北師大版 （2019）第五章 復數(shù) 單元測試卷(含答案)

北師大版（2019）第五章復數(shù)單元測試卷(含答案)一、選擇題要求：從下列各題的四個選項中，選擇一個正確的答案。1.設復數(shù)z=a+bi（a、b∈R），若|z|=1，則下列結論正確的是（）A.a=0且b≠0B.a≠0且b=0C.a=0或b=0D.a、b都不為02.已知復數(shù)z=1+i，求復數(shù)z的平方。3.若復數(shù)z滿足|z|=2，則復數(shù)z的虛部b（b∈R）的取值范圍是（）A.b≥2或b≤-2B.b≤2或b≥-2C.-2≤b≤2D.-2<b<24.設復數(shù)z1=1+i，z2=1-i，求復數(shù)z1?z2。5.若復數(shù)z滿足|z|=√2，則復數(shù)z的實部a（a∈R）的取值范圍是（）A.a=1或a=-1B.a≥1或a≤-1C.-1≤a≤1D.-1<a<16.已知復數(shù)z1=1+i，z2=1-i，求復數(shù)z1/z2。二、填空題要求：在橫線上填入正確的答案。7.復數(shù)z=3+i的模是______。8.復數(shù)z=-2+i的幅角是______。9.復數(shù)z=√3+i的實部是______。10.復數(shù)z=1-2i的虛部是______。11.復數(shù)z=2+i的共軛復數(shù)是______。12.復數(shù)z=√2-i的實部與虛部的比是______。三、解答題要求：寫出解答過程，并化簡最終答案。13.求下列復數(shù)的模：（1）z=1+i（2）z=-3-4i（3）z=2√3+i14.求下列復數(shù)的幅角：（1）z=√2+i（2）z=-1-√3（3）z=1-i15.求下列復數(shù)的實部和虛部：（1）z=2+3i（2）z=-4-√3i（3）z=√3-i16.求下列復數(shù)的共軛復數(shù)：（1）z=1+i（2）z=-2-3i（3）z=√2+i17.求下列復數(shù)的乘積：（1）z1=1+i，z2=1-i（2）z1=2+3i，z2=1-2i（3）z1=√3+i，z2=1+√3i18.求下列復數(shù)的商：（1）z1=1+i，z2=1-i（2）z1=2+3i，z2=1-2i（3）z1=√3+i，z2=1+√3i四、應用題要求：根據(jù)所給條件，寫出解答過程，并求出最終答案。19.若復數(shù)z=a+bi（a、b∈R），且z的實部a與虛部b滿足a=3b，求復數(shù)z在復平面上的幾何位置。20.已知復數(shù)z1=2+√3i，z2=1-2i，求復數(shù)z1和z2的和、差、積、商。五、證明題要求：證明下列命題的正確性。21.證明：對于任意兩個復數(shù)z1=a+bi和z2=c+di（a、b、c、d∈R），有|z1+z2|=|z1|+|z2|。22.證明：對于任意兩個復數(shù)z1=a+bi和z2=c+di（a、b、c、d∈R），若z1z2=0，則z1=0或z2=0。六、拓展題要求：根據(jù)所學知識，對下列問題進行探究。23.探究復數(shù)模的幾何意義，并舉例說明。24.探究復數(shù)乘法與除法的運算規(guī)律，并給出證明。本次試卷答案如下：一、選擇題1.答案：C解析：復數(shù)的模定義為|z|=√(a2+b2)，當|z|=1時，a2+b2=1，即a=0或b=0。2.答案：2i解析：復數(shù)z的平方為z2=(a+bi)2=a2+2abi+b2i2=a2+2abi-b2，由于i2=-1，所以z2=a2-2abi-b2。3.答案：A解析：復數(shù)z的模定義為|z|=√(a2+b2)，當|z|=2時，a2+b2=4，虛部b的取值范圍為b≥2或b≤-2。4.答案：2解析：復數(shù)z1和z2的乘積為z1?z2=(a+bi)?(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i。5.答案：B解析：復數(shù)z的模定義為|z|=√(a2+b2)，當|z|=√2時，a2+b2=2，實部a的取值范圍為a≥1或a≤-1。6.答案：i解析：復數(shù)z1和z2的商為z1/z2=(a+bi)/(c+di)=(ac+bd)+(bc-ad)i/(c2+d2)。二、填空題7.答案：2解析：復數(shù)z的模定義為|z|=√(a2+b2)，所以|3+i|=√(32+12)=√10。8.答案：π/4解析：復數(shù)z的幅角定義為θ=arctan(b/a)，所以幅角為π/4。9.答案：√3解析：復數(shù)z的實部即為a，所以實部為√3。10.答案：-2解析：復數(shù)z的虛部即為b，所以虛部為-2。11.答案：2-i解析：復數(shù)z的共軛復數(shù)定義為z?=a-bi，所以共軛復數(shù)為2-i。12.答案：-√2/2解析：復數(shù)z的實部與虛部的比為a/b，所以比值為-√2/2。三、解答題13.答案：（1）|z|=√(12+12)=√2（2）|z|=√((-3)2+(-4)2)=√(9+16)=5（3）|z|=√(2√3)2+12)=√(12+1)=√1314.答案：（1）θ=arctan(1/√2)=π/4（2）θ=arctan(-√3/(-1))=2π/3（3）θ=arctan(-1/(-1))=π/215.答案：（1）實部為2，虛部為3（2）實部為-4，虛部為-√3（3）實部為√3，虛部為-116.答案：（1）z?=1-i（2）z?=-2+3i（3）z?=√2-i17.答案：（1）z1?z2=(1+i)?(1-i)=1-i2=2（2）z1?z2=(2+3i)?(1-2i)=2-4i+3i-6i2=4-5i（3）z1?z2=(√3+i)?(1+√3i)=√3+√3i+i+3i2=4i18.答案：（1）z1/z2=(1+i)/(1-i)=(1+i)?(1+i)/(1-i)2=(1+2i+i2)/(1-i2)=(2i)/(2)=i（2）z1/z2=(2+3i)/(1-2i)=(2+3i)?(1+2i)/(1-2i)2=(2+4i+