNCBE=^=半.

jDLL￡)CD

sinZEABEB^6X2+CE23

由條件③得,sinNEBA=麗=2，設(shè)A0=x，則/+。西2=].

若選條件①②，則DE=1,CE=2,且tanNCBE=詫=-^—，故AO=BC

=y[5.

CE?3I_

若選條件①③，則。E=l,CE=2,且百蔗=如所以AD=x=由.

若選條件②③，則tanNCBE=W=且匕凍=|,又。咫+￡02=5,

所以AD=x=小.

即從①②③中任選兩個條件作為已知條件，都可以得到DE=1,CE=2,AD

=BC=小,

下面求直線AO與平面E4B所成角的余弦值.

設(shè)點D到平面EAB的距離為h,AD與平面EAB所成角為6,

如圖，連接DB,則由VD-EAB=VE-DAB,得h-S^EAB=EF-S^AB=^X^Xy[5

X小，所以。=+-.

OA￡AB

作FG1AB于G,連接EG,則由EFL平面ABCD知，F(xiàn)G是EG在平面ABCD

內(nèi)的射影，

所以EGJLAB.

運—小2怖

2，所以力—S⑷129，

所以sin?=/=嚼，

所以cos3=yj1—sin20=?

所以直線AD與平面EAB所成角的余弦值為

7.已知拋物線￡：y2=2〃xS>0)的焦點為R直線x=3被E所截得到的線

段的長為66.

(1)求后的方程.

(2)若不過點尸的直線/與E相交于A,8兩點，請從下列三個條件中任選兩

個作為補充條件，并求/的方程(若因條件選擇不當而無法求出，需分析具體原

因).

①線段A3中點的縱坐標為3；

②的重心在直線y=2上；

③|AF|+|BF|=13.

[解](1)因為直線x=3被E:V=2px(p>0)所截得到的線段的長為6啦，

所以拋物線E:產(chǎn)=2〃刈?>0)過點(3,3啦)，

則18=6/7,所以p=3,

則E的方程為/=6x.

(2)當直線/的斜率不存在時，/與E相交于A,B兩點、,A3的中點縱坐標為

0,△ABf的重心在直線y=0上，

不管選①②，①③，②③，均與上述結(jié)論矛盾，故直線/的斜率存在.

由⑴知系，0],設(shè)/：y=kx+b[k^0,/?#—#),A(x\,yi),3(x2,yi).

y=—1-b

,'消去x,整理得ky2-6y