2025年春人教版化學(xué)九年級下冊 28.2.2 第1課時(shí) 解直角三角形的簡單應(yīng)用

28.2.2第1課時(shí)解直角三角形的簡單應(yīng)用選擇題1.在Rt△ABC中，AB=4，AC=2，∠C=90°，則∠A的度數(shù)為(C)A.30°B.40°C.45°D.60°2.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=8，則BC的長是(D)A.B.4C.8D.43.如圖，已知在△ABC中，AD是邊BC上的高，BC=14，AD=12，sinB=，則線段DC的長為(C)A.3B.4C.5D.64.如圖，電線桿CD的高度為h，兩根拉線AC與BC相互垂直，∠CAB=a，則拉線BC的長度為(A，D，B在同一條直線上)(B)A.B.C.D.h·cosa5.山東聊城“水城之眼”摩天輪是亞洲三大摩天輪之一，也是全球首座建筑與摩天輪相結(jié)合的城市地標(biāo).如圖，點(diǎn)O是摩天輪的圓心，長為110m的AB是其垂直地面的直徑，小瑩在地面C點(diǎn)處利用測角儀測得摩天輪的最高點(diǎn)A的仰角為33°，測得圓心0的仰角為21°，則小瑩所在點(diǎn)C到直徑AB所在直線的距離約為(tan33°≈0.65，tan21°≈0.38)(B)A.169mB.204mC.240mD.407m6.如圖，為測量一棵與地面垂直的樹OA的高度，在距離樹的底端25米的B處，測得樹頂A的仰角∠ABO為a，則樹0A的高度為(C)A.米B.25sina米C.25tana米D.25cosa米7.如圖，一艘輪船位于燈塔P的北偏東60°方向，與燈塔P的距離為30海里的A處，輪船沿正南方向航行一段時(shí)間后，到達(dá)位于燈塔P的南偏東30°方向上的B處，則此時(shí)輪船所在位置B處與燈塔P之間的距離為(D)A.60海里B.45海里C.20海里D.30海里8.如圖，斜坡AB的坡度為1：2，AC=3米，坡頂有旗桿BC，旗桿頂端B點(diǎn)與A點(diǎn)有一條彩帶相連.若AB=10米，則旗桿BC的高度為(A)A.5米B.6米C.8米D.(3＋)米9.如圖，為了測量山坡護(hù)坡石壩的坡度(坡面的鉛直高度與水平寬度的比稱為坡度)，把一根長5m的竹竿AC斜靠在石壩旁，量出桿長1m處的D點(diǎn)離地面的高度DE=0.6m，又量得桿底與壩腳的距離AB=3m，則石壩的坡度為(B)A.B.3C.D.410.如圖，⊙O的直徑AB=4，BC切⊙0于點(diǎn)B，OC平行于弦AD，0C=5，則AD的長為(B)A.B.C.D.二、填空題11.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，ED⊥AB交AC于點(diǎn)E.設(shè)∠A=a，且tana=，則tan2a=____.答案：.12.如圖，某城市的電視塔AB坐落在湖邊，數(shù)學(xué)老師帶領(lǐng)學(xué)生隔湖測量電視塔AB的高度，在點(diǎn)M處測得塔尖點(diǎn)A的仰角∠AMB為22.5°，沿射線MB方向前進(jìn)200米到達(dá)湖邊點(diǎn)N處，測得塔尖點(diǎn)A在湖中的倒影點(diǎn)A’的俯角∠A’NB為45°，則電視塔AB的高度為____米.(結(jié)果保留根號)答案：10013.小明坐在堤邊垂釣，如圖，河堤AC的坡角為30°，AC的長為米，釣竿0A的傾斜角是60°，其長為3米.若0A與釣魚線0B的夾角為60°，則浮漂B與河堤下端C之間的距離是____米.答案：1.514.如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=6，D是AC上一點(diǎn)，若tan∠DBA=，則AD的長是____.答案：215.如圖，某高速公路建設(shè)中需要測量某條江的寬度AB，飛機(jī)上的測量人員在C處測得A，B兩點(diǎn)的俯角分別為45°和30°.若飛機(jī)離地面的高度CH為1200米，且點(diǎn)H，A，B在同一水平直線上，則這條江的寬度AB為_____米(結(jié)果保留根號)答案：(1200－1200)16.為加強(qiáng)防汛工作，某市對一攔水壩進(jìn)行加固.如圖，加固前攔水壩的橫斷面是梯形ABCD，已知迎水坡面AB=12米，背水坡面CD=12米，∠B=60°.加固后攔水壩的橫斷面為梯形ABED，tanE=，則CE的長為____米.答案：8三、解答題17.在Rt△ABC中，∠C=90°，a，b，c分別是∠A，∠B，∠C的對邊.求下列直角三角形中的未知量.(1)∠B=60°，c=25；(2)∠A=30°，b=.【解析】(1)在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，∴∠A=30°，∴sinA==，∵c=25，∴a=.∵cosA==，c=25，∴b=.綜上a=，b=，∠A=30°.(2)∵∠C=90°，∠A=30°，∴∠B=60°.在Rt△ABC中，cosA==，∵b=，∴c=2，∴a=c=1.綜上，a=l，c=2，∠B=60°.18.如圖，A，B兩地之間有一座山，汽車原來從A地到B地需經(jīng)C地沿折線ACB行駛，現(xiàn)開通隧道后，汽車直接沿直線AB行駛即可到達(dá)B地.已知AC=120km，∠A=30°，∠B=135°，求隧道開通后汽車從A地到B地需行駛多少千米.【解析】過點(diǎn)C作CD⊥AB交AB的延長線于點(diǎn)D，在Rt△ACD中，∵AC=120km，∠A=30°，∴CD=ACsin30°=60km，AD=ACcos30°=60km，∵∠ABC=135°，∴∠CBD=45°，∴BD=CD=60km，AB=AD－BD=(60－60)km.故隧道開通后汽車從A地到B地需行駛(60－60)千米.19.如圖，蘭蘭站在河岸上的G點(diǎn)，看見河里有一只小船沿垂直于岸邊的方向劃過來，此時(shí)，測得小船C的俯角∠FDC為30°，若蘭蘭的眼睛與地面的距離DG是1.5米，BG=1米，BG平行于AC所在的直線，迎水坡的坡度i=4：3，坡高8米，求小船C到岸邊的距離CA.(參考數(shù)據(jù)：≈1.73，結(jié)果保留一位小數(shù))【解析】如圖，過點(diǎn)B作BE⊥CA交CA的延長線于點(diǎn)E，延長DG交CA的延長線于點(diǎn)H，得Rt△ABE和矩形BEHG.∵i==，BE=8米，∴AE=6米.∵DG=1.5米，BG=l米，∴DH=DG＋GH=1.5＋8=9.5(米)，AH=AE＋EH=6＋l=7(米).在Rt△CDH中，∵∠C=∠FDC=30°，DH=9.5米，tanC=，∴CH=米.又CH=CA＋7，即=CA＋7，∴CA≈9.4米.因此，小船C到岸邊的距離CA約是9.4米.20.如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC，BD交于點(diǎn)E，∠BAC=90°，∠CED=45°，∠DCE=30°，DE=，BE=2，求CD的長和四邊形ABCD的面積.【解析】如圖，過點(diǎn)D作DH∥⊥AC于點(diǎn)H.∵∠CED=45°，DE=，∴EH=DEcos45°=×=1，∴DH=1.又∠DCE=30°，∴HC==，CD==2.∵∠AEB=∠CED=45°，∠BAC=90°，BE=2，∴AB=AE=2，∴AC=AE＋EH＋HC=2＋1＋=3＋.∴S四邊形ABCD=S△ABC＋S△ADC=×2×(3＋)＋×1×(3＋)=.21.一批武警官兵奉命營救小山兩側(cè)A，B兩地的被困人員，為了圓滿完成空降任務(wù)，需知道小山高度及兩地的距離.已知當(dāng)飛機(jī)飛至高空C處時(shí)，發(fā)現(xiàn)飛機(jī)與山頂P及村莊B在同一條直線上，且點(diǎn)A，B，C，P在同一平面內(nèi)，并測得A，B兩地的俯角分別為75°和30°，飛機(jī)離A地的距離AC=1400米，又知在A處測得山頂P的仰角為45°，求A，B兩地的距離及小山的高.(結(jié)果保留根號)【分析】首先過點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，過點(diǎn)P作PH⊥AB于點(diǎn)H，根據(jù)題意得，∠DCA=75°，∠DCB=30°，DC∥AB，然后由三角函數(shù)的知識，求得AE與EC的值，進(jìn)而求得AB的值與小山的高.【解析】如圖，過點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，過點(diǎn)P作PH⊥AB于點(diǎn)H，根據(jù)題意得，∠DCA=75°，∠DCB=30°，DC∥AB，∴∠B=∠DCB=30°，∠BCA=∠DCA－∠DCB=45°，∴AE=EC=AC·sin∠ECA=1400×=700(米)，∴AB===1400(米).∴BE=AB·cosB=1400×=700(米),∴BC=BE＋EC=(700＋700)(米)，∵∠B=∠B，∠BAP=∠BCA=45°，∴△ABP∽△CBA，∴，∴=，∴PH=(700－700)米.∴A，B兩地的距離為1400米，小山的高為(700－700)米.22.一艘輪船向正東方向航行，在A處測得燈塔P在A的北偏東60°方向，航行40海里到達(dá)B處，此時(shí)測得燈塔P在B的北偏東15°方向.(1)求燈塔P到輪船航線的距離PD；(結(jié)果保留根號)(2)當(dāng)輪船從B處繼續(xù)向東航行時(shí)，一艘快艇從燈塔P處同時(shí)前往D處，盡管快艇速度是輪船速度的2倍，但快艇還是比輪船晚15分鐘到達(dá)D處，求輪船每小時(shí)航行多少海里.(結(jié)果精確到1海里，參考數(shù)據(jù)≈1.7)【解析】(1)過點(diǎn)B作BC⊥AP于點(diǎn)C.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，∴BC=AB=20海里，AC=AB·cos30°=20海里.∵∠PBD=90°－15°=75°，∠ABC=90°－30°=60°，∴∠CBP=180°－75°－60°=45°，∴PC=BC=20海里，∴AP=PC＋AC=(20＋20)海里.∵PD⊥AD，∠PAD=