廣東省寶安中學(xué)2015屆高三模擬考試數(shù)學(xué)（理）

廣東省寶安中學(xué)2015屆高三模擬考試數(shù)學(xué)（理）一、選擇題要求：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知函數(shù)$f(x)=\sqrt{1-x^2}$，則其定義域?yàn)椋ǎ〢.$[-1,1]$B.$[0,1]$C.$[-1,0]\cup[0,1]$D.$(-\infty,1]$2.設(shè)$a>0$，$b>0$，則$\sqrt{a}+\sqrt\geq2\sqrt{ab}$的充要條件是（）A.$a=b$B.$a\geqb$C.$a<b$D.$a+b\geq2\sqrt{ab}$二、填空題要求：將正確答案填入空格中。3.函數(shù)$f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}$的值域?yàn)開________。4.若$a>0$，$b>0$，則$\frac{a}+\frac{a}\geq2$的等號(hào)成立條件是_________。三、解答題要求：解答下列各題。5.（本小題滿分12分）已知函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+3x+1$，求：（1）$f(x)$的極值點(diǎn)和拐點(diǎn)；（2）$f(x)$的單調(diào)區(qū)間和凹凸區(qū)間。6.（本小題滿分12分）已知函數(shù)$f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$，求：（1）$f(x)$的導(dǎo)數(shù)$f'(x)$；（2）$f(x)$的極值點(diǎn)和拐點(diǎn)；（3）$f(x)$的單調(diào)區(qū)間和凹凸區(qū)間。四、解答題要求：解答下列各題。7.（本小題滿分12分）已知函數(shù)$f(x)=e^{x^2}-x$，求：（1）$f(x)$的導(dǎo)數(shù)$f'(x)$；（2）$f(x)$的極值點(diǎn)和拐點(diǎn)；（3）$f(x)$的單調(diào)區(qū)間和凹凸區(qū)間。五、解答題要求：解答下列各題。8.（本小題滿分12分）已知函數(shù)$f(x)=\ln(x+1)-\frac{1}{2}x^2$，求：（1）$f(x)$的導(dǎo)數(shù)$f'(x)$；（2）$f(x)$的極值點(diǎn)和拐點(diǎn)；（3）$f(x)$的單調(diào)區(qū)間和凹凸區(qū)間。六、解答題要求：解答下列各題。9.（本小題滿分12分）已知函數(shù)$f(x)=x^3-3x+2$，求：（1）$f(x)$的導(dǎo)數(shù)$f'(x)$；（2）$f(x)$的極值點(diǎn)和拐點(diǎn)；（3）$f(x)$的單調(diào)區(qū)間和凹凸區(qū)間。本次試卷答案如下：一、選擇題1.答案：A解析：函數(shù)$f(x)=\sqrt{1-x^2}$中的根號(hào)內(nèi)的表達(dá)式必須非負(fù)，即$1-x^2\geq0$。解不等式得$x^2\leq1$，即$-1\leqx\leq1$。因此，函數(shù)的定義域?yàn)?[-1,1]$。2.答案：A解析：由均值不等式$\frac{a}+\frac{a}\geq2\sqrt{\frac{a}\cdot\frac{a}}=2$，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{a}=\frac{a}$，即$a=b$。二、填空題3.答案：$[1,+\infty)$解析：函數(shù)$f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}$可以化簡(jiǎn)為$f(x)=x+2$，因?yàn)?x^2-4=(x-2)(x+2)$。所以$f(x)$的值域是$x$的值域，即$[1,+\infty)$。4.答案：$a=b$解析：根據(jù)均值不等式$\frac{a}+\frac{a}\geq2\sqrt{\frac{a}\cdot\frac{a}}$，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{a}=\frac{a}$，即$a=b$。三、解答題5.解答：（1）求導(dǎo)得$f'(x)=3x^2-6x+3$，令$f'(x)=0$得$x=1$或$x=\frac{1}{3}$。計(jì)算二階導(dǎo)數(shù)$f''(x)=6x-6$，代入$x=1$和$x=\frac{1}{3}$得$f''(1)=-6<0$和$f''(\frac{1}{3})=-2<0$，所以$x=1$是極大值點(diǎn)，$x=\frac{1}{3}$是極小值點(diǎn)。（2）$f(x)$的極值點(diǎn)為$x=1$和$x=\frac{1}{3}$。拐點(diǎn)通過解$f''(x)=0$得$x=1$，但需驗(yàn)證$f''(x)$在$x=1$的左右兩側(cè)的符號(hào)變化，此處略。6.解答：（1）求導(dǎo)得$f'(x)=\frac{2x}{x-1}$，令$f'(x)=0$得$x=0$。計(jì)算二階導(dǎo)數(shù)$f''(x)=\frac{2(x-2)}{(x-1)^3}$，代入$x=0$得$f''(0)=\frac{4}{1}=4>0$，所以$x=0$是極小值點(diǎn)。（2）$f(x)$的極值點(diǎn)為$x=0$。拐點(diǎn)通過解$f''(x)=0$得$x=2$，但需驗(yàn)證$f''(x)$在$x=2$的左右兩側(cè)的符號(hào)變化，此處略。（3）$f(x)$的單調(diào)區(qū)間和凹凸區(qū)間通過分析$f'(x)$和$f''(x)$的符號(hào)變化確定，此處略。四、解答題7.解答：（1）求導(dǎo)得$f'(x)=2xe^{x^2}$。（2）求極值點(diǎn)需要令$f'(x)=0$，即$2xe^{x^2}=0$，解得$x=0$。計(jì)算二階導(dǎo)數(shù)$f''(x)=2e^{x^2}(2x^2+1)$，代入$x=0$得$f''(0)=2>0$，所以$x=0$是極小值點(diǎn)。（3）$f(x)$的單調(diào)區(qū)間和凹凸區(qū)間通過分析$f'(x)$和$f''(x)$的符號(hào)變化確定，此處略。五、解答題8.解答：（1）求導(dǎo)得$f'(x)=\frac{1}{x+1}-x$。（2）求極值點(diǎn)需要令$f'(x)=0$，即$\frac{1}{x+1}-x=0$，解得$x=0$。計(jì)算二階導(dǎo)數(shù)$f''(x)=-\frac{1}{(x+1)^2}-1$，代入$x=0$得$f''(0)=-2<0$，所以$x=0$是極大值點(diǎn)。（3）$f(x)$的單調(diào)區(qū)間和凹凸區(qū)間通過分析$f'(x)$和$f''(x)$的符號(hào)變化確定，此處略。六、解答題9.解答：（1）求導(dǎo)得$f'(x)=3x^2-3$。（2）求極值點(diǎn)需要令$f'(x)=0$，即$3x^2-3=0$，解得$x=1$或$x=-1$。計(jì)算二階導(dǎo)數(shù)$f