2025年春北師版數(shù)學(xué)九年級(jí)下冊(cè) 第3章 9 弧長(zhǎng)及扇形的面積

第3章9弧長(zhǎng)及扇形的面積一、選擇題1.在半徑為6的⊙O中，60°圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)是（）A．πB．2πC．4πD．6π答案：B解析：解答：=2π．故選：B．分析：根據(jù)弧長(zhǎng)的計(jì)算公式計(jì)算即可．2.如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，⊙O的半徑為2，∠B=135°，則AC的長(zhǎng)（）A．2πB．πC．D．答案：B解析：解答：連接OA、OC，∵∠B=135°，∴∠D=180°-135°=45°，∴∠AOC=90°，則AC的長(zhǎng)==π．故選B．分析：連接OA、OC，然后根據(jù)圓周角定理求得∠AOC的度數(shù)，最后根據(jù)弧長(zhǎng)公式求解．3.如圖，已知□ABCD的對(duì)角線BD=4cm，將?ABCD繞其對(duì)稱中心O旋轉(zhuǎn)180°，則點(diǎn)D所轉(zhuǎn)過(guò)的路徑長(zhǎng)為（）A．4πcmB．3πcmC．2πcmD．πcm答案：C解析：解答：將?ABCD繞其對(duì)稱中心O旋轉(zhuǎn)180°，點(diǎn)D所轉(zhuǎn)過(guò)的路徑為以BD為直徑的半圓，∴其長(zhǎng)度為=2πcm．故選：C．分析：將平行四邊形旋轉(zhuǎn)180°后，點(diǎn)D所轉(zhuǎn)過(guò)的路徑是以線段BD為直徑的半圓，已知直徑的長(zhǎng)利用弧長(zhǎng)公式求得即可．4.如圖1，水平地面上有一面積為30π平方厘米的灰色扇形OAB，其中OA的長(zhǎng)度為6厘米，且與地面垂直．若在沒有滑動(dòng)的情況下，將圖1的扇形向右滾動(dòng)至OB垂直地面為止，如圖2所示，則O點(diǎn)移動(dòng)（）厘米．A．20B．24C．10πD．30π答案：C解析：解答：點(diǎn)O移動(dòng)的距離為扇形的弧長(zhǎng)，根據(jù)面積公式求出弧長(zhǎng)，即30π=12×l×6解得l=10π．故選C．分析：點(diǎn)O移動(dòng)的距離為扇形的弧長(zhǎng)，根據(jù)弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可．5.如圖，點(diǎn)A、B、C都在⊙O上，⊙O的半徑為2，∠ACB=30°，則AB的長(zhǎng)是（）A．2πB．πC．D．答案：C解析：解答：∵∠ACB=30°，∴∠AOB=60°，∵OA=2，∴故選：C．分析：根據(jù)圓周角定理可得出∠AOB=60°，再根據(jù)弧長(zhǎng)公式的計(jì)算即可．6、如圖，等邊三角形ABC中，將邊AC逐漸變成以BA為半徑的，其他兩邊的長(zhǎng)度不變，則∠ABC的度數(shù)大小由60變?yōu)椋ǎ〢.B.C.D.答案：A解析：解答：設(shè)∠ABC的度數(shù)大小由60變?yōu)閚，則AC=,由AC=AB，解得，n=，故選：A．分析：設(shè)∠ABC的度數(shù)為n，根據(jù)弧長(zhǎng)的計(jì)算公式把已知條件代入計(jì)算即可．7.如圖，△ABC是等邊三角形，AC=6，以點(diǎn)A為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫弧DE，若∠1=∠2，則弧DE的長(zhǎng)為（）A．1πB．1.5πC．2πD．3π答案：C解析：解答：∵△ABC是等邊三角形，AC=6，∴AB=AC=6，∠CAB=60°．∵∠1=∠2，∴∠1+∠BAD=∠2+∠BAD，∴∠CAB=∠DAE=60°，∴弧DE的長(zhǎng)為QUOTE60π×6180，故選C．分析：先由等邊三角形的性質(zhì)得出AB=AC=6，∠CAB=60°．再由∠1=∠2得到∠CAB=∠DAE=60°，然后根據(jù)弧長(zhǎng)公式解答即可．8.在一個(gè)直徑為6cm的圓中，小明畫了一個(gè)圓心角為120°的扇形，則這個(gè)扇形的面積為（）A．πcm2B．2πcm2C．3πcm2D．6πcm2答案：C解析：解答：由題意得，n=120°，r=3，故S=QUOTE120π×32360=3πcm2．故選C．分析：根據(jù)扇形公式S=QUOTEnπr2360，代入數(shù)據(jù)運(yùn)算即可得出答案．9.如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，AB=AD=4，BC=6，以A為圓心在梯形內(nèi)畫出一個(gè)最大的扇形（圖中陰影部分）的面積是（）A．πB．3πC．23πD．4π答案：D解析：解答：過(guò)點(diǎn)A向BC作垂線，垂足為E，∵AD=CE=4，BC=6，所以BE=2，∴∠EAB=30°，∠DAB=120°，根據(jù)勾股定理可知AE2=16-4=12，∴扇形面積為QUOTE120π×12360=4π．故選：D．分析：扇形面積公式：S=，梯形的計(jì)算問(wèn)題一般要轉(zhuǎn)換成平行四邊形和三角形的問(wèn)題來(lái)解決．10.如圖，四邊形OCBA是菱形，點(diǎn)A、B在以點(diǎn)O為圓心的圓弧DE上，若AO=3，∠COE=∠DOA，則扇形ODE的面積為（）A．πB．2πC．2.5πD．3π答案：D解析：解答：連接OB．∵OA=OB=OC=AB=BC，∴∠AOB=∠COB=60°，∴∠AOB+∠BOC=120°．又∵∠COE=∠DOA，∴∠DOE=120°．∴扇形ODE的面積為QUOTE120π×9360=3π．故選D．分析：連接OB．根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可以求得∠AOC=120°，再結(jié)合∠COE=∠DOA，即可求得扇形所在的圓心角的度數(shù)，從而根據(jù)扇形的面積公式進(jìn)行求解．11.已知一個(gè)半徑為6的扇形面積是4π，則這個(gè)扇形的圓心角是（）A．30°B．40°C．45°D．60°答案：B解析：解答：∵r=6，S扇形=4π，∴＝4π，解得n=40；∴這個(gè)扇形的圓心角為40°．故選B分析：根據(jù)扇形的面積根據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可．12.如圖，已知扇形AOB的半徑為2，圓心角為90°，連接AB，則圖中陰影部分的面積是（）A．π-2B．π-4C．4π-2D．4π-4答案：A解析：解答：S陰影部分=S扇形OAB-S△OAB=×2×2=π-2故選：A．分析：由∠AOB為90°，得到△OAB為等腰直角三角形，于是OA=OB，而S陰影部分=S扇形OAB-S△OAB．然后根據(jù)扇形和直角三角形的面積公式計(jì)算即可．13.若扇形面積為3π，圓心角為60°，則該扇形的半徑為（）A．3B．9C．2D．3答案：D解析：解答：扇形的面積==3π．解得：r=3．故選D．分析：已知了扇形的圓心角和面積，可直接根據(jù)扇形的面積公式求半徑長(zhǎng)．14.如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，∠CDB=30°，CD=23，則陰影部分圖形的面積為（）A．4πB．2πC．πD．答案：D解析：解答：連接OD．∵CD⊥AB，∴CE=DE=CD=3（垂徑定理），故S△OCE=S△ODE，即可得陰影部分的面積等于扇形OBD的面積，又∵∠CDB=30°，∴∠COB=60°（圓周角定理），∴OC=2，故QUOTE60π×4360=2π3，即陰影部分的面積為QUOTE2π3．故選：D．分析：連接OD，則根據(jù)垂徑定理可得出CE=DE，繼而將陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為扇形OBD的面積，代入扇形的面積公式求解即可．15.如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方形內(nèi)部，以各邊為直徑畫四個(gè)半圓，則圖中陰影部分的面積是（）A．2B．C．D．1答案：D解析：解答：如圖所示，S陰影=S△AOB=S正方形=×2×2=1．故選D．分析：作正方形的對(duì)角線，由圖可知陰影部分的面積等于正方形面積的，由此可得出結(jié)論．二、填空題16.一個(gè)扇形的半徑為3cm，面積為πcm2，則此扇形的圓心角為度答案：40解析：解答：設(shè)扇形的圓心角是n°，根據(jù)題意可知：S==π，解得n=40°，故答案為40．分析：設(shè)扇形的圓心角是n°，根據(jù)扇形的面積公式即可得到一個(gè)關(guān)于n的方程，解方程即可求解．17.已知扇形的圓心角為120°，弧長(zhǎng)為2π，則它的半徑為答案：3解析：解答：∵l=，∴R=QUOTE180×2π120π=3．分析：根據(jù)弧長(zhǎng)公式代入求解即可．18、如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，⊙O的半徑為1，則的長(zhǎng)為答案：解析：解答：∵ABCDEF為正六邊形，∴∠AOB=360°÷6=60°，的長(zhǎng)為．故答案為：．分析：求出圓心角∠AOB的度數(shù)，再利用弧長(zhǎng)公式解答即可．19.如圖，⊙A、⊙B、⊙C兩兩不相交，且它們的半徑都是2，圖中三個(gè)陰影部分的面積之和是答案：2π解析：解答：S陰影=QUOTE180π×4360=2π．故答案是：2π．分析：由于三角形的內(nèi)角和為180度，所以三個(gè)陰影扇形的圓心角的和為180°，由于它們的半徑都為2，因此可根據(jù)扇形的面積公式直接求出三個(gè)扇形的面積和．20.如圖，⊙O的半徑為4，PC切⊙O于點(diǎn)C，交直徑AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，若CP長(zhǎng)為4，則陰影部分的面積為答案：8-2π．解析：解答：連接CO，∵PC切⊙O于點(diǎn)C，∴OC⊥PC，∵⊙O的半徑為4，CP長(zhǎng)為4，∴CO=CP，∴∠COP=∠CPO=45°，∴陰影部分的面積為：S△COP-S扇形COB=×4×4-QUOTE45π×42360=8-2π．故答案為：8-2π．分析：利用切線的性質(zhì)結(jié)合等腰直角三角形的性質(zhì)得出∠COP=∠CPO=45°，進(jìn)而利用陰影部分的面積為：S△COP-S扇形COB求出即可．三、計(jì)算題21.如圖，一只狗用皮帶系在10×10的正方形狗窩的一角上，皮帶長(zhǎng)為14，在狗窩外面狗能活動(dòng)的范圍面積是多少？答案：155π解析：解答：狗能活動(dòng)的范圍面積=π×142+π×42=147π+8π=155π．答：在狗窩外面狗能活動(dòng)的范圍面積是155π．分析：根據(jù)題干可知，狗能活動(dòng)的范圍面積是以半徑為14的圓面積的和以半徑為4的圓的面積的，據(jù)此求解．22.一段圓弧形公路彎道，圓弧的半徑為2km，彎道所對(duì)圓心角為10°，一輛汽車從此彎道上駛過(guò)，用時(shí)20s，彎道有一塊限速警示牌，限速為40km/h，問(wèn)這輛汽車經(jīng)過(guò)彎道時(shí)有沒有超速？（π取3）答案：超速解析：解答：l=km．∴汽車的速度：=60（km/h），∵60km/h＞40km/h，∴這輛汽車經(jīng)過(guò)彎道時(shí)超速．分析：先根據(jù)弧長(zhǎng)公式計(jì)算出彎道的長(zhǎng)度，再根據(jù)所用時(shí)間得出汽車的速度，再判斷這輛汽車經(jīng)過(guò)彎道時(shí)有沒有超速．23.如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為E，∠CDB=30°，CD=，求圖中陰影部分的面積．答案：解析：解答：∵AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，∴CE=DE．∵∠CDB=30°，∴∠COE=60°，在Rt△OEC中，OC=QUOTEOEsin60°=2，∵CE=DE，∠COE=∠DBE=60°∴Rt△COE≌Rt△DBE，∴S陰影=S扇形OBC=π×OC2=π×4=分析：根據(jù)AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，由垂徑定理得CE=DE，再根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得出OC，可證明Rt△COE≌Rt△DBE，即可得出S陰影=S扇形OBC．24.如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，BC是直徑，∠BAD=120°，AB=AD．（1）求證：四邊形ABCD是等腰梯形；（2）已知AC=6，求陰影部分的面積．答案：(1)略；(2)4π-3解析：解答：（1）證明：∵∠BAD=120°，AB=AD，∴∠ABD=∠ADB=30°，∴弧AB和弧AD的度數(shù)都等于60°，又∵BC是直徑，∴弧CD的度數(shù)也是60°，∴AB=CD且∠CAD=∠ACB=30°，∴BC∥AD，∴四邊形ABCD是等腰梯形；（2）解：∵BC是直徑，∴∠BAC=90°∵∠ACB=30°，AC=6，∴BC==43，故R=23，∵弧AB和弧AD的度數(shù)都等于60°，∴∠BOD=120°，連接OA交BD于點(diǎn)E，則OA⊥BD，在Rt△BOE中：OE=OBsin30°=3，BE=OB?cos30°=3，BD=2BE=6，故S陰影=S扇形BOD-S△BOD=×6×=4π-3．分析：（1）根據(jù)題意得出AB=CD且∠CAD=∠ACB=30°，進(jìn)而得出BC∥AD，即可得出答案；（2）利用S陰影=S扇形BOD-S△BOD，進(jìn)而求出即可．25.如圖，在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中，以AB為直徑的半圓與對(duì)角線AC交于點(diǎn)E．（1）求弧BE所對(duì)的圓心角的度數(shù)．答案：解答：連接OE，∵四邊形ABCD為正方形，∴∠EAB=45°，∴∠EOB=2∠EAB=90°；（2）求圖中陰影部分的