2025年春人教版數(shù)學(xué)九年級(jí)下冊(cè)教案 28.2.2 第2課時(shí) 與方位角、坡度有關(guān)的解直角三角形的應(yīng)用

第2課時(shí)與方位角、坡度有關(guān)的解直角三角形的應(yīng)用教師備課素材示例●情景導(dǎo)入如圖，一架外國(guó)敵機(jī)(以下簡(jiǎn)稱敵機(jī))沿ED方向入侵我國(guó)領(lǐng)空，我空軍無(wú)人機(jī)沿AC方向與其平行飛行進(jìn)行跟蹤．我機(jī)在A處與敵機(jī)在B處的距離為800m，∠CAB＝30°，這時(shí)敵機(jī)突然轉(zhuǎn)向，以北偏西45°方向飛行，我機(jī)繼續(xù)沿AC方向以400m/s的速度飛行，敵機(jī)在C處故意撞擊我機(jī)，則敵機(jī)由B到C的速度是多少？【教學(xué)與建議】教學(xué)：用學(xué)生比較熟悉的軍事問(wèn)題吸引他們的注意力，激發(fā)學(xué)生對(duì)新知識(shí)的渴求．建議：引導(dǎo)學(xué)生理解方向角的含義，建立方位坐標(biāo)，選擇合適的邊角關(guān)系.●置疑導(dǎo)入為了提前做好防洪準(zhǔn)備工作，某市在長(zhǎng)江邊修建一防洪大壩，其橫斷面為梯形ABCD，如圖，你能求出DC的長(zhǎng)嗎？問(wèn)題：(1)在Rt△ADE中，已知∠D＝60°，AE＝10m，則DE＝__eq\f(10\r(3),3)__m.(2)在Rt△BCF中，已知∠C＝45°，BF＝10m，則FC＝__10__m.(3)DC由線段__DE__，__EF__，__FC__組成，所以DC＝__22＋eq\f(10\r(3),3)__m.【教學(xué)與建議】教學(xué)：通過(guò)解直角三角形可以求出DE和FC的長(zhǎng)，從而求出DC的長(zhǎng)．建議：教師在新課引入時(shí)可以借助多媒體展示河堤的相關(guān)圖片，最后落回到探究坡度、坡角等問(wèn)題上．*命題角度1與方向角有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題此類問(wèn)題一般與航海有關(guān)，關(guān)鍵是理解方向角，確定角的大小，再作垂線構(gòu)造直角三角形，轉(zhuǎn)化為解直角三角形問(wèn)題．【例1】上午9時(shí)，一條船從A處出發(fā)，以40nmile/h的速度向正東方向航行，9時(shí)30分到達(dá)B處，如圖，從A，B兩處分別測(cè)得小島M在北偏東45°和北偏東15°方向，那么B處船與小島M的距離為(B)A．20nmileB．20eq\r(2)nmileC．15eq\r(3)nmileD．20eq\r(3)nmile【例2】在某次海上搜救工作時(shí)，A船發(fā)現(xiàn)在它的南偏西30°方向有一漂浮物，同時(shí)在A船正東10km處的B船發(fā)現(xiàn)該漂浮物在它的南偏西60°方向，此時(shí)B船到該漂浮物的距離是__10eq\r(3)__km.*命題角度2與傾斜角、坡角、坡度有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題此類問(wèn)題一般與堤壩、斜坡、滑梯、電梯等有關(guān)，關(guān)鍵是理解傾斜角、坡角或坡度，構(gòu)造直角三角形，利用銳角三角函數(shù)、勾股定理等知識(shí)求解．【例3】如圖是河堤橫斷面，堤高BC＝6m，迎水坡AB的坡比為1∶eq\r(3)，則AB的長(zhǎng)為(A)A．12mB．4eq\r(3)mC．5eq\r(3)mD．6eq\r(3)m【例4】如圖，防洪大堤的橫截面是梯形ABCD，其中AD∥BC，坡角α＝60°.汛期來(lái)臨前對(duì)其進(jìn)行了加固，改造后的背水面坡度β＝45°.若原坡長(zhǎng)AB＝20m，求改造后的坡長(zhǎng)AE.(結(jié)果保留根號(hào))解：過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BC于點(diǎn)F.∵在Rt△ABF中，∠ABF＝∠α＝60°，∴AF＝AB·sin60°＝20×eq\f(\r(3),2)＝10eq\r(3)(m).∵在Rt△AEF中，∠E＝∠β＝45°，∴AE＝eq\f(AF,sinE)＝eq\f(10\r(3),\f(\r(2),2))＝10eq\r(6)(m).答：改造后的坡長(zhǎng)AE為10eq\r(6)m．高效課堂教學(xué)設(shè)計(jì)1．了解什么是方位角、坡度及方位角的命名特點(diǎn)，準(zhǔn)確熟練解決有關(guān)方位角問(wèn)題．2．鞏固用解直角三角形有關(guān)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的方法．▲重點(diǎn)運(yùn)用解直角三角形解決航行、斜坡問(wèn)題．▲難點(diǎn)靈活運(yùn)用解直角三角形的方法解決生活中的實(shí)際問(wèn)題．◆活動(dòng)1新課導(dǎo)入如圖，在電線桿的C處拉引線CE，CF固定電線桿．拉線CE和地面成60°角，在離電線桿6m的B處安置測(cè)角儀，在A處測(cè)得電線桿上C處的仰角為30°.已知測(cè)角儀AB的高為1.5m，拉線CE的長(zhǎng)是__(4＋eq\r(3))__m.(結(jié)果保留根號(hào))◆活動(dòng)2探究新知1．教材P76例5.學(xué)生完成并交流展示．2．如圖，一水庫(kù)大壩的橫斷面為梯形ABCD，壩頂BC寬6m，壩高20m，斜坡AB的坡度i＝1∶2.5，斜坡CD的坡角為30°.求壩底AD的長(zhǎng)度．(精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：eq\r(2)≈1.414，eq\r(3)≈1.732)解：AD＝20×2.5＋6＋20eq\r(3)＝90.64(m).答：壩底AD的長(zhǎng)度為90.64m．學(xué)生完成并交流展示．◆活動(dòng)3知識(shí)歸納1．坡度、坡角概念．如圖，BC表示水平面，AB表示坡面，把水平面BC與坡面AB形成的角∠ABC稱為坡角α，坡面的鉛直高度h與水平寬度l的比叫做坡面的坡度(或坡比)，記作i＝eq\f(h,l)＝tanα.2．利用解直角三角形的知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的一般過(guò)程是：(1)將實(shí)際問(wèn)題抽象為__數(shù)學(xué)__問(wèn)題(畫出平面圖形，轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問(wèn)題)；(2)根據(jù)問(wèn)題中的條件，適當(dāng)選用銳角三角函數(shù)等解直角三角形；(3)得到數(shù)學(xué)問(wèn)題的答案；(4)得到實(shí)際問(wèn)題的答案．◆活動(dòng)4例題與練習(xí)例1如圖，海中一小島A，該島四周10nmile內(nèi)有暗礁，今有貨輪由西向東航行，開始在A島南偏西55°的B處，往東行駛20nmile后到達(dá)該島的南偏西25°的C處之后，貨輪繼續(xù)向東航行，你認(rèn)為貨輪向東航行的途中會(huì)有觸礁的危險(xiǎn)嗎？解：過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D.由題意，得∠BAD＝55°，∠CAD＝25°，BC＝20nmile.在Rt△ABD中，∵tan∠BAD＝eq\f(BD,AD)，∴BD＝AD·tan55°.在Rt△ACD中，∵tan∠CAD＝eq\f(CD,AD)，∴CD＝AD·tan25°.∵BD＝BC＋CD，∴AD·tan55°＝20＋AD·tan25°，∴AD＝eq\f(20,tan55°－tan25°)≈20.79(nmile)>10(nmile).答：輪船繼續(xù)向東行駛，不會(huì)有觸礁危險(xiǎn).例2如圖，水庫(kù)大壩的橫斷面是梯形，壩頂寬6m，壩高23m，斜坡AB的坡度i＝1∶3，斜坡CD的坡度i＝1∶2.5，求斜坡AB的坡角α，壩底寬AD和斜坡AB的長(zhǎng)．(精確到0.1m)解：過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AD于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AD于點(diǎn)F.在Rt△ABE和Rt△CDF中，∵eq\f(BE,AE)＝eq\f(1,3)，eq\f(CF,FD)＝eq\f(1,2.5)，∴AE＝3BE＝3×23＝69(m)，F(xiàn)D＝2.5CF＝2.5×23＝57.5(m)，∴AD＝AE＋EF＋FD＝69＋6＋57.5＝132.5(m).∵斜坡AB的坡度i＝tanα＝eq\f(1,3)≈0.33，∴α≈18.43°.在Rt△ABE中，由勾股定理，得AB＝eq\r(AE2＋BE2)≈72.7(m).答：斜坡AB的坡角α約為18.43°，壩底寬AD為132.5m，斜坡AB的長(zhǎng)約為72.7m．練習(xí)1．教材P77練習(xí)第1，2題．2．如圖，某辦公大樓正前方有一根高度是15m的旗桿ED，從辦公樓頂端A測(cè)得旗桿頂端E的俯角α是45°，旗桿底端D到大樓前梯坎底邊的距離DC是20m，梯坎坡長(zhǎng)BC是12m，梯坎坡度i＝1∶eq\r(3)，則大樓AB的高度約為(精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：eq\r(2)≈1.41，eq\r(3)≈1.73，eq\r(6)≈2.45)(D)A．30.6mB．32.1mC．37.9mD．39.4m3．如圖，海上有座燈塔P，在它周圍3nmile有暗礁，一艘客輪以每小時(shí)9nmile的速度由西向東航行，行至A處測(cè)得燈塔P在它的北偏東60°，繼續(xù)航行10min后到達(dá)B處，又測(cè)得燈塔P在它的東北方向．若客輪不改變方向，有無(wú)觸礁危險(xiǎn)？解：過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AB于點(diǎn)D.在Rt△PAD中，∠PAD＝30°.又∵∠PBD＝45°，故設(shè)PD＝x，則BD＝PD＝x，AD＝eq\r(3)x.又∵AB＝9×eq\f(10,60)