高中數(shù)學(xué)：導(dǎo)學(xué)案：等比數(shù)列

2.4等比數(shù)列導(dǎo)學(xué)案⑴

學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.理解等比數(shù)列的定義，能夠利用定義判斷一個(gè)數(shù)列是否為等比數(shù)

列；

2..掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式并能簡單應(yīng)用；

重點(diǎn)：等比數(shù)列和等差中項(xiàng)的概念及等比數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)和應(yīng)用

難點(diǎn)：等比數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)及應(yīng)用。

一、溫故知新

什么叫等差數(shù)列？通項(xiàng)公式是什么？什么叫等差中項(xiàng)?

二、探求新知

1、研究下面三個(gè)數(shù)列并回答問題

①1、2、4、8…；②1、T、1、T…③1、--???

248

問題1：上面數(shù)列都是等差數(shù)列嗎？

問題2：以上數(shù)列后項(xiàng)與前項(xiàng)的比有何特點(diǎn)？

2、等比數(shù)列的定義

一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第一項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的都等于_

常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的,通常用

字母表示0

3、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的推導(dǎo)過程

設(shè)等比數(shù)列{%},的公比為q

方法1：（歸納法）

q=%,2=/_，=a2q=at_,4=%[=%—，....4=《-?=%—

方法2：（累乘法）

根據(jù)等比數(shù)列的定義，可以得到生=_,生幺…，@=_以上

4。2。3

共有等式，把以上_____個(gè)等式左右兩邊分別相乘得

%“2%%

"=—，即得到等比數(shù)列的通項(xiàng)公式。

%

4、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式an=

三、通過預(yù)習(xí)掌握的知識(shí)點(diǎn)

1、等比數(shù)列：一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比

等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列.這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比;

公比通常用字母q表示(qWO)，即：2=q(gwo)

凡」

1°“從第二項(xiàng)起”與“前一項(xiàng)”之比為常數(shù)(q)

｛明｝成等比數(shù)列。4乜=q(〃eN+,qW0)

%

2°隱含：任一項(xiàng)％工。且gw0

3°q=1時(shí)，｛an｝為常數(shù)。

2、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式1:.

3、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式2:.

4.等比中項(xiàng)：若a.b.c成等比數(shù)列。則.

5、既是等差又是等比數(shù)列的數(shù)列：非零常數(shù)列

四、預(yù)習(xí)檢查：

1.判斷下列數(shù)列是否為等比數(shù)列

(1)2,2,2,2,???；

(2)-1,1,2,4,8,…；

(3)lg3,lg6,lgl2,-;

(4)a),ct~,???a"；

(5)已知數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式為%=3x2"。

(6)已知數(shù)列｛““｝的通項(xiàng)公式為〃“=(一3)「"

2.已知數(shù)列1,-2,4,-8,16…，它的公比是，通項(xiàng)公式是

3.已知數(shù)列1,——>—>—-則一」一是它的第_______項(xiàng)。

248128

4.一個(gè)等比數(shù)列的第9項(xiàng)是公比是一工，求它的第1項(xiàng)

93

5.一個(gè)等比數(shù)列的第2項(xiàng)是10,第3項(xiàng)是20,求它的第1項(xiàng)與第4項(xiàng)

五、導(dǎo)學(xué)探疑

例題：在等比數(shù)列｛々J中，

1.已知％=3,q=-2,求必；

2.已知〃3=20,a=160,求為

歸納方法：

六.固學(xué)思疑：

1.等比數(shù)列｛%｝中，的=9,生=243,則4為（）

A.3B.4C.5D.6

2.VI+1與&-1,兩數(shù)的等比中項(xiàng)是（）

A.1B.—1C.±1D.—

2

3.等比數(shù)歹！J｛a“｝中％=27國=一3,求的

4.在等比數(shù)列｛七｝中，若的=3,為=75,則a10=.

5.（13大綱理6）已知數(shù)列｛4｝滿足3a,用+a“=0,4=-主（n>l,neN）

則通項(xiàng)%=.

§2.4等比數(shù)列（2）

學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.靈活應(yīng)用等比數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式；深刻理解等比中項(xiàng)概念；

2.熟悉等比數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)，并系統(tǒng)了解判斷數(shù)列是否成等比數(shù)列的方法.

一、溫故知新

1.等比數(shù)列的定義：_________________________

2.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式4==.

公比4滿足的條件是

3.等差數(shù)列有何性質(zhì)？_______________________________________________

4..等比中項(xiàng)：如果在。與。中間插入一個(gè)數(shù)G,使a,G,b成等比數(shù)列，那么

稱這個(gè)數(shù)G稱為。與8的等比中項(xiàng).即6=(%)同號(hào)).

二、新課導(dǎo)學(xué)

1.學(xué)習(xí)探究

(1).在等比數(shù)列｛4,｝中，="347是否成立呢？

(2).4；=*4川5>1)是否成立？你據(jù)此能得到什么結(jié)論？

⑶&=-%(〃>%>0)是否成立？你又能得到什么結(jié)論？

2.等比數(shù)列的性質(zhì)

在等比數(shù)列中,若m+n=p+q,則a?,a?=?

試一試：在等比數(shù)列｛叫，已知q=5,Wio=100，那么a%="

三.例題

例1在等比數(shù)列｛”“｝中，已知為%=-512,且%=124,公比為整數(shù)，求％。.

練習(xí)1。在等比數(shù)列｛%｝中,已知a7al2=5,則a8a960%=.

練習(xí)2.在7和56之間插入a、b,使7、a、b、56成等比數(shù)列，若插入c、(1,

使7、c、d、56成等差數(shù)列，求a+b+c+d的值.

變式：三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，它們的積等于27,它們的平方和等于91,求這三個(gè)

數(shù)。

例2.已知｛6｝,也｝是項(xiàng)數(shù)相同的等比數(shù)列，仿照下表中的例子填寫表格，從中你

能得出什么結(jié)論?證明你的結(jié)論.

例自選i自選2

2

%3x『

b?-5x2"-'

4

a“b”-1Ox

｛a?b?J

是否等

比

變式：項(xiàng)數(shù)相同等比數(shù)列｛%｝與｛"｝,數(shù)列｛%｝也一定是等比數(shù)列嗎？證明你的

結(jié)論.

小結(jié)：兩個(gè)等比數(shù)列的積和商仍然是等比數(shù)列.

四.學(xué)習(xí)小結(jié)

1.等比中項(xiàng)定義；2.等比數(shù)列的性質(zhì).

3、公比為q的等比數(shù)列｛氏｝具有如下基本性質(zhì)：

⑴數(shù)列｛|4|｝,⑷｝,｛%,｝(cxO),｛%｝(,?€"),｛%*｝等，也為等比數(shù)列，公比

分別為1g"%,心心若數(shù)列電｝為等比數(shù)列，則。也｝，｛卻也等比.

⑵若機(jī)eM,則4=%“廣”.當(dāng)帆=1時(shí)，便得到等比數(shù)列的通項(xiàng)公式.

(3)若加+〃=%+/,m,n,k,leN*,則a,

(4)若｛a“｝各項(xiàng)為正，c>0,則｛log<q｝是一個(gè)以為首項(xiàng)，log?q為公差的等差

數(shù)列.若｛〃｝是以d為公差的等差數(shù)列，則｛/”｝是以沙為首項(xiàng)，c”為公比的等比

數(shù)列.當(dāng)一個(gè)數(shù)列既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列時(shí)，這個(gè)數(shù)列是非零的常數(shù)列

五.當(dāng)堂檢測

1.在｛a“｝為等比數(shù)列中，a“>0,42a4+2。洶+%,=16,那么4+6=()*

A.±4B.4C.2D.8

2.若一9,a\,歐，一1四個(gè)實(shí)數(shù)成等差數(shù)列，一9,b\,bi，加，一1五個(gè)實(shí)數(shù)成

等比數(shù)列，

則歷(。2—ai)=().

Q

A.8B.-8C.±8D.-

8

3.若正數(shù)a,b,c依次成公比大于1的等比數(shù)列，則當(dāng)x>l時(shí)，log“x,logf

log,X()

A.依次成等差數(shù)列B.各項(xiàng)的倒數(shù)依次成等差數(shù)列C.依次成等比數(shù)列D.各項(xiàng)的

倒數(shù)依次成等比數(shù)列

4.在兩數(shù)1,16之間插入三個(gè)數(shù)，使它們成為等比數(shù)列，則中間數(shù)等于.

5.在各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列｛”“｝中